初三数学多姿多彩的平行四边形折叠问题
专题02特殊平行四边形中的折叠问题教师版
专题02 特殊平行四边形中的折叠问题【典型例题】1．（2020·河北定州初三二模）如图，正方形ABCD 中，AB =6，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 的长是 ( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5【解析】连接AE ，∵AB =AD =AF ,∠D =∠AFE =90°，由折叠的性质得：Rt △ABG ≌Rt △AFG ，在△AFE 和△ADE 中，∵AE =AE ，AD =AF ，∠D =∠AFE ，∴Rt △AFE ≌Rt △ADE ，∴EF =DE ，设DE =FE =x ，则CG =3，EC =6−x .在直角△ECG 中，根据勾股定理，得：(6−x )2+9=(x +3)2，解得x =2.则DE =2. 2．（2019·全国初三单元测试）如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AEF ，若AB ＝2，∠B ＝45°，则△AEF 与菱形ABCD 重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）.A ．2B ．C ．D ．【解析】∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B =45°，AE 为BC 边上的高，∴AE ，由折叠的性质可知，△ABF 为等腰直角三角形，∴S △ABF =12AB •AF =2，S △ABE =1，∴CF =BF -BC =-2，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =45°，又由折叠的性质知，∠F =∠B =45°，∴CG =GF =2∴S △CGF =12GC •GF =3-，∴重叠部分的面积为：2-1-（3-）=2，故选D ． 3．（2020·全国）如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，使得点D 与点B 重合，点C 落在点C ′的位置上．（1）折叠后，DC 的对应线段是 ，CF 的对应线段是 ；（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；（3）若AB =8，DE =10，求CF 的长度．【答案】（1）由折叠的性质可得：折叠后，DC 的对应线段是BC ′，CF 的对应线段是C ′F ；故答案为：BC ′，C ′F ． （2）由折叠的性质可得：∠2=∠BEF ，∵AD ∥BC ，∴∠1=∠2=50°．∴∠2=∠BEF =50°，∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°； 故答案为：50°，80°（3）∵AB =8，DE =10，∴BE =10，∴AE 6，∴AD =BC =6+10=16，∵∠1=∠BEF =50°，∴BF =BE =10， ∴CF =BC ﹣BF =16﹣10=6．故答案为：6【专题训练】一、选择题1．（2020·海南临高）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若∠EAC =∠ECA ，则AC 的长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．5【解析】∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°，∴EF⊥AC，∵∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∴AF=CF，∴AC=2AB=6，选B．2．（2020·全国）如图，将一张长方形纸片ABCD按图中方式折叠，若AE＝3，AB＝4，BE＝5，则重叠部分的面积为( )A．6B．8C．10D．12【解析】解：∵长方形纸片ABCD按图中那样折叠，∴∠1=∠2，而∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴ED=EB=5，∵矩形ABCD中，∠A=90°∴重叠部分△BDE的面积=12DE×AB=12×5×4=10．故选：C.．3．（2020·全国）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和为（）A．3B．4C．6D．8【解析】解：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选C．4．（2020·新疆昌吉初三一模）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解析】设CN=xcm，则DN=（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN=DN=（8﹣x）cm，而EC=12BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8﹣x）2=16+x2，整理得16x=48，所以x=3．故选：A．5．（2019·河北遵化初三一模）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78°B．75°C．60°D．45°【解析】试题分析：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°．∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°．∴∠PDC=90°．∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°．在△DEC中，．故选B．6．（2020·全国）如图，已知四边形ABCD 是边长为6的菱形，且∠BAD =120°，点E ,F 分别在AB ,BC 边上，将菱形沿EF 折叠，点B 正好落在AD 边的点G 处．若EG ⊥AC ，则FG 的长为（ ）A ．3B ．6C ．D ．【解析】如图，设AC 与EG 交于点O ，FG 交AC 于点H ．∵ 四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°，∴60B D ∠=∠=︒， ∴ABC ACD 、是等边三角形．∴60CAD B ∠=∠=︒．∵EG AC ⊥，∴90GOH ∠=︒．∵60EGF B ∠=∠=︒，∴30OHG ∠=︒，∴18090AGH CAD OHG ∠=︒-∠-∠=︒，∴FG AD ⊥，∴FG 是菱形ABCD 的高，即为等边三角形ABC 的高，∴ =C ．7．（2020·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校）如图,把一个矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置,若∠EFB =65°,则∠AED ′为（ ）。
平行四边形折叠问题解题技巧
平行四边形折叠问题解题技巧平行四边形折叠问题解题技巧什么是平行四边形折叠问题平行四边形折叠问题是一种数学问题，要求将一块平行四边形纸张折叠成特定的形状。
解决这个问题需要一些技巧和方法。
以下是一些常用的技巧，可以帮助你解题。
技巧一：注意对称性•在折叠平行四边形时，要注意纸张的对称性。
利用对称性可以简化问题，并找到更快的解决方案。
•如果可以发现平行四边形纸张具有对称性，可以根据对称性进行折叠，将问题简化为更小的子问题。
技巧二：利用角度相等•在平行四边形折叠问题中，角度是一个重要的概念。
角度相等的性质可以帮助我们确定折叠的方式。
•如果已知某个角度相等，可以通过将纸张折叠使得两个角度重合，从而找到解题的关键位置。
技巧三：利用边长比例•平行四边形的边长比例也是一个重要的信息。
通过观察边长比例，可以推导出纸张的折叠方式。
•如果已知两个边长的比例，可以利用这个比例关系进行折叠，从而找到解题的关键位置。
技巧四：分析折痕•折痕是平行四边形折叠问题中的关键点。
分析折痕的特点可以帮助我们确定折叠的方式。
•观察折痕的位置、形状和角度，可以推断出纸张的折叠方式，并找到最终的解答。
技巧五：尝试反向思考•在解决平行四边形折叠问题时，有时候可以尝试反向思考。
即从最终的形状出发，逆向推导出折叠的方式。
•这种方法可以帮助我们更直观地理解问题，从而找到更有效的解题方法。
技巧六：多练习、多实践•最后，最重要的是多练习、多实践。
通过反复练习和实践，可以加深对平行四边形折叠问题的理解，掌握更多的解题技巧。
•在实践中遇到问题不要气馁，可以寻求他人的帮助或参考相关资料，不断提升自己的解题能力。
以上是解决平行四边形折叠问题常用的技巧和方法。
通过灵活运用这些技巧，相信你能够轻松解决各种平行四边形折叠问题。
祝你成功！（以上仅为参考，具体文章内容可以根据实际需要进行修改和补充。
）。
专题 特殊的平行四边形中的图形的折叠模型(学生版)
专题11特殊的平行四边形中的图形的折叠模型几何变换中的翻折（折叠、对称)问题是历年中考的热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。
翻折以矩形对称最常见，变化形式多样。
无论如何变化，解题工具无非全等、相似、勾股以及三角函数，从条件出发，找到每种对称下隐藏的结论，往往是解题关键。
本专题以各类几个图形（菱形、矩形、正方形等）为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【知识储备】折叠问题的解决,大都是以轴对称图形的性质作为切入点，而数形变化,是解决这类问题的突破口。
有了“折”就有了”形”--轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”--线段之间、角与角之间的数量关系。
"折”就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁。
特殊平行四边形中的折叠问题,还要考虑特殊平行四边形本身的性质,有时也需要用到计算工具：相似和勾股定理。
折叠的性质:重合部分是全等图形,对应边、对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分。
