高中数学极限问题
高中数学解极限问题的技巧
高中数学解极限问题的技巧在高中数学学习中，极限是一个重要的概念，也是数学分析的基础。
解决极限问题需要一定的技巧和方法，下面我将介绍一些常见的解极限问题的技巧，希望能对高中学生和他们的父母有所帮助。
一、利用代数运算法简化式子在解极限问题中，有时候我们会遇到复杂的式子，难以直接求解。
这时，可以尝试利用代数运算法简化式子，使其更容易处理。
例如，对于形如$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$的极限问题，我们可以利用泰勒展开公式将$\sin x$展开成$x$的幂级数，然后化简式子，得到$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x}=1$。
二、利用等价无穷小替换在解极限问题时，有时候我们可以利用等价无穷小替换来简化计算。
等价无穷小是指当$x$趋于某个特定值时，与之相比的无穷小量。
例如，对于形如$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}$的极限问题，我们可以利用等价无穷小替换$\sin x \approx x$，将原式化简为$\lim_{x \to 0} \frac{x}{x}=1$。
三、利用夹逼定理求解夹逼定理是解极限问题中常用的方法之一。
当我们遇到一个难以直接求解的极限问题时，可以尝试利用夹逼定理来求解。
夹逼定理的核心思想是通过构造两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得这两个函数的极限都等于要求的极限，从而确定极限的值。
例如，对于形如$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$的极限问题，我们可以利用夹逼定理，构造两个函数$f(x)=x$和$g(x)=\sin x$，显然有$f(x) \leq\frac{\sin x}{x} \leq g(x)$。
当$x$趋于0时，$f(x)$和$g(x)$的极限都等于1，因此根据夹逼定理，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$。
四、利用洛必达法则求解洛必达法则是解决极限问题中常用的方法之一。
高中数学解数列极限问题的详细分析与实例分析
高中数学解数列极限问题的详细分析与实例分析数列极限是高中数学中一个重要的概念，也是学生们经常遇到的难点之一。
在解决数列极限问题时，我们需要掌握一些基本的解题技巧和方法。
本文将详细分析数列极限问题，并通过实例分析来说明解题方法和考点。
一、数列极限的定义和性质数列极限是指当数列的项数无限增加时，数列中的数值趋于一个确定的常数或无穷大。
数列极限的定义可以表述为：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，数列的第n项与极限之间的差的绝对值小于ε。
在解决数列极限问题时，我们需要掌握一些基本的性质。
首先是数列极限的唯一性，即一个数列只有一个极限。
其次是数列极限的四则运算性质，即两个数列的极限之和、差、积、商仍然是有限的。
二、常见的数列极限问题1. 等差数列的极限问题等差数列是高中数学中最常见的一类数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
当公差d不为0时，数列的极限为无穷大或无穷小；当公差d为0时，数列的极限为首项a1。
例如，考虑数列{1, 3, 5, 7, ...}，其中首项a1=1，公差d=2。
根据等差数列的通项公式，第n项为an=1+(n-1)2=2n-1。
当n趋于无穷大时，2n-1也趋于无穷大，因此该数列的极限为正无穷。
2. 等比数列的极限问题等比数列是指数列中相邻两项之比为常数的数列，其通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
当公比r的绝对值小于1时，数列的极限为0；当公比r 的绝对值大于1时，数列的极限为无穷大或无穷小。
例如，考虑数列{2, 4, 8, 16, ...}，其中首项a1=2，公比r=2。
根据等比数列的通项公式，第n项为an=2*2^(n-1)=2^n。
当n趋于无穷大时，2^n也趋于无穷大，因此该数列的极限为正无穷。
3. 斐波那契数列的极限问题斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列，其通项公式为an=an-1+an-2，其中a1=1，a2=1。
高中数学极限问题解题思路与例题
高中数学极限问题解题思路与例题一、引言高中数学中，极限问题是一个重要的考点，也是学生们普遍感到困惑的一个难点。
正确理解和掌握极限问题的解题思路对于学习数学和应对考试都具有重要意义。
本文将从基本概念、解题思路和例题分析三个方面，详细介绍高中数学极限问题的解题方法。
二、基本概念1. 极限的定义极限是数学中一个重要的概念，用于描述函数在某一点附近的趋势。
对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，如果函数值f(x)无限接近于一个常数L，那么我们就说函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，如极限的唯一性、四则运算法则、复合函数的极限等。
掌握这些性质对于解题非常有帮助。
三、解题思路1. 分析题目在解决极限问题时，首先要仔细分析题目，明确题目中给出的条件和要求。
特别要注意是否存在不确定形式，如0/0、∞/∞等。
2. 利用基本极限高中数学中，有一些基本的极限公式是非常重要的，如lim(x→0)(sinx/x)=1、lim(x→∞)(1+x)^1/x=e等。
在解题时，可以利用这些基本极限公式来简化计算。
3. 利用极限的性质极限具有一些重要的性质，如极限的四则运算法则、复合函数的极限等。
在解题时，可以灵活运用这些性质来简化计算。
4. 利用夹逼定理夹逼定理是解决极限问题的常用方法之一。
当我们无法直接计算出极限时，可以通过找到两个函数，一个上界函数和一个下界函数，使得它们的极限都等于我们要求的极限，从而利用夹逼定理求出极限的值。
四、例题分析1. 例题一求极限lim(x→0)(x^2+sinx)/x。
解析：首先，我们可以利用基本极限lim(x→0)(sinx/x)=1，将题目转化为lim(x→0)(x+sinx)/x。
然后，利用极限的四则运算法则，将分子和分母分别求极限，得到lim(x→0)x/x+lim(x→0)sinx/x=1+0=1。
2. 例题二求极限lim(x→∞)(2x^2+x)/(3x^2-4x)。
高中数学练习题附带解析极限的计算与性质
高中数学练习题附带解析极限的计算与性质高中数学练习题附带解析：极限的计算与性质一、单项选择题1.设f(x) = $\sqrt[]{x}$，则$\lim\limits_{x\to4}f(x)$的值为（）。
A.2B.4C.1D.不存在解析：由函数$\sqrt[]{x}$的图像可以看出，$\lim\limits_{x\to4}f(x) = \sqrt[]{4} = 2$，故选A。
2.设$f(x) = \dfrac{2x}{x+1}$，则$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$的值为（）。
A.0B.1C.2D.不存在解析：由$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x}{x+1} = 2$，故选C。
3.设$f(x) = \sin{x} + \cos{x}$，则$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{f(x)-\sqrt[]{2}}{x-\frac{\pi}{4}}$的值为（）。
A.-1B.0C.1D.不存在解析：$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{f(x)-\sqrt[]{2}}{x-\frac{\pi}{4}} = \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}} \dfrac{\sin{x}+\cos{x}-\sqrt[]{2}}{x-\frac{\pi}{4}} =\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{4}}\dfrac{\sqrt[]{2}\sin{\frac{\pi}{4}}+\sqrt[]{2}\cos{\frac{\pi}{4}}-\sin{x}-\cos{x}}{\sqrt[]{2}(x-\frac{\pi}{4})}=-\dfrac{\sqrt[]{2}}{2}$，故选A。
二、填空题1.$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan{3x}}{\tan{5x}}=$______。
破解高中数学中的极限问题的解题方法
破解高中数学中的极限问题的解题方法数学是一门由逻辑和推理构成的学科，其中极限问题是数学中一个重要的概念。
高中数学中的极限问题涉及到函数的趋势、曲线的性质以及数列的发散和收敛等方面。
对于学生来说，掌握破解高中数学中的极限问题的解题方法对于提高数学思维和解决问题的能力至关重要。
一、理解极限的概念在破解高中数学中的极限问题之前，我们首先需要理解极限的概念。
极限是指函数或数列在某一点或无穷远处的临近情况。
数学中用极限来描述函数的趋势和数列的发散或收敛。
通过理解极限的概念，我们能更好地掌握解题方法。
二、运用基本的极限定理破解数学中的极限问题，我们可以运用一些基本的极限定理。
其中包括函数的极限定理和数列的极限定理。
函数的极限定理包括函数的极限运算法则、函数的最值与极限的关系、复合函数的极限等。
数列的极限定理包括数列的夹逼定理、数列极限运算法则等。
熟练掌握基本的极限定理有助于我们解决各种极限问题。
三、利用极限的性质和公式在破解高中数学中的极限问题时，我们可以利用一些极限的性质和公式来简化计算和推导过程。
比如，利用极限的四则运算法则、极限的乘积法则、极限的商法则等，将原问题转化为容易计算的形式。
此外，还可以利用一些极限的公式，如指数函数的极限公式、三角函数的极限公式等，使得解题更加简洁高效。
四、应用洛必达法则洛必达法则是解决高中数学中的极限问题中常用的一种方法。
当我们遇到函数的极限难以直接求解时，可以尝试应用洛必达法则进行转化。
洛必达法则利用了函数的导数与函数极限之间的关系，通过对导数的求解和化简，从而求出原函数的极限值。
但需要注意的是，洛必达法则只适用于某些特定的情况，需要注意条件的适用性和正确的运用。
五、分析问题及举一反三破解高中数学中的极限问题，除了掌握解题方法外，我们还需要培养分析问题和举一反三的能力。
在解题过程中，我们需要仔细分析问题的条件和要求，找出关键点并加以运用。
同时，通过解决一个问题，我们要尝试将其推广和拓展到其他相关的问题，从而提高自己的数学思维和解题能力。
高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023
高中数学函数的极限与连续练习题及参考答案2023题目一：函数极限1. 计算以下极限：a) lim(x→2) (x^2 + 3x - 4)b) lim(h→0) [(4+h)^2 - 16]/hc) lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^2d) lim(x→0) (1/x - 1)/(1 - sqrt(1 + x))解答：a) 将x代入函数，得到：lim(x→2) (2^2 + 3*2 - 4) = 8b) 将h代入函数，得到：lim(h→0) [(4+0)^2 - 16]/0 = 0c) 当x趋向于正无穷大时，[(x+1)/(x-1)]^2 = 1d) 将x代入函数，得到：lim(x→0) (1/0 - 1)/(1 - sqrt(1)) = undefined题目二：连续函数2. 判断以下函数在给定区间是否连续：a) f(x) = x^2 - 5x + 6, 在区间[1, 5]上b) g(x) = √(x + 2), 在区间[-2, 3]上c) h(x) = 1/(x-2), 在区间(-∞, 2)上解答：a) 函数f(x)是一个二次函数，对于任意实数x，f(x)都是连续的。
因此，f(x)在区间[1, 5]上连续。
b) 函数g(x)是一个开根号函数，对于非负实数x，g(x)都是连续的。
在区间[-2, 3]上，g(x)的定义域为[-2, ∞)，因此在该区间上连续。
