大学物理学第五六章恒定磁场自学练习题

07《大学物理学》第五六章恒定磁场自学练习题(共11页)
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第五章 恒定磁场部分 自学练习题
要掌握的典型习题： 1．
载流直导线的磁场：已知：真空中I 、1α、2α、x
建立坐标系Oxy ，任取电流元I dl ，这里，dl dy =
P 点磁感应强度大小：02
sin 4Idy dB r μα
π=
；
方向：垂直纸面向里⊗。

统一积分变量：cot()cot y x x παα=-=-；
有：2csc dy x d αα=；sin()r x πα=-。

则： 2022sin sin 4sin x d B I x μαα
απα=⎰21
0sin 4I d x ααμααπ=⎰012(cos cos )4I x
μααπ-=。

①无限长载流直导线：παα==210，，02I
B x
μπ=；（也可用安培环路定理
直接求出）
②半无限长载流直导线：παπα==212，，04I
B x
μπ=。

2．圆型电流轴线上的磁场：已知：R 、I ，求轴线上P 点的磁感应强度。

建立坐标系Oxy ：任取电流元Idl ，P 2
04r
Idl
dB πμ=
；方向如图。

分析对称性、写出分量式：
0B dB ⊥⊥==⎰；⎰⎰==20sin 4r Idl dB B x x α
πμ。

统一积分变量：r R =αsin
∴⎰⎰==20sin 4r Idl dB B x x απμ⎰=dl r IR 304πμR r IR ππμ243
0⋅=23222
0)(2x R IR +=
μ。

结论：大小为2
02232
2
032()24I R r
IR B R x μμππ⋅⋅=
=+；方向满足右手螺旋法则。

①当x R >>时，2
2
003
3224IR
I R B x x
μμππ=
=
⋅⋅； ②当0x =时，（即电流环环心处的磁感应强度）：00224I
I
B R
R
μμππ=
=
⋅； B
⊗
R
I dl
Idl
r α
O
B d R
r
B
③对于载流圆弧，若圆心角为θ，则圆弧圆心处的磁感应强度为：04I
R
B μθπ=。

第③情况也可以直接用毕—沙定律求出：000220444I
Idl IRd B R R R
θμμμθθπππ===⎰⎰。

##########################################################################
一、选择题：
1．磁场的高斯定理0S
B dS ⋅=⎰⎰说明了下面的哪些叙述是正确的（
）
(a ) 穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数； (b ) 穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数； (c ) 一根磁感应线可以终止在闭合曲面内； (d ) 一根磁感应线可以完全处于闭合曲面内。

（A ）ad ； （B ）ac ； （C ）cd ； （D ）ab 。

【提示：略】
7-2．如图所示，在磁感应强度B 的均匀磁场中作一半经为r 的半球面S ，
S 向边线所在平面法线方向单位矢量n 与B 的夹角为α，则通过半球面 S 的磁通量（取凸面向外为正）Φ为： （ ）
（A ）2r B π；（B ）22r B π；（C ）2sin r B πα-；（D ）2cos r B πα-。

【提示：由通量定义m B d S Φ=⋅⎰知为2cos R B πα-】
7--2．在图（a ）和（b ）中各有一半径相同的圆形回路1L 、2L ，圆周内有电流
1I 、2I ，其分布相同，且均在真空中，但在（b ）图中2L 回路外有电流3I ，1P 、2P 为两圆形回路上的对应点，则：（ ）
（A ）1
2
d d L L B l B l ⋅=
⋅⎰⎰，12P P B B =； （B ）1
2
d d L L B l B l ⋅≠
⋅⎰⎰，12P P B B =； （C ）1
2
d d L L B l B l ⋅=
⋅⎰⎰
，12P P B B ≠； （D ）1
2
d d L L B l B l ⋅≠
⋅⎰⎰
，12P P B B ≠。

【提示：用
i
l
B d l I μ⋅=∑⎰判断有1
2
L L =
⎰
⎰
；但P 点的磁感应强度应等于空间各电流在P 点产生磁感强
度的矢量和】
n
α
S B
7--1．如图所示，半径为R 的载流圆形线圈与边长为a
正方形载流线圈中通有相同的电流I ，若两线圈中心的 磁感应强度大小相等，则半径与边长之比:
R a 为：（（A ）1
；（B
；（C
/4；（D /8。

