高中数学 第三章 函数的应用章末整合提升课时作业(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学

第三章 函数的应用
章末整合提升
A 级 基础巩固
一、选择题
1．函数f (x )＝x 2
－3x －4的零点是( D ) A ．(1，－4) B ．(4，－1) C ．1，－4
D ．4，－1
[解析] 由x 2
－3x －4＝0，得x 1＝4，x 2＝－1.
2．在用二分法求函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0的过程中，取区间(a ，b )上的中点c ＝
a ＋b
2
，若f (c )＝0，则函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点x 0( D )
A ．在区间(a ，c )内
B ．在区间(c ，b )内
C ．在区间(a ，c )或(c ，b )内
D ．等于
a ＋b
2
[解析] 根据二分法求方程的近似解的方法和步骤，函数f (x )在区间(a ，b )上的唯一零点，x 0＝
a ＋b
2
，故选D ．
3．某工厂2018年生产某种产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开始超过12万件？( C )
A ．2026年
B ．2027年
C ．2028年
D ．2029年
[解析] 设经过x 年这种产品的年产量开始超过12万件，则2(1＋20%)x
＞12，即1.2x
＞6，∴x ＞lg6
lg1.2
≈9.8，取x ＝10，故选C ．
4．(2019·某某某某市高一期末测试)函数f (x )＝2x
＋x －4，则f (x )的零点所在的大致区间是( B )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ．(2,4)
D ．(4，＋∞)
[解析]f (0)＝20
－4＝－3<0，
f (1)＝2＋1－4＝－1<0， f (2)＝22＋2－4＝2>0，
∴f (1)·f (2)<0，故选B ．
5．向高为H 的水瓶中注水，若注满为止，注水量V 与水深h 的函数关系图象如图所示，那么水瓶的形状是( B )
[解析] 解法一：很明显，从V 与h 的函数图象看，V 从0开始后，随h 的增大而增大且增速越来越慢，因而应是底大口小的容器，即应选B ．
解法二：取特殊值h ＝H 2，可以看出C ，D 图中的水瓶的容量恰好是V
2，A 图中的水瓶的容
量小于V
2
，不符合上述分析，排除A ，C ，D ，应选B ．
解法三：取模型函数为y ＝kx 1
3
(k >0)，立即可排除A ，C ，D ，故选B ．
6．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A )
A ．3 m
B ．4 m
C ．5 m
D ．6 m
[解析] 设隔墙的长度为x m ，即矩形的宽为x m ，则矩形的长为24－4x 2m(0<x <6)，∴
矩形的面积S ＝x ·24－4x 2
＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2
＋18，
∴当x ＝3时，S max ＝18.
∴当隔墙的长度为3 m 时，矩形的面积最大，最大为18 m 2
. 二、填空题
7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
12x －7x <0
x x ≥0
，f (a )<1，则实数a 的取值X 围是__(－3,1)__.
[解析] 当a <0时，(12)a －7<1，即2－a <23
，
∴a >－3，
∴－3<a <0；当a ≥0时，a <1， ∴0≤a <1.
综上可知－3<a <1.
故实数a 的取值X 围是(－3,1)．
8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的3
4，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗
的次数是__4__(lg2≈0.301 0)．
[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1
100，
∴x ≥1
lg2≈3.322，所以需4次．
三、解答题
9．某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每X 收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每X 减少10元，直至每X 降为450元为止．某团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．假设一个旅行团不能超过70人．
(1)写出每X 飞机票的价格关于人数的函数关系式； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解析] (1)设旅行团的人数为x ，机票价格为y ，则：
y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
9001≤x ≤30
900－x －30·1030＜x ≤70
，
即y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
9001≤x ≤301 200－10x 30＜x ≤70.
(2)设旅行社可获得利润为Q ，则
Q ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
900x －15 0001≤x ≤3012 000－10x x －15 00030＜x ≤70
，
即Q ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
900x －15 0001≤x ≤30－10x 2
＋1 200x －15 00030＜x ≤70.
