统计学(本科)教学课件第五章平均指标
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统 计 学第五章(平均指标)
人数（人） 人数（ 甲班f 39 1 40 丁班f 39×2 39× 1× 2 40×2 40×
比重权数
x
60 100 合计
39/40 1/40 100%
算术平均数的主要数学性质1 算术平均数的主要数学性质1
算术平均数与标志值个数的乘积等于? 算术平均数与标志值个数的乘积等于 算术平均数与标志值个数的乘积等于 各标志值的总和。 各标志值的总和。 即：x = ∑ xi 或 ∑ n i =1
（比较：按复利计息时的平均年利率为6.85﹪） 比较：按复利计息时的平均年利率为6.85﹪
简单算术平均数的计算实例
【例】 某售货小组5个人，某天的销售额 某售货小组5个人，
分别为520 分别为520元、600元、480元、750 520元 600元 480元 440元 元、440元，则 平均每人日销售额为： 平均每人日销售额为：
∑ x = 520 + 600 + 480 + 750 + 440 x=
适用于总体资料经过 B. 加权算术平均数 ——适用于总体资料经过 分组整理形成变量数列的 情况
m
x1 f 1 + x 2 f 2 + L L + x m f m x= = f1 + f 2 + L L + f m
∑x
i =1 m
i
fi
∑
i =1
fi
式中： 为算术平均数; 组的次数； 式中： 为算术平均数; f i 为第 i 组的次数； X m 为组数； i 为第 i 组的标志值或组中值。 为组数； 组的标志值或组中值。 X
第四节 平均指标的计算与应用
一、什么是平均指标? 什么是平均指标?
统计学基础课件 第五章 平均指标和变异指标
第五章 平均指标和变异指标
第一节 平均指标 第二节 变异指标
第五章 平均指标和变异指标
第一节 平均指标 ❖ 一、平均指标的意义和作用 ❖ 二、平均指标的种类和计算方法 ❖ 三、计算和运用平均指标应注意的问题
第五章 平均指标和变异指标
一、平均指标的意义和作用
❖概念：
又称统计平均数，是用以反映现象一般水平的指标，有静 态平均数和动态平均数之分。本节主要介绍静态平均数。
现资料之间存在一定数学关系，应首先考虑算术平均数 的变形公式 —— 调和平均法。
注: 调和平均法计算平均数时,依据的是加权算术平均法, 但又不能直接使用,须借助于某两个数值相除得到需要的 数值再计算平均数,故调和平均数是算术平均数的变型公 式。
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
❖ (二)调和平均数的计算公式
计算公式
简单式 未分组 加权式 已分组
x
n 1
x
单项式 组距式
m
x
m x
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某市场上有四种价格的苹果，每公斤分别为4、
5、8、10元，试计算：各买1元钱，平均每公斤多少 钱解？：平均单价：
xH
n
1 x
1 4
1 5
4 1 1
8 10
5.9(元/公斤)
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某小组5位成员某次考试的成绩分别为60分、88分、
75分、52分、96分，则该小组成员的平均成绩是多少？
解：平均成绩 x x 60 88 75 52 96 74.2(分)
n
5
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某商品有两种型号，单价分别为2元和3元，已
第一节 平均指标 第二节 变异指标
第五章 平均指标和变异指标
第一节 平均指标 ❖ 一、平均指标的意义和作用 ❖ 二、平均指标的种类和计算方法 ❖ 三、计算和运用平均指标应注意的问题
第五章 平均指标和变异指标
一、平均指标的意义和作用
❖概念：
又称统计平均数，是用以反映现象一般水平的指标，有静 态平均数和动态平均数之分。本节主要介绍静态平均数。
现资料之间存在一定数学关系，应首先考虑算术平均数 的变形公式 —— 调和平均法。
注: 调和平均法计算平均数时,依据的是加权算术平均法, 但又不能直接使用,须借助于某两个数值相除得到需要的 数值再计算平均数,故调和平均数是算术平均数的变型公 式。
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
