(完整版)(完整版)2018年(第59届)国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题及答案图片版

岁马尼亚克卢日蜻沐卡
第一天
«1. itΓ<HΛ三角砒4〃C的外44圈・点D和EAru殳/CAC上∙^nAD ≈ AEφ BI)^CE的•克羊分线⅛Γ上劣弧AB AC分別文于点FG im ADE⅜FG1 ⅛A÷*t•
⅛ 2.求所有的整4⅛□23∙便俗存在实软5皿2.・・・.<¼+2∙滿足"*ι = <M∙ 5∙2 Ua2异且
<≡∙<<∙⅛1 + 1 = α∣÷3
— 1.2. - - ■” 戍立・
題3・反忖斷卡三蔦砒是由铁俎戎的一个正三角外障•港足除了鬟下方一行.孕个敦是它下方相你两金铁之屋的绘对值•例*\下而是一金四忡的反恤浙卡三角耐・由Hl MlO tt⅛.
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8 3 10 9
请MΛ5 4Λ2018fτ的反帕浙卡三 E 包含IMl +2十・∙∙ + 2018所亦的蹩典？
鈿二夭
« 4.我们呀谓一个（IJL是斯d角坐栋丰而上的一个A（X.,V）∙乳中工・"需足不雄述20的正史软.
最初时•所有400个位豆那是空的.甲乙两人轮濃霖放石子•由甲先遗ft∙毎次伦刘甲时.他41 一个空的住I±Λ±-¼*的化也若子•要求任急两金红己石子舸息<1 Jt之问的距离都不#于％・每次伦刘乙片•他/1任直一个空的CiJt上崔上一个M6⅛2Lt>&子.（Jl色石子所在位直与戻它石于所在位直之问雎禹可以是任倉值・）4此UAitfTT去直至某金人无法再霖放石子•
试确岌遥大的位再无论乙知何报就這色若予.Y⅛*Ef⅛Ui∙>∙4X⅛K个红已若子・
« 5. Ha i.a2.…走一个>LfPil正整软斥列.已知4在於敦N>l∙使碍对每个^Kn > .V t Oi i o2 . I Q*1“ I OH
――+ — + ・• • + ・■■■・ + —。

2 «3 O VVα∣
杯聂怙It・证明：存在正蟄软M∙ Btflhi fn=JH1对所・
& 6・在凸WriJfMBCDt. Ali CD IiC DA•点X息旧边刑力〃CD内邹.且爲足
ZXAB = £XCD・ GiBC = Z.YD4
£BXA・ ZDXC 180°.
岁马尼亚克卢a纳波卡
第一天
& Iitrltit 角三佝刑的外按IB •点D^EtLr（HAI3. AC ^AD ≡ AE9 RD^CE的金A 丰分圾
和「上劣弧分別支于点F.O.诵明：AnDf和FG宜合Λ÷fτ・
«&＜）迄明：HFG分刖文AD. AC于工¥・
DE Il FG ^AX≈ AY Q ^AXY = ΔAYX Q 応+ 鋅=伸+ & (1)Λ
MMn
⅛S. RF5∣∣.4H, GT ∣∣ AC9尺中S-TtL O上.
(I)^AG-CG^AF-BF^G(2) 由TFβ≡FD t 4FS H AB9比ZFDHHZFBD ■ ZSAB.
∣∣ AS.
^FS Il AD. it,ΛDFS是平片B边财.^fI^^AEGT ・
t^(rΓ≈ AE≈ Al)≈ FS.即七亍=昂・i£毕.
& 2・求所育的整IUl 2 3∙ ft flf 4,Λ 实Jt<lR,<>2∙…4r∙+2∙ 4 Jt<∕n÷i 1 2- OB <1n÷2 ≡ o2 WsL
α∣<f∣⅛l ÷ 1 ≡ df>3(D
对Mlri ■ 1,2■ (2)
(⅜ M) W: ***⅛n⅛3∣n.