c) 函数h(x)在x=2处的定义域为无穷，因此在该点不连续。
在区间(-∞, 2)上除x=2之外的点，h(x)为一个连续函数。
题目三：函数极限的性质3. 判断以下命题的真假，并简要说明理由：a) 若lim(x→a) f(x) = L，且L≠0，则lim(x→a) [f(x)]^2 = L^2。
b) 若lim(x→a) f(x) = L，且f(x) > 0，那么lim(x→a) 1/f(x) = 1/L。
c) 若lim(x→a) f(x) = L，且lim(x→a) g(x) = M，则lim(x→a) [f(x) +g(x)] = L + M。
高中数学极限试题及答案
高中数学极限试题及答案1. 极限的概念（1）若函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)的某个去心邻域内有定义，且存在常数\( A \)，使得当\( x \)在\( x_0 \)的去心邻域内且\( x \neq x_0 \)时，都有\( |f(x) - A| < \epsilon \)，则称\( A \)是函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处的极限，记作\( \lim_{x \to x_0}f(x) = A \)。
（2）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，则称\( f(x) \)在\( x_0 \)处的极限存在，否则称为极限不存在。
2. 极限的运算法则（1）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，\( \lim_{x \to x_0} g(x) = B \)，则\( \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = A + B \)。
（2）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，\( \lim_{x \to x_0} g(x) = B \)，则\( \lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = A\cdot B \)。
（3）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，\( \lim_{x \to x_0} g(x) = B \)，则\( \lim_{x \to x_0} (f(x) / g(x)) = A / B \)（前提是\( B \neq 0 \)）。
3. 极限的计算（1）计算极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)。
答案：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)。
（2）计算极限\( \lim_{x \to 2} (3x^2 - 4x + 2) \)。
无限趋近与极限高中数学极限问题的解题方法
无限趋近与极限高中数学极限问题的解题方法高中数学中极限问题是一种比较常见的问题类型，也是比较基础的数学概念之一。
在解决极限问题时，可以采用无限趋近的方法，即通过取近似值的方法来得到更加精确的结果。
下面将介绍几种常见的无限趋近的解题方法。
一、夹逼准则夹逼定理也叫夹逼准则，是指如果一个函数f(x)处处满足$$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$$且$$\lim_{x \to a}g(x)=\lim_{x \to a}h(x)=L$$(L为常数)，那么$$\lim_{x \to a}f(x)=L$$。
这个定理可以用来解决一些复杂的极限问题，利用其夹逼的形式，我们可以通过弱化问题的难度，从而分解一个比较难的极限问题。
例如，求$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$$我们可以构造一个函数$f(x)=\cos x$，并且显然有$$f(x)=\cos x \leq\frac{\sin x}{x} \leq 1$$然后我们再分别计算$$\lim_{x \to 0} \cosx=1$$和$$\lim_{x \to 0} 1=1$$通过夹逼准则，我们可以得到$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$二、分子有理化在一些复杂的极限问题中，分子分母不方便直接计算，这时我们可以采用分子有理化的方法来简化问题。
分子有理化是指将极限式子分子或分母有理分解，并消去分子或分母中的无理项，将有理项进行合并化简，从而得到较为简单的极限式。
例如，求$$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$$我们可以采用分子有理化的方法，将式子变形为$$\lim_{x \to\infty}\frac{(x+1)^x}{x^x}$$再将它化简为$$\lim_{x \to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}$$然后我们再将这个式子做一下变形，得到$$\lim_{x \to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\left(1+\frac{1}{x}\right)=e$$从而得到了最终的结果。
高中数学函数求极限技巧分享
高中数学函数求极限技巧分享函数求极限是高中数学中的重要内容，也是许多学生感到困惑的地方。
在这篇文章中，我将分享一些函数求极限的技巧，帮助高中学生更好地理解和解决这类问题。
一、基本极限法则在解决函数求极限的问题时，我们可以利用一些基本的极限法则来简化计算过程。
这些基本法则包括：1. 极限的四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，当x趋向于某个数a时，我们有以下法则：- 极限的和差法则：lim(f(x) ± g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x))- 极限的乘法法则：lim(f(x) × g(x)) = lim(f(x)) × lim(g(x))- 极限的除法法则：lim(f(x) / g(x)) = lim(f(x)) / lim(g(x)) (其中lim(g(x)) ≠ 0)2. 极限的乘方法则：当x趋向于某个数a时，我们有以下法则：- 极限的幂运算法则：lim(f(x)^n) = [lim(f(x))]^n (n为常数)通过运用这些基本极限法则，我们可以将复杂的函数极限问题简化为更容易计算的形式。
二、无穷小量与无穷大量在函数求极限的过程中，我们需要了解无穷小量和无穷大量的概念。
1. 无穷小量：当x趋向于某个数a时，如果函数f(x)的极限为0，那么f(x)就是x趋于a时的无穷小量。
常见的无穷小量有x、sinx、cosx等。
2. 无穷大量：当x趋向于某个数a时，如果函数f(x)的极限为正无穷大或负无穷大，那么f(x)就是x趋于a时的无穷大量。
常见的无穷大量有1/x、e^x、lnx等。
了解无穷小量和无穷大量的性质，可以帮助我们更好地理解函数的极限性质。
三、常见的函数极限类型在高中数学中，有一些常见的函数极限类型，我们可以通过分析其特点来求解。
1. 无穷小量与无穷大量的乘积：当两个函数f(x)和g(x)的极限分别为无穷小量和无穷大量时，我们可以通过分析它们的乘积来求解极限。
如何快速解决高中数学中的函数极限与连续性问题
如何快速解决高中数学中的函数极限与连续性问题函数极限与连续性是高中数学中重要且常见的概念，对于学生来说，掌握这两个概念以及解决相关问题的方法至关重要。
本文将介绍一些快速解决高中数学中的函数极限与连续性问题的方法和技巧。
1. 函数极限的定义与性质在解决函数极限问题时，首先要理解极限的定义与性质。
函数f(x)在x趋近于c的极限为L，即lim{x→c} f(x) = L，表示当自变量x无限接近c时，函数值f(x)无限接近L。
常见的函数极限性质包括四则运算、复合函数的极限以及函数极限和数列极限的关系等。
2. 极限的计算方法对于一些简单的函数，可以直接利用函数极限的性质进行计算。
例如，当函数f(x)与g(x)的极限都存在时，可以利用加减乘除的性质计算它们的和、差、积以及商的极限。
此外，复合函数的极限可以通过求解内外函数的极限来进行计算。
3. 重要的极限表达式为了能够快速解决函数极限问题，掌握一些重要的极限表达式是必要的。
例如，常用的极限表达式包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的极限。
熟练掌握这些表达式的极限可以大大简化计算过程。
4. 利用函数连续性解决问题函数连续性是解决函数极限问题中的重要概念之一。
如果一个函数在某点处连续，那么该点的极限必定等于函数值。
因此，在解决函数极限问题时，可以先将函数进行化简，找到其连续的点，并计算该点的函数值，从而得到函数极限的结果。
5. 利用夹逼定理求解函数极限夹逼定理是求解函数极限问题中常用的方法之一。
当一个函数处于两个趋近于同一极限的函数之间时，可以利用夹逼定理得到该函数的极限。
这种方法在求解一些复杂的函数极限问题时非常有用。
6. 多次逼近法有些函数极限问题比较复杂，无法直接应用前面介绍的方法进行求解。
此时，可以利用多次逼近法，将原问题逼近为一个更简单的问题。
例如，可以先逼近为一个无穷小的极限，再通过对无穷小进行化简求解。
总结起来，要快速解决高中数学中的函数极限与连续性问题，关键是掌握极限的定义与性质，熟练使用函数极限的计算方法，并且掌握一些重要的极限表达式。
高中数学知识点：极限
高中数学知识点：极限1. 什么是极限？答：极限是一个变量趋近于某一值时（通常是无穷大或无穷小）的过程。
2. 举例说明什么是极限。
答：比如当x趋近于无穷大时，1/x的极限为0。
3. 什么是单侧极限？答：当变量趋近于某一点时，如果左右两侧的极限不相等，那么就存在单侧极限。
4. 什么是无穷小？答：当变量趋近于某一值时，如果该变量趋近于0，那么该变量被称为无穷小。
5. 无穷小与极限有何关系？答：无穷小是用来描述极限过程中变量的行为，也就是当变量趋近于某一值时的表现。
6. 极限存在的条件是什么？答：当左右两侧的极限相等时，极限才存在。
7. 极限不存在的情况有哪些？答：1）当左右两侧的极限不相等时；2）当左右两侧的极限均不存在时。
8. 极限的运算规则有哪些？答：1）极限的加减法：若lim f(x)=a，lim g(x)=b，则lim[f(x)±g(x)]=a±b；2）极限的乘法：若lim f(x)=a，lim g(x)=b，则lim [f(x)g(x)]=ab；3）极限的除法：若lim f(x)=a，lim g(x)=b（b≠0），则lim [f(x)/g(x)]=a/b。
以上规则仅在极限存在的情况下成立。
9. 什么是函数的连续性？答：函数在某一点处连续，当且仅当该点左右两侧的极限相等，且该点处的函数值等于其极限值。
10. 极限的应用有哪些？答：极限在微积分中有广泛的应用，如求导、积分等。
练习题：1. 求limx→1 (x^2-1)/(x-1)。
答：limx→1 (x^2-1)/(x-1) = limx→1 (x+1) = 2。
2. 求limx→∞ (2x+1)/(4x-2)。
答：limx→∞ (2x+1)/(4x-2) = limx→∞ (2+1/x)/(4-2/x) = 1/2。
3. 求极限limx→2 (2x+5)/|x-2|。
答：左极限：limx→2^- (2x+5)/|x-2| = -7/0^- = 无穷大；右极限：limx→2^+ (2x+5)/|x-2| = 9/0^+ = 无穷大。
高中数学中的极限运算解题技巧
高中数学中的极限运算解题技巧数学是一门需要运用逻辑思维和数学原理来解决问题的学科。
在几何、代数、概率等各个领域中，极限运算是数学中重要的概念之一。
在高中数学课程中，学生需要掌握极限运算的解题技巧，以提高数学分析和问题解决的能力。
本文将介绍一些高中数学中的极限运算解题技巧，并提供相应的例题进行讲解。
一、直接法直接法是一种常用的求解极限的方法，当函数在某一点附近存在定义时，可以直接代入数值进行计算。
通过观察函数的性质，可以得到一些有用的结果。
例题1：计算极限lim(x→2) (x^2 + 3x - 2)解析：根据直接法，将x=2代入函数中，得到lim(x→2) (x^2 + 3x -2) = 2^2 + 3×2 - 2 = 10。
