关于常系数线性微分方程组特解的求法
常系数线性微分方程特解复数求法的一点注记
常系数线性微分方程特解复数求法的一点注记高鹏霞;赵临龙【摘要】对于常系数非齐次线性微分方程L[x]]=dnx-dtn+a1(t)dn-1x-dtn-1+…+an-1dx-dt+an(t)x=f(t) (1)若λ=α±βi为(1)的特征方程的k重根时,则方程(1)的特解-x的满足以下结论:结论 1对于方程(1),若L[x]=f(t) =Pm(t)exsinβt(Pm(t)为m次多项式),则特解-x=tkAm(t)e(α+βi)t(Am(t)为m次待定多项式)为复数方程L[x]=f2(t)=-iPm(t)e(α+βt)t所对应特解的实部；若L[x]=f(t)=Pm(t)eαcosβt,则特解-x为方程（2）所对应的特解的虚部.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2012(032)001【总页数】1页(P27)【作者】高鹏霞;赵临龙【作者单位】安康学院数学与应用数学研究所,陕西安康725000;安康学院数学与应用数学研究所,陕西安康725000【正文语种】中文对于常系数非齐次线性微分方程若λ=α±βi为（1）的特征方程的k重根时，则方程（1）的特解的满足以下结论：结论1 对于方程（1），若为m次多项式），则特解为m次待定多项式）为复数方程所对应的实部；若L[x]=Pm (t )eαtcosβt ，则特解x为方程（2）所对应的特解的虚部.结论2 对于方程（1），若为m次多项式），则特解为m次待定多项式）为复数方程所对应特解的实部；若L[x]=f(t)=Pm (t )eαtsinβt ，则特解x为方程（3）所对应的特解的虚部.例 [1] 解方程x′′+9x =tsin3t.解特征方程λ2+9=0有根λ1,2=±3i ，因此，对应的齐次线性微分方程的通解为x=c1cos3t +c2sin3t ，其中：c1，c2为任意常数.对于特解，构造复数方程L[x]=te3it ，由于λ=±3i为单根.根据结论1～2，特解有2种解法.方法1 若将作为的实部，则可构造复数方程x′′+9x =-i te3it ，则经化简得由结论1得特解方法2 若将作为的虚部.由结合结论2得特解综上所述，x′′+9x =tsin3t 的通解为【相关文献】[1] 王高雄，周之铭.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2004。
常系数线性微分方程组解法
dy (1) dx = 3 y 2 z , 例1 解微分方程组 dz = 2 y z . ( 2) dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得 式得
1 dz y = + z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz = 2 + , 两边求导得， 两边求导得， dx 2 dx dx
原方程组的通解为
1 y = ( 2C1 + C 2 + 2C 2 x )e x 2 , z = ( C + C x )e x 1 2
d 用 D 表示对自变量 x求导的运算 , dx
例如， 例如， y
(n)
+ a1 y ( n 1 ) + L + a n 1 y ′ + a n y = f ( x )
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 类似解代数方程组消去一个未知数 消去 x
(1) ( 2) × D :
x D3 y = et , ( D 4 + D 2 + 1) y = De t .
4 2 t
(３) ３ (４) ４ (５) ５
( 2) ( 3) × D :
即
( D + D + 1) y = e
二、常系数线性微分方程组的解法
步骤: 步骤: １． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 解此高阶微分方程, 函数. 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数． 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
代入(1)式并化简 把(3), (4)代入 式并化简 得 代入 式并化简,
一类n阶常系数线性微分方程特解的求法
y
( n)
= A
k= 0
Cn ( x =
k
s+ r
)
( k)
(e ) Cn ( x
k
x
( n- k )
, n = 1, 2, (e )
x ( n- k )
n
Ln [ y ]
n- 1
A{
k= 0 s+ k
s+ k
)
( k)
a1
k=0
C n- 1 ( x
x 0
k
)
( k)
(e )
0
x
( r)
C s+ rF ( ) x
( s+ r)
s+ r- 1
+
( s 是非负整数, 且 s < n ) ( 0) ( 1) 的特征 方程是 F ( ) = 0. 若 F ( ) , F ( ) , F
(2)
+
+ + C s+ r F
s+ r
( )x +
( )}
( ),
,F
( s+ r)
( ) 中F
= Ae {[ C n
n
+ a 1 C n- 1
n- 1
+ an- 1 C 1 a +
收稿日期 : 2005- 10- 16 基金项目 : 江西省高等学校教学改革研究 省级立项课题 常微分方程 开放题的设计及其教学 作者简介 : 曾菊华 , 赣南教育学院数学系讲师 , 主要 从事数学专业课程的教学研究 .
