第二章水静力学-王瑜

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2．总压力的作用点（压力中心）
设总压力作用点的位置在D，它在坐标系中的坐标（ LD , bD ）。 由合力矩定理知，合力对任一轴的力矩等于各分力对同一轴力 矩之和。 2 对Ob轴： Fp LD LpdA g sin a L dA
A A
根据平行移轴定理，可得 令 I b L dA I c Lc 2 A ,则有
液面下的淹没深度为h，故M
点的静水压强p
gh, 微
分面dA上各点压强可视为与
M点相同。则
hc Lc sin a, h L sin a, hD LD sin a
dFp pdA ghdA gLsin adA
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1．总压力的大小
作用在围绕点M的微分面积 dA 的静水压力 dFp pdA ghdA
LdA L
A
C
A
p
L C 为平面EF形心点C至Ob轴的距离 h C 为平面EF形心点C在液面下的淹没深度，
为形心点C的静水压强 。
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FP ghc A pC A
表明：作用于任意平面上的静水总压力，等于 平面形心点上的静水压强与平面面积的乘积。 形心点压强 p C ，可理解为整个平面的平均静 水压强。
设M点在boL参考坐标系上的坐标为（b，L），则， h L sin a,
整个平面EF上的静水总压力为： Fp dFp ghdA g sin a LdA
A A A
而
LdA表示平面 EF对Ob 轴的面积矩，并且
A
FP g sin LC A ghc A pC A
xc
I xy I xc yc abA
b
x
P28
二、作用于任意平面上的静水总压力（解析法）
取一任意形状平面EF，倾 斜置放于水中，与水平面的 夹角a，平面面积为A，平 面形心点在C。为了简便，
以平面EF的延长面与水面的
交线ob（横轴），以及与ob 相垂直的OL为一组坐标系
boL。
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在EF平面任选一点M,围绕点 M取一微分面积dA。设M点在
2
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Ic LD Lc Lc A
LD为压力作用点 D的横坐标
Lc 为平面EF形心点C到Ob轴的距离
I c为对形心横轴的惯性矩
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Ic LD Lc Lc A
Ic表示平面EF对于通过 其形心C且与Ob轴平行 的轴线的惯性矩。
由此看出 LD Lc ，即总压力作用点D在平面形心C之下。 再将静水压力对OL轴取矩：
解：计算总压力
FP PC A ghC R 2 9.8 8 3.1412 246kN
作用点D应位于纵向对称轴上，故仅需求出D点在纵向 对称轴上的位置。 在本题情况下， LC hC , 故
LD hD
IC hD hC hC A
1 I C R 4 4
表1－1 几种常见平面静水压力及作用点位置表
平面在水中 位置* 平面形式 静水总压力P值 压力中心距水 面的斜距
矩 形
D
P
g
2
Lb2 L1 L
LD L1
L
sin
b
3L1 2 L L 32 L1 L
LD L1

LD
P
L1
等 腰 梯 形 圆
B D L
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惯性矩：面积元素dA与其至x轴或y轴距离平方的
乘积y2dA或x2dA，分别成为该面积元素对于x轴或y 轴的惯性矩或截面二次轴距。
惯性积：直角坐标系里某面积微元dA与其到指定x，
y轴距离乘积的积分。
I bL bLdA
A
惯性矩平行移轴公式：
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平行移轴公式
x , y ——任意一对坐标轴 C —— 截面形心 （a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的 坐标。 xc , yc ——过截面的形心 c 且与 x , y 轴平 行的坐 标轴（形心轴）
C(a,b)
y
yc
a
xc
o
b
x
Ix , Iy , Ixy
_____ 截面对
x , y 轴的惯性矩和惯性积。
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
y yc
I x I xc a A
2
Iy Iy b A
2
c
a o
C(a,b)
FP 9.8 12.61 4 6 2964 kN
求P的作用点距水面的斜距 LD LC
LC
IC LC A
h1 1 10 3 3 11.5 14.5m 0 2 sin 60 0.87
对矩形平面，绕形心轴的面积惯矩为
1 I C 4 6 3 72 m 4 12
Fp bD bpdA g sin a bLdA
A A
令 I bL bLdA
A
可得 I bL 称为EF平面对Ob及OL轴的惯性积
g sin aIbL I bL D点纵坐标： bD gLC sin aA LC A
只要求出LD及 bD ，则压力中心D的位置即可确定。 很显然，若平面EF有纵向对称轴，则不必计算bD值，因为D点 必定落在纵向对称轴上。 21
3L1 B b LB 2b
6
P g sin
2B 2bL1 B 2bLL 6B bL1 2B 2bL
LD L1 D8L1 5D 82 L1 D
b
L
P
D D

