高等数学曲率

yxddyxcRss2cin dd
1
R sin3
K
y
3


R
1 sin
3
3
(1 y2 )2 ( 1 cot 2 ) 2
1 csc 2
R
3
(csc 2 ) 2
1 . R
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例3 抛物y线 ax2bxc上哪一点的曲 ? 率
解 y2a xb, y2a,
D

1
k
yf(x)
在凹的一侧取一点D，使
DM 1 , 以D为圆心， o
K
M
x
为半径作圆(如图)，称此圆为曲线在点M处的曲率圆.
D曲率中 , 心 曲率半. 径
15
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的
曲率互为倒数.
即

1 K
,K

1
.
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点
复习
1.判定凹凸性的方法：
如果 f (x) 在 (a,b)内具有二阶导数，若在(a,b)内 (1) f(x)0,则曲线 f (x)在(a,b)内是凹的. (2) f(x)0,则曲线 f (x) 在 (a,b)内是凸的.
说明：拐点的横坐标可能是 y 0的根， 也可能是 y不存在的点.
弧微分公式
4
ds 1 y2dx
y
变形 ds
1
( dy)2 (d x)2
dx
(dx)2(dy)2
M
M0
ds
M
Tdy
R
dx
o
则有 (ds)2(dx)2(dy)2.
x0
x
xx x
弧微分的几何意义：ds 就是曲线 y f(x)上点M(x, y)
处的切线上 MT的长度.
所以 MR称T为微分三角形.
lxi m0(x)(2x)(2y)2
lim[1(y)2]
x0
x
1lim(y)2 1(limy)2 1 y2.
x0 x
x0 x
因为
ds ss(x)是单调增加函数. 所以 dx

0,
则 ds 1 y2
dx
于是弧微分为 ds 1 y2dx
K
2a 3.
[1(2axb)2]2
显然, 当x b 时， K最大. 2a
又(b,b24ac)为抛物线的顶点， 2a 4a
所以抛物线在顶点处的曲率最大.
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例4 求 y
x
在点 (
1 4
,
1 2
)
处的曲率.
解
y 1 , 2x
y
x1 4

1 2x
x1
1，
若设

x y


(t ), (t ),
二阶可导，
dy (t), dx (t)
ddx 2y2(t)(t) 3(t)(t)(t).
(t)(t)(t)(t)
K
3.
[2(t)2(t)]2
9
例1 计算直线 yaxb在任一点处的曲率.
M T
转动的切线，在点 x处给一增量
M0 M
y
R
x，则对应曲线上的点为
x
o
M (x x ， y y)弧,s的增量为 s ，
x0
x
xx x
) ) )
)
则 ss(x x)s(x)M 0M M 0MMM
(s)2 x
(MM x)2(M MM M)2(M M x)2,lxi m0 M MM M
.
即 曲率是切线的倾角对弧长的导数的绝对值. 7
3.曲率的计算公式
设 y f(x)二阶可导， tan y,
有 arctayn,
d

y 1 y2
dx,
K d ds
ds 1y2 dx， K
y 3.
(1 y2 )2
y K
(1 y2)3
8
曲线弯曲程度的描述——曲率; 曲率圆(弧)可以近似代替曲线弧.
17
5
二.曲率及其计算公式 曲率:是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量．
. . 1 2 S2
.M S1
2
M1
MN

1.影响曲线弯曲程度的因素：
(1)切线转角的大小.(单位弧长转角大的弯曲的很)
(2)弧的长度.(转角一定，弧短的弯曲的很)
6
2.定义：
y
C
(1)平均曲率：单位弧段上切线转角
2.求曲线的凹凸区间及拐点的步骤如下：
求函数的定义域； 求出 y ； 求y 0 的根及 y不存在的根； 列表根据二阶导数的正负号，讨论凹凸性.
1
§6 曲率
一.弧长函数及其微分
设函数 f ( x) 在(a,b)内具有连续转动的切线，在曲线
上取固定点 M0(x0, y0)为基点，M(x, y)为曲线上任
解 y a， y 0，
y 代入公式 K (1 y2)3 得K0.
即直线上任一点处的曲率为0.
注意: 直线的曲率处处为零.
y K
(1 y2)3
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例2 计算半径为 R的圆在任一点处的曲率.
解法一
设圆方程为 x2y2R2,
(1 y2 )3 R3 ，y y3
处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,
曲率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近
曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
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四、小结
基本概念:(1)弧微分 ds 1 y2dx (ds)2(dx)2(dy)2. y
(2)曲率 K (1 y2)3
(3)曲率半径 1 K
M.
的大小. 即
（
弧
段MM的平均
曲率K 为
s
.
M 0 S .M )S
o
x
(2)曲线 y f(x)在点M处的曲率：
当s0时，平均曲率的极限叫做该曲线在点M处
的曲率.
即K lim ,
s0 s
若 lim d
s0 s ds
存在，则 K

d ds
4
又
y

1 4
3
x 2,
y
x1 4
1
3
x2
4
x1
2
4
K
y 3
2 3
2
3

2. 2
(1 y2 )2 (1 1 ) 2 2 2
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三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 yf(x)在点
y
M(x, y) 处的曲率为 k(k0),
在点M处的曲线的法线上，
1.
而 (M M )2( x)2( y)2,
(ds)2lim(s)2lim(MM)2 lim(MM)2
dx x0 x x0 x
x0 x
3
(d s)2 dx
lxi m 0( xs)2lxim 0(MM x)2lxim 0(MM x)2
意一点.
y
1.有向弧 M0 M 的值s规定如下：
大小等于M0 M 的长度，
方向与曲线正向一致时，
M0
M
s取正号，否则,s取负号.
o x0
x
x
规定：曲线正向是指依x增大的方向.
这样就确定了一个函数 ss(x).
显然：弧长函数 ss(x)是单调增加函数. 2
2.弧微分
y
设 yf(x)在(a,b)内具有连续
则y R2
y3
,
x y
,
R2
y
y3
1
K
(1 y2)3
R3
. R
y3
注意: 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径
越小曲率越大.
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解法二
x
若圆方程为

y

R R
cos sin
，(
为参数)
y dy Rcosd cot， dycs2cd dx Rsind