【知识储备】（1）矩形的翻折模型【常见模型】BC A ．3.6B ．4.8例2．（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，在长方形使得点D 落在BC 边上D ¢处，则DE 的长是（A ．3B ．4例3．（2023春·广东潮州·八年级统考期末）如图矩形交于点E ，若4,8AB AD ==．(1)求证：例4．（2023·贵州·八年级统考期末）如图，在矩形得到FBE ，EF 交BC 于点H ，延长A ．5B ．2ABA．35B．25例6．（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，矩形心，点E为边AB上的动点，连接EO例7．（2023春·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，将矩形EH=，EF=重叠的四边形EFGH，3cmA．18cm B．18.4cm（2）菱形的翻折模型【常见模型】A ∠结论I ：当'A N AD ∥时，四边形'ANA M 是菱形；结论Ⅱ：当点'A 在线段MC 上时，'AC 的长度为A ．I 对Ⅱ不对B ．I 不对Ⅱ对A ．①②④B ．①②③如图所示，点A ．90CEF ∠=︒B ．CE AG ∥C（3）正方形的翻折模型【常见模型】上取一点例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图，在正方形翻折，使点D的对应点D¢恰好落在的垂直平分线分别交EF、A D''于点在边例6．（2023·广东深圳·统考中考模拟）如图在正方形对角线AC上，将AD沿AF翻折，使点例7．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）问题情境：如图1，在正方形ABCD 中，6AB =，点F 是边AD 上一点（点F 不与,A D 重合），将CDF 沿直线CF 翻折，点D 落在点E 处．(1)如图2，当点E 落在对角线AC 上时，求DF 的长．(2)如图3，连接,,AC BD BD 分别交,CF AC 于点M ，点O ，连接OE 并延长交AD 于点G ，当M 为OD 中点时，试判断OG 与CF 的位置关系，并说明理由．(3)如图4，在线段CE 上取一点Q ，且使2CQ =，连接,AE BQ ，则在点F 从点A 运动到点D 的过程中，AE BQ +的值是否存在最小值？如果存在，请求出其值；若果不存在，请说明理由．课后专项训练A．23B．232-C．52．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，菱形ABCD的对角线相交于点所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为EF，则五边形A．14B．16C上，将A．3个B．2个C．0个边上，连接A ．230α-︒B ．30α+︒C ．1208．（2023春·重庆合川·八年级统考期末）如图，在矩形沿BE 所在直线翻折至四边形BCDE 所在平面内，得的面积为（）A ．63B ．83，将矩形纸片翻折，使点A．12B．1511．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，正方形连接BE，将ABE沿BE翻折得到A．5510-B．512．（2023·陕西西安·八年级校考期末）如图，正方形A．107B．52C的对角线17．（2023·河南信阳·校考三模）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形翻折，使边18．（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，矩形得到AD C '，CD '与AB 交于点E ，再以CD19．（2023·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，将BCE 沿CE 翻折得到GCE ．延长CG 交AD 于点H ，连接EH ．(1)求证：EAH EGH ≌△△；(2)若10AB =，求CH 的长．20．（2022秋·江西景德镇·九年级统考期中）【操作体验】如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，点F 在CD 边上．将四边形EBCF 沿直线EF 翻折，得到四边形EHGF ，顶点B 落在AD 边上的点H （不与点A 、D 重合）处，点C 落在正方形右侧的点G 处，HG 与CD 相交于点P ．（1）在图1中，若4cm AE =，45AEH ∠=︒，则HD =_____cm ，EFG ∠的度数为_________【操作体验】（2）当2BE AE =时，如图2，求证：2PF CF =．【操作体验】（3）利用图3探究，当正方形边长不变时，随着折痕EF 的变化，DHP 的周长是否会发生变化？如果会，请说明变化规律；如果不会，请加以证明，并探究正方形周长与DHP 的周长的关系．，。
中考数学二轮专题复习图形变换——折叠问题【含答案】
二轮复习：图形变换（一）—折叠图形变换历来是中考必考点之一。
考试大纲要求：会运用图形变换的相关知识进行简单的作图与计算，并能解决相关动态需求数学问题，并能进行图案设计。
图形变换一般包括，折叠、平移、旋转、对称、位似和图形的探究。
在图形变换的考题中，最多题型是折叠、旋转。
在解决折叠问题时，应注意折叠前后相对应的边相等、角相等。
下面着重从三个方面进行讲述：三角形折折叠、特殊平行四边形折叠和在平面直角坐标系内的图形折叠三大类进行。
（一）三角形的折叠：题型1、一般三角形的折叠：1、如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β2、（2019•江西）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．3、如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为___．题型2、等腰或等边三角形的折叠：4、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tanC =2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_____.5、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD=2，DB=4．现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则CF CE=_______．（利用相似三角形周长的比等于相似比△AED 相似△DBF）题型3、直角三角形的折叠：6、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，CD 是斜边AB 上的中线，将△BCD 沿直线CD 翻折至△ECD 的位置，连接AE ．若DE ∥AC ，计算AE 的长度等于．7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（二）特殊平行四边形的折叠：题型1、矩形折叠：1、（求角）.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为A. B. C. D.2、（求三角函数值）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是．3、（求边长）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为4、（求折痕长）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为5、（求边的比）如下图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为。
平行四边形中的折叠问题课件.
平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨《几何》教材第四章第三节“平行四边形中的折叠问题”。
内容详细涉及平行四边形的性质，尤其是通过折叠操作来探讨平行四边形对角线的性质、对边关系以及角的关系。
二、教学目标1. 理解并掌握平行四边形的基本性质，尤其是通过折叠操作呈现的性质。
2. 学会运用折叠方法解决平行四边形中的相关问题，提高空间想象力和逻辑思维能力。
3. 能够将平行四边形的折叠问题与其他几何知识相结合，形成综合解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：通过折叠操作推导出平行四边形对角线的性质以及与角度的关系。
教学重点：平行四边形的基本性质及其在折叠问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、平行四边形模型、剪刀、尺子、量角器。
学具：每组一份平行四边形纸张模型、剪刀、尺子、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示生活中常见的平行四边形折叠实例，如包装盒、纸飞机等，引导学生观察并思考折叠后的性质变化。
2. 知识讲解（15分钟）通过课件和模型，讲解平行四边形的基本性质，以及折叠操作对平行四边形的影响。
3. 例题讲解（10分钟）选取一道典型例题，讲解如何运用折叠方法解决平行四边形中的问题。
4. 随堂练习（10分钟）学生独立完成两道练习题，巩固折叠问题的解法。
5. 小组讨论（10分钟）学生分组讨论解题过程中遇到的问题，分享解题心得。
六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠操作对平行四边形的影响3. 例题及解题步骤4. 练习题及答案七、作业设计1. 作业题目：（1）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相等，求证：四边形ABCD是矩形。
（2）将一个平行四边形沿对角线折叠，得到一个三角形，求证：这个三角形的面积等于原平行四边形面积的一半。
2. 答案：（1）根据平行四边形性质，对角线相等，故四边形ABCD是矩形。
（2）设平行四边形ABCD的面积为S，折叠后得到的三角形面积为S'，则S' = 1/2 S。
中考数学总复习知识点专题讲解17---平行四边形中折叠问题的探究
∵∠A’EF=∠CDE=90° ∴A’E∥CD ∴∠DCE=∠CEA’ 由折叠知：∠DCE=∠A’CE ∴∠CEA’=∠A’CE
图 4-3
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∴A’C=A’E=4 又∵E 是 BC 中点 即 A’E 是 Rt △A’BC 的中线 ∴BC=2A’E=8 在 Rt△A’BC 中，由勾股定理得，A’B= 4 3 由折叠性质得：AB= A’B= 4 3 . 综上所述，AB 的长为 4 或 4 3 . 【点睛】熟练掌握中位线性质（三角形的中位线平行于第三边）及正方形判定，用勾 股定理求解. 题 5. 如图 5-1，有一块矩形纸片 ABCD，AB=4，AD=3，将纸片折叠，使得 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再将△AED 沿 DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为 F，则△CEF 的面积为__________.