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形
D 2 L1 D 8 g sin
2
半 圆 形
D D
D2 3L1 2 D P 24 g sin
LD L1
P30
D32L1 3D 163L1 2 D
*当闸门为铅垂置放时， 900 ，此时L1为h1，LD 为 hD **对等腰三角形平面，相当于等腰梯形平面中令b＝0的情况。
22
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例2-9 某泄洪隧洞，在进口倾斜设置一矩形平板闸门 见图），倾角为600，门宽b为4m，门长L为6m，门顶在 水面下淹没深度h1为10m，若不计闸门自重时，问沿斜 面拖动闸门所需的拉力T为多少（已知闸门与门槽之间 摩擦系数f为0.25）？门上静水总压力的作用点 在 哪里？
解：当不计门重时，拖动门的拉力至少需克服闸门与门槽 间的摩擦力，故FT＝ FP f 。为此须首先求出作用于门上 静水总压力FP。
可见，采用上述两种方法计算其结果完全相同。
72 LD 14.5 14.5 0.21 14.71m 14.5 4 6
（3）沿斜面拖动闸门的拉力
FT FP f 2964 0.25 741 kN
例2-10 一垂直放置的圆形平板闸门（见图），已知闸门 半径R为1m，形心在水下的淹没深度 hc 为8m，求作用于闸 门上静水总压力的大小及作用点位置。
圆形平面绕圆心轴线的面积惯矩
1 4 R 2 1 hD 8 4 8 8.03m 2 32 8 R

部分或全部浸没于静止液体中的物体， 其表面所受到的静水总压力仅存在铅直 分力，叫做浮力。它的大小等于物体所 排开液体的重量，这就是著名的阿基米 德原理。 浮力指物体在流体（包括液体和气体） 中，上下表面所受的压力差。 浮力的方向：竖直向上
第二章
水静力学
2.1 静水压强及其特性
2.2 液体的平衡微分方程
2.3 水静力学基本方程及其应用
2.4 作用于平面上的静水总压力
2.5 作用于曲面上的静水总压力
1
2.4 作用于平面上的静水总压力
2
2.4
作用于平面上的静水总压力
水工建筑物常常都与水体直接接触，计算某一 受压面上的静水压力是经常遇到的实际问题。 由于在工程界，习惯于把静水压强简称为静水 压力，为避免混乱，我们把某一受压面上所受的 静水压力称为静水总压力。


1）用压力图法求FP及作用点位置 首先画出闸门AB上静水压强分布图。 门顶处静水压强为 gh1 9.8 10 98kPa
门底处静水压强为
gh2 g (h1 L sin 600 ) 9.8 (10 6
3 ) 9.8 15.22 149kPa 2
压强分布图为梯形，其面积
FP b
5
整个矩形平面的静水总压力，则等于平面宽度乘压强 分布图的面积：
FP b
压强分布图为梯形 1 ( gh1 gh2 ) L 2 g 则静水总压力 Fp (h1 h2 )bL 2
作用点(压力中心)：
Fp 作用点位于纵向对称轴O-O上，同时还应通过
压强分布图的形心点Q。
1 1 ( gh1 gh2 ) L (98 149 ) 6 741kN/m 2 2
静水总压力
Fp b 4 741 2964 kN
静水总压力作用点距闸门底部的斜距
3 6(2 10 10 6 ) L(2h1 h2 ) 2 2.79m e 3(h1 h2 ) 3 3(10 10 6 ) 2
A 2
Ib表示平面EF对于ob轴的 轴线的面积惯矩。
2
Fb LD g sin aIb g sin a(I c Lc A)
D点横坐标：
LD
g sin a( I c Lc A)
2
Fp
g sin a( I c Lc A) Ic Lc gLc sin a A Lc A
总压力P距水面的斜距
h1 10 LD ( L ) e (6 ) 2.79 14.71m 0 sin 60 0.87
（2）用解析法计算FP及 LD 以便比较
FP p0 A ghC bL
L 6 0 hC h1 sin 60 10 0.87 12.61m 2 2
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作用点：1、当压强分布图为三角形分布时，压力中心D离
底部距离为 e 1 L或压力中心位于水平面 下 2 h处;
3 3
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2、当压强分布图为梯形分布时，压力中心离底部的距离
L(2h1 h2 ) e 3(h1 h2 )
P32
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二、作用于任意平面上的静水总压力
P28
面积矩：面积与它到轴的距离之积。平面图形对某一 轴的面积矩S，等于此图形中各微面积与其到该轴距 离的乘积的代数和，也等于此图形的面积与此图形 的形心到该轴距离的乘积。 合力矩定理：合力对任一轴的力矩等于各分力对同一轴 力矩之和。
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在工程实际中，需要计算液体作用在平面上静水总 压力的大小、方向、作用点。
计算方法有压力图法和解析法。
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2．矩形平面静水总压力的计算（压力图法）
平面上静水总压力的大小，应等于分布在平面上各 点静水压强（压力）的总和；
因而，作用在单位宽度上的静水总压力，应等于静 水压强分布图的面积； 整个矩形平面的静水总压力，则等于平面宽度乘压 强分布图的面积。