❖ (二)调和平均数的计算公式
计算公式
简单式 未分组 加权式 已分组
x
n 1
x
单项式 组距式
m
x
m x
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某市场上有四种价格的苹果，每公斤分别为4、
5、8、10元，试计算：各买1元钱，平均每公斤多少 钱解？：平均单价：
xH
n
1 x
1 4
1 5
4 1 1
8 10
5.9(元/公斤)
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某小组5位成员某次考试的成绩分别为60分、88分、
75分、52分、96分，则该小组成员的平均成绩是多少？
解：平均成绩 x x 60 88 75 52 96 74.2(分)
n
5
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某商品有两种型号，单价分别为2元和3元，已
统计学课件5bk-平均指标与标志变异指标
• 2、加权调和平均数
M
h
=
∑ ∑
m m x
例：三种水果各买了15元、20元、25元，则 三种水果各买了15元 20元 25元 15 平均价格为？ 平均价格为？ • 与加权算数平均数的关系 P92 ：例-表5-5、5-6、5-7
• 算术平均数和调和平均数的选择：没有 直接给出分子数，用算术平均数；没有 直接给出分母数，用调和平均数。 （三）几何平均数 Mg 是n个变量值连乘积的n次方根. 1、简单几何平均数—例5-8
n
• （2）
x ∑d f X = •d ∑f
• （3）各变量值与其算术平均数离差之和 为0 • （4）各变量值与其算术平均数离差平方 和为最小值。
x ∑d X = •d n
4、算术平均数的简捷计算法 • （1） ∑ ( x − a) f
X =
∑f
+a
• （2）
x−a ∑ d f •d +a X = ∑f
（二）调和平均数（倒数平均数）Mh 调和平均数（倒数平均数） 1、简单调和平均数
1 n Mh = = 1 1 1 1 1 ( + + ... + ) ∑ n x1 x2 xn x
例:有三种水果每千克分别为10元、15元、 有三种水果每千克分别为10元 15元 10 20元 且三种水果各买了1 20元，且三种水果各买了1元，则三种水 果的平均价格？ 果的平均价格？
σ=
∑(x − X) ∑f
2
2
f
f 2 = ∑(x − X) ∑f
2
= (1− p) p +(0− p) q = pq = p(1− p)
案例分析
P113：案例分析1、2 作业：练习题2、3、4、5、7
第五章平均指标ppt课件(全)
• 其他求和的法则或公式 P62-63
第二节算术平均数
• 一、 算术平均数的基本公式
• 平均数是社会经济统计中最常用的一种平均指标。
▪计算公式
总体标志总量 算术平均数= ————————
总体单位总数
• 该基本公式具有两个特点: • ①分子和分母必须属于同一个总体。 • ②分子和分母有一一对应的数量关系。
• 在统计实践中,直接应用调和平均数的情况较少,大 多数情况下是将调和平均数作为算术平均数的变 形来应用的,即在计算平均指标时,由于掌握资料的 原因,不能直接按算术平均数的方法计算出平均数, 而以调和平均数的形式计算平均指标。
• 二、调和平均数的计算公式
• 调和平均数的计算公式也分为简单调和平均数 和加权调和平均数两种。
第五节中位数和众数
• 前面所讲的几种平均指标,都是根据统计总体中的 全部标志值或变量值计算的。当数列中出现极大 值或极小值时,它们最易受到极端值的影响,从而减 弱了平均指标在总体中的代表性。
• 众数和中位数则是另一种类型的平均指标,它们是 根据其在总体中所处的位置或地位确定的,故不受 数列中极端值的影响。
• 二、几何平均数的计算方法 • 1.简单几何平均数
• 简单几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根
G nX 1•X 2•X 3• •X n n X
• 式中： 【Xi —数列中第i个变量值(i=1，2，…，n)
•
n —变量值个数
•
∏—连乘符号】 例如P72
• 2.加权几何平均数 • 当各个变量值出现的次数不相同时,计算几何
n —— 总体单位总数；
∑ —— 总和符号。
• 三、加权算术平均数
• 当总体单位数量较多时,统计资料 就需要整理成变量分配数列,或在 已编制好分配数列的条件下,计算 平均数就应采用加权算术平均数 的方法。