二、代入法代入法是求解极限的另一种常用方法，通过将未知的极限值代入函数中，求得函数的极限值。
这种方法通常用于求有界函数的极限。
例题2：计算极限lim(x→0) sin(2x) / x解析：将极限值x=0代入函数sin(2x) / x中，得到lim(x→0) sin(2x) / x = sin(0) / 0。
由于sin(0) = 0，所以lim(x→0) sin(2x) / x = 0。
三、夹逼法夹逼法也是一种常用的求解极限的技巧，适用于无法直接计算的复杂函数。
夹逼法通过将函数夹在两个已知的函数之间，利用已知函数的极限性质来求解未知函数的极限。
例题3：计算极限lim(x→0) x * sin(1 / x)解析：对于极限值lim(x→0) x * sin(1 / x)，可以利用夹逼法来求解。
首先，考虑函数f(x) = x，它的极限为lim(x→0) x = 0。
其次，考虑函数g(x) = sin(1 / x)，由于-1 ≤ sin(1 / x) ≤ 1，所以lim(x→0) sin(1 / x) = 0。
由于f(x) ≤ x * sin(1 / x) ≤ f(x)，根据夹逼法，得到lim(x→0) x *sin(1 / x) = 0。
高中数学极限问题
第九讲 极限与探索性问题【考点透视】1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．2．了解数列极限和函数极限的概念．3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． 4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 【例题解析】 考点1 数列的极限1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注意：a 不一定是｛a n ｝中的项.2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n1=0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞→n lim a n =a ,∞→n limb n =b 时，∞→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;例 1.数列{n a }满足:113a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,则12lim()n n a a a →∞+++=( )A.12B.23C.32D.2[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim 0(1)n n q q →∞=<的应用. [解答过程]由113a=和m n m na a a +=⋅得23111,,.9273n n a a a ==∴= 1211(1)133lim()lim .1213n n x x a a a →∞→∞-∴++⋅⋅⋅+==-故选A. 例2．设常数a >，421ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为32，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____.[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力. [解答过程]1482214r r rrr T C axx---+=，由18232,2,r rxxx r --==得4431=22r r C a -由知a=，所以212lim()1112n n a a a →∞++⋅⋅⋅+==-，所以为1.例3.把21(1)(1)(1)n x x x +++++++展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim 1n n n a a ∞-+→等于( )（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim 0(1)n n q q →∞=< 的应用.[解答过程] 22121,1(1)(1)(1)122221,12n n nn nx ax x x -==+++++++=++++==--当时1212211211lim lim lim lim 2 2.121122n n n n n n n n n n na a +∞∞∞∞----===-=+-+→→→→()∴()() 故选D例 4.设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为nS ，则22lim n n na n S →∞-= ．思路启迪：由等差数列{}n a 的公差d 是2，先求出前n 项的和为nS 和通项n a ． [解答过程]221222,,2n n n n a a n a S na n a n -=+-=-+=+=+-()(n 1)(1) 222222222122lim lim lim 3.1nn n n n aa n n a n n n a S n a n n→∞→∞→∞-+---+-===-+-+()()∴1(1) 故填3 小结:1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点： （1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） ∞→n lim C =C （C 为常数）; （2） ∞→n lim （n1）p =0（p ＞0）;（3） ∞→n lim dcn ban k k ++=ca （k ∈N *,a 、b 、c 、d ∈R 且c ≠0）;（4）∞→n limq n =0（|q |＜1）.例5.设正数a , b 满足4)(22lim =-+→b ax x x 则=++--+∞→nn n n n b a ab a2111lim（ ）（A ）0（B ）41（C ）21（D ）1解:221lim()4,24,.2x a x ax b a b b →+-=+-==∵∴4∴111111111112limlim lim .1224222n n n n n nx x x n n a a a a ab a b a a b b b bb --+--→∞→∞→∞--+++====+++[()][()]则()()故选B小结:重视在日常学习过程中运用化归思想. 考点2 函数的极限 1.函数极限的概念： （1）如果+∞→x limf （x ）=a 且-∞→x limf （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a .（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0＝无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0limx x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0limx x f （x ）=a .2.极限的四则运算法则： 如果0lim x x → f （x ）=a ,limx x →g （x ）=b ,那么limx x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ;limx x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ;lim x x →)()(x g x f =ba （b≠0）. 例6．1lim 231--→x x x x =( )A ．等于0B ．等于lC ．等于3 D ．不存在[考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力. [解答过程] 32221111lim lim lim 1.11x x x x x x x x x x →→→--===--()故选B例7． =---→121lim 221x x x n ( )（A ）0 （B ）1 （C ）21（D ）32[考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力. [解答过程] 2211111112lim lim lim .211113n n n x x x x x x x x x →→→--++===--+-+()()(2)()2 故选D例8.若 f （x ）=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则 f （0）=__________________. 思路启迪：利用逆向思维球解.解答过程：∵f （x ）在点x =0处连续，∴f （0）=0lim →x f （x ）,lim →x f （x ）= 0lim→x 11113-+-+x x =lim→x 1111)1(332++++++x x x =23.答案: 23例9.设函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,且1lim →x f （x ）=0,2lim -→x f （x ）=－3,求这一函数最大值..思路启迪：由函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,利用f （－x ）=f （x ）构造方程,求出b 的值.解答过程：∵f （x ）=ax 2+bx +c 是一偶函数, ∴f （－x ）=f （x ）,即ax 2+bx +c =ax 2－bx +c . ∴b =0.∴f （x ）=ax 2+c . 又1lim →x f （x ）=1lim →x ax2+c =a +c =0,2lim-→x f （x ）=2lim -→x ax 2+c =4a +c =－3,∴a =－1,c =1.∴f （x ）=－x 2+1.∴f （x ）max =f （0）=1. ∴f （x ）的最大值为1.例10.设f （x ）是x 的三次多项式，已知ax 2lim →=ax x f 2)(-=ax 4lim→ax x f 4)(-=1.求ax 3lim→ax x f 3)(-的值（a 为非零常数）.解答过程：由于ax 2lim→ax x f 2)(-=1,可知f （2a ）=0.① 同理f（4a ）=0.②由①②，可知f （x ）必含有（x －2a ）与（x －4a ）的因式，由于f （x ）是x 的三次多项式，故可设f （x ）=A （x －2a ）（x －4a ）（x －C ）.这里A 、C 均为待定的常数. 由ax 2lim→ax x f 2)(-=1,即ax 2lim→ax C x a x a x A 2))(4)(2(----=a x 2lim →A （x －4a ）（x －C ）=1, 得A （2a －4a ）（2a －C ）=1, 即4a 2A－2aCA =－ 1.③同理，由于ax 4lim→ax x f 4)(-=1,得A （4a －2a ）（4a －C ）=1, 即8a 2A－2aCA =1.④由③④得C =3a ,A =221a ,因而f （x ）=221a （x －2a ）（x －4a ）（x －3a ）. ∴ax 3lim →a x x f 3)(-=a x 3lim →221a （x －2a ）（x －4a ）=221a ·a ·（－a ）=－21.例11 a 为常数，若+∞→x lim （12-x －ax ）=0,则a 的值是____________..思路启迪：先对括号内的的式子变形. 解答过程：∵+∞→x lim（12-x －ax ）=+∞→x limaxx x a x +---112222=+∞→x limaxx x a +---11)1(222=0, ∴1－a 2=0.∴a =±1.但a =－1时，分母→0, ∴a =1.考点3.函数的连续性及极限的应用 1.函数的连续性.一般地，函数f （x ）在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件： （1）函数f （x ）在点x =x 0处有定义；（2）0lim x x →f （x ）存在；（3）0lim x x →f（x ）=f （x 0）.如果函数y =f （x ）在点x =x 0处及其附近有定义，而且0lim x x →f （x ）=f （x 0）,就说函数f （x ）在点x 0处连续.2.如果f （x ）是闭区间［a ,b ］上的连续函数，那么f （x ）在闭区间［a ,b ］上有最大值和最小值.3.