-x
4 xe ( cos x + i sin x ) = 4x e 的 一 个特 解: 4 3 2 F( ) = - 4 + 12 - 16 + 12, F ( 1+ i) = 0, F ( 1+ i) = 8i
常微分方程的特解法
常微分方程的特解法在数学中，常微分方程是研究变量是一个实数的函数的方程。
它在自然科学、工程学、经济学和金融学等各个领域都有广泛的应用。
通常我们研究的是方程的一般解。
但在实际问题中，我们有时需要求解一些特殊情况下的特解，以满足具体问题的需要。
常微分方程的特解法就是为了让我们能够快速有效地求解这些特殊情况下的解。
一、常变系数一阶线性微分方程在常变系数一阶线性微分方程中，我们通常使用变量分离法解方程。
通常情况下，常微分方程的一般形式为：$$y'(x)+p(x)y(x)=q(x)$$其中p(x) 和q(x)都是已知函数。
我们可以将这个方程变形为：$$\frac{dy(x)}{dx}+p(x)y(x)=q(x)$$我们将y(x)单独放在等式左边，将x 和y(x)的导数单独放在右边，即：$$\frac{dy(x)}{y(x)}=q(x)-p(x)dx$$对于等式右边的积分：$$\int q(x)-p(x)dx$$我们可以得到：$$y(x)=Ce^{-\int p(x)dx}+\int q(x)e^{-\int p(x)dx}dx$$其中C是我们特殊情况下的常数。
二、常变系数二阶线性微分方程对于常变系数二阶线性微分方程的求解，我们通常使用特征方程法、变换法和特殊函数法。
这里我们介绍一下特征方程法。
对于形如下面这个方程的常变系数二阶线性微分方程：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$$我们先将这个方程变形，得到：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0$$然后我们构建特征方程：$$r^2+p(x)r+q(x)=0$$通过求解这个方程的解r，我们可以得到y(x)的一个通解：$$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$$其中$y_1(x)$和$y_2(x)$是方程$r^2+p(x)r+q(x)=0$ 的两个线性无关解。
消元法求解常系数线性微分方程组
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微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解
微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
其中，二阶常系数线性微分方程是一类常见且重要的微分方程类型。
在本文中，我们将探讨如何求解二阶常系数线性微分方程以及特解的求解方法。
首先，我们来了解一下什么是二阶常系数线性微分方程。
二阶常系数线性微分方程的一般形式为：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = f(x)$$其中，$a$和$b$是常数，$f(x)$是关于自变量$x$的函数。
这个方程中的未知函数是$y(x)$，我们的目标是求解$y(x)$的表达式。
要求解二阶常系数线性微分方程，我们可以先求解其对应的齐次方程，再找到特解，最后将齐次方程的通解与特解相加得到原方程的通解。
齐次方程是指当等号右边的$f(x)$为零时的方程，即：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$齐次方程的解可以通过特征方程来求解。
特征方程是将齐次方程中的导数项全部移到左边，并将未知函数$y(x)$表示为指数函数$e^{rx}$的形式得到的方程。
假设$y(x) = e^{rx}$，代入齐次方程中得到：$$r^2e^{rx} + are^{rx} + be^{rx} = 0将$e^{rx}$提取出来得到：$$e^{rx}(r^2 + ar + b) = 0$$由指数函数的性质可知，$e^{rx}$不可能为零，所以我们得到一个关于$r$的二次方程：$$r^2 + ar + b = 0$$解这个二次方程可以得到两个不同的解$r_1$和$r_2$。
这两个解可以是实数或复数。
根据这两个解，我们可以得到齐次方程的通解：$$y_h(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$$其中，$C_1$和$C_2$是常数。
接下来，我们需要找到二阶常系数线性微分方程的特解。
特解是指使得原方程成立的一个特定解。
微分方程常系数与特解
微分方程常系数与特解微分方程是数学中一个重要的概念，它描述了函数之间的关系。
其中，常系数微分方程是一类特殊的微分方程，其系数在整个方程中都是常数。
本文将介绍常系数微分方程的基本概念和求解方法，并讨论特解的概念和求解方法。
一、常系数微分方程的概念常系数微分方程是指方程中的系数都是常数的微分方程。
一般形式可以表示为：\[a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_1y' + a_0y = f(x)\]其中，$y^{(n)}$表示$y$对$x$的$n$阶导数，$a_n, a_{n-1}, \dots , a_1, a_0$都是常数，$f(x)$是已知函数。
二、常系数微分方程的求解对于常系数微分方程，我们可以通过特征方程的方法求解。
首先，我们假设$y=e^{rx}$是方程的一个解，其中$r$是常数。
将$y=e^{rx}$代入微分方程，得到：\[a_nr^n e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1} e^{rx} + \dots + a_1 re^{rx} + a_0 e^{rx} = f(x)\]由于$e^{rx}$的指数和系数都是常数，所以可以整理得到：\[(a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0) e^{rx} = f(x)\]由于$e^{rx}$是一个非零函数，所以上述方程成立的前提是：\[a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0\]这个方程称为特征方程。
解特征方程可以得到一系列的根$r_1, r_2, \dots, r_n$。
接下来，我们可以将这些根代入$y=e^{rx}$，得到方程的一组基本解，即：\[y_1=e^{r_1 x}, y_2 = e^{r_2 x}, \dots , y_n = e^{r_n x}\]这些基本解是方程的通解的一部分。
常系数线性微分方程组的解法
A k ck ,
t c,
k!