【载流圆形线圈为：00242O I I
B R R
μμππ=
⋅=；正方形载流线圈为：)135cos 45(cos 2
44
02o o a I
B -=πμ，则当O
B
B =时，有8:2:π=a
R 】
7-1．两根长度L 相同的细导线分别密绕在半径为R 和r （2R r =）的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管长度l 相同，通过的电流I 相同，则在两个螺线管中心的磁感应强度的大小之比:R r B B 为： （ ）
（A ）4； （B ）2； （C ）1； （D ）
12。

【提示：用0B nI μ=判断。

考虑到2R L n R π=
，2r L n r
π=】 6．如图所示，在无限长载流直导线附近作一球形闭合曲面S ，当球面S 向长直
导线靠近时，穿过球面S 的磁通量Φ和面上各点的磁感应强度B
）
（A ）Φ增大，B 也增大；（B ）Φ不变，B 也不变； （C ）Φ增大，B 不变；（D ）Φ不变，B 增大。

【提示：由磁场的高斯定理
0S
B dS ⋅=⎰⎰
知Φ不变，但无限长载流直导线附近磁场分布为：02I
B r
μπ=
】 7．两个载有相等电流I 的半径为R 的圆线圈一个处于水平位置，一个处于竖直位置，两个线圈的圆心重合，则在圆心O 处的磁感应强度大小为多少 （ ）
（A ）0；（B ）R I 2/0μ；（C ）R I 2/20μ；（D ）R I /0μ。

【提示：载流圆线圈在圆心处为00242I I
B R R
μμππ=⋅=，水平线圈磁场方向向上，竖直线圈磁场方向向里，∴合成后磁场大小为B
7-11．如图所示，无限长直导线在P 处弯成半径为R
则在圆心O 点的磁感强度大小等于：（ ）
(A)
02I R μπ ；(B) 04
I R μ ；
(C) 01(1)2I R μπ- ；
(D) 01
(1)4I R μπ
+ 。

【提示：载流圆线圈在圆心处为00242I I B R R μμππ=⋅=，无限长直导线磁场大小为02I
B R
μπ=，方向相反，合成】
9．如图所示，有一无限大通有电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片左边缘为b 处的P 点的磁感强度的大小为：（ ） (A) 02()
I
a b μπ+； (B)
0ln 2I a b b a
μπ+； (C)
0ln 2I a b a b μπ+； (D) 02[(/2)]
I
a b μπ+。

【提示：无限长直导线磁场大小为02I
B r
μπ=。

若以铜片左边缘为原点，水平向右为x 轴，有：02()
P I
d x
a d B
b x μπ=
-，积分有：000ln 22P a I d x I b B a b x a b a μμππ-==-+⎰。

注意：ln ln b b a b a b +=-+】 10．一根很长的电缆线由两个同轴的圆柱面导体组成，若这两个圆柱面的半径分别为R 1和R 2（R 1<R 2），通有等值反向电流，那么下列哪幅图正确反映了电流产生的磁感应强度随径向距离的变化关系（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
【提示：由安培环路定理0
i
l
B d l I μ⋅=∑⎰知r <R 1时， 1
0B
=；R 1< r <R 2时， 022I
B r
μπ=
；r >R 2时， 30B =】
P
1
2
R 1
1
2
R 1
2
R
11．有一半径R 的单匝圆线圈，通有电流I ，若将该导线弯成匝数N = 2的平面圆线圈，导线长度不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感强度和线圈的磁矩分别是原来的（ ）
(A) 4倍和1/8；(B) 4倍和1/2；(C) 2倍和1/4；(D) 2倍和1/2。

【提示：载流圆线圈在圆心磁场为02I
B R
μ=，导线长度为2R π，利用22'2R R ππ=⨯，有'/2R R =，∴
00'2442'
2I
I
B B R R
μμ=⨯
=⨯
=；磁矩可利用m N I S =求出，∵2S R π=，2''/4S R S π==，∴
'2/4/2m IS m ==】
12．洛仑兹力可以（ ）
（A ）改变带电粒子的速率； （B ）改变带电粒子的动量； （C ）对带电粒子作功； （D ）增加带电粒子的动能。