当x ∈[1,30]时，Q max ＝900×30－15 000＝12 000(元)， 当x ∈(30,70]时，Q ＝－10(x －60)2
＋21 000， 所以当x ＝60时，Q max ＝21 000(元)，
所以当每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21 000元．
B 级 素养提升
一、选择题
1．方程4x
＝4－x 的根所在区间是( B )
A ．(－1,0)
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(2,3)
[解析] 由4x
＝4－x ，得4x
＋x －4＝0，令f (x )＝4x
＋x －4， ∴方程4x
＝4－x 的根即为函数，f (x )＝4x
＋x －4的零点，
f (－1)＝4－1－1－4＝－194
<0，f (0)＝40－4＝1－4＝－3<0， f (1)＝4＋1－4＝1>0，f (2)＝42＋2－4＝14>0， f (3)＝43＋3－4＝63>0，
∴f (0)·f (1)<0，故选B ．
2．一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( A )
A ．①
B ．①②
C ．①③
D ．①②③
[解析] 由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．
3．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系式分别是f 1(x )＝x 2
，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x
，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( D )
A ．f 1(x )＝x 2
B ．f 2(x )＝4x
C ．f 3(x )＝log 2x
D ．f 4(x )＝2x
[解析] 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x
，故选D ．
4．中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议认为，至2020年全面建成小康社会，是我们党确定的“两个一百年”奋斗目标的第一个百年奋斗目标．全会提出了全面建成小康
社会新的目标要求：经济保持中高速增长，在提高发展平衡性、包容性、可持续性的基础上，到2020年国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番，产业迈向中高端水平，消费对经济增长贡献明显加大，户籍人口城镇化率加快提高．设从2011年起，城乡居民人均收入每年比上一年都增长p %.下面给出了依据“至2020年城乡居民人均收入比2010年翻一番”列出的关于p 的四个关系式：
①(1＋p %)×10＝2；②(1＋p %)10
＝2； ③lg(1＋p %)＝2；④1＋10×p %＝2. 其中正确的是( B ) A ．① B ．② C ．③
D ．④
[解析] 设从2011年起，城乡居民人均收入每一年比上一年都增长p %，由题意，得(1＋p %)10
＝2，故选B ．
二、填空题
5．函数f (x )＝x 2
－3x ＋2a 有两个不同的零点，则a 的取值X 围是__(－∞，98)__.
[解析] 令x 2
－3x ＋2a ＝0，由题意得Δ＝9－8a >0， ∴a <98
.
6．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m 2
；
③设野生薇甘菊蔓延到2 m 2,
3 m 2,
6 m 2
所需的时间分别为t 1，t 2，t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．
其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)． [解析]∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，
∴指数函数的底数为2，故①正确； 当t ＝5时，S ＝32>30，故②正确； ∵t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26， ∴t 1＋t 2＝t 3，故③正确；
根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确． 三、解答题
7．已知关于x 的二次方程x 2
＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值X 围．
[解析] 由题意知，抛物线f (x )＝x 2
＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，可以画出示意图(如图所示)，
观察图象可得⎩⎪⎨⎪⎧
f
0＝2m ＋1<0f
－1＝2>0f
1＝4m ＋2<0f
2＝6m ＋5>0
，
解得－56<m <－1
2
.
所以m 的取值X 围是(－56，－12
)．
8．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q
10
，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．
(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
[解析] (1)由题意可知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，∴5log 2Q 10＝0，∴log 2Q
10＝0，
∴Q
10
＝1，∴Q ＝10.
∴当燕子静止时的耗氧量是10个单位．
(2)由题意可知，当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度v ＝5log 280
10
＝5log 28
＝5×3＝15.
∴它的飞行速度是15 m/s.
9．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．
(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值；
(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值X 围．
[解析] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m
，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx (1－x m
)(0<x <m )．
(2)y ＝kx (1－x m )＝－k
m (x 2
－mx )＝－k m (x －m
2)2
＋km
4，∵0<x <m ，
∴当x ＝m 2时，y 取得最大值km
4
. (3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .
因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km
4<m ， 解得－2<k <2.
又因为k >0，所以0<k <2.。