故答案为：111°. 题 2. 如图 2-1，E为 ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折，得到△FBE，点F在BD 上，且EF=DF． 若∠C=54°，则∠ABE=
图 2-1 【答案】76.5°. 【解析】由 平行四边形性质得：∠A=∠ C=54°， 由折叠性质知：∠A=∠EFB=54° 又因为EF=DF ∴∠EDF=∠DEF，∠EDF+∠DEF=∠EFB ∴∠EDF=∠DEF=27°. ∵AD∥BC，∴∠EDF=∠DBC=27° 由折叠知：∠ABE=∠EBF=（180°－27°）÷2=76.5°. 故答案为：76.5°. 题 3. 如图 3-1，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN， 再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE. 若AB的长为 4，则FM的长为
沿 AE 所在直线翻折得△AB′E，AB′与 CD 边交于点 F，则 B′F 的长度为（
北师大版九年级数学上学期题型全攻略专题01 特殊平行四边形中的折叠问题全梳理(解析版)
专题01特殊平行四边形中的折叠问题全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、三角形翻折问题】 (1)【考法二、四边形翻折问题】 (16)【课后练习】 (28)【方法归纳】1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等；2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解；3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案4.综合性：把折叠性质与四边形性质相结合，建立边角之间的关系。
【考法一、矩形翻折问题】例．如图，在矩形OABC 中8AB =，4BC =，点D 为对角线OB 中点，点E 在OC 所在的直线上运动，连结DE ，把ODE 沿DE 翻折，点O 的对应点为点F ，连结BF ．(1)当点F 在OC 下方时（如图1），求证：DE BF ∥．(2)当点F 落在矩形的对称轴上时，求EF 的长．(3)是否存在点E ，使得以D ，E ，F ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求OE 的长；若不存在，请说明理由．当四边形△中，在Rt ABO222=+=OB AB AO8BC OC⊥∴∥，且D为OBDM BC中位线，DM∴为OCBOE EF BD DO ∴==，，25OE OD ∴==；如图，当四边形DEBF 为平行四边形时，DF OD BE ∴=，25BE ∴=，在Rt BEC △中，EC =826OE ∴=-=；DF OD BD DF == ，25BE OD ∴==，在Rt BCE 中，2CE BE =-在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，现将纸片折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为EF （点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．【初步思考】（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）当点P与点A重合时，DEF∠=_____︒，当点E与点A重合时，DEF∠=______︒；【深入探究】（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图②），且点E、F分别在AD、DC边上，AP的最小值是______；【拓展延伸】（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）90；45（2）2（3）存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等，线段AE的长度为65或4211【分析】（1）当点P与点A重合时，画出图形可得结论；当点E与点A重合时，则EF平分DAB∠，即可得出答案；（2）当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠的性质求8CD PC==，由勾股定理求10AC=，即可得出结果；（3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，90DAB D∴∠=∠=︒，当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，90DEF∴∠=︒，当点E与点A重合时，如图，则EF平分DAB∠，==，则AF=设DF PF x当A，P，F在一直线上时，当x最大为8时，AP最小值为四边形ABCD是矩形，A ADC B∴∠=∠=∠=90∠由折叠的性质得：EPM ，AM DE=∴=，AM EP四边形ABCD是矩形，∴∠=∠=∠=︒，DAM ADC B90∠=∠由折叠的性质得：EPC ADC ∴∠=∠=︒，GAM GPE90变式2．【问题情境】折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘，下面是折纸过程．【动手操作】步骤1：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，展平纸片；步骤2：点M 为边AD 上任意一点（与点A ，D 不重合），ABM 沿BM 折叠得到A BM '△，折痕BM 交EF 于点N ．【问题探究】（1）如图1，当点A 的对称点A '落在EF 上时，连接AN ．求证：四边形ANA M '为菱形；（2）已知2BC AB =，继续对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，折痕GH 与EF 交于点O ．将ABM 沿BM 折叠，连接MO ，若点A 的对称点A '恰好落在线段MO 上，此时2AM =．①尺规作图：请在图2中用直尺和圆规，作点A 的对称点A '（保留作图痕迹，不写作法）；②求AB 的长度；【拓展迁移】如图3，在矩形纸片ABCD 的边AB 上取一点P ，折叠纸片，使P ，B 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；点B '为EF 上任意一点（与点E ，F 不重合），折叠纸片使B ，B '两点重合，得到折痕l 及点P 的对应点P '，折痕l 交EF 于点K ，展平纸片，连接BP '，KP '．（3）猜想P B K ∠'与BC P '∠的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6AB =；（3）3P BC BP K ''∠∠＝，理由见解析【分析】（1）根据折叠可得出NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，，证明AD EF ∥，利用平行线的性质得出AMB MNA '∠=∠，则A MB MNA ''∠=∠，利用等角对等边得出MA NA ''=，即可得证；（2）①以M 为圆心，MA 为半径画弧交MO 于A '即可；②利用折叠的性质，矩形的判定与性质可得出2BH AB A B AG OG '====，证明()HL OA B OHB ' ≌，得出OA OH OG '==，在Rt MGO △中，根据勾股定理，可求出OG ，进而求出AB ；（3）连接PK ，BK ，延长BK 交P B ''于点M ，可证明EB B MBB ''≌ ，得出BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可得BK PK P K B K ''===，利用等边对等角和三线合一的性质可得出P BK BP K ''∠=∠，KBB KB B ''∠=∠，MB MP ''=，利用线段垂直平分线的性质BP BB ''=，利用三线合一性质可得出P BK KBB ''∠=∠，则P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）中BC EF ∥，可得出B BC KB B ''∠=∠，即可得证．【详解】（1）证明：连接AA '，∵ABM 沿BM 折叠，得到A BM '△，∴BM 垂直平分AA '，∴NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，由折叠可知：AEF BEF ∠=∠，∵180AEF BEF ∠+∠=︒，∴90BEF ∠=︒，∵四边形ABCD 为矩形，∴90DAB ∠=︒，∴90BEF DAB ∠=∠=︒，∴AD EF ∥，∴AMB MNA '∠=∠，∴A MB MNA ''∠=∠，∴MA NA ''=，∴MA NA NA MA ''===，∴四边形ANA M '为菱形；点A'即为所求，解：连接BO，由折叠可知：AB A B'=，MA 由（1）得90∠=∠=︒GHB HGA∵l为折痕，∴P B B PBB'''∠=∠，BP B P''=，l ∴KP KP'=，=，KB KB'∴KBB KB B''∠=∠，∵B B BB''=，∴BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可知：KP KB =，EP EB =，90FEB ∠=︒，∴KP KB '=，KP KB ''=∴P BK BP K ''∠=∠，MB MP ''=∴BP BB ''=，∴P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）可知BC EF ∥，∴B BC KB B ''∠=∠，∴3P BC BP K ''∠=∠．【点睛】本题考查了矩形与折叠，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．变式3．如图1，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 上的一点，连接DE ．(1)若DE 平分ADC ∠，点G 是CD 上的一点，连接EC ，EG ，且EC EG =．过点C 作CQ EG⊥于Q ，CQ 延长线交ED 于H ，过点H 作HP CD ⊥于P ，如图．①填空：AED △的形状是______三角形；②求证：PHC BEC△△≌(2)将图1的矩形ABCD 画在纸上，若DE 平分ADC ∠，沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，如图．求证：MC ME '=．(3)如图，延长DE 交CB 的延长线于点K 使得AB BK =，此时恰好BE BC =，连接AC 交DK 于点J ，连接BJ ．请证明：KJ AJ BJ >+．【答案】(1)①等腰直角；②见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得45AED ADE ∠=∠=︒，进而得出结果；②可证得BCE PCH ∠=∠，EC HC =，90HPC B ︒∠=∠=，进而得出结论；（2）连接C E '，可证得Rt Rt EC A C EB ''' ≌，可得C EA EC B '''∠=∠，根据等角对等边即可得出结论；（3）在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，可证KBE ABC ≌△△，得BKE BAC ∠=∠，在证KBI ABJ ≌△△，得KBI ABJ ∠=∠，90IBJ KBA ︒∠=∠=，得出IJ BJ >，进一步得出结论．