【提示：由于洛仑兹力总是与带电粒子的速度方向垂直，所以只改变粒子的运动方向而不改变粒子的速率】
13．一张气泡室照片表明，质子的运动轨迹是一半径为的圆弧，运动轨迹平面与磁感强度大小为m 2的磁场垂直，该质子动能的数量级为：（ ） （A ）； （B ）1MeV ； （C ）； （D ）10Mev
【提示：由2/ev B mv R =知221()2e BR mv m =，有1922
427
1.6100.30.110()1.6710
K E e eV --⨯⋅⋅=⨯】 7--3
向右的电流I ，则此半导体两侧的霍尔电势差：（ ） （A ）电子导电，a b V V <；（B ）电子导电，a b V V >； （C ）空穴导电，a b V V >；（D ）空穴导电，a b V V =。

【提示：如果主要是电子导电，据左手定则，知b 板集聚负电荷，有a b V V >；如果主要是空穴导电，据左
手定则，知b 板集聚正电荷，有a b V V <】
15．一个通有电流I 的导体，厚度为d ，横截面积为S ，放在磁感强度为B 的匀强磁场中，磁场方向如图所示，现测得导体上下两面电势差为U H ，则此导体的霍尔系数为：（ ） （A ）H H U d R I B =
；（B ）H H I BU R S d =；（C ）H H U S R I B d =；（D ）H H I U S R B d
=。

【提示：霍尔系数为：1H R nq =
，而霍尔电压为：H I B U nqd =，∴H H U d R I B
=】 16．如图所示，处在某匀强磁场中的载流金属导体块中出现霍耳效应，测得两底面M 、N 的电势差为3
0.310V M N V V --=⨯
强磁场的方向为：（ ）
（A ）竖直向上； （B ）竖直向下； （C ）水平向前； （D ）水平向后。

【提示：金属导体主要是电子导电，由题知N 板集聚负电荷，据左手定则，知强磁场方向水平向前】
17．有一由N 匝细导线绕成的平面正三角形线圈，边长为a , 通有电流I ，置于均匀外磁场B 中，当线圈平面的法向与外磁场方向成60时，该线圈所受的磁力矩M m 为：（ ）
2Na IB ；(B) 2Na IB ；2sin60IB ；(D) 0 。

【提示：磁矩为m N I S =， 2/2S a =，M m B =⨯，∴23sin602NIa B NIa M =
=
】 18．用细导线均匀密绕成长为l 、半径为a （l >>a ）、总匝数为N 的螺线管，通以稳恒电流I ，当管内充满相对磁导率为r μ的均匀介质后，管中任意一点的（ ）
（A ）磁感应强度大小为NI r μμ0； （B ）磁感应强度大小为l NI r /μ； （C ）磁场强度大小为l NI /0μ； （D ）磁场强度大小为l NI /。

【提示：螺线管0r B n I μμ=。

而/n N l =，有0/r B N I l μμ=；又0r B H μμ=，有/H N I l =】
19．如图所示的一细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕而成，每厘米绕10匝．当导线中的电流I 为2A 1T ，则可求得铁环的相对磁导率r μ为(真空磁导率04μπ=⨯（ ）
(A) 796 ；(B) 398；(C)199 ；；(D) 63.3。

【提示：螺线管0r B n I μμ=。

取n =103】
20．半径为R 的无限长圆柱形直导线置于无穷大均匀磁介质中，其相对磁导率为r μ，导线内通有电流强度为I 的恒定电流，则磁介质内的磁化强度M 为：（ ） （A ）(1)2r I r
μπ--
；（B ）
(1)2r I r
μπ-；（C ）
2r I r μπ；（D ）2r I
r
πμ。

