数列的概念及简单表示法(学生版)

第二章数列
2.1 数列的概念及简单表示
2.1.1数列的概念与简单表示法(一)
【学习目标】
1.理解数列及其有关概念(难点)；
2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项(重点)；
3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.
【要点整合】
1.数列的概念
(1)数列与数列的项
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第项.
(2)数列的表示方式
数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为.
(3)数列中的项的性质：
①确定性；②可重复性；③有序性.
(4)数列与集合的区别：数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性.
2.数列的分类
(1).按项的个数分类
(2).按项的变化趋势分类
3.数列的通项公式
如果数列{a n }的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
【典例讲练】
题型一 数列的概念与分类
例1 (1)下列四个选项中，既是无穷数列又是递增数列的是( )
A. {0，1，2，3，4}；
B.sin π7，sin 2π7，sin 3π7
，… C.－1，－12，－14，－18
，… D.1，2，3，…，21 (2)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫94，3
B.[94，3)
C.(1，3)
D.(2，3)
(3)下列说法：①数列1，3，5，7与数列7，3，5，1是同一数列；②数列0，1，2，3…的一个通项公式为
=-a n 1；③数列0，1，0，1，…没有通项公式；④数列⎩⎭
+⎨⎬⎧⎫n n 1是递增数列，其中正确的是（ ） A ．①③
B ．②④
C ．②③
D ．②③④
练习1：下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018； (2)0，12，23，…，n －1n
，…； (3)1，12，14，…，12n －1，…； (4)－11×2，12×3，－13×4，14×5
，…； (5)1,0，－1，…，sin n π2，…； (6) 9,9,9,9,9,9.
题型二 根据通项公式写数列的项
例2 根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：
(1)a n ＝n n ＋1
； (2)a n ＝(－1)n n .
练习2：已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)－
·n 2n －1，n ∈N *，则a 1＝________；a n ＋1＝________.
题型三 观察法求数列的通项公式
例3 根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式.
(1)－3，0，3，6，9，…；
(2)3，5，9，17，33，…；
(3)2，0，2，0，2，0，…；
(4)12，14，－58，1316，－2932，6164
，….
练习3：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－11×2，12×3，－13×4，14×5
； (2)22－12，32－13，42－14，52－15
； (3)7,77,777,7 777.
题型四 数列的通项公式的简单应用
例4已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋2）
(n ∈N *)，则 (1)计算a 3＋a 4的值；
(2)1120
是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由.
练习4：已知数列{a n }的通项公式为+=
n n a n 11)
((n ∈N *)，那么901是这个数列的第___项.
2.1.2数列的概念与简单表示法(二)
【学习目标】
1. 理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列；
2. 理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项(重、难点).
【要点整合】
1. 数列的函数性质
(1).数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集______________)为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照_________的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 数列是特殊的函数.
(2).在数列{a n }中，若a n ＋1>a n ，则{a n }是 数列；若a n ＋1<a n ，则{a n }为 数列；若a n ＋1＝a n ，则{a n }为 .
(3).数列单调性与函数单调性的区别和联系：
联系：若函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列f (n )也单调.反之不正确，例如f (x )＝(x －54
)2，数列f (n )单调递增，但函数f (x )在(1，＋∞)上不是单调递增.
区别：二者定义不同，函数单调性的定义：函数f (x )的定义域为D ，设D ⊇I ，对任意x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，若f (x 1)>f (x 2)，则f (x )在I 上单调递减，若f (x 1)<f (x 2)，则f (x )在I 上单调递增，定义中的x 1，x 2不能用有限个数值来代替.数列单调性的定义：只需比较相邻的a n 与a n ＋1的大小来确定单调性.
2. 数列的表示方法
(1).数列的递推公式：如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的__________(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
(2). 数列的表示方法：数列的表示方法有 、 、 、 .
【典例讲练】
题型一 数列的表示法
例1图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式.
练习1：传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如，他们将石子摆成如图所示的三角形点阵，就将其所对应石子的个数称为三角形数，则第n 个三角形数比第n －1(n ≥2，n ∈N *)个三角形数多________个石子.
题型二 数列的函数特性
例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n n 2＋9
(n ∈N *)，写出其前5项，并判断数列{a n }的单调性.
练习2：已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n
，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最
大项的序号；若没有，请说明理由.
. 题型三 由递推公式写出数列的项
例3 已知数列{a n }的第一项a 1＝1，以后的各项由递推公式a n ＋1＝2a n a n ＋2
给出，试写出这个数列的前5项.
练习3：已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 020项？
题型四 由数列的递推公式求通项公式 例4 (1)对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n ≥2，n ∈N *)都成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n ；
(2)若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1
＝a n (n ≥2，n ∈N *)成立.试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1
＝n －1n (n ≥2，n ∈N *)，求通项a n .
练习4：已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）
(n ≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式.。