【详解】（1）① 四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC ∠=∠=︒，DE 平分ADC ∠，∴1452ADE ADC ∠=∠=︒，∴9045AED ADE ∠=︒-∠=︒，∴AED ADE ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △等腰直角三角形，故答案为：等腰直角②证明：如图，过点E 作EW CD ⊥于W ．EC EG = ，EGC ECG ∴∠=∠，CH EG ⊥ ，90HCP EGC ∴∠+∠=︒，90BCE ECG ∠︒∠+= ，BCE PCH ∴∠=∠，45EDW DEW ∠︒∠== ，45EHC EDW PCH PCH ∴∠=∠︒+∠=+∠，DEC DEW CEW ∠=∠+∠，EW BC ∥，BCE CEW PCH ∴∠=∠=∠，DEC EHC ∴∠=∠，EC HC ∴=，90HPC B ∠=∠=︒PHC BEC ∴△△≌．（2）证明：如图，连接C E '，由（1）知，AED △为等腰直角三角形，AD AE ∴=，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，90EAC B '∠=∠=︒，由折叠知，B C BC ''=，B B '∠=∠，AE B C ''∴=，EAC B ''∠=∠，又EC C E ''=，在Rt EC A '△和Rt C EB ''△中，EC C E ''=，AE B C ''=，∴Rt Rt EC A C EB ''' ≌，C EA EC B '''∴∠=∠，MC ME '∴=．（3）如图，在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，在AJB 与KIB △中，BK AB =，ABC ABK ∠=∠，BE BC =，KBE ABC ∴△△≌，BKE BAC ∴∠=∠．KI AJ = ，BK AB =，BKE BAC ∠=∠，KBI ABJ ∴△△≌，KBI ABJ ∴∠=∠，90IBJ IBA ABJ IBA KBI KBA ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，IBJ ∴△为直角三角形，IJ BJ ∴>，KJ AJ BJ ∴>+．【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。
2024年平行四边形中的折叠问题课件
2024年平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨教材第十二章“几何变换”中的折叠问题，特别是平行四边形的折叠。
详细内容包括：理解平行四边形的基本性质，掌握折叠过程中的对称性和不变量，运用这些性质解决折叠问题。
二、教学目标1. 理解平行四边形的性质，并能运用性质解决折叠问题。
2. 通过折叠活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解折叠过程中平行四边形的对称性和不变量。
教学重点：平行四边形性质的应用，折叠问题的解决方法。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，平行四边形的模型。
2. 学具：剪刀，彩纸，尺子，圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示生活中的折叠实例，如纸飞机、纸盒等，让学生感受折叠在生活中的应用。
2. 知识讲解：（1）回顾平行四边形的性质。
（2）介绍折叠过程中平行四边形的对称性和不变量。
3. 例题讲解：（1）给出一个平行四边形折叠问题，引导学生分析问题，找出关键信息。
（2）示范解题过程，强调平行四边形性质的应用。
4. 随堂练习：让学生独立解决一个类似的折叠问题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：学生分组讨论解决折叠问题的方法，分享解题心得。
六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠过程中的对称性和不变量3. 折叠问题的解题步骤七、作业设计答案：折叠后的形状为一个三角形。
2. 作业题目：已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，沿对角线AC折叠，求折叠后的形状。
答案：折叠后的形状为一个三角形。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入，让学生感受到了折叠的趣味性。
在讲解过程中，注重引导学生运用平行四边形的性质解决问题。
2. 拓展延伸：鼓励学生探究其他多边形的折叠问题，培养学生的探究意识和创新精神。
重点和难点解析1. 实践情景引入的选择与设计。
2. 知识讲解中对平行四边形性质的回顾与强调。
九年级中考数学平行四边形专题--折叠问题
平行四边形专题——折叠问题1.[2021贵州遵义中考]如图,将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠,使CB,AD恰好落在对角线AC上,B',D'分别是B,D的对应点,折痕分别为CF,AE.若AB=4,BC=3,则线段B'D'的长是()A.5/2B.2C.3/2D.12.[2021江苏苏州模拟]如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=6,点M,N分别在AD,BC上,且AM=BN,AD=3AM,E为BC边上一动点,连接DE,将△DCE沿DE所在直线折叠得到△DC'E,当点C'恰好落在线段MN上时,则CE的长为()A.5/2或2B.5/2C.3/2或2D.3/23.[2021江苏宿迁中考]如图,折叠矩形纸片ABCD,使点B落在点D处,折痕为MN,已知AB=8,AD=4,则MN的长是()A.5/3√5B.2√5C.7/3√5D.4√54.[2021广东佛山南海区一模]如图,在矩形纸片ABCD中,边AB=12,AD=5,点P为DC边上的动点(点P不与点D,C重合),将纸片沿AP折叠,则CD'的最小值为.5.[2021广东深圳外国语学校期末]如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,使点C落在AD边上的点F处,过点F作FG//CD,交BE于点G,连接CG.(1)求证:四边形CEFG是菱形.(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积.6.[2021河北唐山期末]如图,在菱形ABCD中,∠A=120°,E是AD上的点,沿BE折叠△ABE,点A恰好落在BD上的点F处,那么∠BFC的度数是()A.60°B.70°C.75°D.80°7.[2021陕西西安月考]如图,已知四边形ABCD是边长为6的菱形,且∠BAD=120°,点E,F分别在AB,BC边上,将菱形沿EF折叠,使点B正好落在AD边上的点G处.若EG⊥AC,则FG的长为()A.3√6B.6C.3√3D.3√28.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与B,D重合),折痕为EF,若DG=2,BG=6,求AF的长.9.如图,在正方形ABCD中,AB=6,将△ADE沿AE折叠,使点D落在点F处,延长EF交BC于点G.若点G刚好是BC边的中点,则ED的长是()A.1B.1.5C.2D.2.510.如图,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在点P处,点C落在点G处,PG交DC于点H,折痕为EF,连接BP,BH.(1)求证:∠APB=∠BPH.(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?请证明你的结论.。
小专题(九) 特殊平行四边形中的折叠与最值问题
第5题图
5.如图，在矩形纸片 中， ， ，点 为 边上的动点（点 不与点 ， 重合）.将纸片沿 折叠，则 的最小值为___．
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第6题图
6.如图，正方形纸片 的边长为4， ， ， 分别是边 ， ， 上的一点，将纸片沿 折叠，使点 恰好落在 边的中点 处，点 的对应点为点 ，则折痕 的长为_____.
解：作点 关于直线 的对称点 （易知点 在 上），连接 ，交 于点 ，连接 ,则 , .
.此时点 即为所求的使 最小的点.∵正方形 的边长为4， ， 为 的中点， ， . .
过点 作 于点 ,则 .∵四边形 是正方形， .∴四边形 是矩形. ， . .∴在 中， . 的最小值为 .
第3题图
3.如图，在矩形纸片 中， ，将 向内翻折，点 落在 上，记为 ，折痕为 .若将 沿 向内翻折，点 恰好落在 上，记为 ，则下列结论不正确的是( )
D
A. B. C. D.
第4题图
4.（2022·雅安）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠.若 ， ，那么阴影部分的面积为_ __.B来自A. B. C. D.
第2题图
2.（2021·遵义）如图，将矩形纸片 的两个直角进行折叠，使 ， 恰好落在对角线 上， ， 分别是 ， 的对应点，折痕分别为 ， ．若 ， ，则线段 的长是( )
D
A. B. C. D.
【例2】（2022·河南改编）（教材P64“数学活动”变式）如图，对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；再次折叠纸片，使点 落在
上，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 ， .请你猜想 的度数是多少，并证明你的结论.
解：猜想： .证明：连接 .∵直线 是 的垂直平分线，点 在 上，
专项训练2特殊平行四边形中的折叠问题北师大版九年级数学上册习题PPT课件
与AE的延长线交于点H，连接CH.
(2)求BE的长． (2)如图2，若∠BAC＝30°，点G是AC的中点，连接DE、EG，求证：四边形ADEG是菱形．
6．如图，将一张菱形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重 叠的四边形EFGH，若EF＝4，EH＝3，则AB＝____. 5
第一章 特殊平行四边形
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数学·九年级（上）·配北师
7．如图，在矩形 ABCD中，AB＝ 4，AD＝5，E为BC上 一点 ，将△ABE沿 AE折 12．【山东临沂中考】如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点(与D、C不重合)，连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，
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12．【山东临沂中考】如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点(与D、C不重合)，连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，
与D．AE∠的BA延′CDE长＝线2∠，交E于C∴A点H，△连A接DCHF.是直角三角形，且∠AFD＝90°.
＝90°，∴∠BOP＝∠MOP＝90°.∵OP＝OP，易证得△MOP≌△BOP(AAS)，∴MO 6．如图，将一张菱形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EF＝4，EH＝3，则AB＝____.
3．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分△BED的面积是( ) 解：(1)根据折叠可知AB＝AF＝4. 解：(1)根据折叠可知AB＝AF＝4.
