邱皓政2007统计原理与分析技术05__参数估计

敘述統 計 統計量 Speed 平均數 平均數的 95% 信 賴區間 下限 上限 116.50 112.78 120.22 標準誤 1.821
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百分比的區間估計
• 連續變數
– 可計算出平均數，因此可進行母體平均數的 估計
• 類別變數
– 無法進行平均數估計，僅有次數，故可進行 百分比區間估計 – 二分尺度：指每一位受測者對於某一個選項 的選項只有「是」、「否」或「贊成」、 「反對」兩種答案 – 多點尺度：超過兩點以上的類別變數
( n 1) s
2

2
2

( n 1) s
2

2 1
（ 5-1 2）
2
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範例
• 一個投手在某一場比賽中，他投出30個直球， 球速平均為每小時116.5公里，變異數為 99.5(km/hr)2，標準差為9.975(km/hr)，那麼這 位投手球速變異數與標準差的90%信賴區間為
116 . 5 2 . 045
112 . 78 120 . 22
9 . 975 30
116 . 5 2 . 045 1 . 821 116 . 5 3 . 72
• 利用SPSS的預檢資料（explore），可獲得平均數的區 間估計，數據如下： • 標準誤為1.821，區間為112.78至120.22
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類別尺度的機率換算
是否支持小學教英文? □是 □否 130（ 65% ） 70（ 35% ） ( p = .6 5 , q = .3 5 ) ( p = .3 5 , q = .6 5 )
是否支持小學教英文? □是 □否 □沒意見 130（ 65% ） 40（ 20% ） 30（ 15% ） ( p = .6 5 , q = .3 5 ) ( p = .2 0 , q = .8 0 ) ( p = .1 5 , q = .8 5 )
f ( x1 ; ) f ( x 2 ; ) f ( x n ; )
（5-1）
• 「概似」函數
– 因為L()是我們進行樣本估計時，對於參數空間機率函數的估 計 – 其所描繪的事件空間近似於參數空間，是在參數空間最有可 能觀測的樣本值 – 由最有可能觀測值去求取參數的估計數，稱為ˆ ，又稱為最大 概似估計數（maximum likelihood estimator）。例如要以n個特 定大小的樣本X1,…,Xn的平均數來推估參數，即為。
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變異數的區間估計（1/2）
• 區間估計的應用
– 變異數的抽樣分配為卡方分配
(X

2 ( n 1) n i
X)
2
2

i 1


ˆ ( n 1 )
2

2
– 對於變異數的估計必須參照卡方分配的機率 函數來求得上下限，據以進行區間估計。 – 利用卡方分配的機率函數，求出在1-的信 心水準下的上下限卡方值 與
i 1

ln
1 2 2

n

i 1
( xi 1 ) n ln ( 2 ) 2 2 2 2
2
(x
i 1
n
i
1 )
2
2 2
• 分別對於兩個參數進行一階偏微分，令式為0，同時解出兩個參數
2 2

2
轉折點
-3
-2
-1
0
1
2
3
圖 3 .1 常 態 曲 線 與 累 積 機 率 圖
6
常態分配的最大概似估計數
• 從此一常態母體N(，2)抽取n個獨立隨機變數X1,…,Xn，利用最大 概似法，由樣本統計量估計常態分配的兩個參數，需代入常態分配 的機率函數，得到二參數概似函數為
s
2 n
1 n 1

(Xi X )
2
i 1
n 1 n 1 2 E (ˆ2 ) E (s ) n n
2

2
8
平均數的區間估計
• 對於一個平均數的抽樣分配，標準誤是母體標準差除以樣本數開 跟號 • 配合常態機率，機率值68.26%、95.44%、99.74%稱為母數的區 間估計的信心水準（level of confidence），幾個標準誤的區間範 圍稱為母數的區間估計的信賴區間（confident interval）
1 n

