中考第一轮复习讲 第二十七讲 相似三角形(含位似)(二)

第二十七讲相似三角形（含位似）（二）
考点一.与相似三角形有关的计算问题
例题1.已知两个相似三角形的一对对应边长分别是49cm和14cm.
（1）若他们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长；
（2）若他们的面积相差450cm²，求这两个三角形的面积.
例题2.如图，在△ABC中，点D是BA边延长线上一点，过点D作DE∥BC，交CA延长线于点E，点F是DE延长线上一点，连接AF.
（1）如果
2
3
AD
AB
，DE=6，求边BC的长；
（2）如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长.
例题3.如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点，则△ADE与△ABC的面积之比是（）
A.1:4
B.1:3
C.1:2
D.2:1
【变式1】如图，在△ABC中，DE∥BC，DB=2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为 .
【变式2】如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O ，若251=∆∆COA DOE S S ，则CDE
BDE S S ∆∆= .
例题4.如图所示，在△ABC 中，AC=8cm ，BC=16cm ，点P 从点A 向点C 运动，速度为1cm/s ，点Q 从点C 向点B 运动，速度为2cm/s ，点P.Q 同时出发t 秒后，△PQC 和△ABC 相似，求t 的值.
考点二.与相似三角形有关的证明问题
例题1.如图，P 是△ABC 的边AB 上一点，连接CP ，有如下条件：①∠ACP=∠B ；②∠APC=∠ACB ；
③2AC AP AB ；④AC AB CP BC
，其中能判定△ACP ∽△ABC 的条件是 .（填序号）
例题2.如图，已知AE
AC DE BC AD AB ==，求证：△ABD ∽△ACE.
例题3.如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=
∠B，且点D，F分别在边AB，AC上.
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
【变式1】如图，在边长为9的等边△ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE= .
【变式2】如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC
边上的点F.
（1）求证：△ABF∽△FCE；
2，AD=4，求CE的长.
（2）若AB=3
考点三.位似
例题1.关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 .（只填序号）
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.
例题2.如图，在正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（-1，-1），则两个正方形的位似中心的坐标是（）
A.（1，0）
B.（-5，-1）
C.（1，0）或（-5，-2）
D.（1，0）或（-5，-1）
例题3.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）.
（1）以点O为位似中心画出△A´B´C´，使它与△ABC位似，其中点A，B，C分别与点A´，B´，C´对应，相似比为2：1，写出点A´，B´，C´的坐标；
（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△A´B´C´的边上与点M对应的点M´的坐标为 .
考点四.利用相似三角形测高
例题1.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB ⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）
A.60m
B.40m
C.30m
D.20m
例题2.如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD 和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB.标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A与标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上.
（1）求证：DG FH BG BH
；
（2）求建筑物的高.
二.同步练习
1.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD=2AD ，则（ ）
A.
21=AB AD B.21=EC AE C.21=EC AD D.2
1=BC DE
（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）
2.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则BC DE 等于（ ） A.1 B.2
2 C.21 D.41 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE=∠EFC ，AD ：BD=5:3，CF=6，则DE 的长为（ ）
A.6
B.8
C.10
D.12
4.如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD
于点F ，已知4Δ=AEF S ，则下列结论：①2
1=FD AF ；②36Δ=BCE S ；③12Δ=ABE S ；④△AEF ∽△ACD ，其中一定正确的是（ ）
A.①②③④
B.①④
C.②③④
D.①②③
5.如图，将正方形ABCD 放于平面直角坐标系中，已知点A （-4，2），B （-2，2），以原点O 为位似中心把正方形ABCD 缩小得到正方形A ´B ´C ´D ´，使OA ´：OA=1:2，则点D 的对应点D ´的坐标是（ ）
A.（-8，8）
B.（-8，8）或（8，-8）
C.（-2，2）
D.（-2，2）或（2，-2）
（第5题图） （第6题图） （第7题图） （第9题图）
6.如图，在△ABC 中，AB 两个顶点在x 轴上方，点C 的坐标是（-1,0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ´B ´C ，且△A ´B ´C 与△ABC 的位似比为2:1，设点B 的对应点B ´的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）
A.a 21-
B.)1(21+-a
C.)1(21--a
D.)3(2
1+-a 7.如图，在△ABC 中，AD 是高，矩形PQMN 的顶点P ，N 分别在边AB ，AC 上，QM 在边BC 上，若BC=8cm ，AD=6cm ，且PN=2PQ ，则矩形PQMN 的周长为（ ）
A.14.4cm
B.7.2cm
C.11.52cm
D.12.4cm
8.已知△ABC ∽△DEF ，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF 的周长是 .
9.如图，矩形EFGO 的两边在坐标轴上，点O 为平面直角坐标系的原点，以y 轴上的某一点为为位似中心，作位似图形ABCD ，且点B ，F 的坐标分别为（-4，4），（2，1），则位似中心的坐标为 .
10.如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，H 是边BC 上的一点，连接AH 交线段DE 于点G ，且BH=DE=12，DG=8，12=∆ADG S ，则=BCED 四边形S .
A.24
B.22.5
C.20
D.25
（第10题图） （第11题图） （第12题图）
11.如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点B ´重合，若AB=2，BC=3，则△FCB ´与△B ´DG 的面积比为 .
12.数学兴趣小组的同学想利用树影测量树高.课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C 处.同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同），则树高为 米.（假设两次测量时太阳光线是平行的）
13.如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），
C （3，4）.
