偏微分方程期末复习笔记
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
②决定区域：区间［X i ，X 2】的决定区域为：｛(X,t)|X i
at x
X 2 at }
《偏微分方程》期末考试复习
一、波动方程(双曲型方程)U tt a 2U xx f(x,t)
(一) 初值问题(柯西问题)
U tt a 2U xx f(x,t)
1、一维情形 U t 0
(x) U t t 0
(x)
(1)解法(传播波法)： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,
2
a U xx f (x,t)
从而问题(n)的解为:
(2)依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：
①依赖区间：点(x , t)的依赖区间为：［x-at , x+at ］; U t
t
a U xx 0
U tt
u
(x) (n) U t 0
U t
t 0 (x)
U t t (I) 其中，问题(I )的解由达朗贝尔公式 给出：
(x at)
2 U(x,t)
(x at) 1 2a x at x at ()d 由齐次化原理，问题(n)的解为:
u(x,t)
t
W(x,t ； )d
其中，W(x,y,z,t;)是下述初值问题的解:
W
W t W tt
a 2W xx 0 0 f(x,)
利用达朗贝尔公式得W(x,t;)
a(t
2a x
a(t
) )f(
，
)d
U(x,t) J 2a
x a(t x a(t
) )
f(
，
)d d
综上所述，原初值问题的解为: (x at)
U(x,t)
(x at) J 2a x at
x at ()d 1 2a t x a(t
0 x a(t
1
f(,
u(x,y, z,t)
dS
4 a t S M at
,t 丄） 乳dV r
③影响区域：区间［为，乂
2］的影响区域为：{（x,t ）|x 1 at x x 2
at }
④特征线：x x 0 at
（3）解的验证：见课本 P10, P14
（1）解法（球面平均法）： 由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解
之和,
其中，问题（i ）的解由泊松公式给出:
从而问题（n ）的解为:
综上所述，原初值问题的解为:
U tt a
(U xx U yy U zz ) f(X 』，Z,t) 2、三维情形
U (x, y, z) U t t 0
(x,y,z)
U tt a (U xx U yy U zz ) 0
U tt a 2(U xx U yy
U zz ) f (x,y, z,t)
(I ) U
(x, y,z) U t
(x,y,z)
U t
u(x,y, z,t)
____
t 4 a 2
t S M
dS
1 4 a 2t S M
dS
由齐次化原理，问题（n ）的解为:
u
(x, y,z,t )
t
W
(x,y,z,t ；)d
W tt
(W xx W yy W zz )
其中，W （x,y,z,t;）是下述初值问题的解:
t
W tt
f (x, y,z,)
1
利用泊松公式得 W(x, y,z,t;) — 4 a s M
S
f(,,
r a(t
dS
)
u(x, y,乙t)
1 4 a
2 r
at
f(,,
,t )
~dV
（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）
①依赖区域（球面）：点（x 0,y 0，z ）,t ）的依赖区域为
(x x 。)2 (y y 。)2 (z Z o )2 a 2t ：；
②决定区域 （锥体）：
球面(x X o )2 (y y o )2 (z 2 2 2
Z o ） a t o 决定区域为：
(x x o )2 (y y o )2 (z Z o )2
a (t o t) (t t o )；
③影响区域 （锥面）： 点（x o ,y o ,z o ,°）的影响区域为：
(x X o )2
(y y o )2 (z z o )2 a 2t 2
(t o)
④特征锥：
(x X 。)2
(y y o )2 (z z o )2 a 2(t o
t)2
惠更斯原理（无后效现象）见课本 P35
（3）解的验证：见课本 P29, P32
2
U tt a （U xx u yy ） f （x, y,t ）
3、二维情形
u t 。 （x, y ）
u t t o （x,y ）
（1）解法（降维法）：
由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和,
其中，问题（I ）的解由二维泊松公式给出:
W tt a 2(W xx W yy ) U tt a 2(U xx U yy ) o U tt a 2(U xx
U yy ) f(x, y,t)
(I ) U
t o
(x, y)
U t t o
(x, y)
U t t o
U(x, y,t) 2
t M
(at)2 (
d d
x)2 ( y)2 M at
------------------------------- d d (at)2 ( x)2 ( y)2
由齐次化原理
问题（n ）的解为:
t
U
(x,y,t)
o
W
(x,y,t ； )d
其中，W(x,y,t;
）是下述初值问题的解:
W W tt
f(x,y,)