结构力学 第十四章 结构塑性分析的极限荷载

即：
(
FP 2 L 4
Mu 2
)
FP L 4
Mu
解得：
FP 2
FP
6M u L
(a)
即：
FPu
6M u L
2)超静定梁的极限荷载
由前已由叠加方法得出了式(a)所示单跨 超静定梁的极限荷载。观察梁的最后极 限 弯 矩 图 (g) ， 既 是 所 叠 加 的 两 弯 矩 图 (c)、(e)的叠加结果。利用梁的极限弯 矩图的平衡条件，可得：
解： 1)基本方法用破坏机构法
可能机构I：
FP1
L 3
3M u
0
(a)
FP1
9M u L
注意：在突变截面处的塑性铰的极限弯 矩为较小极限弯矩。
可能机构II：
FP 2
L 3
(M
` u
M u )
Mu
0
由几何关系知： 2 代入上式，得：
FP 2
3(M u `3M u ) 2L
(b)
可能机构III：
1
1
5
M C 4 (2FPu ) 6 2 FPu 2 FPu
即
5 2 FPu
Mu
则
2 FPu 5 M u
b.破坏机构法
荷载和极限弯矩在虚位移上所作的总外力 虚功方程为：
2FPu
3
FPu 2
2
Mu
2
0
解该虚功方程，得：
FPu
2 5
M
u
c.关于静定梁极限荷载的求解
由于静定结构只要出现一个塑性铰即达到 其塑性极限状态，即静定梁的极限状态时 弹性阶段最大弯矩截面形成塑性铰，且弯 矩图分布与弹性阶段相同，因此可由弹性 阶段的弯矩图一次确定极限弯矩图。
当弹性阶段的弯矩图容易求出时，一般可 用极限弯矩平衡法计算静定梁的极限荷载。
当静定梁上有两个或两个以上弯矩峰 值，且一次性判断塑性铰位置截面或 计算弹性阶段弯矩较麻烦时，可用破 坏机构法求解静定梁的极限荷载。其 做法时，将可能成为塑性铰的截面 （具有弯矩峰值截面）依次假定为塑 性铰，分别时为可能的破坏机构。然 后由破坏机构法依次计算相应于这些 机构的荷载，比较得出这些荷载中的 最小值既是梁的极限荷载。
max
M ym a x I
s
(a)
时，认为该截面已达到截面的弹性极限状 态，此时截面的弯矩即为该截面的弹性极 限弯矩。用Ms替换式(a)中的M，即得：
MS
y
I
m
ax
s
(b)
对图示矩形截面梁，代入 I bh3 得矩形截面弹性极限弯矩： 12
h ymax 2
MS
bh2 6
S
(c)
M
M
M =M s
塑性铰的以下特征：
(1)塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 (2)塑性铰是单向铰，只能使其两侧按与荷 载增加（弯矩增大）相一致方向发生有限的 转动。 (3)塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的 长度。
综上所述，截面上各点应力均等于屈服应力 的应力状态、截面达到极限弯矩、截面形成 塑性铰，均表示该截面达到其塑性流动的极 限状态。
残余变形是材料不能恢复的变形。
结构的弹性设计方法，是以只要结构 上有一个截面的一点的应力达到材料
的许用应力 为标志的。即结构上
任一点的应力 和应变 都不许超过
材料的屈服应力 s和屈服应变 s 。
即：
s s (a)
FPu 即：FP FP FPu
(b)
许用荷载法。
理想弹塑性假定，材料加载时呈弹塑性， 卸载时呈弹性。
第二节 极限弯矩和塑性铰
M
M
(a)纯弯曲 矩形截面梁
(b) s
(c) s
1、弹性极限弯矩Ms
由材料力学知，在线弹性范围内，处于纯 弯曲受力状态的梁的任一截面上只有与外 力偶相等的弯矩产生，截面在变形后仍保 持平截面，即截面上各层纤维沿梁轴线的 伸缩与截面高度成正比，或说截面上的应 变按截面高度线性分布，在中性轴处的应 变等于零。 按结构的弹性设计方法，当截面的最外 层纤维达到材料的屈服应力，即
当MC<Mu，FP2<FPu时，梁处于弹塑性发 展阶段，弯矩图见图(c)。 当MC=Mu时，截面C也将首先达到截面的塑 性极限状态，也即形成第一个塑性铰。
结构上出现足够多的塑性铰，能使原结构 成为破坏机构时的状态为结构的极限状态。 结构在极限状态仍能保持静力平衡。
(2)结构的极限荷载
a.极限弯矩平衡法 由静力平衡条件得：
2.理想弹塑性材料假设