（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于y 轴成轴对称，则△A 1B 1C 1三个顶
点坐标分别为A 1 ，B 1 ，C 1 ；
（2）在y 轴上是否存在点Q ．使得S △ACQ =2
1S △ABC ，如果存在，求出点Q 的坐标，如果不存在，说明理由； （3）在x 轴上找一点P ，使PA+PB 的值最小，请直接写出点P
的坐标是 .
14.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A ´B ´C ´是以坐标
原点O 为位似中心的位似图形，且点B （3，1），B ´（6，2）.
（1）请你根据位似的特征并结合点B 的坐标变化回答下列问题：
①若点A （2
5，3），则点A ´的坐标为 ； ②△ABC 与△A ´B ´C ´的相似比为 ；
（2）若△ABC 的面积为m ，求△A ´B ´C ´的面积（用含m 的代数式表示）.
15.如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC交于点G，连接CF.
（1）求证：△DAE≌△DCF；
（2）求证：△ABG∽△CFG.
16.如图，M为线段AB上一点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AE于点F，ME 交BD于点G.
（1）写出图中的三对相似三角形；
（2）连接FG，当AM=MB时，求证：△MFG∽△BMG；
4，AF=3，求FG的长.
（3）在（2）的条件下，若α=45°，AB=2
三.拓展提高
1.如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，已知∠A=90°，AB=6cm,AC=8cm,要把它加工成一个形状为平行四边形DEFG的工件，使GF在BC边上，D，E两点分别在AB，AC上，若DE=5cm，则平行四边形DEFG的面积为（）
A.24cm²
B.12cm²
C.9cm²
D.6cm²
（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）
2.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，∠ABC=90°，且AB=3，点E 是边AB 上的动点，当△ADE ，△BCE ，△CDE 两两相似时，AE 的长为（ ）
A. 23
B.35
C.23或35
D.2
3或1 3.如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE ，CD 与BE ，AE 分别交于点P ，M ，给出下列结论：①△BAE ∽△CAD ；②AP ⊥CD ；③2CB ²=CP ·CM.其中正确的是（ ）
A.①②③
B.①
C.①②
D.②③
4.如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，CD 平分∠ACB ，若AD=2，BD=3，则AC 的长为 .
5.如图，在△ABC 中，AB=AC=6，∠A=2∠BDC ，BD 交AC 边于点E ，且AE=4，则BE ·DE= .
（第5题图） （第6题图） （第7题图） （第8题图） 6.如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，P 点在BC 边上的高AD 上，且2
1 PD AP ，连接BP 并延长交AC 于点E ，若S △ABC =10，则S △ABE = .
7.如图，正方形OPQR 内接于△ABC ，PQ 在边BC 上，点O ，R 分别在AB ，AC 上，已知△AOR ，△BOP ，△CRQ 的面积分别为S 1=1，S 2=3，S 3=1，那么正方形OPQR 的边长为 .
8.如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 与CD 的中点B ´重合，若AB=2，BC=3，则△FCB ´与△B ´DG 的面积比为 .
9.如图，在平面直角坐标系中，已知A （-3，-2），B （0，-2），C （-3,0），点M 是线段AB 上的一点，连接CM ，过点M 作MN ⊥MC 交y 轴于点N ，若N （0，-1），且点M ，N 在直线y=kx+b 上则k 的值为 .
（第9题图） （第10题图）
10.如图，在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，对角线交于点O ，AP=2，BP=1，则随着菱形边长的变化，OP 最小值是 ，当OP 取最小值时，AB 的值为 .
11.如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E （点O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上），测得AC ＝2m ，BD ＝2.1m ，如果小明眼睛距地面髙度BF ，DG 均为1.6m ，试确定楼的高度OE ．
12.如图，一次函数y=kx+b 的图象交x 轴于点A （2
3，0），交y 轴于点B （0，3），点P 是直线AB （不与点A ，B 重合）上一动点，过点P 分别作OA 和OB 的垂线，垂足为O ，D ，连接OD ，设点P 的横坐标为m. （1）k 的值是 ，b 的值是 ；
（2）当0＜m ＜2
3，矩形OCPD 的面积为1时，求此时点P 的坐标； （3）点P 在运动过程中，当△POD 与△AOB 相似时，请直接写出点P 的坐标.
13.如图，在平面直角坐标系中，已知点M，N分别在y轴和x轴上，OM=6cm,ON=8cm.动点A 从N点开始沿NO边以2cm/s的速度向点O运动，动点B从O点开始沿OM边以1cm/s的速度向点M运动，A，B分别从N，O同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.过点B作BC∥x轴交MN于点C，连接AB，AC，设运动的时间为t（s）（0＜t≤4）．（1）OA= cm， BC= cm；（用含 t 的代数式来表示）
（2）是否存在实数t，使得B.A在移动途中，以B，O，A为顶点的三角形与△NOM相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由；
（3）如果△ABC为等腰三角形，直接写出t值为 s.
14.如图，在∠ABC=90中，AB=4cm ，将线段AB绕着点B顺时针旋转90°到BC处，把正方形ADEF绕着点A旋转一周，连接BD ，CE，若已知正方形ADEF边长为2cm.
（1）如图1，请你判断CE与BD的数量关系，并证明你得出的结论；
（2）取线段CE的中点为点M，连接线段FM，请直接写出线段FM的长度的最大值为 cm；（3）若在正方形ADEF旋转过程中，当点F，E ，C 三点共线时，直接写出此时线段BD的长度为 cm.
图1 备用图1 备用图2。