第二节算术平均数
• 一、 算术平均数的基本公式
• 平均数是社会经济统计中最常用的一种平均指标。
▪计算公式
总体标志总量 算术平均数= ————————
总体单位总数
• 该基本公式具有两个特点: • ①分子和分母必须属于同一个总体。 • ②分子和分母有一一对应的数量关系。
• 在统计实践中,直接应用调和平均数的情况较少,大 多数情况下是将调和平均数作为算术平均数的变 形来应用的,即在计算平均指标时,由于掌握资料的 原因,不能直接按算术平均数的方法计算出平均数, 而以调和平均数的形式计算平均指标。
• 二、调和平均数的计算公式
• 调和平均数的计算公式也分为简单调和平均数 和加权调和平均数两种。
第五节中位数和众数
• 前面所讲的几种平均指标,都是根据统计总体中的 全部标志值或变量值计算的。当数列中出现极大 值或极小值时,它们最易受到极端值的影响,从而减 弱了平均指标在总体中的代表性。
• 众数和中位数则是另一种类型的平均指标,它们是 根据其在总体中所处的位置或地位确定的,故不受 数列中极端值的影响。
• 二、几何平均数的计算方法 • 1.简单几何平均数
• 简单几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根
G nX 1•X 2•X 3• •X n n X
• 式中： 【Xi —数列中第i个变量值(i=1，2，…，n)
•
n —变量值个数
•
∏—连乘符号】 例如P72
• 2.加权几何平均数 • 当各个变量值出现的次数不相同时,计算几何
n —— 总体单位总数；
∑ —— 总和符号。
• 三、加权算术平均数
• 当总体单位数量较多时,统计资料 就需要整理成变量分配数列,或在 已编制好分配数列的条件下,计算 平均数就应采用加权算术平均数 的方法。
5平均指标讲解
0.5 0.2 0.1
以公式表示
H
n
n
1 1 1
1
x1 x2
xn
x
2、加权调和平均数
例5前进化工厂2004年11月购进三批A原料，每批的 价格及金额如下,则这三批原料的平均价格是:
A原料的购入价格和金额资料
批次
第一批 第二批 第三批 合计
价格（元/公斤） 金额（元） 购进数量（公斤）
x
m
m /x
平均收益率＝114.91%-100％=14.91%
几何平均数(加权)
•一笔存款存入银行十年，前两年的年利率 为6%，第三年至第五年的年利率为5%，后 五年的年利率为3%。如果按照复利计算， 这笔存款的年平均利率为多少？
G 10 1.062 1.053 1.035 1.042
1.042-1=4.2%，即年平均利率为4.2%
5、 平均数与变异分析相结合
离中趋势
1.数据分布的另一个重要特征； 2.反映各变量值远离其中心值的程度(离散 程度)； 3.从另一个侧面说明了集中趋势测度值的 代表程度；
第五节 标志变异指标
一、标志变异指标的概念和作用
1、概念 2、作用 （1）标志变异指标是衡量平均数代表性大小的尺度 （2）标志变异指标可以反映社会经济活动过程的节奏性、均衡性和稳定性 （3）标志变异指标是科学地确定必要的抽样单位数应考虑的重要因素 二、标志变异测定指标
1、全距： 总体各单位变量值中最大值与最小值之差 极差 = 最大变量值 – 最小变量值 例 11 某生产班组26名工人的日产量资料
日产量（件）
12 14 16 18 20 22 合计
工人数（人）
2 4 8 7 3 2
26
第五章 平均指标和变异指标 《统计学原理》PPT课件
第五章 平均指标和变异指标
第一节 平均指标的概念和作用
一、平均指标的概念 平均指标，是同类社会经济现象总体内 各单位某一数量标志在一定时间、地点和条件 下数量差异抽象化的代表性水平指标，其数值 表现为平均数。
二、平均指标的作用 (一)利用平均指标，可以了解总体次数分布的集
(二)利用平均指标，可以对若干同类现象在不同 单位、地区间进行比较研究
G
f 1 f 2 f 3 fn X1 f 1 • X 2 f 2 • X 3 f 3 • X n fn
f
Xf
［公式5—8］
第五节 众数和中位数
一、众数
在观察某一总体时，最常遇到的标志值，在 统计上称为众数。
下限公式:
M0
L
( f0
( f0 f 1 ) f 1) ( f0
•i f 1 )
X1 X 2 X 3
Xn
m
1 X
［公式5—6］
[例5-4]某农产品收购部门,某月购进三批 同种产品,每批产品的价格及收购金额见表 5-3,求三批产品的价格.
