高中数学极限问题

第九讲 极限与探索性问题

【考点透视】

1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．了解数列极限和函数极限的概念．

3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．

4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 【例题解析】 考点1 数列的极限

1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注意：a 不一定是｛a n ｝中的项.

2.几个常用的极限：①∞

→n lim C =C （C 为常数）;②∞

→n lim n

1=0;③∞

→n lim q n =0（|q |＜1）.

3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞

→n lim a n =a , ∞

→n lim b n =b 时，∞

→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;

例1.数列{n a }满足:113

a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,则12lim()n n a a a →∞

++

+=

( )

A.12

B.23

C.32

D.2

[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim 0(1)n n q q →∞

=< 的应用.

[解答过程]由113

a =和m n m n a a a +=⋅得23111,,.9273

n n

a a a ==∴=

1211(1)

13

3lim()lim .1213

n n x x a a a →∞→∞-∴++⋅⋅⋅+==-

故选A.

例2．设常数0a >

，4

2ax ⎛ ⎝

展开式中3

x 的系数为32，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____.

[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力.

[解答过程] 14822

14

r r r

r

r T C a

x

x

---+=，由18232

,2,r r

x

x

x r --==得4431=22

r r C a -由知a=，所以21

2lim()11

12

n n a a a →∞++⋅⋅⋅+==-，所以为1. 例3.把21(1)(1)(1)n x x x +++++++展开成关于x 的多项式，

其各项系数和为n a ，则21lim 1n n n a a ∞-+→等于( ) （ ）

A ．14

B ．12

C ．1

D ．2

[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim 0(1)n n q q →∞

=< 的应用.

[解答过程] 22

121,1(1)(1)(1)122221,12

n

n n

n n x a x x x -==+++++

++=+++

+==--当时

1212211211

lim

lim lim lim 2 2.121122n n n n n n n n n n n

a a +∞∞∞∞----===-=+-+→→→→()∴()() 故选D

例4.设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22

lim n n n

a n S →∞-= ．

思路启迪：由等差数列{}n a 的公差d 是2，先求出前n 项的和为n S 和通项n a ． [解答过程] 221222,,2

n n n n a a n a S na n a n -=+-=-+=+=+-()(n 1)(1)

22

22

2

2

222122lim lim lim 3.1n

n n n n a

a n n a n n n a S n a n n

→∞→∞→∞-+---+-===-+-+

()()∴1(1) 故填3 小结:

1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点： （1）各数列的极限必须存在；

（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） ∞

→n lim C =C （C 为常数）;

（2） ∞

→n lim （n

1）p =0（p ＞0）;

（3） ∞

→n lim d cn b an k k

++=c

a （k ∈N *,a 、

b 、

c 、

d ∈R 且c ≠0）;

（4） ∞

→n lim q n =0（|q |＜1）.

例5.设正数a , b 满足4)(2

2

lim =-+→b ax x x 则=

++--+∞

→n

n n n n b a ab a

2111

lim

（ ）

（A ）0

（B ）41

（C ）2

1

（D ）1

解

:

221

lim()4,24,.2

x a x ax b a b b →+-=+-==∵∴4∴1111

11111112lim

lim lim .

1224222

n n n n n n

x x x n n a a a a ab

a b a a b b b b

b --+--→∞→∞→∞--+++====+++[()][()]

则()() 故选B

小结:重视在日常学习过程中运用化归思想. 考点2 函数的极限 1.函数极限的概念：

（1）如果+∞

→x lim f （x ）=a 且-∞

→x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极

限是a ,记作∞

→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.

（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0

lim x x →f （x ）=a ,也可记作

当x →x 0时，f （x ）→a .

（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0＝无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0

lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧

（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0

lim x x f （x ）=a .

2.极限的四则运算法则：

如果0

lim x x → f （x ）=a , 0

lim x x →g （x ）=b ,那么

lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0

lim x x →[f （x ）

·g （x ）]=a ·b ; 0

lim x x →)()(x g x f =b

a （

b ≠0）. 例6． 1

lim 2

31

--→x x x x =( )

A ．等于0

B ．等于l

C ．等于3

D ．不存