s A II
C
I
II C o
s A
I
(b)刚塑性模型
o s
(a)线性强化模型
s A
II
C
I
o s
残余应变
(c)理想弹塑性模型
各类简化曲线模型
理想弹塑性材料假定：
(1)材料的拉压性能相同
(2)加载时，材料的 曲线分弹性I、
塑性II两个阶段。 (3)卸载时，卸载点在I、II两个阶段上 是不同的。
Mu
(bh 2
S
h) 4
2
bh2 4
S
(d)
(3)塑性铰概念
当截面出现并不断扩大塑性区进入弹塑性 发展阶段，直到整个截面被塑性区充满的 塑性极限状态止，截面上应变的发展始终 与截面高度成线性关系。即尽管这一阶段 塑性区上的应力停止在屈服应力值上，但 应变仍与弹性核部分的应变分布斜直线共 线发展。因此，当截面达到塑性极限状态 时，比弹性极限状态的应变值显著增大， 由此产生的是该截面两侧无限靠近的两个 截面绕中性轴发生相对的转动的相对角位 移效应。
可能机构I：
q1L
L
2
(2 1.2)M u
(a)
可能机构II：
L
q2
y
dx
2(1.2
1)M
u
(b)
0
式(b)可写成：
q2
1 2
L 2
L 2(1.2 1)M
q2
17.6M u L2
u (c)
可能机构III：
1.5q3L 0.75L (1.2 2.4 2 2)M u
FP3
L 3
(M
` u
M u )2
Mu
0
FP3
3(2M
` u
3M u )
L
(c)
当
M
`>
u
3M u
FPu
FP1
9M u L
，机构I为破坏机构。
当
M
`<
u
3M u
由式(b)知，F Pu
FP 2
<
9M u L
机构II为破坏机构。
当 M u`= 3M u
F Pu
FP1
FP 2
9M u L
机构I、II都是相应的破坏机构。
33
Mu
即：
FPu
FP 2
3(M u `3M u ) 2L
当M
` u
=
3M u
由图(f)按与上相同的过程可计算出：
FPu
FP 2
9M u L
也可将图(f)中B处的弯矩竖标与D处的0 鼠标连辅助线，由平衡条件得：
FPu 4
(2 L) M u
3
2
Mu
解得结果与前相同。
例14-3-2 设图(a)所示连续梁下侧受拉 （正弯矩）时，AB、BC的极限弯矩为Mu， CD跨为2Mu；上侧受拉（负弯矩）时，均 为相应跨下侧受拉极限弯矩的1.2倍。求该
梁的极限荷载。
q
F P 2 = 1.5qL
(a)
q 1
F P 2 = 1 .5 q 1L
(b)可能破坏机构I
q 2
F P 2 = 1 .5 q 2L
(c) 可能破坏机构II
q 3
F P 2 = 1 .5 q 3L
(d)可能破坏机构III
解：因为图(a)所示连续梁的可能破坏机构
可全部列出，可用穷举法。见图(b)、 (c)、(d)。用破坏机构法计算各可能 的极限荷载如下：
截面在塑性极限状态的中性轴平分截面 总面积A，即为截面的等面积轴。
(2)截面的极限弯矩Mu
已知在塑性极限状态时截面的中性轴位置， 可推导截面的极限弯矩如下。弯矩等于截面 上应力对中性轴的合力矩，即：
Mu s y dA s y dA (14-2-1)
式中积分为截面的面积净矩，可写成：
(a) s 线弹性状态
M
M = M u
(b) s 弹塑性及塑性流动阶段
2、极限弯矩Mu
当截面达到弹性极限状态外力偶继续增大 M>Ms以后，截面上的应变分布仍与截面 高度呈线性关系，即平截面假定仍然适用， 见图14-2-1(c)。但截面上的应力分布不 再与截面高度保持线性关系。
(1)截面的弹塑性阶段 (2)截面的塑性流动阶段 矩形截面在塑性极限状态的极限弯矩
2、超静定梁的极限荷载
1.超静定梁的破坏过程
M u
M u M u
(a)
(c)
图14-3-3
6FP1/32
FPs
5FP1/32
Mu
FPs
FPu
(b)
(c)
图14-3-3
M u
FPs
FPu
FP
(d)
(e)
图14-3-3
Mu
Mu
Mu
Mu
(f)
(g)
图14-3-3
图14-3-3(b)、(d)、(f)将图(a)所示单跨 超静定梁的弹塑性发展过程，按塑性铰的 依次形成划分为三个阶段。即弹性阶段，。 随着荷载的增加，该阶段的弯矩图保持相 同比例的分布关系，见图(b)。第二阶段是 从弹性阶段到梁的第一个塑性铰形成止， 见图(d)。第三个阶段是接上一阶段末到第 二个塑性铰形成止。当两个塑性铰都形成 时，梁已成为破坏机构，见图(c)，即已达 到了梁结构的极限状态。