【提示：由安培环路定理
i
l
H d l I ⋅=∑⎰知：2I
H r π=，再由0
r
B H μμ=有：02r I
B r
μμπ=
，考虑到0
B
H M μ=
-有：0
(1)222r r B
I I I
M H r r r
μμμπππ=
-=
-=-】 二、填空题
1．一条载有10A 的电流的无限长直导线，在离它0.5m 远的地方产生的磁感应强度大小B 为 。

【提示：由安培环路定理0i l B d l I μ⋅=∑⎰知02I B r μπ=，有：741010
20.5
B ππ-⨯⋅==⋅6410T -⨯】 2．一条无限长直导线，在离它0.01m 远的地方它产生的磁感应强度是410T -，它所载的电流为 。

【提示：利用02I
B r
μπ=
，可求得I =5A 】 7-15．如图所示，一条无限长直导线载有电流I ，在离它d 远的
长a 宽l 的矩形框内穿过的磁通量Φ= 。

【提示：由安培环路定理知02I
B r
μπ=
，再由S B dS Φ=⋅⎰⎰有：
02d b
d
I ld r r μπ+Φ=⋅=⎰
0ln
2I l d b
d
μπ+】 7-9．地球北极的磁场B 可实地测出。

如果设想地球磁场是由地球赤道上的一个假想的圆电流(半径为地球半径R )所激发的，则此电流大小为I = 。

【提示：利用载流圆环在轴线上产生的磁感强度公式：2
02
232
2()
I R B R x μ=
+，有B 。

则
I =0
】
5．形状如图所示的导线，通有电流I ，放在与匀强磁场垂直的平
面内，导线所受的磁场力F = 。

⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
I
1
【提示：考虑dF I dl B =⨯，再参照书P271例2可知：F =(2)BI l R +】
6．如图所示，平行放置在同一平面内的三条载流长直导线， 要使导线AB 所受的安培力等于零，则x 等于 。

【提示：无限长直导线产生的磁场，考虑导线AB 所在处的合磁场为0，有：
00
222()
I I
x a x μμππ⋅=-，解得：x =/3a 】 7.如图所示，两根无限长载流直导线相互平行，通过的电流分别为1I 和2I 。

则
1
L B dl ⋅=⎰
，2
L B dl ⋅=⎰ 。

【提示：L 1包围I 1和I 2两个反向电流，有：
1
L B dl ⋅=⎰
021()I I μ-，而L 2由
于特殊的绕向，包围I 1和I 2两个同向电流，有：
2
L B dl ⋅=⎰
021()I I μ+】
8．真空中一载有电流I 的长直螺线管，单位长度的线圈匝数为n ，管内中段部分的磁感应强度为 ，端点部分的磁感应强度为 。

【提示：“无限长”螺线管内的磁感强度为0n I μ，“半无限长”螺线管端点处的磁感强度为一半：0/2n I μ】
9.半径为R ，载有电流为I 的细半圆环在其圆心处O 点所产生的磁感强度 ；如果上述条件的半圆改为3/π的圆弧，则圆心处O 点磁感强度 。

【提示：圆弧在圆心点产生的磁感强度：04I B R μθπ=
⋅，∴半圆环为04I R μ；3π圆弧为 012I
R
μ】 10．如图所示，ABCD 是无限长导线，通以电流I ，BC 段
被弯成半径为R 的半圆环，CD 段垂直于半圆环所在的平面，
AB 的沿长线通过圆心O 和C 点。

则圆心O 处的磁感应强度 大小为 。

【提示：AB 段的延长线过O 点，对O 的磁感强度没有贡献。

BC 半圆弧段在O 点产生方向垂直于圆弧平面向里的磁感强度：00144I I
B R R
μμππ=⋅=，半无限长直导线CD 在O 点处产生方向在圆弧平面内向下的磁感强度：024I B
R μπ=
，∴B
】 7-12.一无限长导线弯成如图形状，弯曲部分是一半径为R 的半圆，两直线部分平行且与半圆平面垂直，如在导线上通有电流I ，方向如图。