k!
而数项级数
A k ck
k 1 k !
收敛 .
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
(1) 若AB BA,则eAB eAeB. (2) 对任何矩阵A, (exp A)1存在,且
(exp A)1=exp(-A). (3) 若T是非奇异的,则
exp(T-1AT ) T-1(exp A)T.
,
0.
常系数线性方程组
例4
试求矩阵A=
2 1
1 4
特征值和特征向量.
解 特征方程为
det(
E
A)
1
2
1
4
2
6
9
0
因此 3为两重特征根, 为求其对应的特征向量
考虑方程组
1
(E A)c 1
1 1
c1 c2
例3
试求矩阵A=
3 5
5 3
特征值和特征向量.
解 A的特征值就是特征方程
det( E
A)
5
3
5
3
2
6
34
0
的根, 1 3 5i, 2 3 5i.
常系数线性方程组
对特征根1 3 5i的特征向量u (u1,u2 )T 满足
§4.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t), dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在
4.2常系数线性微分方程的解法
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2,, k ,
第二步: 计算方程(4.19)相应的解
(a) 对每一个实单根 k , 方程有解 ekt ; (b) 对每一个 m 1重实根k ,方程有m个解;
ekt , tekt , t 2ekt ,, t m1ekt ;
(
A(2) 0
A1(2)t
A t )e (2) k2 1 2t k2 1
(
A(m) 0
A1(m)t
A t )e (m) km 1 mt km 1
0
P1(t)e1t P2 (t)e2t Pm (t)emt 0
(4.27)
假定多项式 Pm (t) 至少有一个系数不为零，则 Pm (t)
不恒为零，
dnx
d n1x
d k1 x
dt n a1 dt n1 ank1 dt k1 0
显然 1, t, t 2 ,, t k11 是方程的 k1 个线性无关的解，
方程(4.19)有 k1 重零特征根
方程恰有 k1 个线性无关的解 1, t, t 2 ,, t k11
II. 设 1 0 是 k1 重特征根
L[e(1)t ] L[e te1t ]
e1t L1[e t ] e(1)tG( )
F( 1) G()
F ( j) (1) 0, j 1,2,, k1 1 F (k1) (1) 0,
dF
j ( d
j
1 )
dG j () d j
,
j 1,2,, k1
(4.19)的 k1重特征根 1
k1, k2 ,, km 重数 k1 k2 km n, ki 1
I. 设 1 0 是 k1 重特征根
常系数线性微分方程组解法
① ②
（6-37）
将式（6-37）和式（6-38）代入式①得
（6-38）
解得
y=C1cos t+C2sin t.
第七节、常系数线性微分方程组解法
第七节、常系数线性微分方程组解法
【例2】
解 微分方程组
解记D=d/dt，则方程组可写成
接下来消去x，得 （2D2+4D+2）y=－1，（6-39）
常系数线性微 分方程组解法
第七节、常系数线性微分方程组解法
前面讨论的微分方程所含的未知函数及方程的 个数都只有一个，但在实际问题中，会遇到有几个 微分方程联立起来共同确定几个具有同一变量的函 数的情形.这些联立的微分方程称为微分方程组.如果 微分方程组中的每一个方程都是常系数线性微分方 程，则称这种微分方程组为常系数线性微分方程组.
=A的特解，
将其代入方程（6-39），得A=－1/2.