［例 5-4］
第一批 第二批 第三批
合计
价格X(元/千 克) 50 55 60
_
收购金额 m(元) 11000 27500 18000
56500
(三)利用平均指标，可以研究某一总体某种数值 的平均水平在时间上的变化，说明总体的发展过程和 趋势
二、平均指标的作用 (四)利用平均指标，可以分析现象之间的 依存关系 (五)平均指标可作为某些科学预测、决策 和某些推算的依据
第二节 算术平均数
一、算术平均数的基本形式
算术平均数
总体标志总量 总体单位总数
［公式5—1］
例如,某公司某月的工资总额为744万元,工 人总数为2000人,则该公司工人的月平均工 资为:
第一节 平均指标的概念和作用
一、平均指标的概念 平均指标，是同类社会经济现象总体内 各单位某一数量标志在一定时间、地点和条件 下数量差异抽象化的代表性水平指标，其数值 表现为平均数。
二、平均指标的作用 (一)利用平均指标，可以了解总体次数分布的集
(二)利用平均指标，可以对若干同类现象在不同 单位、地区间进行比较研究
G
f 1 f 2 f 3 fn X1 f 1 • X 2 f 2 • X 3 f 3 • X n fn
f
Xf
［公式5—8］
第五节 众数和中位数
一、众数
在观察某一总体时，最常遇到的标志值，在 统计上称为众数。
下限公式:
M0
L
( f0
( f0 f 1 ) f 1) ( f0
•i f 1 )
X1 X 2 X 3
Xn
m
1 X
［公式5—6］
[例5-4]某农产品收购部门,某月购进三批 同种产品,每批产品的价格及收购金额见表 5-3,求三批产品的价格.