若f （x ）、g （x ）都在点x 0处连续,则f （x ）±g （x ）,f （x ）·g （x ）,)()(x g x f （g （x ）≠0）也在点x 0处连续.若u （x ）在点x 0处连续,且f （u ）在u 0=u （x 0）处连续,则复合函数f ［u （x ）］在点x 0处也连续. 例12.f （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要思路启迪：说明问题即可.解答过程：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A 例13.f （x ）=x x πcosπcos的不连续点为( )A.x =0B.x =122+k （k =0,±1,±2,…）C.x =0和x =2k π（k =0,±1,±2,…）D.x =0和x =122+k （k =0,±1,±2,…）思路启迪：由条件出发列方程解之.解答过程：由cos xπ=0,得xπ=k π+2π（k ∈Z ）,∴x =)(122Z ∈+k k . 又x =0也不是连续点,故选D 答案：D例14. 设f （x ）=⎩⎨⎧≥+<),0(),0(e x xa x x当a 为________时,函数f （x ）是连续的.解答过程：+→0lim x f （x ）=+→0lim x （a +x ）=a , -→0lim x f （x ）=-→0lim x ex=1,而f （0）=a ,故当a =1时,lim→x f （x ）=f （0）,即说明函数f （x ）在x =0处连续,而在x ≠0时,f （x ）显然连续,于是我们可判断当a =1时, f （x ）在（－∞,+∞）内是连续的.小结：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.例15.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧-,1,为无理数为有理数x xx x 函数f （x ）在哪点连续( )A.处处连续B.x =1C.x =0D.x =21 思路启迪：考虑结果的启发性. 解答过程：+→21lim x f （x ）= -→21lim x f （x ）=f （21）.答案：D例16.抛物线y =b （ax ）2、x 轴及直线AB :x =a 围成了如图（1）的阴影部分,AB 与x 轴交于点A ,把线段OA 分成n 等份,作以na 为底的内接矩形如图（2）,阴影部分的面积为S 等于这些内接矩形面积之和当n →∞时的极限值,求S 的值.x xyyO O A A B(1)(2)思路启迪：先列出式子.解答过程：S =∞→n lim ［b ·（n 1）2+b ·（n 2）2+b ·（n 3）2+…+b ·（nn 1-）2］2·na=∞→n lim 3222)1(21n n -+++ ·ab=∞→n lim36)12()1(n n n n -⋅⋅-·ab =31ab .例17.如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、BC 相切,…,圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去,记圆O n 的面积为a n （n ∈N*）. （1）证明{a n }是等比数列； （2）求∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）的值.解答过程：（1）证明:记r n 为圆O n 的半径， 则r 1=2l tan30°=63l .nn n n r r r r +---11=sin30°=21,∴r n =31r n －1（n ≥2）.于是a 1=πr 12=1212π-⋅n n a a l,1-n n a a =（1-n n r r ）2=91,∴{a n }成等比数列.（2）解：因为a n =（91）n －1·a 1（n ∈N*）,所以∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=9111-a =32π32l .例18. 一弹性小球自h 0=5 m 高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的97,不计每次碰撞时间,则小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间分别是多少? 解答过程：设小球第一次落地时速度为v 0,则有v 0=2gh =10（m/s ）,那么第二,第三,…,第n +1次落地速度分别为v 1=97v 0,v 2=（97）2v 0,…,v n =（97）n v 0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h 0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L 1=2×gv 221=10×（2)97.小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L 2, 则L 2=2×g v 222=10×（97）4.由数学归纳法可知,小球第n 次到第n +1次与地面碰撞经过路程为 L n =10×（97）2n .故从第一次到第n +1次所经过的路程为 S n +1=h 0+L 1+L 2+…+L n ,则整个过程总路程为S =∞→n lim S n +1=5+∞→n lim 10×222)97(1])97(1[)97(--n =5+1022)97(1)97(-=20.3（m ）,小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t 0=02g h =1（s ）.小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t 1=2×gv 1=2×97,同理可得 t n =2×（97）n ,t n +1=t 0+t 1+t 2+…+t n ,则t =∞→n lim t n +1=1+∞→n lim 2×)97(1])97(1)[97(--n =8（s ）. 考点4.新考题例19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 、}{n b 与函数)(x f 、)(x g ，R ∈x 满足条件： ))(()(,*11N ∈===+n b g b f a b b n n n ．（I ）若)()(,2)(),2,0(1)(b g b f x x g t t tx x f ≠=≠≠+=，且n n a +∞→lim 存在，求t 的取值范围，并求n n a +∞→lim （用t 表示）． （II ）若函数)(x f y =在R 上是增函数，1)1(,1),()(1<==-f b x f x g ，证明对任意的*N ∈n ，n n a a <+1．[考查目的]本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查运用数学归纳法解决问题的能力.[解答过程]（Ⅰ）解法一：由题设知2.1212,11,111≠+=⎩⎨⎧=+=++++t a a b a tb a n n n n n n 又已知得，可得).22(21221-+=-++t a t a n n由⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≠≠-+=-+≠≠≠22,02,0222,0,2),()(1t a t t t tb t a t t b g b f n 所以可知是等比数列，其首项为2,2tt t tb 公比为-+，于是.22)2)(2(,)2)(2(2211---+=-+=-+--t t t t tb a t t t tb t a n n n n 即 又.022,1|2|0,lim ≠<<-<<t t t a n且所以可得存在.22lim ta n n -=∞→解法二：由题设知2,211≠=++t b tb n n且，可得).21(21211-+=-++t b t b n n由2121,02,021,0,2),()(-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≠≠-+≠≠≠t b t b t t b t t b g b f n 是首项为所以可知，公比为2t 的等比数列..21)2)(21(,)2)(21(2111---+=-+=-+--t t t b b t t b t b n n n n 即 由,1|2|0,lim ,lim ,21<<=∞→∞→+tb a b an n n n n n于是可得存在则存在若可知 所以.022≠<<-t t 且.22lim 2lim tb a n n n n -==∞→∞→解法三：由题设知121+=+n n b tb ，即2121+=+n n b t b ， ①于是有,21212+=++n n b t b ②②－①得n n n n n n n b b c b b tb b-=-=-++++1112),(2令，得 .21n n c t c =+由,02,021)2(0,2),()(121≠≠+-=-=≠≠≠tb t b bc t t b g b f 可知 所以2,}{2t b bc n公比为是首项为-的等比数列，于是.2)(2])2(1[42,)(21)2(1)(121121211b b b tt b a b b b t t b c c c b n n n nn n +---==+---=++++=++又.022,1|2|0,lim ≠<<-<<∞→t t t a nn 且所以可得存在.222)(24lim 12tb b b t a n n -=+--=∞→说明：数列{a n }通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以上评分标准. （Ⅱ）证明：因为).(),()(),()(1111n n n n n a f b b fb g a x f x g ==='=++-+即所以下面用数学归纳法证明).(*1N ∈<+n a an n（1）当1)1(,)(,1<=f x f n 且为增函数由时，得,)1()(,1)1()(,1)1()(1221211a f b f a f a f b f b f a =<=<<=<==即12a a <，结论成立.（2）假设n = k 时结论成立，即)(.1x f a a k k 由<+为增函数，得121),()(+++<<k k k k b b a f a f 即，进而得.),()(1212++++<<k k k k a a b f b f 即这就是说当n = k +1时，结论也成立. 根据（1）和（2）可知，对任意的.,1*n n a a n <∈+N例20已知公比为)10(<<q q 的无穷等比数列}{n a 各项的和为9，无穷等比数列}{2n a 各项的和为581.(Ⅰ)求数列}{n a 的首项1a 和公比q ；(Ⅱ)对给定的),,3,2,1(n k k ⋅⋅⋅=,设)(k T 是首项为k a ，公差为12-k a 的等差数列.求数列)(k T 的前10项之和；(Ⅲ)设i b 为数列)(i T 的第i 项，n n b b b S +⋅⋅⋅++=21，求n S ，并求正整数)1(>m m ，使得mS nn ∞→lim存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当∞→n 时该无穷数列前n 项和的极限) [考查目的]本题考查运用等比数列的前n 项和公式，从已知的条件入手列方程组求出等比数列的公比和首项.[解答过程] (Ⅰ)依题意可知,1121293,12.81315a a q q a q⎧==⎧⎪-⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪-⎩ (Ⅱ)由(Ⅰ)知,1323-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)2(T 的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155.(Ⅲ) i b =()()121--+i i a i a =()()112---i a i i=()()1321231--⎪⎭⎫ ⎝⎛--i i i ，()()2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n S nn ，m nn n S ∞→lim =∞→n lim()14518272.32n m m m n n n n n n ⎛⎫-+⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当m=2时，mn n nS ∞→lim =－21，当m>2时，mnn nS ∞→lim =0，所以m=2.