数的整除整理复习

数的整除整理复习

数的整除是小学数学中的一个重要内容，同时也是许多其他数学学科的基础知识。在学习这一知识点时，需要掌握如何判断一个数是否能够被另一个数整除，并学会运用相关的计算方法，以便在实际问题中进行运用。

一、基本概念

1.1 什么是整除

一个整数a能被另一个整数b整除，是指存在另一个整数x，使得a = b × x。用数学符号表示为：b | a (读作b整除a)，即b是a的因数（或因子），a是b的倍数。例如，4 | 12，表示4是12的因数，12是4的倍数，即12能被4整除。

1.2 整数的因数和倍数

一个整数可以被其他整数整除，这意味着这个整数可以被其他整数整除，这些整数就是这个整数的因数。例如，正整数12的因数为1、2、3、4、6、12。一个整数的倍数是指能够被这个整数整除的数。例如，12的倍数有12、24、36，即任何正整数n × 12都是12的倍数。

1.3 两个以上整数的公共因数

对于两个以上的整数，如果它们有一个共同的因子，那么这个因子称为它们的公共因数。例如，20和30的公共因数是

1、2、5、10。如果两个数没有公共因数（除1以外），那么

它们称为互质数。

二、整除的判定方法

判定一个数是否能被另一个数整除，常用的方法有以下几种：

2.1 因数分解法

因式分解法是指将一个数分解为若干个质因数的乘积，然后将这个数的因子全部列出来，再判断这个数是否能够被给定的整数整除。对于一个正整数n，若其能分解为若干个质因数

的乘积，其表达式为n = p1^k1 × p2^k2 × ... × pn^kn，则它的所

有因子为p1^i1 × p2^i2 × ... × pn^in，其中0 ≤ i1 ≤ k1, 0 ≤ i2 ≤

k2, …, 0 ≤ in ≤ kn。

例如，判断72是否能被8整除，我们先将72分解为2^3 × 3^2，再列出72的所有因子为1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72，经过检查，发现8是72的一个因子，因此72能够被8整除。

2.2 分解质因数法

分解质因数法是指将一个数分解为若干个质数的乘积，然后判断这个数是否能够被给定的整数整除。例如，判断80是

否能被16整除，我们先将80分解为2^4 × 5，再用16去除2^4，得到16能被2^4整除，因此80能够被16整除。

2.3 除法法则

除法法则是指：如果被除数a除以除数b能够整除，那么商（商必须是整数）乘以除数b一定等于被除数a。

例如，判断105能否被5整除，我们用除法法则，105 ÷ 5 = 21，21 × 5 = 105，因此105能够被5整除。

三、应用举例

3.1 问题一

有一盒子里有红、蓝、绿三种颜色的球，已知其中红球有60个，蓝球有40个，绿球有30个，现在要从这个盒子里任

取一个球，问取出来的球数能否被6整除？

解答：

首先，我们需要求出红，蓝，绿三色球的个数之和，即

60 + 40 + 30 = 130。因为使用分解质因数法，得到6 = 2 × 3，因此我们只需要判断取出来的球数是不是同时被2和3整除即可。

由于130不是2和3的公倍数，因此130除以6不能整除，即取出来的球数不能被6整除。

3.2 问题二

有一盘菜，有78个卷心菜和100个黄瓜，现在要将这些

蔬菜全部分成若干份，每份必须包含相等数量的卷心菜和黄瓜，且黄瓜的个数不能超过卷心菜的个数。问，每份能分多少个？

解答：

因为每份必须包含相等数量的卷心菜和黄瓜，所以令每份中卷心菜数为x，则每份中黄瓜数也为x，同时要求黄瓜数量

小于等于卷心菜数量，因此我们得到以下不等式：

x ≤ 78

x = y × 2 （卷心菜数量必须是黄瓜数量的2倍）

又因为x必须为整数，所以可得出x的取值为2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30和32。经过

检验，我们发现当x = 26时，每份恰好包含26个卷心菜和52

个黄瓜，因此，每份能分26个。