［例 5-4］
第一批 第二批 第三批
合计
价格X(元/千 克) 50 55 60
_
收购金额 m(元) 11000 27500 18000
56500
(三)利用平均指标，可以研究某一总体某种数值 的平均水平在时间上的变化，说明总体的发展过程和 趋势
二、平均指标的作用 (四)利用平均指标，可以分析现象之间的 依存关系 (五)平均指标可作为某些科学预测、决策 和某些推算的依据
第二节 算术平均数
一、算术平均数的基本形式
算术平均数
总体标志总量 总体单位总数
［公式5—1］
例如,某公司某月的工资总额为744万元,工 人总数为2000人,则该公司工人的月平均工 资为:
统计学第5章—平均变异指标
5
二、平均指标的特点
① 抽象性； ② 同质性； ③ 具体性。
6
三、平均指标的基本公式
总体标志总量 平均指标 =
总体单位总量
7
第二节 算术平均数
是各单位标志值通过一定 方式汇总，再与全部单位总数 对比的指标。
8
一、简单算术平均数
假设总体有n个单位，各单位
的标志值用 x1，x2，，xn 表示；
标志值一般水平用 x 表示。 则：
按日产零件分组（件） 工人数（人）
13 x1 14 x2 15 x3 16 x4 17 x5 合计
2 f1 4 f2 4 f3 6 f4 4 f5 20 Σf
11
推导公式：
x x1 f1 x2 f2 xn fn
n
f1 f2 fn
xi fi
i 1 n
fi
xf f
i 1
即：x xf
甲
4690.00
280
乙
4360.00
420
丙
4871.20
150
合计
？ 4558.92
850
解：
x
4690 280 4360 4216
第三节 调和平均数
是标志值的倒数的算术平均数的倒数。
（倒数平均数）
一、简单调和平均数
实例：设市场上某种蔬菜价格，早市每斤2.50元， 中午每斤2.00元，晚市每斤1.00元。
⑴ 早、中、晚各买1斤，问平均每斤价格？
x x 2.50 2.00 1.00 1.83（元/ 斤）
n
3
17
⑵ 早、中、晚各买1元，问平均每斤价格？
解：① 2.50 2.00 1.00 ； ② 早上1元买 1 / 2.50 斤，中午买1 / 2.00 斤，
二、平均指标的特点
① 抽象性； ② 同质性； ③ 具体性。
6
三、平均指标的基本公式
总体标志总量 平均指标 =
总体单位总量
7
第二节 算术平均数
是各单位标志值通过一定 方式汇总，再与全部单位总数 对比的指标。
8
一、简单算术平均数
假设总体有n个单位，各单位
的标志值用 x1，x2，，xn 表示；
标志值一般水平用 x 表示。 则：
按日产零件分组（件） 工人数（人）
13 x1 14 x2 15 x3 16 x4 17 x5 合计
2 f1 4 f2 4 f3 6 f4 4 f5 20 Σf
11
推导公式：
x x1 f1 x2 f2 xn fn
n
f1 f2 fn
xi fi
i 1 n
fi
xf f
i 1
即：x xf
甲
4690.00
280
乙
4360.00
420
丙
4871.20
150
合计
？ 4558.92
850
解：
x
4690 280 4360 4216
第三节 调和平均数
是标志值的倒数的算术平均数的倒数。
（倒数平均数）
一、简单调和平均数
实例：设市场上某种蔬菜价格，早市每斤2.50元， 中午每斤2.00元，晚市每斤1.00元。
⑴ 早、中、晚各买1斤，问平均每斤价格？
x x 2.50 2.00 1.00 1.83（元/ 斤）
n
3
17
⑵ 早、中、晚各买1元，问平均每斤价格？
解：① 2.50 2.00 1.00 ； ② 早上1元买 1 / 2.50 斤，中午买1 / 2.00 斤，
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全距=最大的标志值－最小标志值
(二)平均差