【专题训练】 一.选择题1.下列极限正确的个数是 ①∞→n limαn 1=0（α＞0）;②∞→n lim q n =0;③∞→n limnnn n 3232+-=－1 ; ④∞→n lim C =C （C 为常数）A.2B.3会C.4D.都不正确2.下列四个命题中正确的是A.若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C.若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2 D.若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n＝∞→n lim b n3.+→0limx x f （x ）=-→0limx x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.f （x ）=⎩⎨⎧<≥,10,12x x x 下列结论正确的是( )A.)(lim1x f x +→=-→1limx f （x ） B.)(lim1x f x +→=2，)(lim 1x f x -→不存在C.+→1lim x f （x ）=0,)(lim 1x f x -→不存在 D.+→1lim x f （x ）≠-→1lim x f （x ）5.下列图象表示的函数在x =x 0处连续的是( )xyOx 0xyOx 0x yO x 0xyOx 0①②③④A.①B.②③C.①④D.③④ 6.若f （x ）在定义域［a ,b ］上有定义,则在该区间上( )A.一定连续B.一定不连续C.可能连续也可能不连续D.以上均不正确 7.已知31a cn c bn Lim ,5cbn cnanLim n 22n =++=++∞→∞→，如果bc ≠0，那么ban cn cbn anLim 22n ++++∞→=( )A 、 15B 、151 C 、53 D 、358.若r 为实常数，则集合}R r ,|r |1|r |Limx |x {nn n ∈+=∞→A 、恰有一个元素B 、恰有两个元素C 、恰有三个元素D 、无数多个元素 9.11(1)1lim1,lim 1(22)x x f x x x f x →→--==--若则（C ）A ．－1B ．1C ．－21 D ．2110. 已知()23,12,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是（ ）A.()f x 在1x =处连续B.()5f x =C.()1lim 2x f x -→= D.()1lim 5x f x +→= 二.填空题11.四个函数:①f （x ）=x1;②g （x ）=sin x ;③f （x ）=|x |;④f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d .其中在x =0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上） 12.下四个命题:①f （x ）=x1在［0,1］上连续;②若f （x ）是（a ,b ）内的连续函数,则f （x ）在（a ,b ）内有最大值和最小值;③2πlim→x xx cos 2sin 2=4; ④若f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥).0(1),0(x x x x 则0lim →x f （x ）=0.其中正确命题的序号是____________.（请把你认为正确命题的序号都填上）13.则a=______，b=______.14.函数f(x)在（0，+∞）内满足f ’(x)>0，f(0)>0，则nnn n n )](f [5)]3(f [4)](f [3)]3(f [2Limπ-+π--∞→=_________. 15. ∞→n lim nn ++++ 212=__________.16.∞→n lim32222-+n n n =____________. 三.解答题17.求下列函数极限:①411lim;1x x x →-- ②3813lim;2x x x →---+ ③22lim(0).x ax a x aa x a +→-+->-18. .数列{a n }的首项为a 1=1,且对任意n ∈N*,a n 与a n +1恰为方程x 2－b n x +c n =0的两根,其中0＜|c |＜1,当∞→n lim （b 1+b 2+…+b n ）≤3,求c的取值范围.【参考答案】一. B 1.提示:①③④正确.2. C 提示:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ； 取a n ＝n1，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ．3. C4. D5. A6. C 提示：有定义不一定连续.7. D8. C9.C 提示：111111limlim .(1)(22)22lim 1x x x x f x f x x →→→-==----- 10.D 提示: ()1lim (1)213 5.x f x f +→==⨯+=故选D.二. 11.②③④; 12.③; 13. a=22b=4 ; 14. 53-;15. 提示：原式=∞→n lim2)1(2++n n n =∞→n lim221212n n n ++=0.16. 提示：:原式=∞→n lim23221n n -+=21.三.17. 解:①411lim1x x x →--44411lim (1)(1)x x x x →-=-+4111lim .21x x →==+②3813lim2x x x →---+32332833(13)(13)(24)lim (2)(24)(13)x x x x x x x x x →----+-+=+-+-+ 3238(8)(24)l i m (8)(13)x x x x x x →--+-+=+-+ 323824lim 13x x x x →--+=--+ 2.=-③22lim x ax a x ax a+→-+--2222lim()x ax a x ax ax a+→--=+--()()l i m ()x a x a x a x ax a x a x a x a +→-+-=-+-+1l i m x a x a+→++1l i m ()2x ax a x a x a a +→-=+++2.2a a = (3)当x →∞时，求有理(无理)分式的极限只需比较分子分母最高项的系数.即当000,0,a b m ≠≠和n 为非负整数时,有101101,,0,,lim,.m m m n n x n a n m b a x a x a n m b x b x b n m --→∞⎧=⎪⎪+++⎪>=⎨+++⎪⎪∞<⎪⎩ 18. 解：首先,由题意对任意n ∈N*,a n ·a n +1=c n 恒成立. ∴121+++⋅⋅n n n n a a a a=nn a a 2+=nn c c 1+=c .又a 1·a 2=a 2=c .∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n－1,…是首项为1,公比为c 的等比数列,a 2,a 4,a 6,…,a 2n ,…是首项为c ,公比为c 的等比数列.其次,由于对任意n ∈N*,a n +a n +1=b n 恒成立. ∴nn b b 2+=132+++++n n n n a a a a=c .又b 1=a 1+a 2=1+c ,b 2=a 2+a 3=2c ,∴b 1,b 3,b 5,…,b 2n －1,…是首项为1+c ,公比为c 的等比数列,b 2,b 4,b 6,…,b 2n ,…是首项为2c ,公比为c 的等比数列, ∴∞→n lim （b 1+b 2+b 3+…+b n ）=∞→n lim（b 1+b 3+b 5+…）+∞→n lim（b 2+b 4+…）=c c -+11+cc -12≤3.。
高中数学 函数的极限范例例题
x0
－x＋2， 當 x＜0
解■ (2)如右图，lim f（x）＝ lim（－x＋2）＝2
x0－
x0－
lim f（x）＝ lim（2x＋2）＝2
x0＋
x0＋
lim f（x）＝ lim f（x）＝2
x0－
x0＋
∴lim f（x）＝2 x0
例题 5 极限的存在
利用左极限及右极限判断下列极限是否存在。 (3) lim log2│x│。
x2－
x2－
x2＋
x2＋
∴2a＋b＝－2
② lim f (x) ＝ lim x2＝0，lim f (x) ＝ lim（ax＋b）＝b
x0－
x0－
x0＋
x0＋
由①与②得 b2＝a＋0 b＝－2，解得 a＝－1，b＝0
∴b＝0
上一题
下一题
主题 3 中间值定理
例题 16 中间值定理的应用
x3
xx－－43＋（x－3）（2 x－1）
＝lim（x－4）（x－1）＋2 x3 （x－3）（x－1）
＝lim x2－5x＋6 ＝lim（x－3）（x－2） x3（x－3）（x－1） x3（x－3）（x－1）
＝lim x－2＝1 x3 x－1 2
上一题 下一题
例题 9 函数极限的运算性质(四)根式型
上一题 下一题
例题 17 勘根定理的应用
(1)设 f（x）＝2x4－5，g（x）＝x2－5，试证在 1 与 2 之间有一实数 c， 满足 f（c）＋g（c）＝c。
■證 (1)令 F（x）＝f（x）＋g（x）－x ＝（2x4－5）＋（x2－5）－x ＝2x4＋x2－x－10
F（1）＝2＋1－1－10＝－8＜0 F（2）＝2．24＋22－2－10＝24＞0 ∴F（1）．F（2）＜0 由勘根定理可知，在 1 与 2 之间有一实数 c 满足 F（c）＝0 即 f（c）＋g（c）－c＝0 f（c）＋g（c）＝c
解题技巧如何运用极限的概念解决高中数学题目
解题技巧如何运用极限的概念解决高中数学题目数学是一门需要大量思考和解决问题的学科，在高中学习过程中，数学解题成为学生们的主要任务。
然而，很多高中生都会遇到难以解决的问题，尤其是与极限相关的问题。
在这篇文章中，我们将探讨如何运用极限的概念解决高中数学题目。
一、什么是极限在开始讨论如何使用极限解决高中数学问题之前，我们需要先了解算术极限的定义。
算术极限是指当函数接近一个特定值时，该函数的值趋向于一致的过程。
这个特定的值被称为极限。
对于一个函数f(x)，当x趋近于a时，f(x)的极限是L，表示为：lim(f(x)) = L。
x->a二、如何使用极限解决高中数学题目1.求导数求导数的过程是使用极限概念的典型例子。
在数学中，导数是指函数在某一点的瞬时变化率，也就是斜率。
导数可以用极限表示，即当x 趋近于a时，函数的导数为：f'(a) = lim(f(x)-f(a))/(x-a)x->a2.计算面积和体积计算面积和体积也可以使用极限概念。
例如，假设我们要计算一个曲线围成的面积，可以将曲线分成许多小块，在每个小块上估计面积，然后将这些小块的面积相加。
当我们想要更精确定义曲线围成的面积时，我们将小块数量增加到无穷大，该曲线围成的面积就等于曲线对应的函数在给定区间上积分的极限。
同样，当我们计算一个曲面围成体积时，可以使用极限概念。
例如，我们可以将体积分成许多小块，在每个小块上估计体积，然后将这些小块的体积相加。
当我们想要更精确定义该曲面围成的体积时，我们将小块的数量增加到无穷大，该曲面围成的体积就等于曲面对应的函数在给定区间上旋转产生的固体的体积的极限。
3.求解极限在处理高中数学问题时，还可以使用极限解决条件问题。
例如，如果需要计算函数在某个特定的点上的值，我们可以使用极限计算该函数在该点的极限。
在另一个例子中，如果要计算无穷大的极限，例如：lim x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 4x->∞我们可以使用极限的概念计算该极限。
高中数学极限问题解题思路与例题
高中数学极限问题解题思路与例题在高中数学中，极限问题是一个重要的概念，它在微积分和数学分析等领域中发挥着重要的作用。
解决极限问题需要良好的数学思维和方法，本文将介绍一些常见的解题思路，并通过例题来说明。
一、数列极限问题的解题思路1. 递推法：对于递推数列，通过递推关系式来确定极限。
例如，对于等差数列an=2n+1，可以通过推导和观察得出其极限为无穷大。
2. 逼近法：对于数列an，通过构造逼近数列bn，使得bn与an的差趋近于零，然后求出bn的极限，进而得到an的极限。
例如，在求解数列an=√n的极限时，可以构造逼近数列bn=n，通过求bn的极限等于无穷大，得出an的极限也等于无穷大。