因此，方程（6-39）的通解为
y=C1+C2te－t－1/2. 2x－2Dy=t，
第七节、常数线性微分方程组解法
即 因此，原方程组的通解为 其中C1,C2为任意常数.
谢谢聆听
第七节、常系数线性微分方程组解法
本节只讨论常系数线性微分方程组，所用 到的求解方法是：利用代数的方法消去微分方 程组中的一些未知函数及其各阶导数，将所给 方程组的求解问题转化为含有一个未知函数的 高阶常系数线性微分方程的求解问题.下面通过 实例来说明.
第七节、常系数线性微分方程组解法
【例1】
解 微分方程组
方程（6-39）对应的齐次方程的特征方程为 2r2+4r+2=0，
第七节、常系数线性微分方程组解法
微分方程的特解形式大全
微分方程的特解形式大全微分方程是数学中一类重要的方程，其解决了许多实际问题。
对于一个微分方程，一般情况下存在通解和特解两种解。
通解是该微分方程的所有解的集合，而特解是满足特定条件或给定初值条件的解。
下面将介绍一些常见微分方程的特解形式。
1. 一阶线性常微分方程:一阶线性常微分方程的一般形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)。
其特解形式可以通过常数变易法得到。
假设通解为y = c(x)y_1(x)，其中c(x)为未知函数，y_1(x)为已知解。
将这个形式代入方程中可以得到c(x)的微分方程，通过求解这个微分方程可以得到特解。
2. 二阶常系数齐次线性微分方程:二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为d^2y/dx^2 + a(dy/dx) + by = 0。
其特解形式可以通过假设y = e^(rx)的形式，然后代入方程得到关于r的代数方程。
通过求解代数方程可以获得特解的形式。
3. 二阶非齐次线性微分方程:二阶非齐次线性微分方程的一般形式为d^2y/dx^2 + a(dy/dx) + by = f(x)。
其中f(x)为已知函数。
特解的形式可以通过常数变易法或待定系数法得到。
常数变易法假设特解为y = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)为未知函数。
待定系数法假设特解为已知函数的线性组合，通过代入方程得到待定系数。
4. 高阶常系数齐次线性微分方程:高阶常系数齐次线性微分方程的形式为d^n y/dx^n + a_1 d^(n-1) y/dx^(n-1) + ... + a_n y = 0。
其特解形式可以通过假设y = e^(rx)的形式，然后代入方程得到关于r的代数方程。
通过求解代数方程可以获得特解的形式。
5. 高阶非齐次线性微分方程:高阶非齐次线性微分方程的形式为d^n y/dx^n + a_1 d^(n-1)y/dx^(n-1) + ... + a_n y = f(x)。
其中f(x)为已知函数。
三阶常系数线性非齐次微分方程特解的两种解法
三阶常系数线性非齐次微分方程特解的两种解法一种解法是求解特征方程，另一种解法是采用逐步求解法。
1、求解特征方程法：设三阶常系数线性非齐次微分方程为：y'''+a2y''+a1y'+a0y=f(x)其中a2,a1,a0为常数，f(x)为右端函数。
（1）求解特征方程：设特征根为λ1,λ2,λ3，则特征方程为：λ3+a2λ2+a1λ+a0=0求解特征方程，得到特征根：λ1,λ2,λ3（2）求解特解：令特解为y=C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x代入方程，得：C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x+a2(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)+a1(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)+a0(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)=f(x)即：(C1λ3+C2λ2+C3λ1)eλ1x+(C1λ3+C2λ2+C3λ1)eλ2x+(C1λ3+C2λ2 +C3λ1)eλ3x=f(x)化简得：C1λ3+C2λ2+C3λ1=f(x)解得：C1=f(x)λ3/(λ3-λ2)(λ3-λ1)C2=f(x)λ2/(λ2-λ1)(λ2-λ3)C3=f(x)λ1/(λ1-λ2)(λ1-λ3)故特解为：y=f(x)λ3/(λ3-λ2)(λ3-λ1)eλ1x+f(x)λ2/(λ2-λ1)(λ2-λ3)eλ2x+f(x)λ1/(λ1-λ2)(λ1-λ3)eλ3x2、逐步求解法：设三阶常系数线性非齐次微分方程为：y'''+a2y''+a1y'+a0y=f(x)（1）求解一阶线性微分方程：设y1(x)为一阶线性微分方程的解，则有：y1'+a2y1=0解得：y1=C1e-a2x（2）求解二阶线性微分方程：设y2(x)为二阶线性微分方程。
常系数线性微分方程组的解法举例
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
常系数线性微分方程的求解
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（’!）
利用通常的比较系数法要求出通解（’!）是相当困难的，作变量代换后把求解方程（’#）的问题
变得得容易了。
参考文献：
［’］ 王高雄等8常微分方程8北京：高等教育出版社，!###
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微分方程求特解的公式
微分方程求特解的公式微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。
求解微分方程的特解是解决实际问题的关键步骤之一。
本文将介绍微分方程求特解的公式。
一、一阶线性常微分方程的特解公式对于一阶线性常微分方程形如：dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数，则可以得到特解公式为：y = e^(-∫P(x)dx) * [∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx + C]，其中C为任意常数。