平均差是指各标志值与其算术平均数离 差的绝对值的算术平均数。常用A.D表示。 其计量单位与标志值的计量单位相同。
1.对未分组资料，采用简单算术平均式 2.对分组资料，采用加权算术平均式
(五)简单算术平均数与加权算术平 均数的关系
二者的区别： 1.二者掌握总体单位资料的详尽程度不同。 2.二者的计算精确程度不同。用简单算术
平均数计算的平均数是精确值,而用加权算 术平均数计算的平均数是近似值。 二者的联系是：当各组的权数相同时，加 权算术平均数就变成了简单算术平均数。
三、调和平均数
(二)标志变异指标的作用
1.标志变异指标是衡量平均指标代表性大小 的重要尺度
2.标志变异指标是反映社会经济活动过程的 均衡性与协调性的重要指标
3.标志变异指标是抽样方案设计的依据之一
二、标志变异指标的计算
(一)全距
全距也叫极差，通常用R表示。它是测定标志 变动度最简单的方法，计算总体各单位标志 值中最大值与最小值之差。它表示总体各单 位标志变动度的大小，也反映了总体分散与 集中的程度。一般说来，全距大，总体各单 位变异程度大；全距小，总体各单位变异程 度小。
一、标志变异指标概述
(一)标志变异指标的概念 标志变异指标是用来说明总体单位标志值之间差
异大小和程度的指标，也称为标志变动度。常用 的标志变异指标有全距、平均差、标准差和离散 系数等。 平均指标与标志变异指标的区别主要是： (1)前者是抽象变量值之间的差异而成的结果，后 者则是反映变量之间差异而成的结果； (2)前者反映了总体分布的集中趋势，后者反映了 总体分布的离中趋势。
第二节 标志变异指标
在统计研究中，一方面要计算平均指标。平均指 标是将总体各单位某一数量标志值的差异抽象化， 只反映总体的一般水平与共性，反映的是总体的 集中趋势，但它同时也掩盖了总体各单位的数量 差异，不能全面描述总体分布的特征。因此另一 方面也要计算标志变异指标，用以反映总体各单 位标志值的差异程度。从另一方面说明总体分布 的特征，反映总体分布的离中趋势。因此，两者 紧密联系，分别从不同角度分析现象的特征。
二、算术平均数
算术平均指标是统计中最基本最常用的一种综合指标。 它是将总体各单位的标志值相加求其算术总和，然后除 以总体单位个数而得。
基本公式为： 算术平均数=总体标志总量/总体单位总量
算术平均数与强度相对数的区别: 1.分子、分母资料是否属于同一总体范围。 2.分子与分母数值是否具有一一对应关系。
五、众数和中位数
（一）位置平均数的意义
中位数和众数合称为位置平均数，它是 一种特殊的平均数，前面介绍的几种平均 数都是根据总体各单位的标志值（即变量 值）来计算的，各标志值的次数（）分布 仅仅起着权数的作用。而中位数和众位数 不同，它们是根据各个变量在数列中的位 置来确定的，所以才叫位置平均数，它不 会受极端变量值的影响。
2.众数的确定
（1）单项式数列确定众数 对于单项式数列，可以根据定义直接求出。 （2）组距式数列确定众数 对于组距式数列，应先根据定义确定众数
所在的组，然后用众数的上限或下限公式 求出众数的具体数值。
Байду номын сангаас
（三）中位数
1.中位数的概念 中位数()是指位于总体分布中点位置上的标志值。
所谓分布中点，意味着有一半单位的标志值小于 该点的标志值，而另—半单位的标志值必定大于 该点的标志值。 2.中位数的确定方法 (1)根据未分组资料确定中位数 (2)根据分组资料确定中位数 分组资料可以分为单项式变量数列和组距式变量 数列。
（二）众数
众数的概念
众数是指总体中出现次数最多的标志值， 用表示。它能够鲜明地反映数据分布的集 中趋势。它既不受极端变量值大小的影响， 也不受极端变量值位置的影响。也不受极 端变量值位置的影响。在总体单位数多且 有明显集中趋势时，确定众数既方便且意 义明确。如总体单位数较少，或虽多但无 明显集中趋势，就不存在众数。
四、几何平均数