北师大版数学九年级上册：第一章 特殊平行四边形——特殊平行四边形的折叠问题(含答案)
第一章特殊平行四边形特殊平行四边形的折叠问题▶类型一菱形中的折叠问题1.对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图1-ZT-1所示,O为对角线的交点,过点O折叠菱形,使B,B'两点重合,MN是折痕.若B'M=1,则CN的长为()图1-ZT-1A.7B.6C.5D.42.如图1-ZT-2,将菱形ABCD折叠,使点B落在AD边上的点F处,折痕为CE.若∠D=70°,则∠AEF=°.图1-ZT-23.如图1-ZT-3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B,D重合),折痕为EF,若DG=2,BG=6,则BE的长为.图1-ZT-3▶类型二矩形中的折叠问题4.[2020·枣庄]如图1-ZT-4,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE 折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,若∠EAC=∠ECA,则AC的长是()图1-ZT-4A.3√3B.4C.5D.65.[2020·青岛]如图1-ZT-5,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5,BF=3,则AO的长为()图1-ZT-5A.√5B.32√5C.2√5D.4√56.[2020·衢州]如图1-ZT-6,把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形BEF,若BC=1,则AB的长度为()图1-ZT-6A.√2B.√2+12C.√5+12D.437.如图1-ZT-7,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E为AD的中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF 折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,求折痕EF的长.图1-ZT-7▶类型三正方形中的折叠问题8.[2020·广东]如图1-ZT-8,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上的点B'处,则BE的长度为()图1-ZT-8A.1B.√2C.√3D.29.如图1-ZT-9,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A的坐标为(0,2),E是线段BC上一点,且∠AEB=67.5°,沿AE折叠正方形后点B落在点F处,那么点F的坐标为.图1-ZT-9参考答案1.D [解析] 连接AC ,BD ,如图.∵O 为菱形ABCD 对角线的交点,∴OC=12AC=3,OB=OD=12BD=4,∠COD=90°.在Rt △COD 中,CD=√32+42=5. ∵AB ∥CD ,∴∠MBO=∠NDO. 又∵∠BOM=∠DON ,OB=OD , ∴△OBM ≌△ODN ,∴DN=BM.∵过点O 折叠菱形ABCD ,使B ,B'两点重合,MN 是折痕, ∴BM=B'M=1,∴DN=1, ∴CN=CD-DN=5-1=4.故选D .2.30 [解析] ∵四边形ABCD 是菱形,∠D=70°, ∴∠B=70°,∠A=110°.∵将菱形ABCD 折叠,使点B 落在AD 边上的点F 处, ∴∠B=∠EFC=70°,CF=BC=CD , 则∠CFD=∠D=70°, ∴∠AFE=180°-70°-70°=40°,∴∠AEF=180°-∠A-∠AFE=30°.故答案为30. 3.2.8[解析] 如图,过点E 作EH ⊥BD 于点H.由折叠的性质可知EG=EA. 由题意得BD=DG+BG=8. ∵四边形ABCD 是菱形,∴AD=AB ,∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60°,∴△ABD 为等边三角形,∠BEH=30°, ∴AB=BD=8.设BE=x ,则EG=AE=8-x.在Rt △EHB 中,BH=12x ,EH=√BE 2-BH 2=√32x.在Rt △EHG 中,EG 2=EH 2+GH 2, 即(8-x )2=(√32x )2+(6-12x )2,解得x=2.8,即BE=2.8. 故答案为2.8.4.D [解析] ∵将△ABE 沿直线AE 折叠,点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处, ∴AF=AB ,∠AFE=∠B=90°,∴EF ⊥AC , ∵∠EAC=∠ECA ,∴AE=CE ,∴AF=CF , ∴AC=2AB=6. 故选D .5.C [解析] ∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC ,∴∠EFC=∠AEF . 由折叠得∠EFC=∠AFE ,∴∠AFE=∠AEF ,∴AE=AF=5. 由折叠得FC=AF ,OA=OC ,∴BC=3+5=8. 在Rt △ABF 中,AB=√AF 2-BF 2=√52-32=4. 在Rt △ABC 中,AC=√AB 2+BC 2=√42+82=4√5, ∴OA=OC=2√5.故选C .6.A [解析] 由折叠补全图形如图所示.∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ADC=∠A=90°,AD=BC=1,CD=AB. 由第一次折叠得∠ADE=12∠ADC=45°, ∴∠AED=∠ADE=45°, ∴AE=AD=1.在Rt △ADE 中,根据勾股定理,得DE=√2AD=√2. 由第二次折叠知CD=DE=√2, ∴AB=√2. 故选A .7.解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD=6,BC=AD=8,∠A=∠D=90°.如图,连接CE.∵E 为AD 的中点, ∴AE=DE=4.由折叠可得AE=GE ,∠EGF=∠A=90°, ∴DE=GE.又∵∠D=90°,∴∠EGC=∠D=90°. 又∵CE=CE.∴Rt △CDE ≌Rt △CGE (HL), ∴CD=CG=6.设AF=x ,则GF=x ,BF=6-x ,则CF=6+x. 在Rt △BCF 中,BF 2+BC 2=CF 2, 即(6-x )2+82=(6+x )2,解得x=83,∴AF=83.在Rt △AEF 中,EF=√AE 2+AF 2=√42+(83) 2=43√13. 8.D [解析] ∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB ∥CD ,∠A=90°, ∴∠EFD=∠BEF=60°.∵将四边形EBCF 沿EF 折叠,点B 恰好落在AD 边上, ∴∠BEF=∠FEB'=60°,BE=B'E , ∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°, ∴∠AB'E=30°,∴B'E=2AE. 设BE=x ,则B'E=x ,AE=3-x ,∴2(3-x)=x,解得x=2.故选D.9.(-√2,2-√2)[解析] 如图,过点F作FD⊥CO于点D,FG⊥AO于点G.∵∠AEB=67.5°,沿AE折叠后点B落在点F处,∴∠BAE=∠EAF=22.5°,AF=AB=2,∴∠F AG=45°,∴FG=AG=√2,∴GO=2-√2,∴点F的坐标为(-√2,2-√2).故答案为(-√2,2-√2).。
2024年中考数学考点必备方法必备09几何综合题的三类折叠问题(解析版)
方法必备09几何综合题的三类折叠问题题型一：翻折与几何基本图形题型二：翻折与隐形圆题型三：翻折与二次函数题型一：翻折与几何基本图形1．（2024·山东泰安·一模）如图，把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠，点C 落在点C 处，BC 与AD 相交于点E ．求证：EB ED 【答案】见详解【分析】本题主要考查利用平行四边形的性质和折叠得性质证明ABE C DE ≌ ，即可证明结论成立．【详解】证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴A C ，AB CD ，∵沿BD 折叠，点C 落在点C 处，∴C C A ，C D CD AB ，在ABE 和C DE 中AEB C ED A C AB C D∴ ABE C DE AAS ≌，∴EB ED ．2．（2023·江苏泰州·二模）如图1，将 Rt 90ABC A 纸片按照下列图示方式折叠：①将ABD △沿BD 折叠，使得点A 落在BC 边上的点M 处，折痕为BD ；②将BEF △沿EF 折叠，使得点B 与点D 重合，折痕为EF ；③将DEF 沿DF 折叠，点E 落在点'E 处，展开后如图2，BD 、PF 、DF 、DP 为图1折叠过程中产生的折痕．(1)求证：DP BC ∥；(2)若'DE 落在DM 的右侧，求C 的范围；(3)是否存在C 使得DE 与MDC 的角平分线重合，如存在，请求C 的大小；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)030C ；(3)不存在，理由见解析．【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．（1）由第二次翻折可得EF 垂直平分BD ，由第一次翻折可得EF EP ，证出四边形PBFD 是菱形，则可得出结论；（2）设ABD ，求出BDF ，902ADP FDM C ，当DE 落在DM 的右侧时，902 ，求出30a ，则可得出答案；（3）设ABD ，902ADP FDM C ，2MDC ，得出902 ，求出45 ，0C ，则可得出结论．【详解】（1）证明：由第二次翻折可得EF 垂直平分BD ，由第一次翻折可得EF EP ，PF 与BD 垂直且互相平分，四边形PBFD 是菱形，DP BC ∥；（2）解：设ABD ，∵四边形PBFD 是菱形，PB DF ∥，BDF ，902ADP FDM C ，当'DE 落在DM 的右侧时，902 ，30a ，90230 ，030C ；（3）解：不存在．若存在C 使得DE 与MDC 的角平分线重合，设ABD ，902ADP FDM C ，2MDC ，902 ，45 ，0C ，不存在C 使得DE 与MDC 的角平分线重合．3．（2023·吉林松原·三模）如图①，在Rt ABC △中，90ACB ，60A ，CD 是斜边AB 上的中线，点E 为射线CA 上一点，将ADE V 沿DE 折叠，点A 的对应点为点F ．(1)若AB a =，直接写出CD 的长（用含a 的代数式表示）；(2)若点E 与点C 重合，连接BF ，如图②，判断四边形DBFC 的形状，并说明理由；(3)若DF AB ，直接写出CDE 的度数．【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，灵活运用相关知识是解答本题的关键．4．（2023·广东茂名·二模）如图，正方形ABCD中，E是边BC的中点，将ABE沿AE折叠，得到AFE，延长EF 交边CD于点P．(1)求证：DP FP；AB ，求CP的长．(2)若6连接AP，∵四边形ABCD是正方形，∴AD AB，B D5．（2023·广西贵港·二模）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD ，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF ，然后展开，沿过点A 与点E 所在的直线折叠，点B 落在点B 处，连接 B C ，如图1，请直接写出AEB 与ECB 的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为EF ，然后展开，沿过点A 与BE 上的点G 所在的直线折叠，使点B 落在EF 上的点P 处，连接PD ，如图2，猜想APD 的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A 关于直线CP 的对称点A ，连接PA ，BA ，AC ，如图3，求PA B 的度数．