圆心O 处的磁感应强度为 。

2a
【提示：同上题。

半圆弧段在O 点产生方向垂直于圆弧平面向里的磁感强度：00144I I
B R R
μμππ=
⋅=，两个半无限长直导线在O 点处都产生方向在圆弧平面内向下的磁感强度：022I B R μπ=
，∴B
7-11.两图中都通有电流I
半径为R ，则真空中O 左图
O 处的磁场强度的大小为 ， 方向为 ；
右图O 处的磁场强度的大小为 ，方向为 。

【提示：左图半圆弧段：014I
B R
μ=，两个半无限长直导线：0
22I
B R
μπ=
，方向都是垂直于纸面向里，∴B =
00
24I I R R μμπ+；右图1/4圆弧：B =08I
R
μ，方向是垂直于纸面向外，两直导线的延长线都过O 点，对O 的磁感强度没有贡献。

】
13．有一相对磁导率为500的环形铁芯，环的平均半径为10cm ，在它上面均匀地密绕着360匝线圈，要使铁芯中的磁感应强度为，应在线圈中通过的电流为 。

【提示：利用0r B n I μμ=有0r B
I n
μμ=
， 则7
0.15
410500360/20.1
I ππ-=
⨯⋅⋅⋅，解得I =512A 】 7-10．两根长直导线沿半径方向引到铁环上的A 、B 两点，并与很远的
电源相连，如图所示，环中心O 的磁感应强度B = 。

【提示：圆环被分成两段圆弧，在O 点产生的磁场方向相反，圆弧产生磁感强度满足04I
B R
μθπ=
⋅，显然，优弧所对的圆心角大，但优弧和劣弧并联，劣弧的电阻小，所分配的电流大。

圆心角和电流正好相对涨落，也可经过计算得知：B =0】
7-19．电流I 均匀流过半径为R 的圆形长直导线，则单位
长直导线
通过图中所示剖面的磁通量Φ= 。

【提示：在导线内部r 处磁场分布为022I r B R μπ=
，则磁通量0
2012R I r dr R μπ⨯Φ=⎰，经计算知：Φ=04I μπ
】 三、计算题
7-13．如图所示，一半径为R 的无限长半圆柱面导体，沿长度方向的 电流I 在柱面上均匀分布，求中心轴线OO '上的磁感强度。

7-14
彼此平行的线圈构成。

若它们的半径均为均为I ，相距也为R ，则中心轴线上O 、O 的磁感强度分别为多少？
7-25
径为2mm ，磁场为，毫伏表测出血管上下两端的 电压为，血管的流速为多大？
7-29．如图所示，一根长直导线载有电流为I 1，矩形 回路上的电流为I 2，计算作用在回路上的合力。

7-33．在氢原子中，设电子以轨道角动量2h
L π
=
绕质子作圆周运动，其半径r 为115.2910m -⨯，求质子所在处的磁感强度。

（h 为普朗克常数：
346.6310J s -⨯⋅）
I
7-34．半径为R
角速度为ω，求轴线上距盘心x 处的磁感强度的 大小和旋转圆盘的磁矩。

7-35.一根同轴电缆线由半径为R 1的长导线和套在它外面的
半径为R 2的同轴薄导体圆筒组成，中间充满相对磁导率 为r μ（1r μ<）的磁介质，如图所示。

传导电流沿导线 向上流去，由圆筒向下流回，电流在截面上均匀分布。

求 空间各区域内的磁感强度和磁化电流。

8．螺绕环中心周长l =10cm ，环上均匀密绕线圈N =200匝，线圈中通有电流I =100mA 。

（1）求管内的磁感应强度B 0和磁场强度H 0；
（2）若管内充满相对磁导率r μ=4200的磁性物质，则管内的B 和H 是多少？
（3）磁性物质内由导线中电流产生的0B 和由磁化电流产生的B '各是多少？
磁场部分自主学习材料解答
一、选择题： 三、计算题
1．解：画出导体截面图可见：
电流元电流I I
d I Rd d R θθππ
=⋅=， 产生的磁感应强度为：022I
d B d R
μθπ=，方向如图；
由于对称性，d B 在y 轴上的分量的积分0y B =；d B 在x 轴上的分量为：
O
B
x
θ
Rd
02sin 2x I d B d R μθθπ=
，∴00220sin 2x I I
B B d R R
πμμθθππ===⎰。