二、二阶常系数齐次线性微分方程的特解公式对于二阶常系数齐次线性微分方程形如：ay'' + by' + cy = 0，其中a、b、c是已知常数，则可以得到特解公式为：1. 当方程的特征方程有两个不相等的实根r1和r2时，特解公式为：y = C1e^(r1x) + C2e^(r2x)，其中C1和C2为任意常数。
2. 当方程的特征方程有两个相等的实根r1=r2=r时，特解公式为：y = C1e^(rx) + C2xe^(rx)，其中C1和C2为任意常数。
3. 当方程的特征方程有两个共轭复根α±βi时，特解公式为：y = e^(αx)(C1cos(βx) + C2sin(βx))，其中C1和C2为任意常数。
三、二阶非齐次线性微分方程的特解公式对于二阶非齐次线性微分方程形如：ay'' + by' + cy = f(x)，其中a、b、c是已知常数，f(x)是已知函数，则可以得到特解公式为：1. 根据待定系数法，特解形式可以根据f(x)的类型选择。
* 当f(x)是常数时，特解形式为y = k，其中k是常数。
* 当f(x)为多项式时，特解形式为y = P(x)，其中P(x)是与f(x)次数相同的多项式。
* 当f(x)为三角函数时，特解形式为y = A sin(mx) + B cos(mx)，其中A和B 是待定常数，m是f(x)的角频率。
常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法
n 阶常系数非齐次线性微分方程特解的几种求解方法1引言对形如()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）的n 阶非齐次线性方程，称()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）为其相关的齐次线性方程。
任给一个满足(1)且不带任何参数的函数x ~称为方程(1)的特解，已有下述求解定理：定理1若x ~为n 阶非齐次线性方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111（1）在区间I 上的任一个特解，设()()()t x t x t x n ,,,21⋅⋅⋅是其相关齐次线性方程()()()()001111=++⋅⋅⋅++−−−x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a n n n n n n （2）的一个基本解组，则在区间I 上方程（1）的通解为：()()()x t x c t x c t x c x n n ~2211++⋅⋅⋅++=，其中()n i c i,,2,1⋅⋅⋅=为任意常数。
由定理1知，非齐次线性方程的通解由两个函数的和组成：()()()x x x t x c t x c t x c x cn n ~~2211+=++⋅⋅⋅++=，其中线性组合()()()t x c t x c t x c x n n +⋅⋅⋅++=2211称为方程（1）余函数。
定理2k x x x ~,,~,~21⋅⋅⋅为n 阶非齐次线性方程（1）在区间I 上对应于k 个不同函数()()()t f t f t f k ,,,21⋅⋅⋅的k 个特解，也就是设i x ~表示对应于方程()()()()()t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a i n n n n n n =++⋅⋅⋅++−−−01111的特解，则kx x x x ~~~~21+⋅⋅⋅++=为()()()()()()()t f t f t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d t a k n n n n n n +⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++−−−2101111的特解。
常微分方程的特解与通解
常微分方程的特解与通解常微分方程是数学中重要的一类方程，广泛用于物理、工程、经济等领域中。
解常微分方程的过程中，我们常常会遇到两个概念：特解和通解。
在本文中，将详细介绍常微分方程的特解与通解的概念，以及它们的求解方法和应用。
一、常微分方程的特解特解是指常微分方程的一个满足特定条件的解。
对于常微分方程的初值问题，特解满足给定的初始条件。
特解的存在性和唯一性可以通过一些数学定理来判断。
求解常微分方程的特解的方法包括常系数线性齐次方程的特解、常系数非齐次方程的特解和变系数线性齐次方程的特解等。
对于常系数线性齐次方程的特解，可以使用特征根法求解。
具体而言，对于形如$ay''+by'+cy=0$的二阶常系数线性齐次方程，可以先求出它的特征方程$r^2+pr+q=0$的根$r_1$和$r_2$，然后根据根的不同情况得到相应的特解。
对于常系数非齐次方程的特解，可以将其转化为对应的齐次方程和非齐次方程的和。
具体而言，对于形如$ay''+by'+cy=g(x)$的二阶常系数非齐次方程，可以先求出对应的齐次方程的通解$y_c(x)$，然后再求非齐次方程的一个特解$y_p(x)$，最后将它们相加得到原方程的通解$y(x)=y_c(x)+y_p(x)$。
对于变系数线性齐次方程的特解，可以使用变量分离法、变换变量法等方法求解。
二、常微分方程的通解通解是指常微分方程的所有解的集合，它包含了方程的特解和齐次方程的通解。
通解可以通过求解常系数线性齐次方程的通解，并将其与对应的常系数非齐次方程的特解相加得到。
对于形如$ay''+by'+cy=0$的二阶常系数线性齐次方程，其通解可以表示为$y_c(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$，其中$c_1$和$c_2$是任意常数，$y_1(x)$和$y_2(x)$是对应的线性无关的特解。
通过求解常系数非齐次方程的特解和常系数线性齐次方程的通解，并将它们相加得到方程的通解。