第三节 梁的极限荷载
研究梁的极限荷载，是寻找能使梁结 构达到塑性极限状态时的荷载值，也 就是梁结构在丧失承载力之前所能承 受的最大荷载值。
在上一节讨论过的截面极限状态 （极限弯矩）的基础上，本节讨论 结构的极限状态（极限荷载）。
1.静定梁的极限荷载
2FP
FP/2
2FP1
(a)
FP1/2 Fp1
2FP2
第14章 结构塑性分析的极限荷载
第一节 概述
1.结构的弹塑性
b
II s A C
I
III B D
o s `
`
b
普通钢筋拉伸曲线
考虑图所示材料的路径在弹性阶段I 以后的的II、III两条路经上的特性 和承载能力。
这两条路经的曲线显示一个共同的 点，材料产生明显变形且有残余应 变，但仍有承载能力。
根据塑性铰形成后即承受其极限弯矩不 变的假定，且在结构达到极限状态及之 前均能保持静力平衡条件，可利用叠加 原理，将第一个塑性铰形成到第二个塑 性铰形成所需的荷载以增量的形式分解 出来，该荷载增量不会使A截面已达到的 极限弯矩增加，梁上的弯矩增量分布相 当于简支梁的弯矩分布，见图(e)。
将图(c)和图(e)由静力平衡条件算得的C 截面的弯矩相叠加，若等于Mu，即在截 面C又形成一个塑性铰，梁成为破坏机构， 则两图上的荷载之和即为梁的极限荷载。
3.具有一个对称轴截面的极限弯矩
形 心 轴 等 面 积 轴
(1)截面在塑性极限状态的中性轴位置 截面上的应力应满足：
dA 0
(a)
A
在塑性极限状态时截面上的轴力应满足：
S dA S dA 0
A1
A2
即 S ( dA dA) S (A1 A2 ) 0
A1
A2
上式只有在 A1 A2 0 成立时才能满足， 即受拉区的面积须等于受压区的面积。
y dA ydA ydA S1 S2
A1
A2
则极限弯矩可表示为：
Mu s (S1 S2 ) (14-2-2)
弹性极限和塑性极限之间的弹塑性阶段， 中性轴界于截面的形心轴和等面积轴之间。
以上所讨论的是梁在纯弯受力和变形状态 下的截面的两个阶段的极限状态和相应的 极限弯矩。
对非纯弯状态梁，通常剪力对梁的承载力 的影响可忽略。所以仍可利用以上概念和 结果。利用式(14-2-1)或(14-2-2)计算截 面极限弯矩。
(a)
(b)
(c)可能机构I
(d)可能极限弯矩图I
(e)可能机构II
(f)可能极限弯矩图II
(g)可能机构III
(h)不可能
当梁在极限状态下可能出现塑性铰的所 有截面可预先判定，并可能的塑性铰的 数目大于破坏机构需要的塑性铰数目时， 可以得出按需要的塑性铰的数目的全部 组合。假定每一种组合是一种可能得极 限状态，即可按基本方法一一求得相应 的可能得极限荷载。然后通过比较，其 中最小荷载值既是梁得极限荷载。此中 求极限荷载的方法可称作穷举法。
1
1
M u 2 M u 4 FPu L
则得
FPu
6M u L
结构的极限荷载与结构的弹塑性发展 过程无关，只与结构的极限状态有关。 同样可由梁极限状态时的破坏机构， 见图(b)，可求得梁的极限荷载。即：
虚功方程： 解得：
FPu
L
2
3M u
0
FPu
6M u L
例14-3-1 分析图(a)所示超静定 梁的极限状态和极限荷载。已知 Mu`>Mu。
图(d)、(f)、(h)是利用极限状态时可能 的极限弯矩图由平衡条件进行计算的方 法。由图(h)所示极限弯矩图的不可能将 其排除。
由图(f)分析可知，当
M
u
<
M
` u
< 3M u
时，
B截面弯矩值为：
MB
M
` u
2
Mu
<
Mu
因此，图(f)所示的可能极限弯矩图成
立。由平衡条件得：
2FPu 3
LLeabharlann M` uFP2/2
5FP1/2
5FP2/2
(b) M C M s FP1 FPs (c) M S M C M u FPs FP2 FPu
3FPu Mu
FPu/2
Fpu FPu/2
5FPu/2
(d) M C M u
2FPu
FPu/2
(e)
(1).结构的极限状态
极限荷载是相应于结构极限状态时的荷载。