不定积分第一类换元法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不定积分第一类换元法（凑微分法）
一、 方法简介
设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有
dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=
从而根据不定积分的定义得
)
(]
)([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.
则有定理：
设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式
)
(]
)([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=
由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号
dx
dy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：
○1⎰⎰++=+)()(1
)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○
2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，
⎰⎰-=x
d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，
⎰⎰
=x d x f x dx x f tan )(tan cos )
(tan 2，x d x f x
dx
x f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx x
x f ln )(ln 1
)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(； ○
4n n n n x d x f n
dx x x f ⎰⎰=
-)(1
)(1)0(≠n ，
⎰⎰
-=)1
()1()1(2x
d x f x dx x f ，
⎰
⎰=)()(2)
(x d x f x
dx x f ；
○
5⎰⎰=-x d x f x
dx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2
；
⎰⎰
=+x d x f x
dx
x f arctan )(arctan 1)
(arctan 2
； ○
6复杂因式
【不定积分的第一类换元法】 已知
()()f u du F u C =+⎰
求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=
=⎰
⎰⎰ 【凑微分】
()()f u du F u C =
=+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】
(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】
【求不定积分()g x dx ⎰
的第一换元法的具体步骤如下：】
（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=
⎰
⎰
（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ=
=⎰
⎰⎰
（3）作
变
量
代
换
()
u x ϕ=得：
()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰
（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：
()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰
（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：
()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+
【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
二、典型例题
○1⎰
⎰++=+)()(1
)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； 例1.⎰-dx x 2010
)12( 例2.
⎰
+231x x [1]
例3.⎰+++3
22)1(1x x xdx [1]
例4.dx x x x ⎰
-+4
31[1]
1．解：令12-=x u ,dx du 2=,
C x C u dx x +-⋅=+⋅=-⎰2011
)12(21201121)
12(2011
20112010
2．解：令2x t =，
=
+⎰
2
31x x ⎰⎰+-+=+t dt
t t tdt 1)11(21121
⎰⎰++-++=)1(1
1
21)1(121t d t t d t