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法原 迦摘 要 微分算子法是求解常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法, 基于算子多项式的理论, 针对二阶常系数线性微分方程, 论文给出了非线性项为指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数的微分算子特解公式, 实例表明特解公式在解题中具有可应用性、有效性和简捷性。
关键词 线性微分方程 常系数 微分算子 特解常系数线性微分方程是常微分方程中的重点内容之一，其求解方法通常是先求对应的齐次 线性方程的通解，再求一特解。
前者用特征方程法容易得到，难点是特解的求法。
多数教材中采用的是待定系数法求其特解, 这不仅要根据非线性项的不同情况做相应的处理, 而且计算过程中需要求导运算和求解线性方程组。
因此, 微分算子法成为求解不同类型的常系数非齐次线性微分方程特的有效方法, 基于上述考虑, 文章针对非线性项的不同情况, 给出微分算子法求 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式, 具有记忆方便, 计算简单的特点。
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为()y py qy f x '''++=， （1）其中,p q 为常数.为了文中需要，我们给出通常教材中所给出的求特解的待定系数法 见下表表中()n R x 为待定的n 次多项式，()k R x , ()k S x 为系数待定的k 次多项式，max k ={},n m .引入微分算子,dD dx= 222,d D dx =则有,dyy Dy dx'== 222,dy y D y dx ''==于是式（1）可化为()()2D pD q y f x ++= （2）令()2,F D D pD q =++称为算子多项式，则式（2）即为()()F D y f x =，其特解为()()1,y f x F D =这里，()1F D 称为逆算子.1．算子多项式1.1 算子多项式的性质引理[]61 设算子多项式()F D 如上定义，()f x ,()g x 为可微函数，则有 (1)()()()()()()()F D f x g x F D f x F D g x αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦; (2) 设 ()()()12F D F D F D =; 则有()()()()()()1221F D F D f x F D F D f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(3) 设()()()12F D F D F D =+，则有()()()()()()12F D f x F D f x F D f x =+.证明略.1.2算子多项式的公式引理[]72 设算子多项式()F D 如上定义，,k a 为任意实数, ()v x 为二阶可导函数，则有下列结论成立（1） ()()kx kx F D e e F k =；（2） ()()22sin sin F D ax axF a =-； ()()22cos cos F D ax axF a =-； （3） ()()()()kx kx F D e v x e F D k v x =+; （4）()()()()()()F D xv x xF D v x F D v x '=+. 证明略.1.3逆算子多项式的性质引理[]73 设算子多项式()F D 如上定义，,R αβ∈，()f x ,()g x 为可微函数，则有 （1）()()()()1F D f x f x F D =； （2）()()()()()()()111f xg x f x g x F D F D F D αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦ ； （3）设 ()()()12F D F D F D =， 则有()()()()()()()()122111111f x f x f x F D F D F D F D F D ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.2. 特解公式利用上述性质，可以得到下面的特解公式。
常系数微分方程组的解法
将高阶线性微分方程转化为幂级数形式，然后通过幂 级数的性质求解方程。
高阶非线性微分方程的解法
分离变量法
将非线性微分方程转化为多个一阶微分方程 ，然后分别求解。
迭代法
通过迭代公式逐步逼近非线性微分方程的解。
数值解法
利用数值计算方法求解非线性微分方程的近 似解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
05
解决微分方程组对于理解复杂系统的 行为和预测未来发展趋势具有重要意 义。
常系数微分方程组的定义
常系数微分方程组是指方程中的系数 为常数的一类微分方程组。
常系数微分方程组的一般形式为 dy/dx = f(x, y)，其中 f(x, y) 是已知 的函数。
02
线性常系数微分方程组的解法
特征根法
总结词
神经传导
在神经传导过程中，微分方程组可以用来描述神 经信号的传递速度和传导通路的建立。
生态系统的稳定性
微分方程组可以用来分析生态系统的稳定性，如 物种之间的相互作用和生态平衡的维持。
THANKS
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特征根法是一种通过解方程的特征方程来求解线性常系数微 分方程组的方法。
详细描述
特征根法的基本思想是，对于形如$y'' + py' + qy = 0$的一阶 线性常系数微分方程，通过求解其特征方程$lambda^2 + plambda + q = 0$，得到其特征根$lambda_1$和 $lambda_2$，然后利用这些特征根来求解原微分方程。
线性微分方程的方法。
02
通过将多个变量分离，可以将一个复杂的微分方程组
分解为多个简单的微分方程，从而简化求解过程。
03
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y1 ( x) 的预解式为
Q
(1) m+
s1
(
x)
eλx , 但我们可以证明 ,
在一定条件下 ,可以简化为
y1 ( x)
=
xs1
Q
(1) m
(
x)
eλx .