几何平均数也叫几何平均指标，是计算平均比率 和平均速度最适用的一种方法,用G表示，它也有 简单几何平均数和加权几何平均数之分。
1.简单几何平均数 简单几何平均数是n个标志值连乘积的n次方根， 2.加权几何平均数 对于分组资料x1,x2,…,xn，若其相应的次数为
f1,f2,…,fn，则必须以指数形式给各变量值加权， 然后求其平均数。
(一)概念 调和平均数也叫调和平均指标，它是标志值倒
数的算术平均数的倒数，所以，亦称为倒数平 均数，用H来表示。 （二）调和平均数分为简单调和平均数和加权 调和平均数两种。 1.简单调和平均数 简单调和平均法是先计算总体单位标志值倒数 的加权算术平均数，然后计算其倒数。 2.加权调和平均数
算术平均数的计算
1.简单算术平均数 将总体各单位的标志值简单相加求得标志
总量，然后除以总体单位总量，即得平均 数。 公式表示
2.加权算术平均数
用标志值乘以相应的各组单位数求出各 组的标志总量，并加总求得总体标志总 量，再除以总体单位总数即得。
(1)根据单项式变量数列计算算术平均数 （2）根据组距式变量数列计算算术平均
统计学（本科）教学课件第五章平 均指标
第一节 平均指标
一、平均指标的概念和特点 (一)概念 平均指标又称统计平均数，指同质总体某一标志
值在一定的时间、地点、条件下所达到的一般水 平，是总体的代表值，反映了总体分布的集中趋 势。 (二)特点: 1.总体同质性。 2.数量抽象性。 3.集中趋势代表性。
数
(四)算术平均数的数学性质和应用
1.算术平均数的数学性质 (1)算术平均数与变量值个数的乘积等于各变量值
之和。 (2)若将各变量值x 均加减上一常数A，则新平均
数等于原平均数加减A。 (3)若将各变量值x均乘以某一常数i，则新的平均
数等于原平均数乘以i。 (4)各变量值x对算术平均数的离差之和等于0。 (5)各变量值与平均数离差的平方和最小。
(二)平均差
平均差是指各标志值与其算术平均数离 差的绝对值的算术平均数。常用A.D表示。 其计量单位与标志值的计量单位相同。
1.对未分组资料，采用简单算术平均式 2.对分组资料，采用加权算术平均式
(五)简单算术平均数与加权算术平 均数的关系
二者的区别： 1.二者掌握总体单位资料的详尽程度不同。 2.二者的计算精确程度不同。用简单算术
平均数计算的平均数是精确值,而用加权算 术平均数计算的平均数是近似值。 二者的联系是：当各组的权数相同时，加 权算术平均数就变成了简单算术平均数。
三、调和平均数
(二)标志变异指标的作用
1.标志变异指标是衡量平均指标代表性大小 的重要尺度
2.标志变异指标是反映社会经济活动过程的 均衡性与协调性的重要指标
3.标志变异指标是抽样方案设计的依据之一
二、标志变异指标的计算
(一)全距
全距也叫极差，通常用R表示。它是测定标志 变动度最简单的方法，计算总体各单位标志 值中最大值与最小值之差。它表示总体各单 位标志变动度的大小，也反映了总体分散与 集中的程度。一般说来，全距大，总体各单 位变异程度大；全距小，总体各单位变异程 度小。
一、标志变异指标概述
(一)标志变异指标的概念 标志变异指标是用来说明总体单位标志值之间差
异大小和程度的指标，也称为标志变动度。常用 的标志变异指标有全距、平均差、标准差和离散 系数等。 平均指标与标志变异指标的区别主要是： (1)前者是抽象变量值之间的差异而成的结果，后 者则是反映变量之间差异而成的结果； (2)前者反映了总体分布的集中趋势，后者反映了 总体分布的离中趋势。
第二节 标志变异指标
在统计研究中，一方面要计算平均指标。平均指 标是将总体各单位某一数量标志值的差异抽象化， 只反映总体的一般水平与共性，反映的是总体的 集中趋势，但它同时也掩盖了总体各单位的数量 差异，不能全面描述总体分布的特征。因此另一 方面也要计算标志变异指标，用以反映总体各单 位标志值的差异程度。从另一方面说明总体分布 的特征，反映总体分布的离中趋势。因此，两者 紧密联系，分别从不同角度分析现象的特征。
