《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件5-5

pi ) qj
别是Legendre符号的数值。但是，必须注意，如同在定义1 的注2中指出的，在判断方程(2)的可解性时,Legendre符号 和Jacobi的作用是不一样的。 a 对于一般的正奇数m来说，( )= 1并不能保证方程(2)有解. m 10
2
2
( q i ),
i 1 j 1 j
( 1)
m 1 2 N 2
m 1 2
;
k ( 2 ) ( 2 ) m pi i 1
( 1)
2 2 p 2 1 p1 1 p2 1 k 8 8 8
( 1)
m 2 1 8
.
8
2
定理3 设m，n是大于1的奇整数，则
m n m n 证明 : (1)若( m , n) 1, 则( ) ( ) 0成立 . n m
( 1) ( 1) ( 1)
(4 a b )2 1 8
(
a ) 4a b
a 1 4 a b 1 2 2
b 2 1 ab 8
( 1)
( 4a b )
a
1
b 2 1 a 1 b 1 8 2 2
(b) .
a
13 14
4
(3) 对于任意的整数a1, a2, , at，有
( a a a ) ( a )( a )( a );
1 2 t 1 2 t
m
m
m
m
(4) 对于任意的整数a，b，(a, m) = 1，有
( a b ) ( b ).
m m
5
2
引理 若 m p1 p2 pr , 2 m，则 N , N ' Z，使得
补 充 说 明
（1）当m是奇素数时，Jacobi符号就是Legendre符号。 前者是后者的推广。 （2）如果m是奇素数，当 (
a ) = 1时，方程(2)有解。 m 当m不是奇素数时，这个结论不一定成立。 5 5 5 例如，方程x2 5 (mod 9)无解， 但有： ( ) ( )( ) 1. 9 3 3 a 显然，若 ( ) 1, 则方程(2)必无解。 m 这就是说,Jacobi符号不能用于判断对应的同余方程是否
( 1)
p 1 p1 1 p2 1 k 2 2 2
m 2 1 p12 p2 2 pr 2 1 8 8
p 2 1 p 2 1 p 2 1 (1 8 1 )(1 8 2 ) (1 8 r ) 1 r p 2 1 8 8 8 i 2N ' 8 8 i 1 7
x2 12345 (mod 3371)是否有解。
解: 利用Jacobi符号的性质，有
( 12345 ) ( 2232 ) (
3371 3371 ( 1) ( 1)
33712 1 8
2 )( 4 )( 279 ) 3371 3371 3371
33711 2791 2 2
来自百度文库
( 1)
( 23 ) ( 279 )
279 3
23
2791 231 2 2 231 31 2 2
( 279 ) ( 23 )
( 1)
11
23 23 1 . 因此，方程无解。 ( ) 3 12
3
例2 设a与b是正奇数，求
2a )与( b ) 的关系。 4a b a ( 2a ) ( 2 )( a ) 解： 4a b 4a b 4a b
2
m 1 p1 p2 pr 1 证明： 2 2
(1 2 p1 1 p 1 p 1 )(1 2 2 ) (1 2 r ) 1 r p 1 2 2 2 i 2N 2 2 i 1
k 证明： ( 1 ) ( 1 ) m pi i 1
( 1)
k s
则(
qj n n ) ( ) ( ) m i 1 pi i 1 j 1 pi i 1 j 1
(-1)i 1 j 1
k s p 1 q 1 j i
k
k
s
k
s
pi 1 q j 1 (-1) 2 2 (
利用以上定理，我们可以很容易地计算Jacobi符号,特
2
(1)
(2)
定义1 给定正奇数m > 1，m = p1p2pk，其中pi （1 i k）是奇素数，对于任意的整数a， a a a a 定义 ( ) ( )( ) ( ) m p1 p2 pk a 其中右端的( )（1 i k）是Legendre符号， pi a 称 ( ) 是Jacobi符号。 m 例如，取m = 45 = 335，则 5 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( )( )( ) ( ) (1) 8 1 ， 45 3 3 5 5 31 51 28 28 28 28 ( ) ( )( )( ) ( 3 ) (1) 2 2 ( 5 ) ( 2 ) 1 . 45 3 3 5 5 3 3 3
k
s
p
9
注 意
• (1)以上表明, 雅可比符号保留了上节介绍的勒让 德符号的所有性质,由于雅可比符号并不要求下方 为质数,也不需要求标准分解式,因此,计算雅可比 符号比计算勒让德符号更方便. • (2)因此,我们计算勒让德符号时,可以先把它看作 是雅可比符号来计算,以方便计算.
例1
已知3371是素数，判断方程
( n ) ( 1)
m 1 n 1 2 2
(m)
由引理知
(2)若( m , n) 1, 令m p1 p2 pk , n q1q2 qs , pi , q j
(1 i k ,1 j s )都是素数 , 且( pi , q j ) 1,
pi 1 q j 1 k pi 1 s q j 1 2 2 2 j 1 2 i 1 j 1 i 1 m 1 n1 m 1 n1 ( 2 N 1 )( 2N2 ) 2N , 2 2 2 2 m -1 n 1 k m -1 n 1 s p n m ( ) (-1) 2 2 ( i ) (-1) 2 2 ( ). m n i 1 j 1 q j
(
例3 找出所有的质数p, 使x 2 5(mod p )有解 , p 5.
5 p 解 : ( ) ( ) 1, p 5 1 2 3 4 又 ( ) 1,( ) 1,( ) 1,( ) 1, 5 5 5 5 当p 1(mod 5)时,即p 5k 1时, 原方程有解 .
4
有解(可以判断无解 ), 这是它与Legendre符号的重要区别.
1
定理1 使用定义1中的符号，下面的结论成立：
(1) 若a a1 (mod m)，则 (2) ( 1 ) 1; m
( a ) ( a1 ); m m
证明 : (1) a a1 (mod m ), m p1 p2 pk , a a1 (mod pi )(1 i k ), a a a a a a a a ( ) ( )( ) ( ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 ); m p1 p2 pk p1 p2 pk m 1 2 (2)同余方程x 1(mod m )总有解 , 如x 1, ( ) 1; m a1a2 at a1a2 at a1a2 at a1a2 at (3)( )( )( ) ( ) m p p p a1 1 at a1 2 at a1 k at ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) p1 p1 p2 p2 pk pk at a1 a2 ( )( ) ( ); m m m 2 ab a a b b (4)( ) ( )( )( ) ( ). m m m m m 6
p 1 p 1 m 1 m 1 i 2N , i 2 N '. 2 2 8 8 i 1 i 1
r 2 r 2
定理2 设m = p1p2pk是奇数，其中p1, p2, pk是素数，
则下面的结论成立：
m 1 1 (1) ( ) ( 1) 2 ; m m 1 2 (2) ( ) ( 1) 8 . m
对于一般的正整数m，如果它的标准分解式是
§5.4 雅可比符号
对于奇素数p，利用计算Legendre符号可以判定方程 x2 a (mod p) 是否有解。 对于一般的正整数m， 如何判定方程 x2 a (mod m) 是否有解呢？
1
k 1 2 m p1 p2 pk
那么判定方程 x2 a (mod m) (2)是否有解,可归结为 对形如方程x2 a (mod p) (1) 的可解性判定。 因此，在理论上，利用Legendre符号可以判定方程(2) 是否有解。 但是，勒让德符号的缺点在于计算其值时,要求符 号下方是奇质数,在需要运用二次互反律时,还必须先 判断符号上方是不是质数,假如是合数还要把其化为标 准形式,而这些又都没有一般的方法,为此我们引入如下 的符号.