【答案】初步尝试：AEB ECB ；能力提升：猜想：60APD ，理由见解析；拓展延伸：15PA B【分析】初步尝试：连接BB ，由折叠的性质可知，BE CE ，BE BE ，AEB AEB ，BB AE ，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出90BB C ，推出AE CB ∥，即可得出答案；能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证 SAS AFP DFP ≌，从而证明APD △是等边三角形，即可得到答案；拓展延伸：连接A C 、AA ，由（2）得APD △是等边三角形，进而得出30PDC ，再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得15PAC ，30ACP ，由对称性质得：AC A C ，30ACP A CP ，证明 SSS AA B CA B ≌，得到30CA B ，再由15CA P CAP ，即可求出PA B 的度数．【详解】解：初步尝试：AEB ECB ，理由如下：如图，连接BB ，由折叠的性质可知，BE CE ，BE BE ，AEB AEB ，BB AE ，∴BE CE BE ，∴EBB EB B ，ECB EB C ，∵ 2180EBB EB B EB C ECB EB B EB C ，∴90BB C ，即BB CB ，∴AE CB ∥，∴AEB ECB ，∴AEB ECB ；解：能力提升：猜想：60APD ，理由如下：理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD ，90ADC ，由折叠性质可得：AF DF ，EF AD ，AB AP ，在AFP 和DFP △中，90AF DF AFP DFP FP FP，∴ SAS AFP DFP ≌，∴AP PD ，∴AP AD PD ，由（2）得APD △是等边三角形，∴PAD PDA APD ∵90ADC ，∴30PDC ，又∵PD AD DC ，∴12DPC DCP ∴PAC PAD DAC 由对称性质得：AC 6．（2023·吉林长春·模拟预测）如图1，平面上，四边形ABCD 中，4AB ，6CD ，BC 3DA ，90A ，点M 在AD 边上，且1DM ．点P 沿折线AB BC 以1个单位速度向终点C 运动，点A 是点A 关于直线MP 的对称点，连接A P ，设点P 在该折线上运动的时间为 0t t ．(1)直接写出线段BP的长；(2)如图2，连接BD．的度数，并直接写出当A 、M、A共线时t的值；①求CBD②若点P到BD的距离为1，求tan A MP 的值；t 时，请直接写出点A 到直线AD的距离（用含t的式子表示）．(3)当04∵PM 平分A MA ，90PMA ，∴PM AB ∥，DNM DBA △∽△，DN DM MN ，3sin 5AD DBA BD，153sin 5PQ BP DBA ，90PQB CBD DAB ∵，90QPB PBQ DBA ，PQB BAD △∽△，,PQ QB PB 即,PQ QB PB 由A PE MA F ∽，7．（2023·河南周口·模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图（1），正方形纸片ABCD，点E是BC边上（点E不与点B，C重合）任意一点，沿AE折叠ABE到△，如图（2）所示；AFE操作二：将图（2）沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图（3）所示；操作三：将纸片展平，连接BM，如图（4）所示．根据以上操作，回答下列问题：①B，M，N三点（填“在”或“不在”)一条直线上；②AE和BN的位置关系是，数量关系是；③如图（5），连接AN，改变点E在BC上的位置，（填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分DAE．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，4BC ，按照（1）中的方式操作，得到图（6）或图（7）．请AB ，6完成下列探究：①当点N在CD上时，如图（6），BE和CN有何数量关系？并说明理由；8．（2023·山东枣庄·中考真题）问题情境：如图1，在ABC 中，1730AB AC BC ，，AD 是BC 边上的中线．如图2，将ABC 的两个顶点B ，C 分别沿,EF GH 折叠后均与点D 重合，折痕分别交,,AB AC BC 于点E ，G ，F ，H ．猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG 的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN 折叠，使得顶点B 与点H 重合，折痕分别交,AB BC 于点M ，N ，BM 的对应线段交DG 于点K ，求四边形MKGA 的面积．∵1122CHG S CH HG ∴154302CG HE，9．（2023·内蒙古通辽·中考真题）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在正方形内部点M 处，把纸片展平，连接PM 、BM ，延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．(1)如图1，当点M 在EF 上时，EMB ___________度；(2)改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合）如图2，判断MBQ 与CBQ 的数量关系，并说明理由．10．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知,90AB AC A ，点E 为AC 上一动点，将ABE 以BE 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D 落在BC 上时，2EDC ACB ．”小红：“若点E 为AC 中点，给出AC 与DC 的长，就可求出BE 的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰ABC 中，,90,AB AC A BDE △由ABE 翻折得到．（1）如图1，当点D 落在BC 上时，求证：2EDC ACB ；（2）如图2，若点E 为AC 中点，43AC CD ,，求BE 的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成90A 的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰ABC 中，90,4,2A AB AC BD D ABD ．若1CD ，则求BC 的长．∵AB BD，∴AM MD，ABM ，∵2BDC ABD，∴BDC DBM∥，∴BM CD，∴CD AD又CG BM，∴四边形CGMD是矩形，则CD GM，在Rt ACD△中，1CD ，11．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，60A ，点Q 为CD 的中点，P 为线段AB 上的动点，现将四边形PBCQ 沿PQ 翻折得到四边形PB C Q ．(1)当45QPB 时，求四边形BB C C 的面积；(2)当点P 在线段AB 上移动时，设BP x ，四边形BB C C 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式．12．（2023·重庆·中考真题）在Rt ABC 中，90ACB ，=60B ，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．(1)如图1，若9AC，BD ，求线段AD 的长．(2)如图2，以CD 为边在CD 上方作等边CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若G BCE ，求证：GF BF BE ．(3)在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将BEM 沿BM 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将BCP 沿BC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到BCQ ，请直接写出此时NQCP的值．∵F 是DE 的中点则DF FE ，FH FG ， ∴ SAS GFD HFE ≌，∴H G ，∴EH GC ∥，在CD 取得最小值的条件下，即CD 设4AB a ，则2BC a ，23AC a∵S 是AB 的中点，60ABC∴SC SB BC ，∴BCS △是等边三角形，则60PCB ，∴30PCA ACB BCP ，∵2BC a ，4AB a ，∴PU AR ∥，P 是AN 的中点，∴1NU NP UR PA即PU 是ANR 的中位线，同理可得PT 是ANR ∴54NU UR PT a，12PU AR AT ∵BCS △是等边三角形，将BCP 沿BC 所在直线翻折至∴2120QCP BCP【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，折叠的性质，圆外一点到圆上距离的最值问题，垂线段最短，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．题型二：翻折与隐形圆一、单选题1．（湖北鄂州·中考真题）如图，菱形ABCD 的边AB =8，∠B =60°，P 是AB 上一点，BP =3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点A ′．当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（）A．5B．7C．8D．13 22．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（）A ．B C ．2D ．3【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，突破点是正确寻找点3．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且EAB EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD PE 的最小值为（）A．2 B．2C．2D．2作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交半圆O于根据对称性有：PD PF，则有：PE PD PE PF，二、填空题4．（2022·广东汕头·一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC 边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为．【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题5．△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 是BC 的中点，E 为AB 上一动点，点B 关于DE 的对称点B 在△ABC 内（不含△ABC 的边上），则BE 长的范围为．