1 诗先哆3恤时∙*∕fl = J 3p»prr：
(2即
2 苦存在il样的ttM. H
<*i<>i÷l<∣i⅛2 + rt<÷2 ≡ O?+J
所以
VB R Vl
J2∏fαf>ιαt+2 + $2*2 ≡ £昭2
<3
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v*l VVl ∙wl
4<φΛΛi4tαl.u
<ii.ia9a t>ι ÷a1-ι = a∙.∣∏∙⅛2
所以
Vl VB n
J2∏l.∣a i∕i l4 1 ÷y^Q⅜ I ≡ J2<l∣1Λ∣⅛J ∙≡l∙≡i t∙l
炜合©■③如
算⅝⅝
∑a? ∙∑a∙σ∙÷3 = °
i≡l
ft
J2(a t∙βl+3)2 =O
所以
∏∙ = a∙÷3. Vt=^a I= a l^
3{n a l = a∣4∣ => a∣= ∏j = • •・=<ιtl
呀以Qf + 1 = a∣t场“f ÷ I > Qf9矛盾.
*t3∣h.
« 3.反忖斯卡三A<)⅞⅛ltfti⅛.*⅞-个正三血彫阵•满足除了最下方一疔.*个敘足它下方柏邻两个铁之& 的纶対值・例如•下而是一个四忡的反柏斯卡三鳥彭.由Hl «10俎贞.
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请问走否A<12()18忖的反袖斯卡三角前.包含Ifll +2÷・・・+ 2018所有的K t It?
(F Ifr) M：蹩圧糾1]
ilwft4H*τ卡三角的中的做为X M U =I.∙∙∙ ∙nj = 1.・・・*逼推方悝为
X M = l x∙÷lj " ∙rι÷i√*ll
令(1] »析为A-疔的呛一的软.⅛⅛⅞⅛a l.δ,.2 < 1 < /1 ⅛T: O l为叫7下方帕你两个It中校大的4t∙ b l⅛a i.1 T方两个做中较小的做∙Φl‰.-∣=<ιt-6.. HTftUfn = 2018. Λ%⅞Λ范国{12…,5+1)/2} 的员特斯卡三角彫.有
% = 6“ ÷⅛-∣ +・•・+切十析
<⅛H61J = 1,∙∙∙√∣互不相円.及规定的∕tl≡uπ<n(n + l)∕2,可知必有
n∏ = ∏(n + 1)/2. {fc l wi =】■・・・.〃} = {12・・・■”}・
⅛><iLW l,m t分别为Ih什的讥大微岛豪卜數・T⅛Λft≤ Λ∕l^∣-miM∙ B)此
∏(n + 1)/2 > .V tl > rwπ + Tn il-I + ・・・+ ∕n l> 1 + 2 + ••・ + 〃
可舫爭号必热战立∙Zi合前面的传计• <
δl≡ m o a f≡ Λ∕l
剂且有关于的仕计
Λ∕I=Λ∕R-6Λ-6Π-1 ------------------- 6l七S rI s4U)∕2-(1+2 +•・• +n-0 = (2“ 一i + l"∕2(1)
Sn= {1∙2.∙ ∙ ・”}, Be = {n{n + 1)/2-Jj = (K 1.・・・・“}
S wΛ*小的川个做.tfπΛ*k的” + 1金4U巳舫等疔有一介S fl中的做(ft>⅛>∙
齐机(A V几)行有两个“歼中的M, W^r ^λ.n^⅛tj€ B n.i<j99¼*j."jΓH∣•■和中絞大MATΛ∣t絞小做*于Sj χt÷u.r^ι^ι*H大做属于3fl∙ HΦft<TS fl.体合M面*片只有一个S lI中的IL必有