事实上 ,在方程组 (2) 中 , 对各方程依次求 ( n - 1) 次
导数 ,并将所得的 n ( n - 1) 个方程整理成关于 x2 ,
x3 , …, xn 及其导数的方程组 ,可得
Φ- 1 ( x) 时 ,由于 Φ( x) 是函数矩阵 , 故即使在 n = 2
时 ,也将导致十分繁复的计算 , 如 [ 1 ]. 而我们知道 ,
在一定的条件下 , (1) 可以用消元法将它化为某个分
量 ,例如 y1 ( x) 的 n 阶线性微分方程. 而对于高阶非 线性微分方程来说 ,当自由项为某类特殊函数时 ,就
Y( x) = TZ ( x) , 其中 T 为常数矩阵 , 且 det T ≠0. 于是方程组 (1) 或 (2) 可以化为
Z′( x) = T - 1ATZ( x) + T - 1 F ( x) . 如果矩阵 A 的特征值为λ1 ,λ2 , …,λr ,其重数分别为 s1 , s2 , …, sr ,而 s1 + s2 + …+ sr = n , 则可选取非奇 异矩阵 T ,使
的情形 ,即考虑方程组
y1′= a11 y1 + a12 y2 + …+ a1 nyn + f ( x)
y2′= a21 y1 + a22 y2 + …+ a2 nyn
…
(2)
yn′= an1 y1 + an2 y2 + …+ annyn , 其中 f ( x) = Pm ( x) eλx , Pm ( x) 为次数不超过 m 的代 数多项式. 现作线性变换
A1 - E1 A1 - E1 ω ω A1 - E1
U
W
U′
W′
⁝
=⁝
,
U ( n - 1)
W ( n - 1)
(11) 其中
a12 a13 … a1 n
a22 a23 … a2 n
A1 = … …
,
an2 an3 … ann n ×( n - 1)2 ω
,
J r
Ξ 收稿日期 :2001 - 04 - 16 作者简介 :吴顺唐 (1938 —) ,男 ,教授.
10
常熟高专学报 2001 年
λ1 1
其中
λ2 1 J i = ω
λi si ×si 为 Jordan 块. 注意 ,当 F ( x) = ( f ( x) , 0 , …, 0) T 时 ,
m
次多项式 ;当 λ等于矩阵 A
的某个特征值 ,例如 ,λ=λ1 时 , 方程组 (3) 有下面形
式的特解 :
xs1
Q
(1) m
(
x)
Q
(2) m+
s1
-
1
(
x)
⁝
Z 3 ( x) = Q (ms1+) 1 ( x)
eλx
Q (ms1 + 1) ( x)
⁝
Q
( n) m
(
x)
这样 ,原方程组便有如下形式的特解 :
z13 ( x) :
当 λ≠λ1 时 , z13
( x)
=
eλxQ
(1) m
( x)
;
当 λ=λ1 时 , z13
( x)
=
xs1
eλxQ
(1) m
(
x)
;
(8)
其中
Q
(1) m
( x) 为
m
次多项式.
用同样的方法 ,由 (4) 可得 :当 2 Φ j Φ s1 时 ,
zj ( x) = ( D - λ1) j - 1 z1 - [ b1 ( D - λ1) j - 2 + b2 ( D
- λ1) j - 3 + …+ bj - 1 ] f ( x) .
