高中数学教师招聘测试题目

一、选择题：本大题共7小题，每小题4分，满分28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设z 是复数，()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =

A. 8

B. 6

C. 4

D. 2

2.已知数|a n |的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<,则k =

A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

3.甲、乙两名同学在5次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示如下，若甲、乙两人的平均成绩分别用甲x 、乙x 表示，则下列结论正确的是（ ） A.甲x >乙x ，且甲比乙成绩稳定 B.甲x >乙x ，且乙比甲成绩稳定 C.甲x <乙x ，且甲比乙成绩稳定

D.甲x <乙x ，且乙比甲成绩稳定

4.甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为

A.1

2 B.3

5 C.23 D.3

4

5.已知平面直角坐8.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图

中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何

体的侧视图的面积为（ ）

A.32

B.23

C.6

D.12

6.设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不

同直线．从“①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个

作为条件，余下一个作为结论组成命题，其中为真命题的个数是

A ．4

B ．3

C ．2 D. 1

7.标系xOy 上的区域D 由不等式组02

22x y x y

⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定.若M(x ，y)

为D 上动点，点A 的坐标为(2，1)．则z OM OA =⋅u u u u r u u u r 的最大值为

A.42

B.32

C.4

D.3

1 8 9 8 9

0 1 2

9 9 8 3 甲 乙

二、填空题：本大题共6小题．考生作答5小题（12、13题任选一题）．每小题4分，满分20分

8. 随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a L ，则图3所示的程序框图输出的

s = ，s 表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）

s =n

a a a n +⋅⋅⋅++21；平均数 9.2211x x +≤的解集是

10.直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围

是 .

11.已知实数x y ，满足⎪⎩

⎪⎨⎧≥≤+≤-3102x y x y x ，则y x z 32+=的最小值

是 .

12．（坐标系与参数方程选做题）若直线⎩⎨

⎧+=-=.

2,21:1kt y t x l （t 为参数）与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．

13.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作圆

的切线和割线交圆于,A B ,且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，则AB = .

三、解答题：本大题共5小题，满分52分．解答须写出文字说明、

证明过程和演算步骤．

14．(本小题满分8分）已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2π

θ∈．

（1）求θsin 和θcos 的值

（2）若10sin()102

πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值． 15.（本小题满分8分）有人预测：在2010年的广州亚运会上，排球比赛的决赛将在中国队与日本队之间展开，据以往统计，中国队在每局比赛中胜日本队的概率为

23

，比赛采取五局三胜制，即谁先胜三局谁就获胜，并停止比赛.

（1）求中国队以3:1获胜的概率；

D

C B A P

（2）设ξ表示比赛的局数，求ξ的分布列与数学期望.

16．（本小题满分10分）

已知如图5，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA=AD=1,AB=2,

120PAB ∠=o ,90PBC ∠=o .

(1)求证：平面PAD ⊥平面PAB ； (2)求三棱锥D －PAC 的体积；

(3)求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值． 图 17. （本题满分12分）设数列{}n a 满

足110,441n n a a a +==++，

令n b =（1）试判断数列{}n b 是否为等差数列？

（2）若1

1n n c a +=，求{}n c 前n 项的和n S ；

（3）是否存在*,(,,)m n m n N m n ∈≠使得1,,m n a a 三数成等比数列？

18.(本小题满分14分) 已知函数1()ln(1)1a

f x x ax x -=+-++ (1

2a >).

（Ⅰ）当曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线:21l y x =+垂直时，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.

（III ）求证：1

1

1

1111

ln(1)1(*)234123n n N n n ++++<+<++++∈+L L