< + 1 ≡ J∙ ^⅛÷∣.∙ € Bz x⅛⅛∣,∙⅛∣€ SZ Xfc⅛∣,∙≠3 € B tt
就是Itii腐个“八中的uα⅛中位耳必黒恂伟∙⅛H*A + 1 M也出观腐卜〃八中做•梧标冋隔为1∙若要不与剛∙∣u>fl*⅛⅛w^∕β.只½<A ≡r*-L
**>>tf有腐俎相邻的“科中的做・例如％2M"M"""∙I∙ »1
X n-I e t = ∣^R.∣tl —x r∙.∙l € S rl•才Il-IJ = IXelJ♦' —J*R.J I€Sn
与不絶有的个S fl中缴*∕fi∙ ¼t. ^ntt不徒有两値相籽的B”中毀•根擔轴屈原別•可J W>∣∕2+l¼ββ中铁•总的来说∙M⅛(⅛ < n- l)fr至多一个久中软：^n-I H∙i>2个B rl中ft: Mn ¼Γ至釦“2 + 1个氐中*•
α.⅛<Λ∕l∈Z∕HΨ的茂小r为几叫林P-I厅屮做員丸值期不為于几.计算心中的做4务打的金做总和碍到
/1 ÷ 1 ≤n-p+l÷l + n/2
P<∏∕2 + l
WMK M中软的范HL只刖P的储计R (JjJ) <
n(n - 1)/2 ≤ Λ/F< ∏2w -p + l)∕2< (n÷ 2)3rι∕8
” = 20IH帝入爰倉的久子•左名腐边矛ΛL
不4a∏ ≡ 2018⅛. *{L2.∙∙・∙ w(rc + 1)/2}构戎的反帕新十三角砒• a：
•it丈中的汎明实环丄时父多的〃邯*止・
•Il 文4<中AjA絶卡三角砒戟称勺EXnCt Ditfρr<fc∣ι<v TVUU>gk∙.
•事題我只做対发足砾个4£向上的⅛⅛ftM.
∣)∣ CJ-ChalIX, M-CJI IL KΛV.Lilι an<i T.C∙Shk∙b t44EXaCt DiflerenCe 1>iangl<√,. BUlkiin Of the InMHUte Of MathematiCS AeadellIia SinICa. ValUlnC 5. NIlInlMT L JUDe 1977
第二天
« 4.典们短谓一个<1JL<J8直角坐标平面上的一个A(X,y)t其申爪“栽是不规过20的正蹩It・
灵初时•网IrJOO个位亶林是空的.甲乙两人轮滾擢祓石于.⅛rt4⅛.豪次轮刘甲时.他從一个龙的住厦上霖上一个新的fci>&子.要求任龙两个红邑石子两在位:f之河的距需泰不等十方・毎次轮例乙叶.他息任龙一个空*⅛at±Λ±一个拥的基邑若子.(直邑若子侨在IiJL与K它石子所AfiJt之问尤离可以是任急值・〉4此这4t⅛1r下去个人无法再孫放石于.
认埼定it 大的IMtK∙使垮尢论乙如何播菽抵邑石子•甲总能保证无少疾就人4红己石子.
(F 坤)
M: K = 100・
t<,4∣αi(^y)⅛χ÷ w ⅜m∙⅛ifri.距离为V^的网个(XM 畀邑严保持息一付無邑的位IL 中揺上红色若 子∙ ±∙y*t⅛此色一半位直隹上红邑若子•于是可以∕∣MI ∞个如邑若子.
*4«4的方4&4IaK 分眞Jil. ⅜Λ4⅜Λ4√i 为一介J≡l:
(1.1).(2.3).(3.2).(4.4)
(1.4),(2t 2),(3.3).(4,1)
(1.2h(2.4)J3.1).(4.3)
(1.3),(2.1).(3.4).(4.2)
4⅜∣x*的分俎扩展剑2u∙2υ的网布位耳.*号次@某姐屮某<ii«上红也乙于•則乙@同俎中⅛βiαx⅛±i 包名于円俎申件对脇眄个(Xjt 柜离⅛√5.闽此过样乙可以<⅜i* V A⅜⅛i >JX -÷子.