②如图所示，当点B 恰好落在由题意，BD DB DC ，∴DBB DB B ，DB ∴DBB DCB DB22综上，BE长的范围为9 5故答案为：95 52BE．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能够根据题意准确分析出动点的运动6．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB'F，连接B'D，则B'D的最小值是．故答案为210 2．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、B 'D 的值最小是解决问题的关键．7．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，矩形ABCD ，4AB ，8BC ，E 为AB 中点，F 为直线BC 上动点，B 、G 关于EF 对称，连接AG ，点P 为平面上的动点，满足12APB AGB ，则DP 的最小值．【答案】21022【分析】由题意可知，90AGB 上，（要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点∴90AGB ，∵12APB AGB ，即1452APB AGB ，8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．9．（2022·天津河东·二模）已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形OABC，M为线段OC上的动点，将AOM沿直线AM对折，使O点落在O 处．(1)如图①，当30OAM 时，求点O 的坐标；(2)如图②，连接 CO ，当CO AM ∥时．①求点M 的坐标；②连接OB ，求AO M △与AOB 重叠部分的面积；(3)当点M 在线段OC （不包括端点）上运动时，请直接写出线段O C 的取值范围．由①得：tan AO AMO OM 设,CE x 则3,ME x O ¢=-()()222332,x x \=-+解得：6,5x =（不符合题意的根舍去）当,Q O ¢重合时， CO 取得最小值，此时226662,6,AC AQ AO =+===626,CO ¢\=-所以 CO 的取值范围为：626CO ¢-£【点睛】本题考查的是正方形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，一次函数的几何应用，圆的基本性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用一次函数的性质解决几何图形面积问题，利用圆的基本性质求解线段长度的最小值是解本题的关键．10．（2022·重庆·三模）在ABC 中，90ACB ，CA ＝2CB ．将线段CA 绕点C 旋转得到线段CD ．(1)如图1，当点D 落在AB 的延长线上时，过点D 作DE AD 交AC 的延长线于点E ，若BC ＝2，求DE 的长；(2)如图2，当点D 落在CB 的延长线上时，连接AD ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，延长CF 交AD 于点E ，连接BE ，求证：AB CE BE ；(3)如图3，在（2）的条件下，将ACF △沿AC 翻折得到ACF △，M 为直线AD 上一个动点．连接BM ，将BDM 沿BM 翻折得到BMD △．当D F 最小时，直接写出F D FF 的值．由题意得，D ¢在以B 为圆心，BC 长为半径的圆上运动，当设1CB ，∵2CA CB ，∴2CA ．∵90ACB ，1CB ，2CA ，∴225AB CA CB ，sin CAB ∵CF ⊥AB ，90ACB ，题型三：翻折与二次函数1．（21-22九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax ax c 经过 2,0A ， 0,4C 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是第一象限抛物线上一动点，连接CP ，CP 的延长线与x 轴交于点Q ，过点P 作PE y 轴于点E ，以PE 为轴，翻折直线CP ，与抛物线相交于另一点R ．设P 点横坐标为t ，R 点横坐标为s ，求出s 与t 的函数关系式；（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，连接RC ，点G 在RP 上，且RG RC ，连接CG ，若45OCG ，求点Q 坐标．根据题意得：212EF CE t ∴2142OF OE EF t t ∵点R 的横坐标为s ，∴点R 的坐标为21,42s s s∵45OCG ，PE CE ，∴45EIC ．∵45EIC GCP CPE ∴4545RCH GPE ．∴RCH GPE ．2．（2023·天津河西·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c 与x 轴交于 30A ,， 4,0B 两点，在y 轴正半轴上有一点C ，OC OB ．点D ，E 分别是线段AC ，AB 上的动点，且均不与端点重合．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图①，连接BD ，将BCD △沿x 轴翻折得到BFG ，当点G 在抛物线上时，求点G 的坐标；(3)如图②，连接CE ，当CD AE 时，求BD CE 的最小值．∵BCD △与BFG 关于x 轴对称，∴DG AB ，DM GM ，∵3OA ，4OB OC ，∴4tan 3OC CAO OA ，设 0OM a a ，则3AM a ，DM GM AM 4连接EQ 、CQ ，∵AE CD ，∴AEQ CDB ≌，∴EQ BD ，当C ，E ，Q 三点共线时，过点C 作CH AQ ，垂足为H ∵OC OB ^，4OC OB ，∴45CBA ，42BC ．∵180CAH CAB EAQ 2523．（2023·广西贵港·三模）抛物线222y x x c 与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，点 32D ，为抛物线上一点，且直线CD x ∥轴，点M 是抛物线上的一动点．(1)求抛物线的解析式与A、B两点的坐标．，，，为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M的坐标．(2)若点E的纵坐标为0，且以A E D M沿CM翻折，点N的对应点为N ，则是否存在点M，使点N (3)过点M作直线CD的垂线，垂足为N，若将CMN则恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明段理由．当AD 为边时，11AE M D Y ，此时1M 和点C 重合，23AM E D Y 时，点2M 的纵坐标和点D 的纵坐标互为相反数，即21322,22x x 341,2x 32341341,2,,2,22M M 由折叠知，CNM CN M ∵90NCN ，∴四边形CNMN 是矩形，∵CN CN 时，∴矩形CNMN 是正方形，∴CM 平分NCN ，。
平行四边形中的折叠问题
平行四边形中的折叠问题
问题描述
给定一个平行四边形，我们要找到一种折叠方式，使得折叠后的形状尽可能接近原始外形。
折叠是指将平行四边形的不同边折叠到一起，形成一个新的图形。
我们的目标是使得折叠后的图形尽可能接近原始外形，而且要保持对称。
解决方案
为了解决这个问题，我们可以采用以下步骤：
1. 首先，我们需要确定要折叠的边和折叠的方向。
我们可以选择折叠平行四边形的相邻边，保持对称的同时，最大限度地保持外形的相似性。
2. 然后，我们需要确定每个边折叠的比例。
我们可以根据需要将每个边的长度按比例减小，以适应折叠后的形状。
这样可以确保折叠后的图形更接近原始外形。
3. 接下来，我们可以开始折叠。
根据先前确定的折叠方向和比例，将平行四边形的边折叠到一起。
在折叠过程中要小心，确保折叠后的图形保持对称。
4. 最后，我们可以调整折叠后的图形，使其尽可能接近原始外形。
我们可以微调每个边的位置和角度，以使整个图形更接近原始形状。
总结
通过以上步骤，我们可以解决平行四边形中的折叠问题。
通过选择合适的折叠方向和比例，并进行适当的微调，我们可以使折叠后的图形尽可能接近原始外形。
这个问题涉及了几何学中的对称性和相似性概念，同时也考察了我们的折叠技巧。
希望这个文档对你理解和解决平行四边形中的折叠问题有所帮助！
参考文献：。
初中数学中考平行四边形中的折叠型问题(无答案)
例3 ：如图3，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为（）Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．30例4：如图4，将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数为_________度图4三、正方形中的折叠问题例5 ：如图5，四边形ABCD为正方形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝8，则CF等于（）A．3 B．5 C．4 D．8图5 图6例6：如图6，已知正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_____度。
四、直角坐标系中关于特殊平行边形的折叠问题例7：将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10。
如图7，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；图7小结：1．对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 从而把折叠问题转化为轴对称问题，2．利用三角形（或多边形）全等可以得到对应线段、对应角相等，要善于挖掘翻折前后所提供的相等线段与角度，从而将所给条件进行转移（集中在一起）。
3．利用勾股定理既可以计算线段的长度，又可以将已知、未知结合一起列出方程来求解（方程思想）。
1．把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．则△EFG为三角形．2．如图长方形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使其点D与点B重合,点C至点C′, 折痕为EF.求AE的长.3如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )A.3B.4C.5D.65，如图，将一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．（1）连接EB，求证：四边形EBFD是菱形；（2）若AB=3，BC=9，求重叠部分三角形DEF的面积．6．如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．（1）求证：△ABE≌△AGF；（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，23ECBC，求AC•EF的值．7，如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．8，对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．（1）证明：∠ABE=30°；（2）证明：四边形BFB′E为菱形．9，将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．10，如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．连接CE、CF、BD，AC、BD的交点为O，若CE⊥AB，AB=7，CD=3．下列结论中：①AC=BD，②EF∥BD，③S=AC四边形AECF11，如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式。