二、算术平均数
算术平均指标是统计中最基本最常用的一种综合指标。 它是将总体各单位的标志值相加求其算术总和，然后除 以总体单位个数而得。
基本公式为： 算术平均数=总体标志总量/总体单位总量
算术平均数与强度相对数的区别: 1.分子、分母资料是否属于同一总体范围。 2.分子与分母数值是否具有一一对应关系。
五、众数和中位数
（一）位置平均数的意义
中位数和众数合称为位置平均数，它是 一种特殊的平均数，前面介绍的几种平均 数都是根据总体各单位的标志值（即变量 值）来计算的，各标志值的次数（）分布 仅仅起着权数的作用。而中位数和众位数 不同，它们是根据各个变量在数列中的位 置来确定的，所以才叫位置平均数，它不 会受极端变量值的影响。
2.众数的确定
（1）单项式数列确定众数 对于单项式数列，可以根据定义直接求出。 （2）组距式数列确定众数 对于组距式数列，应先根据定义确定众数
所在的组，然后用众数的上限或下限公式 求出众数的具体数值。
Байду номын сангаас
（三）中位数
1.中位数的概念 中位数()是指位于总体分布中点位置上的标志值。
所谓分布中点，意味着有一半单位的标志值小于 该点的标志值，而另—半单位的标志值必定大于 该点的标志值。 2.中位数的确定方法 (1)根据未分组资料确定中位数 (2)根据分组资料确定中位数 分组资料可以分为单项式变量数列和组距式变量 数列。
（二）众数
众数的概念
众数是指总体中出现次数最多的标志值， 用表示。它能够鲜明地反映数据分布的集 中趋势。它既不受极端变量值大小的影响， 也不受极端变量值位置的影响。也不受极 端变量值位置的影响。在总体单位数多且 有明显集中趋势时，确定众数既方便且意 义明确。如总体单位数较少，或虽多但无 明显集中趋势，就不存在众数。
四、几何平均数
几何平均数也叫几何平均指标，是计算平均比率 和平均速度最适用的一种方法,用G表示，它也有 简单几何平均数和加权几何平均数之分。
1.简单几何平均数 简单几何平均数是n个标志值连乘积的n次方根， 2.加权几何平均数 对于分组资料x1,x2,…,xn，若其相应的次数为
f1,f2,…,fn，则必须以指数形式给各变量值加权， 然后求其平均数。
(一)概念 调和平均数也叫调和平均指标，它是标志值倒
数的算术平均数的倒数，所以，亦称为倒数平 均数，用H来表示。 （二）调和平均数分为简单调和平均数和加权 调和平均数两种。 1.简单调和平均数 简单调和平均法是先计算总体单位标志值倒数 的加权算术平均数，然后计算其倒数。 2.加权调和平均数
算术平均数的计算
1.简单算术平均数 将总体各单位的标志值简单相加求得标志
总量，然后除以总体单位总量，即得平均 数。 公式表示
2.加权算术平均数
用标志值乘以相应的各组单位数求出各 组的标志总量，并加总求得总体标志总 量，再除以总体单位总数即得。
(1)根据单项式变量数列计算算术平均数 （2）根据组距式变量数列计算算术平均
统计学（本科）教学课件第五章平 均指标
第一节 平均指标
一、平均指标的概念和特点 (一)概念 平均指标又称统计平均数，指同质总体某一标志
值在一定的时间、地点、条件下所达到的一般水 平，是总体的代表值，反映了总体分布的集中趋 势。 (二)特点: 1.总体同质性。 2.数量抽象性。 3.集中趋势代表性。
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(四)算术平均数的数学性质和应用
1.算术平均数的数学性质 (1)算术平均数与变量值个数的乘积等于各变量值
之和。 (2)若将各变量值x 均加减上一常数A，则新平均
数等于原平均数加减A。 (3)若将各变量值x均乘以某一常数i，则新的平均
数等于原平均数乘以i。 (4)各变量值x对算术平均数的离差之和等于0。 (5)各变量值与平均数离差的平方和最小。