3. 按定义法：对于给定的数列an，根据极限的定义进行证明。
例如，证明数列an=1/n的极限为零，可以通过定义极限的方式来进行推导。
二、函数极限问题的解题思路1. 代入法：当函数在某一点不存在或无法求极限时，可以尝试代入近似值进行计算。
例如，求f(x)=sinx/x在x=0处的极限时，可以通过代入x的近似值0.001、0.0001等进行计算。
2. 夹逼法：对于函数f(x)，如果在某一区间内存在两个函数g(x)和h(x)，且g(x)≤f(x)≤h(x)，并且g(x)和h(x)的极限均为L，则可以推导出f(x)的极限也为L。
例如，在证明函数f(x)=xsin(1/x)在x=0处的极限为零时，可以构造函数g(x)=-|x|和h(x)=|x|，并证明f(x)被夹在g(x)和h(x)之间。
3. 导数法：对于某些特殊的函数，可以通过求导数来求极限。
例如，对于函数f(x)=e^x/x，在x趋近于正无穷时，可以通过求导数得到f'(x)=e^x/x^2，在取极限时，可以得到极限为无穷大。
三、综合例题例题1：求极限lim(n→∞) (√n+1-√n)。
解：对于这个极限问题，我们可以利用有理化的方法进行求解。
首先，我们将式子进行分子有理化，得到(√n+1-√n)×(√n+1+√n)/(√n+1+√n)。
高中数学极限求解技巧
高中数学极限求解技巧高中数学极限求解是高中数学中的重要知识点，也是大学数学中很重要的基础知识。
下面将介绍一些高中数学极限求解的技巧。
一、基本极限1. 基本极限一：当x趋于无穷大时，a) 若a>0，则lim(x→∞)a^x=∞b) 若0<a<1，则lim(x→∞)a^x=0c) 若a=1，则lim(x→∞)a^x=1d) 若a<0，则lim(x→∞)a^x不存在2. 基本极限二：当x趋于0时，a) 若a>0，则lim(x→0)a^x=1b) 若0<a<1，则lim(x→0)a^x=1c) 若a<0，则lim(x→0)a^x不存在3. 基本极限三：当x趋于无穷大时，a) lim(x→∞)(1+x)^1/x=eb) lim(x→∞)(1+1/x)^x=ec) lim(x→∞)(1+1/(nx))^n=e二、极限的四则运算1. 若lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，则a) 若函数f(x)和g(x)在x=x0处连续，则lim(x→x0)[f(x)+g(x)]=A+Bb) 若函数f(x)和g(x)在x=x0处连续，则lim(x→x0)[f(x)-g(x)]=A-Bc) 若函数f(x)和g(x)在x=x0处连续，则lim(x→x0)[f(x)·g(x)]=A·Bd) 若函数f(x)和g(x)在x=x0处连续，并且B≠0，则lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B2. 若lim(x→x0)f(x)=A，则a) 若函数f(x)在x=x0处连续，则lim(x→x0)[c·f(x)]=c·A (其中c为常数)b) 若函数f(x)在x=x0处连续，则lim(x→x0)[f(x)^n]=A^n (其中n为整数)c) 若函数f(x)在x=x0处连续，并且A>0，则lim(x →x0)√[f(x)]=√A三、极限存在的判断方法1. 夹逼定理：若存在函数g(x)和h(x)，满足lim(x→x0)g(x)=lim(x→x0)h(x)=A，并且对于x处于x0的邻域内的所有x，有g(x)≤f(x)≤h(x)，则lim(x→x0)f(x)=A。
高中数学极限的解题技巧
高中数学极限的解题技巧在高中数学中，极限是一个重要且常见的概念，也是学生们经常遇到的难点之一。
掌握好极限的解题技巧，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还能提高解题的效率。
本文将从几个常见的极限题型入手，介绍一些解题技巧，并通过具体例题进行说明。
一、无穷大与无穷小的比较在求极限的过程中，常常会遇到无穷大与无穷小的比较。
这类题目的关键是确定哪个量的增长速度更快或更慢。
我们可以通过以下几种方法进行判断：1. 使用洛必达法则：当我们遇到形如$\frac{\infty}{\infty}$或$\frac{0}{0}$的极限时，可以尝试使用洛必达法则来求解。
洛必达法则的基本思想是将函数化简为分子和分母都趋于0或$\infty$的形式，然后对其求导。
如果导数的极限存在，那么原函数的极限也存在，并且等于导数的极限值。
例如，考虑极限$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}$。
我们可以对分子和分母同时除以$x^2$，得到$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{e^x/x^2}$。
再对分子和分母同时求导，得到$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{0}{0}$。
因此，我们可以使用洛必达法则，求导后的极限为$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2}{2x/e^x}$。
再次使用洛必达法则，得到最终的极限为0。
2. 比较阶数：当我们遇到形如$x^n$和$a^x$的函数时，可以通过比较它们的阶数来确定哪个增长速度更快。
一般来说，指数函数的增长速度要快于多项式函数。
例如，考虑极限$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^3}{2^x}$。
我们可以通过比较阶数来判断。
当$x$趋向于无穷大时，$2^x$的增长速度要快于$x^3$，因此极限为0。
二、无穷小的运算在求极限的过程中，常常需要对无穷小进行运算。
49. 高中数学中的数列极限问题如何理解？
49. 高中数学中的数列极限问题如何理解？一、关键信息1、数列极限的定义精确定义：＿___________________________通俗解释：＿___________________________2、数列极限的性质唯一性：＿___________________________有界性：＿___________________________保号性：＿___________________________3、数列极限的计算方法四则运算法则：＿___________________________重要极限：＿___________________________夹逼准则：＿___________________________单调有界定理：＿___________________________4、数列极限与函数极限的关系联系：＿___________________________区别：＿___________________________5、数列极限在实际问题中的应用近似计算：＿___________________________物理模型：＿___________________________二、协议内容11 数列极限的定义数列极限是高中数学中的一个重要概念，它描述了数列在无限趋近某个值时的趋势。
111 精确定义数列{an}的极限为 A，当且仅当对于任意给定的正数ε，存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，都有｜an A| ＜ε 成立。
112 通俗解释从直观上理解，就是当数列的项数越来越大时，数列的项越来越接近一个固定的值 A，这个值 A 就是数列的极限。
12 数列极限的性质数列极限具有一些重要的性质，这些性质有助于我们更好地理解和处理数列极限问题。
121 唯一性如果数列{an}存在极限，那么这个极限是唯一的。
122 有界性如果数列{an}存在极限，那么数列{an}是有界的。
123 保号性如果数列{an}的极限为 A，且 A ＞ 0（或 A ＜ 0），那么存在正整数 N，当 n ＞ N 时，都有 an ＞ 0（或 an ＜ 0）。
如何迅速解决高中三年数学中的数列极限与函数极限问题
如何迅速解决高中三年数学中的数列极限与函数极限问题在高中三年的数学学习中，数列极限与函数极限是重要的概念和内容。
解决数列极限与函数极限问题是学生们必须掌握的能力，也是考试中经常涉及的考点。
下面将介绍一些方法和技巧，帮助学生迅速解决高中三年数学中的数列极限与函数极限问题。
一、数列极限问题的解决方法1. 理解数列极限的定义：数列极限是指当数列中的项无限接近某一常数时，该常数就是数列的极限。
2. 理解数列的收敛性与发散性：当数列存在极限时，称为收敛数列；当数列不存在极限时，称为发散数列。
3. 利用递推关系求解数列极限：对于一些常见的数列，可以利用递推关系将数列的通项公式转化为递推公式，从而通过递推公式求解极限。
4. 利用数列的界性质求解数列极限：对于一些难以求解的数列，可以通过确定一个上界和下界，利用数列的界性质来证明极限的存在与确定。
5. 运用数列极限的性质：数列极限具有唯一性和保序性，即唯一确定的上界与下界存在，并且随着n的增大而逼近。
二、函数极限问题的解决方法1. 理解函数极限的定义：函数极限是指当自变量趋于某一值时，函数的取值趋于某一常数或正无穷大、负无穷大。
2. 利用极限的性质化简函数极限：通过函数极限的性质，如和、差、积、商的极限性质，可以将复杂的函数极限化简为简单的形式。
3. 利用夹逼准则求解函数极限：夹逼准则是指当函数的上界和下界逼近时，函数的极限存在且唯一。
4. 利用连续性求解函数极限：当函数在某个点处连续，可以通过代入值来求得该点处的函数极限。
5. 运用无穷小量的性质：如果函数在某个点处极限存在，那么可以将函数表示为极限存在的形式，利用无穷小量的性质进行求解。
三、解题技巧和注意事项1. 理解题目要求和条件：在解决数列极限与函数极限问题时，首先要明确题目要求，注意解决问题时的条件限制。
2. 绘制数列图像和函数图像：对于一些数列和函数，绘制图像能够帮助我们更好地理解问题的本质，并且可以从图像中得到一些启示。
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第九讲 极限与探索性问题【考点透视】1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．了解数列极限和函数极限的概念．3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 【例题解析】 考点1 数列的极限1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注意：a 不一定是｛a n ｝中的项.2.几个常用的极限：①∞→n lim C =C （C 为常数）;②∞→n lim n1=0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）.3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞→n lim a n =a , ∞→n lim b n =b 时，∞→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;例1.数列{n a }满足:113a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,则12lim()n n a a a →∞+++=( )A.12B.23C.32D.2[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim 0(1)n n q q →∞=< 的应用.[解答过程]由113a =和m n m n a a a +=⋅得23111,,.9273n na a a ==∴=1211(1)133lim()lim .1213n n x x a a a →∞→∞-∴++⋅⋅⋅+==-故选A.例2．设常数0a >，42ax ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____.[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力.[解答过程] 1482214r r rrr T C axx---+=，由18232,2,r rxxx r --==得4431=22r r C a -由知a=，所以212lim()1112n n a a a →∞++⋅⋅⋅+==-，所以为1. 例3.把21(1)(1)(1)n x x x +++++++展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim 1n n n a a ∞-+→等于( ) （ ）A ．