方向为Ox 轴负向。

2．解：利用载流圆环在轴线上产生的磁感强度公式：2
02
232
2()
I R B R x μ=+，
有O
上的磁感强度：2
000223/2
20.7162[(2)]O IR I
I B R R R
R μμμ=⨯=
=+；
O
1
上的磁感强度：12
0000223/2
0.67722()O I IR I
I B R R R R R μμμμ=
+
=
=+ 同理O 2上的磁感强度产生的磁感应强度也为：200.677O I
B R
μ=。

3．解：洛仑兹力解释霍尔效应的方法是： “动平衡时，电场力与洛仑兹力相等”。

有：H qvB qE =，则/H v E B =；又∵/H H E U d =
33
0.1100.625/0.08210H U v m s B d --⨯=
==⨯⨯。

4．解：由安培环路定律0l
B d l I μ⋅=
⎰知：
电流1I 产生的磁感应强度分布为：01
2I B r
μπ=
，方向⊗； 则回路左端受到的安培力方向向左，大小：
012212I I l
F I l B d
μπ==1；
回路右端受到的安培力方向向右，大小：
012222()I I l
F I l B d b μπ==+2；
回路上端受到的安培力方向向上，大小：010122
ln
22d b
d I d r I I d b
F I r d μμππ++==⎰
3； 回路上端受到的安培力方向向下，大小：010122ln
22d b d I d r I I d b
F I r d
μμππ++==⎰4； 合力为：01201201222()2()
I I l I I l I I l b
F d d b d d b μμμπππ=-=⋅++，方向向左。

5．解：由电流公式q I t =知电子绕核运动的等价电流为：2e I ω
π
=，
由L J ω=知22h m r ωπ=
，有224eh
I mr π=；利用02I B r μ=得：023
8eh B mr μπ=
I
∴71934
231113
410 1.610 6.631012.589.1110(5.2910)B T ππ-----⨯⋅⨯⋅⨯==⨯⨯⨯。

6．解：如图取半径为r ，宽为dr 的环带。

元电流：22dq dq dI dq T ωπωπ
=
==， 而2dq ds r d r σπσ==， ∴dI r dr σω= 利用载流圆环在轴线上产生的磁感强度公式：
2
02232
2()I r B r x μ=
+，有2200223/2
223/2
2()2()r dI
r rdr
dB r x r x μμσω=
=
++
32222
002
23/2
223/2
()2()
4
()
R
R
r r x x B d r d r r x r x μσω
μσω
+-==
++⎰⎰
，有：
22
02)2
B x μσω=
-，方向：x 轴正向。

磁矩公式：m I S n =
如图取微元：2d m S d I r r d r πσω==
4
2
04
R
R m d m r r d r πσωπσω===
⎰⎰，方向：x 轴正向。

7．解：因磁场柱对称，取同轴的圆形安培环路用公式l
H dl
⋅⎰当10r R <<时，2
12
12r rH I R πππ=，得：1212r I H R π=； 当12R r R <<时，22rH I π=，得：22I H r
π=；
当2r R >时，320rH π=，得：30H =；
考虑到导体的相对磁导率为1，利用公式0r B H μμ=，有：
012
12r I B R μπ=
，022r I
B r
μμπ=，30B =。

再利用公式0
B
M H μ=
-，得：10M =，2(1)2r I
M r
μπ-=
，30M = 则磁介质内外表面的磁化电流可由s l
I M d l =
⋅⎰求出：
当1r R =时，磁介质内侧的磁化电流为：11(1)2(1)2r si r I
I R I R μπμπ-=
⋅=-；
当2r R =时，磁介质外侧的磁化电流为：22
(1)2(1)2r se r I
I R I R μπμπ-=⋅=-。

8．解：（1）由7500200
4100.18100.1
B n I T μππ--==⨯⨯⨯=⨯， 而0200
0.1200/0.1
H n I A m ==⨯=； （2）若4200r μ=，则：54200810B T π-=⨯⨯，0200/H H A m ==； （3）由0'B B B =+，有50'4199810B B B T π-=-=⨯⨯。