将 (8) 及 f ( x) = Pm ( x) eλx代入上式 ,就知
当 λ≠λ1 时 , zj ( x)
=
eλxQ
( j) m
( x)
;
当 λ=λ1 时 , zj ( x)
=
eλxQ
( j) m+
s1
-
j +1 ( x)
;
其中
Q
…, bn) Tf ( x) , 在 (3) 中的第一个独立方程组如写成算子的形
式 ,则为
( D - λ1) z1 = z2 + b1 f
( D - λ1) z2 = z3 + b2 f
…
(4)
( D - λ1) zs1 - 1 = zs1 + bs1 - 1 f
( D - λ1) zs1 = bs1 f
zn) T ,
F1 = ( b1 , b2 , …, bs1 ) Tf ( x ) , F2 = ( bs1 + 1 , bs1 + 2 , …, bs1 + s2) Tf ( x ) , … Fr = ( bs1 + s2 …sr - 1 + 1 , bs1 + s2 …+ sr - 1 + 2 ,
1 0 … 0
E1 = ω
,
0 0 … 1 n ×( n - 1)
U = ( y2 , y3 , …, yn) T ,
W = ( y1′- a11 y1 - f ( x ) , a21 y1 , - a31 y1 , …, - an1
y1) T.
当
A1 - E1
A1 - E1 det ω ω
( D - λ1) s1 - 1 z2 = ( D - λ1) s1 - 2 z3 + b2 ( D - λ1) s1 - 2 f ( x) , …
( D - λ1) 2 zs1 - 1 = ( D - λ) zs1 + bs1 - 1 ( D - λ1) f ( x) ,
( D - λ1) z1 = bs1 f ( x) .
11
性 , (3) 式中的部分多项式
Q
( j) m
(
x) 在某些情况下可
以预先确定为零. 例如 ,当 ϖ j ,矩阵 T 中第 s1 + s2 +
…+ sj + 1 行到第 s1 + s2 + …+ sj + sj + 1行的元素等
于零 时 , 便 是 如 此. 另 外 , 在 预 解 式 ( 10) 中 , 分 量
≠0
A1 - E1
时 ,可以从 (11) 中解出
y2( n - 1)
,
y3( n - 1)
,
…,
y
(n n
-
1)
.
再
对 (2) 中的第一个方程求导 n - 1 次就得
y1( n)
=
a11 y1( n - 1)
+
a12 y2( n - 1)
+
…+
a1 ny
(n n
-
1)
+ f ( n - 1)
第 15 卷第 4 期 2001 年 7 月
常熟高专学报 Journal of Changshu College
Vol . 15 No. 4 J uly. 2001
关于常系数线性微分方程组特解的求法Ξ
吴顺唐
(镇江师范高等专科学校 ,江苏 镇江 212000)
摘 要 : 证明了当非齐次常系数线性微分方程组 (1) 中的函数 F ( x) 为某个常系数齐次线性微分 方程组的解时 ,可以用待定系数法求出 (1) 的一个特解. 这个方法要比一般教材中所用的常数变易 法简单得多. 关键词 : 非齐次常系数线性微分方程组 ;待定系数法 中图分类号 : O175. 1 文献标识码 : A 文章编号 : 1008 - 2794 (2001) 04 - 0009 - 04
1 考虑常系数线性非齐次方程组
dY dx
=
AY( x)
+
F( x)
,
(1)
其中 Y ( x ) = ( y1 ( x ) , y2 ( x ) , …, yn ( x ) ) T , A =
( ai , j) n ×n , F ( x) = ( f 1 ( x) , f 2 ( x) , …, f n ( x) ) T , f i ( x) ∈C[ a , b ]. 大家知道 ,如果已经求得了 (1) 对应齐次
将此 方 程 组 中 的 各 个 方 程 依 次 作 用 算 子 ( D -
λ1) s1 - 1 , ( D - λ1) s1 - 2 , …, D - λ1 ,和 I 后 ,可得
( D - λ1) s1 z1 = ( D - λ) s1 - 1 z2 + b1 ( D - λ1) s1 - 1 f ( x) ,
,
(12)
现将从 (11) 中解出的
y2( n -
1)
,
y3( n -
1)
,
…,
y
(n n
-
1)
代入
(12) 式 ,就得关于 y1 的 n 阶线性微分方程 :
y1( n)
=
c11 y1( n - 1)
+ c12 y1( n - 1)
+
…+
c1 ny
(n n
-
1)
+