14B ．12C ．1D ．2[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式lim 0(1)n n q q →∞=< 的应用.[解答过程] 22121,1(1)(1)(1)122221,12nn nn n x a x x x -==+++++++=++++==--当时1212211211limlim lim lim 2 2.121122n n n n n n n n n n na a +∞∞∞∞----===-=+-+→→→→()∴()() 故选D例4.设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．思路启迪：由等差数列{}n a 的公差d 是2，先求出前n 项的和为n S 和通项n a ． [解答过程] 221222,,2n n n n a a n a S na n a n -=+-=-+=+=+-()(n 1)(1)222222222122lim lim lim 3.1nn n n n aa n n a n n n a S n a n n→∞→∞→∞-+---+-===-+-+()()∴1(1) 故填3 小结:1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点： （1）各数列的极限必须存在；（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） ∞→n lim C =C （C 为常数）;（2） ∞→n lim （n1）p =0（p ＞0）;（3） ∞→n lim d cn b an k k++=ca （k ∈N *,a 、b 、c 、d ∈R 且c ≠0）;（4） ∞→n lim q n =0（|q |＜1）.例5.设正数a , b 满足4)(22lim =-+→b ax x x 则=++--+∞→nn n n n b a ab a2111lim（ ）（A ）0（B ）41（C ）21（D ）1解:221lim()4,24,.2x a x ax b a b b →+-=+-==∵∴4∴111111111112limlim lim .1224222n n n n n nx x x n n a a a a aba b a a b b b bb --+--→∞→∞→∞--+++====+++[()][()]则()() 故选B小结:重视在日常学习过程中运用化归思想. 考点2 函数的极限 1.函数极限的概念：（1）如果+∞→x lim f （x ）=a 且-∞→x lim f （x ）=a ,那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞→x lim f （x ）=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a .（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0＝无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0lim x x f （x ）=a .2.极限的四则运算法则：如果0lim x x → f （x ）=a , 0lim x x →g （x ）=b ,那么lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; 0lim x x →)()(x g x f =ba （b ≠0）. 例6． 1lim 231--→x x x x =( )A ．等于0B ．等于lC ．等于3D ．不存在[考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力.[解答过程] 32221111lim lim lim 1.11x x x x x x x x x x →→→--===--()故选B例7． =---→121lim 221x x x n ( )（A ）0 （B ）1（C ）21（D ）32[考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力. [解答过程] 2211111112lim lim lim .211113n n n x x x x x x x x x →→→--++===--+-+()()(2)()2故选D例8.若f （x ）=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f （0）=__________________.思路启迪：利用逆向思维球解.解答过程：∵f （x ）在点x =0处连续，∴f （0）=0lim →x f （x ）,lim →x f （x ）= 0lim→x 11113-+-+x x =lim→x 1111)1(332++++++x x x =23.答案: 23例9.设函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,且1lim →x f （x ）=0,2lim -→x f （x ）=－3,求这一函数最大值..思路启迪：由函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,利用f （－x ）=f （x ）构造方程,求出b 的值.解答过程：∵f （x ）=ax 2+bx +c 是一偶函数, ∴f （－x ）=f （x ）,即ax 2+bx +c =ax 2－bx +c . ∴b =0.∴f （x ）=ax 2+c .又1lim →x f （x ）= 1lim →x ax 2+c =a +c =0, 2lim -→x f （x ）=2lim -→x ax 2+c =4a +c =－3,∴a =－1,c =1.∴f （x ）=－x 2+1.∴f （x ）max =f （0）=1. ∴f （x ）的最大值为1.例10.设f （x ）是x 的三次多项式，已知ax 2lim →=ax x f 2)(-=ax 4lim→ax x f 4)(-=1.求ax 3lim→ax x f 3)(-的值（a 为非零常数）.解答过程：由于ax 2lim→ax x f 2)(-=1,可知f （2a ）=0. ① 同理f （4a ）=0. ②由①②，可知f （x ）必含有（x －2a ）与（x －4a ）的因式，由于f （x ）是x 的三次多项式，故可设f （x ）=A （x －2a ）（x －4a ）（x －C ）. 这里A 、C 均为待定的常数. 由ax 2lim→ax x f 2)(-=1,即ax 2lim →ax C x a x a x A 2))(4)(2(----=ax 2lim →A （x －4a ）（x －C ）=1, 得A （2a －4a ）（2a －C ）=1,即4a 2A －2aCA =－1. ③ 同理，由于ax 4lim→ax x f 4)(-=1,得A （4a －2a ）（4a －C ）=1,即8a 2A －2aCA =1. ④ 由③④得C =3a ,A =221a ,因而f （x ）=221a （x －2a ）（x －4a ）（x －3a ）.∴ax 3lim→a x x f 3)(-=a x 3lim →221a（x －2a ）（x －4a ）=221a ·a ·（－a ）=－21.例11 a 为常数，若+∞→x lim （12-x －ax ）=0,则a 的值是____________..思路启迪：先对括号内的的式子变形.解答过程：∵+∞→x lim （12-x －ax ）= +∞→x lim axx x a x +---112222=+∞→x lim axx x a +---11)1(222=0,∴1－a 2=0.∴a =±1.但a =－1时，分母→0, ∴a =1.考点3.函数的连续性及极限的应用 1.函数的连续性.一般地，函数f （x ）在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件：（1）函数f （x ）在点x =x 0处有定义；（2）0lim x x →f （x ）存在；（3）0lim x x →f （x ）=f （x 0）.如果函数y =f （x ）在点x =x 0处及其附近有定义，而且0lim x x →f （x ）=f （x 0）,就说函数f （x ）在点x 0处连续.2.如果f （x ）是闭区间［a ,b ］上的连续函数，那么f （x ）在闭区间［a ,b ］上有最大值和最小值.3.若f （x ）、g （x ）都在点x 0处连续,则f （x ）±g （x ）,f （x ）·g （x ）,)()(x g x f （g （x ）≠0）也在点x 0处连续.若u （x ）在点x 0处连续,且f （u ）在u 0=u （x 0）处连续,则复合函数f ［u （x ）］在点x 0处也连续.例12.f （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 思路启迪：说明问题即可.解答过程：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A 例13.f （x ）=xxπcosπcos的不连续点为( )A.x =0B.x =122+k （k =0,±1,±2,…） C.x =0和x =2k π（k =0,±1,±2,…） D.x =0和x =122+k （k =0,±1,±2,…）思路启迪：由条件出发列方程解之.解答过程：由cos xπ=0,得xπ=k π+2π（k ∈Z ）,∴x =)(122Z ∈+k k .又x =0也不是连续点,故选D 答案：D例14. 设f （x ）=⎩⎨⎧≥+<),0(),0(e x xa x x当a 为________时,函数f （x ）是连续的. 解答过程：+→0lim x f （x ）= +→0lim x （a +x ）=a , -→0lim x f （x ）=-→0lim x e x =1,而f （0）=a ,故当a =1时,lim →x f （x ）=f （0）,即说明函数f （x ）在x =0处连续,而在x ≠0时,f （x ）显然连续,于是我们可判断当a =1时, f （x ）在（－∞,+∞）内是连续的.小结：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.例15.已知函数f （x ）=⎩⎨⎧-,1,为无理数为有理数x xx x 函数f （x ）在哪点连续( )A.处处连续B.x =1C.x =0D.x =21思路启迪：考虑结果的启发性.解答过程：+→21lim x f （x ）= -→21lim x f （x ）=f （21）.答案：D例16.抛物线y =b （ax ）2、x 轴及直线AB :x =a 围成了如图（1）的阴影部分,AB 与x 轴交于点A ,把线段OA 分成n 等份,作以na 为底的内接矩形如图（2）,阴影部分的面积为S 等于这些内接矩形面积之和当n →∞时的极限值,求S 的值.思路启迪：先列出式子.解答过程：S =∞→n lim ［b ·（n 1）2+b ·（n 2）2+b ·（n 3）2+…+b ·（n n 1-）2］2·na=∞→n lim3222)1(21n n -+++ ·ab=∞→n lim 36)12()1(n n n n -⋅⋅-·ab =31ab .例17.如图，在边长为l 的等边△ABC 中，圆O 1为△ABC 的内切圆，圆O 2与圆O 1外切，且与AB 、BC 相切,…,圆O n +1与圆O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去,记圆O n 的面积为a n （n ∈N *）. （1）证明{a n }是等比数列； （2）求∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）的值.解答过程：（1）证明:记r n 为圆O n 的半径， 则r 1=2l tan30°=63l .nn n n r r r r +---11=sin30°=21,∴r n =31r n －1（n ≥2）.于是a 1=πr 12=1212π-⋅n n a a l ,1-n n a a =（1-n n r r ）2=91,∴{a n }成等比数列.（2）解：因为a n =（91）n －1·a 1（n ∈N *）,所以∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=9111-a =32π32l .例18. 