n
(X i X )
2
i 1
• 常態母體N(1=，2=2)，對於與2的最大概似不偏 估計數如下，樣本變異數為母體變異數2的不偏估計
數
ˆ ˆ1 X
ˆ ˆ2
2
1
(X n
i 1
n
i
X )
2
( n 1) s n
2
• 樣本平均數的抽樣分配為N(,2/n)，最大概似估計數 是的偏估計數
• 選擇其中一個選項的百分比（以p表示），相對的，不選擇該選項 的比例就是1-p，或以q表示，兩者合計為100%。 • 百分比資料在計算p與q時，是以個別選項的反應為基礎，也就是 受測者在每一個二分決策的選擇（與未選擇）的百分比，而不是 以所有選項的整體百分比來計算。
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二項分配的原理
• 原理 • 二分變項的機率分配稱為二項分配（binominal distribution），是一種基於 白努力實驗（Bernoulli experiment） 所獲得的機率分配。 • 白努力實驗是指每一次獨立嘗試具有兩 個完全互斥結果的隨機實驗。 • 二項分配的機率函數如下： • 二項分配的平均數為np，標準差為：
2
估計的分類
• 點估計（point estimation）
– 以單一統計量來估計參數
• 區間估計（interval estimation）
– 利用區間估計的概念來說明可能涵蓋參數的 範圍 – 利用參數估計的信賴區間，除了反應了抽樣 誤差程度，還可以進行參數比較
3
估計的原理
• 估計的原理
– 從樣本統計量去推估參數 – 樣本統計量所存在的參數空間，以及這個參 數空間的機率特性是參數估計的基礎 – 如果參數空間的機率模式已知（如常態分 配），我們就可以藉由參數的特性去找到抽 樣分配的機率模式，間接估計出個別樣本事 件的出現機率，稱為最大概似估計法 （maximum likelihood estimation）
量化研究法二 統計原理與分析技術
第5章
參數估計
Parameter Estimation
基本概念
• 估計（estimation）
– 最基本的推論統計技術 – 目的在利用樣本統計量去推知母數
• 例如以利用樣本平均數（ X）去推估母體平均數 （μ） • 利用樣本變異數s2去推知母體變異數σ2。
– 利用樣本統計量去推估母數的過程又稱為參 數估計（parameter estimation）
的 9 5 % 信 賴 區 間 為 ： X 1 . 9 6 的 9 9 % 信 賴 區 間 為 ： X 2 . 5 8
X 1 . 9 6 X 2 . 5 8
2
X
X
X
X
母數估計的1-信賴區間為：
wk.baidu.com
X Z
X
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抽樣分配條件不明的區間估計
的 6 8 .2 6 % 信 賴 區 間 為 ： X 1 的 9 5 .4 4 % 信 賴 區 間 為 ： X 2 的 9 9 .7 4 % 信 賴 區 間 為 ： X 3
X
X 1
X
X
X 2 X 3
X
X
X
X
圖 5 .1 以 樣 本 平 均 數 X 為 中 心 的 抽 樣 分 配 機 率 圖 示
5
常態分配
• 常態分配（normal distribution）
– 指一個隨機變項的觀察值，呈現對稱的鐘形曲線分配 – 由德國數學家Gauss（Karl F. Gauss；1777-1855）所提出，因 此又稱為高斯分配（Gaussian distribution）。
f (x) 1 e
( x ) / 2
sp s n npq n pq
– 樣本百分比p去估計母體百分比（π）的區間估計：
π 的 1 - 信 賴 區 間 為 ： p Z s p
2
（ 5 -6 ）
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範例
• 某民意調查公司以電話訪問台灣地區18歲以上的1000 名成人對於是否贊成於離島設置賭場的看法，結果有 40%贊成，60%反對，此時真實母數的95%區間估計為：
4
概似函數與最大概似估計數
• 概似函數（likelihood function；L()）
– 隨機變數x的母體機率分配具有一個決定參數，對這個母體 進行抽樣，假設樣本含有n個觀察值，所形成的機率分配f(x;) 是n個獨立樣本的聯合機率分配，稱之為概似函數。
L ( ) L ( ; x1 , x 2 ,..., x n )
t X sX
的 1 - 信 賴 區 間 為 ： X t s X
2
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範例
• 某一個棒球隊的教練正在訓練投手投球，他記錄了某 一個投手在某一場比賽中的30個直球，球速平均為每 小時116.5(km/hr)，標準差為9.975(km/hr)，變異數 為99.5(km/hr)2，那麼這位投手直球球速的平均值的 95%信賴區間為
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區間估計的應用
• 信心水準的機率值 – 為信賴區間之內的機率 – 表示樣本可以推知母數的可能性 – 在特定的信心水準下所進行的區間估計，會有（1-信心水準）的 失誤率 – 其概念類似於犯下第一類型統計錯誤的機率，可以表示，信心 水準即為1-。 • 應用原理 – 一般在學術或實務應用，區間估計最常用的信心水準是95%或99%， 錯誤率分別為5%與1% – 由常態分配機率對照表可以查出所相對應的信賴區間為1.96與 2.58倍的標準誤 – 母數的區間估計的信賴區間可以表述如下
( 30 1) 99 . 5 42 . 56
2

2

( 30 1) 99 . 5 17 . 71
.4 .6 1000
. 4 1 . 96
. 4 1 . 96 . 0155 . 4 . 03
• 在95%的信心水準下，台灣18歲以上民眾有百分之37% 到43%的人贊成在離島設置賭場 • 或台灣18歲以上民眾有百分之40%的人贊成在離島設 置賭場，95%信心水準下的抽樣誤差為正負3個百分點
• 母體平均數的區間估計
– 利用標準化Z分配的機率概念來進行 – 基本前提是抽樣分配必須是常態分配
• 當抽樣分配條件不明（尤其是常態性假設可能遭 到違反時）
– 抽樣分配的標準誤無法估計，不宜使用標準Z分配的 概念進行區間估計 – 必須改用t分配來進行區間估計 – 利用t分配進行母體平均數的區間估計，是利用t分數 公式算出t值，配合t分配機率變化來決定信賴區間
(ln L ) 1
(ln L ) 2

1
2
n 2 2
(x
i 1
n
i
1 )
1 x
2


1 2 2
2

n
( xi 1 )
2
1
i 1
(x n
i 1
n
i
x )
2
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• 推導結果
對於1=，2=2，最大概似估計數分別為
ˆ1 X
ˆ2
f ( x ) C x P (1 P )
n x n x
Cx P Q
n x
n x
npq
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百分比的區間估計
• 原理
– 百分比的抽樣分配是一種二項分配，百分比的區間 估計的機率原理以二項分配的機率函數為基礎 – 百分比標準誤（standard error of the proportion，以sp 表示）為百分比抽樣分配的標準差的估計數
L ( 1 , 2 )

i 1
n
1 2 2
n
( xi 1 ) 2 exp 2 2
( x 1 ) 2 exp i 2 2 exp
n
ln L ( 1 , 2 ) ln

1 2 2
2 1
2

2
2
2 2 ( n 1) s 2 1 P 1 2 2 2

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變異數的區間估計（2/2）
• 變異數與標準差的區間估計通式：
( n 1) s
2

2
2

2

( n 1) s
2

2 1 2
（ 5 -11 ）