平行四边形中的折叠问题含答案
平行四边形中的折叠问题一、新课导入（一）学习目标熟练掌握平行四边形的性质与判定，并能运用相关性质、判定解决平行四边形中的折叠问题．（二）预习导入1．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，若∠A=55°，∠ABD=45°，则∠A′BC的大小为（）．A．30°B．35°C．40°D．45°2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC'F的周长之和是________．二、典型问题知识点一：在折叠中求角度和边长例1如图，矩形ABCD中，点M，N分别在AD、BC边上．将矩形ABCD沿MN翻折，点C恰好落在AD边上的点F处．若MD=1，∠MNC=60°，则∠EFM的度数为_______，AB的长为________．分析：由折叠变换可得EF=CD，MD=EM=1，∠MNC=∠FNM=60°，∠C=∠EFN=90°，由平行线的性质可得∠FMN=∠MNC=60°，即可求得∠EFM的度数，由直角三角形的性质可求得EF的长，即为AB的长．知识点二：在折叠中判定平行四边形例2如图，已知矩形ABCD，将纸片折叠，使顶点A与C重合，折痕EF分别于DC，AB 交于E，F．求证：E，A，F，C四点构成的四边形为菱形．分析：连接AE，AC，AC交EF于O，由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC，根据全等三角形的性质得到AF=CE，则即可得解．三、阶梯训练A组：基础练习1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为_________．2．把矩形ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=4cm，BC=8cm，则DF的长度是________cm．3．如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________．4．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D=80°，则∠ECF的度数是__________．5．在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G 处，连接AG并延长，交CD于F．求证：四边形AECF是平行四边形．6．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M 点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，BE=2，求菱形BFDE的面积．B组：拓展练习7．如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ的度数为_________．8．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点P是AB边的中点，折叠纸片，使点C落在直线DP上的C处，折痕为经过点D的线段DE．则∠DEC的度数为_________．9．如图，正方形ABCD的边长AB=12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN=5，连接AN．（1）求△AEN的面积；（2）试判断EF与AN的关系，并说明理由．平行四边形中的折叠问题答案预习导入1．B．2．6．例130°，3．例2连接AE，AC交EF于O．由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC，∴AE=CE，AF=CF．∵AB∥CD，∴∠ECO=∠OAF．在△AOF与△COE中，∠ 쫠⩊＝∠ ，쫠 ＝ ，∠쫠 ⩊＝∠ ，∴△AOF≌△COE．∴AF=CE．∴AE=AF=CE=CF．∴E，A，F，C四点构成的四边形为菱形．1．105°．2．5．3．7．4．40°．5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，∴BE=GE，∠CEB=∠CEG．∴AE=GE．∴∠FAE=∠AGE．∵∠BEG=∠FAE+∠AGE，∴∠FAE=12∠BEG．又∵∠CEB=∠CEG=12∠BEG，∴∠FAE=∠CEB．∴AF∥EC．∴四边形AECF是平行四边形．6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD．∴∠ABD=∠CDB．由翻折变换的性质可知，∠ABE=∠EBD，∠CDF=∠FDB，∴∠EBD=∠FDB．∴EB∥DF．∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．（2）∵四边形BFDE为菱形，∴∠EBD=∠FBD．∵∠EBD=∠ABE，∴∠EBD=∠FBD=∠ABE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°．∴∠EBD=∠FBD=∠ABE=30°．∴AB=3．∴菱形BFDE的面积S=DE×AB=23．7．30°．8．75°．9．（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°．由折叠的性质，得NE=AE．设NE=AE=x，则BE=AB-AE=12-x．在Rt△ABN中，由勾股定理，得52+（12-x）2=x2，解得x=16924．∴AE=16924．∴△AEN的面积=12AE×BN=84548．（2）EF⊥AN，EF=AN，理由如下：作FH⊥AB于H，如图所示．则FH=AD=AB，∠EFH+∠FEH=90°．由折叠的性质，得EF⊥AN，∴∠NAB+∠FEH=90°．∴∠EFH=∠NAB．在△EFH和△NAB中，∠ ⩊h＝∠ 쫠 ，⩊h＝쫠 ，∠⩊h ＝∠ ＝90°，∴△EFH≌△NAB．∴EF=AN．。
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多姿多彩的平行四边形折叠问题
康海芯
折叠问题是操作与运算相结合的问题，它可以产生许多美丽的图案。
通过这类问题还可以探究图形存在的某些内在的规律，并进行有关计算。
解决折叠问题的关键，是根据轴对称的性质，弄清折叠前后哪些量变化了、哪些量没有变，弄清折叠前后哪些条件可以利用。
本文将以中考题为例，谈谈平行四边形折叠问题的类型和解法，供同学们参考。
一、平行四边形的折叠
例1 （2007年·长春）如图1，将平行四边形纸条ABCD沿EF折叠，点A、B分别落在A′B′处，线段FB′与AD交于点M。
（1）试判断△MEF的形状，并证明你的结论。
（2）如图2，将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C、D分别落在C′、D′处，且使MD′经过点F。
试判断四边形MNFE的形状，并证明你的结论。
（3）当∠BFE= 时，四边形MNFE是菱形。
解析：（1）△MEF为等腰三角形，利用“∠MFE=∠BFE=∠MEF”来证明即可。
（2）四边形MNFE是平行四边形，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”或“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明就可以。
与（1）同理，可证△FMN 也为等腰三角形。
从而ME=MF=NF。
或利用两等腰三角形顶角相等则底角也相等来证明（因AD∥BC，∠EMF=MFN，故∠FMN=∠MFE）。
（3）若四边形MNFE是菱形，则∠EFM=∠NFM，又∠EFM=∠EFB，且∠EFM+∠NFM+∠EFB=180°，所以∠BFE=60°。
评注：解结论探究型题时，要善于根据图形和已知条件，先由观察直观得出一些结论。
二、矩形的折叠
例2 （2006年·郴州）如图3，矩形纸片ABCD的边长分别为a、b（a＜)b。
将纸片任意翻折（如图4），折痕为PQ（P在边BC上，Q在边CD上），使顶点C落在矩形ABCD内的点C′处，PC′的延长线交直线AD于M。
再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上的点A′处（如图5），折痕为MN。
（1）猜想两折痕PQ、MN之间的位置关系，并加以证明。
（2）如图6，若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°。
每次翻折后，非重叠部分的四边形C′QDM及四边形BPA′N的周长与a、b有何关系？为什么？
解析：（1）观察图5，可以猜想PQ ∥MN ，利用“内错角相等，两直线平行”即可证明。
因为AD ∥BC ，所以∠AMP=∠MPC ，由翻折可得：∠MPQ=21∠MPC ，∠NMP=21∠AMP ，所以∠MPQ=∠NMP ，故PQ ∥MN 。
（2）当∠QPC=45°时，易知四边形PCQC ′是正方形，四边形C ′QDM 则是矩形。
因为C ′Q=CQ ，故C ′Q+QD=a ，所以矩形C ′QDM 的周长为2a 。
同理可知矩形BPA ′N 的周长为2a 。
所以两个四边形的周长都为2a ，与b 无关。
评注：和矩形有关的折叠问题是中考的一个热点，解题时，通常根据轴对称及矩形的有关性质，将条件或结论转移到三角形中。
三、菱形的折叠
例3 （2007年·赣州）在菱形ABCD 中，已知∠B=45°，AE 是BC 上的高。
将△ABE 沿着AE 所在的直线翻折，得△AB ′E ，如图7。
AB ′交CD 于F 。
（1）请你判断△AFD 的形状，并说明理由。
（2）若菱形边长为2，试求△AB ′E 与四边形AECD 的重叠部分AECF 的面积。
解析：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∠B=45°，∠BAD=∠BCD=135°。
∵△ABE 与△AB ′E 关于AE 对称，且∠BAE=45°，
∴∠BAB ′=90°。
∴∠FAD=∠BAD-∠BAB ′=135°-90°=45°。
又∠D=45°，故△AFD 是等腰直角三角形。
（2）∵△ADF 与△ABE 都是等腰直角三角形，AB=AD ，
∴△ADF ≌△ABE 。
在Rt △ABE 中，AB=2，由勾股定理AE=BE=2。
S △ABE =
2
1·AE ·BE=1。
显然，S 菱形ABCD =BC ·AE=22。
∴S 四边形AECF =S 菱形ABCD -S △ABE -S △ADF =22-2。
评注：解决本题的关键是发现△ADF 为等腰直角三角形，且△ADF ≌△ABE 。
其实，不论∠B 为多大，都可利用∠B ′=∠B ，∠B ′=∠B ′AD ，得出∠FAD=∠B 。
四、正方形的折叠
例4 （2007年·淄博）有一个边长为2的正方形纸片ABCD ，先将正方形ABCD 对折后展开，设折痕为EF （如图8）。
再沿过点D 的折痕将角A 翻折，使得点A 落在EF 上的点H 处，折痕DG 交AE 于点G 。
（1）求EH 的长。
（2）你能求出重叠部分Rt △HGD 的面积吗？如果能，请写出解答过程；如果不能，请说明理由。
解析：（1）在Rt △HDF 中，FD=1，HD=AD=2，由勾股定理，HF=
3。
EH=32 。
（2）在Rt △HEG 中，EG=1-AG=1-HG ，HG 2=EG 2+EH 2=（1-HG ）2+（2-3）2，解得HG=4-32。
故S △HGD =
2
1·HG ·HD=4-32。
评注：解折叠问题要抓住折叠前后相等的量，比如本题中的HD=AD ，HG=AG 。
往往求出一个量后，其他未知的量就会连锁被求出。
直接运算很难推进时，要想到利用勾股定理列方程来解决。