« 5. itu ∣.αj .∙∙•赴一个无鼻瑁正1Ht4∙列•己铀存庄5?數・¥ > I.使flFH⅜个蹩隸〃2"・
諒是弘做・υt 明：44IiLtfttA/.便得％■=“*!廿所有JMtM 2 M 那此立・
适明：将时应于舁和n÷l*⅛∣⅜个人于相电可以埒別∙ M 所有H 2 N ・
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<∣n÷l<ll | «n«l + (θf>÷i -QM)W ≥ N
议⑹的療囚子鼻合为P∙ a 9n ∖a n ħa 9l A 大的与a 】互索的园于•即g 的不息P 中的余软*次因子翼帜.显 ⅛(<∙oι) ≡ 1 由(3∙
0n41 I β∏°i∙ n a w⅛l I a W
a 此jV)4A t 4tΛTtft.
ft/>€ PΛa ∣W -个素囚予• @1中三个分式的和为JHt∙苛麻每个分式分予分母的素囚子*次.用OGr)表 ^x*¾4tw 子彖次・其 ψ*x≡u m∕nΛ⅛Λtt ・ Hr P (X)- r p (m) e>(n) T½ ⅛ « tt .X÷ 分犬的务勺 ⅞Mt. Λ 素因干"的孤次必有下Jb 悄况之一发生
• ,式的p*次皆为非■整铁：
•三个分式的P*次育肉软・凡中弃两个黃小的QK 必Λ*afl:
Hf 况•我们耳対
%(Qfi+ι) < v p (a π)t ι>(a π) > V F {<J I ), r F (a fl4.l ) > t>(a ∣) —、一 Mβ∙t) + r F (Ol) »(如.1) = J ---------- τ-c ------
∣>(∏H÷1) = !>(««)
<>K⅛∣
) ≡ <>(<^1)M 于第二甘恰况.楓修碎两个分Λ*¾P <次枷冋•可件列几个关系人
⑴
(5) (G)
⑺
哎种卅砒才絶文他发±.M H≥N∙弄卅砒补甘经发生.则以后的斤砒仙MqTH等价•达时t>(oj>∣tft Tι∙>ι):苦悄射10不*发土.时于另外三什悄外•他对tt∣t>(αj 耳((U)I不增•凶此枚效于非家倉整ft楼证当U)-<>(<h)与作(各)一作("ι)异号时.⅜⅜[⅞∣⅞4不成.立因此∣⅛(αll)-ι⅛((∣∣)4tM9即厂P(M f J收放十常软
ItP中的有FlI个f ftp. Man) ⅛4tΛ于*软・B⅛αnΨP的索Wf^次来奴邯分<ιrι∕必收效•处合前面所i∣t<<*⅞Λft1t.可⅛απWΛ.丹存H足的Z 2 N. ltl∣*ttfHm > M. <
ttm÷l = Om
«6. Λ凸日边M/UK©中，04・点XU四边刑冲内部• 2滿足
ΛU≡ ZXCD. ΔXBC≡ ZXDA
证明：Z∕yX-4÷Z∕λYC= 18（尸
适明：作F.Z使ff∆%rc- Δ∕1DX<BXA. «•]（JR龙江AKtt）
Rjt ZXFC = ΔΛDX ≡ EXBC、ΔXZD = ZX4H « ZXCD XF YC XC XD DZ XZ
侨以反X. C. r*DS・D、X、C. Z共IS 所以U
也勒密定及
〃、・cx = BOXY - IiX Cy
AX IJY + BX DX = ΛD DC
XY CX + BX CZ二ΛD CD
^ZAXD^/BXC > XiM tt9ħ/IiXC > ZXBY. W/t¥?< OT. 所以< 丽.XC < BY: RJfZC < DX.所以
ΛD BC- AX BY + IiX DX
>AX CX + BX ・ DX
>AX CX + BX ・CZ
AB CD于府
Z/LVD + ZB-VC < ISO o HRJT
炜上匕儿丫〃 +Z3XC= ISO°・。