一弹性小球自h 0=5 m 高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的97,不计每次碰撞时间,则小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间分别是多少?解答过程：设小球第一次落地时速度为v 0,则有v 0=02gh =10（m/s ）,那么第二,第三,…,第n +1次落地速度分别为v 1=97v 0,v 2=（97）2v 0,…,v n =（97）n v 0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h 0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L 1=2×gv 221=10×（2)97.小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L 2, 则L 2=2×gv 222=10×（97）4.由数学归纳法可知,小球第n 次到第n +1次与地面碰撞经过路程为 L n =10×（97）2n .故从第一次到第n +1次所经过的路程为 S n +1=h 0+L 1+L 2+…+L n ,则整个过程总路程为S =∞→n lim S n +1=5+∞→n lim 10×222)97(1])97(1[)97(--n =5+1022)97(1)97(-=20.3（m ）,小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t 0=002g h =1（s ）.小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t 1=2×gv 1=2×97,同理可得t n =2×（97）n ,t n +1=t 0+t 1+t 2+…+t n ,则t =∞→n lim t n +1=1+∞→n lim 2×)97(1])97(1)[97(--n =8（s ）. 考点4.新考题例19．（本小题满分12分）已知数列}{n a 、}{n b 与函数)(x f 、)(x g ，R ∈x 满足条件：))(()(,*11N ∈===+n b g b f a b b n n n ．（I ）若)()(,2)(),2,0(1)(b g b f x x g t t tx x f ≠=≠≠+=，且n n a +∞→lim 存在，求t 的取值范围，并求n n a +∞→lim （用t 表示）．（II ）若函数)(x f y =在R 上是增函数，1)1(,1),()(1<==-f b x f x g ，证明对任意的*N ∈n ，n n a a <+1．[考查目的]本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查运用数学归纳法解决问题的能力. [解答过程]（Ⅰ）解法一：由题设知2.1212,11,111≠+=⎩⎨⎧=+=++++t a ab a tb a n n n n n n 又已知得，可得 ).22(21221-+=-++t a t a n n由⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≠≠-+=-+≠≠≠22,02,0222,0,2),()(1t a t t ttb t a t t b g b f n 所以可知是等比数列，其首项为2,2t t t tb 公比为-+，于是.22)2)(2(,)2)(2(2211---+=-+=-+--t t t t tb a t t t tb t a n n n n 即又.022,1|2|0,lim ≠<<-<<t t t a n 且所以可得存在.22lim ta n n -=∞→解法二：由题设知2,211≠=++t b tb n n 且，可得 ).21(21211-+=-++t b t b n n由2121,02,021,0,2),()(-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+≠≠-+≠≠≠t b t b t t b t t b g b f n 是首项为所以可知，公比为2t 的等比数列..21)2)(21(,)2)(21(2111---+=-+=-+--t t t b b t t b t b n n n n 即由,1|2|0,lim ,lim ,21<<=∞→∞→+t b a b a n n n n n n 于是可得存在则存在若可知所以.022≠<<-t t 且 .22lim 2lim tb a n n n n -==∞→∞→解法三：由题设知121+=+n n b tb ，即 2121+=+n n b t b ，①于是有,21212+=++n n b t b②②－①得n n n n n n n b b c b b t b b -=-=-++++1112),(2令，得.21n n c t c =+由,02,021)2(0,2),()(121≠≠+-=-=≠≠≠t b t b b c t t b g b f 可知 所以2,}{2t b b c n 公比为是首项为-的等比数列，于是.2)(2])2(1[42,)(21)2(1)(121121211b b b tt b a b b b t t b c c c b n n n nn n +---==+---=++++=++ 又.022,1|2|0,lim ≠<<-<<∞→t t t a n n 且所以可得存在.222)(24lim 12tb b b t a n n -=+--=∞→说明：数列{a n }通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以上评分标准.（Ⅱ）证明：因为).(),()(),()(1111n n n n n a f b b f b g a x f x g ==='=++-+即所以 下面用数学归纳法证明).(*1N ∈<+n a a n n （1）当1)1(,)(,1<=f x f n 且为增函数由时，得 ,)1()(,1)1()(,1)1()(1221211a f b f a f a f b f b f a =<=<<=<==即12a a <，结论成立.（2）假设n = k 时结论成立，即)(.1x f a a k k 由<+为增函数，得 121),()(+++<<k k k k b b a f a f 即， 进而得.),()(1212++++<<k k k k a a b f b f 即 这就是说当n = k +1时，结论也成立.根据（1）和（2）可知，对任意的.,1*n n a a n <∈+N例20已知公比为)10(<<q q 的无穷等比数列}{n a 各项的和为9，无穷等比数列}{2n a 各项的和为581.(Ⅰ)求数列}{n a 的首项1a 和公比q ；(Ⅱ)对给定的),,3,2,1(n k k ⋅⋅⋅=,设)(k T 是首项为k a ，公差为12-k a 的等差数列.求数列)(k T 的前10项之和；(Ⅲ)设i b 为数列)(i T 的第i 项，n n b b b S +⋅⋅⋅++=21，求n S ，并求正整数)1(>m m ，使得mS nn ∞→lim 存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当∞→n 时该无穷数列前n 项和的极限)[考查目的]本题考查运用等比数列的前n 项和公式，从已知的条件入手列方程组求出等比数列的公比和首项.[解答过程] (Ⅰ)依题意可知,1121293,12.81315a a q q a q⎧==⎧⎪-⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪-⎩ (Ⅱ)由(Ⅰ)知,1323-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)2(T 的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155.(Ⅲ) i b =()()121--+i i a i a =()()112---i a i i =()()1321231--⎪⎭⎫ ⎝⎛--i i i ，()()2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n S nn ，m n n n S ∞→lim =∞→n lim ()14518272.32n m m m n n n n n n ⎛⎫-+⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当m=2时，m n n n S ∞→lim =－21，当m>2时，mn n n S ∞→lim =0，所以m=2.【专题训练】 一.选择题1.下列极限正确的个数是①∞→n lim αn 1=0（α＞0）;②∞→n lim q n =0;③∞→n lim nn nn 3232+-=－1 ; ④∞→n lim C =C （C 为常数）A.2B.3会C.4D.都不正确2.下列四个命题中正确的是A.若∞→n lim a n 2＝A 2，则∞→n lim a n ＝A B.若a n ＞0，∞→n lim a n ＝A ，则A ＞0C.若∞→n lim a n ＝A ，则∞→n lim a n 2＝A 2 D.若∞→n lim （a n －b ）＝0，则∞→n lim a n ＝∞→n lim b n3.+→0lim x x f （x ）=-→0lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.f （x ）=⎩⎨⎧<≥,10,12x x x 下列结论正确的是( ) A.)(lim 1x f x +→=-→1lim x f （x ） B.)(lim 1x f x +→=2，)(lim 1x f x -→不存在C.+→1lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x -→不存在 D.+→1lim x f （x ）≠-→1lim x f （x ）5.下列图象表示的函数在x =x 0处连续的是()①②④A.①B.②③C.①④D.③④ 6.若f （x ）在定义域［a ,b ］上有定义,则在该区间上( )A.一定连续B.一定不连续C.可能连续也可能不连续D.以上均不正确 7.已知31a cn c bn Lim ,5cbn cnanLim n 22n =++=++∞→∞→，如果bc ≠0，那么ban cn c bn anLim 22n ++++∞→=( )A 、 15B 、151 C 、53D 、358.若r 为实常数，则集合}R r ,|r |1|r |Limx |x {nn n ∈+=∞→A 、恰有一个元素B 、恰有两个元素C 、恰有三个元素D 、无数多个元素 9. 11(1)1lim 1,lim 1(22)x x f x x x f x →→--==--若则（C ）A ．－1B ．1C ．－21 D ．2110. 已知()23,12,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，下面结论正确的是（ ） A.()f x 在1x =处连续 B.()5f x = C.()1lim 2x f x →= D.()1lim 5x f x +→=二.填空题11.四个函数:①f （x ）=x1;②g （x ）=sin x ;③f （x ）=|x |;④f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d .其中在x =0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上） 12.下四个命题:①f （x ）=x1在［0,1］上连续;②若f （x ）是（a ,b ）内的连续函数,则f （x ）在（a ,b ）内有最大值和最小值; ③2πlim →x xx cos 2sin 2=4;④若f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥).0(1),0(x x x x 则0lim →x f （x ）=0.其中正确命题的序号是____________.（请把你认为正确命题的序号都填上） 13.则a=______，b=______.14.函数f(x)在（0，+∞）内满足f ’(x)>0，f(0)>0，则nnnn n )](f [5)]3(f [4)](f [3)]3(f [2Lim π-+π--∞→=_________.15. ∞→n limnn ++++ 212=__________.16. ∞→n lim 32222-+n n n =____________.三.解答题17.求下列函数极限:错误!未找到引用源。