数学分析中一道计算题
浅谈数学分析中的一道计算题
（责 编 高伟 ）
２２
ｒ ２
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＝ ｏ ｄＯ Ｊ。 （ｓｉｎ ｓｉｎｚＯ＋ｃｏｓ ）ｓｉｎ￣ｏ＆ｐ
＝ｚ 丝 ｄ 号仃
解法三： 因为球面｜ｓ关于分别平面 ＿ｙ，平面 ，平 面 对称 ．
所以，Ｊ 灿＝ｆ ｚ 。
进一步．有
ｆ 旧 如 ：
０ ｊ （ ＋三。） ＝鲁 ｊ ｚ ） ： ３ ｎ２ ｄｓ
２００３．
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ｉｎ ，
ｆ２】吴 良森 ，毛 羽辉，韩士安 ，吴畏 ．数学分
其 中 ，Ｅ＝ｘ２ｕ＋ ＋Ｚ２￣ｔ，Ｇ ＋ ，Ｆ ＋
Ｇ ＋ｙ２０＋Ｚ２０＝ ｓｉｎ ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ｃ０ｓ ＋
析 学习指导书［Ｍ】．高等教育出版社，（ｕ， ）
解法二：设ｓ的参数方程为｛ｙ＝ａｓｉｎ ｓ１ ｎ０，
【 ＝∞ｏｓ∞
则Ｄ：Ｏ≤ ≤Ｊ７『，０≤ ≤２仃且
参 考 文 献 ： 【Ｉ】陈传璋 ，金福 临 ，朱 学炎，欧阳光 中．复
ｅＤ，￣ＩＪ ｆ ，ｙ， ） ＝ｆ （ ） ） ｕ， Ｅ＝ｘ２￣＋ ＝ｎｚｃｏｓ ｃｏｓ ＋ ｃ０ｓ ｓｉｎ ＋ 旦 大学数学 系．数学分析ｆＭ１．高＠ｅｔ－￣出版社 ，
学羁 ２鲎０１３盎年塑第４窒期
嗲 高校论坛
浅谈数学分析 中的一道 计算题
吴 春 （重 庆师 范 大学数 学学 院分析 与 函数 教研 室 ４０１３３１）
摘要 ：本 文笔者针 对数 学分析学 习指导书 的一道 习题 ，给 出了不 同的解法．并 以此说 明 做 习题过程 中体 会总结并与 所学知识和 已有 的 结论 联 系尤 为重要 ，、
关键词 ：数 学分析 第一类曲面积分
二 、主要内容 数学分析学习指导书中有这样一道题
数学分析(1)期末试题集(计算题部分)
2.设 求 的极值.
解:当 时, .令 ,得稳定点 .
当 时, ;当 时, ,故 为极小值点,极小值为 ;
当 时, ,所以 在 内严格单调增,无极值.
而在 的邻域内,左边函数单调增,右边函数单调减,故 为极大值点,函数的极大值为 .
3.设函数 满足 .讨论 是否为 的极值点.
解若 ,由极值的必要条件知, 不是 的极值点.
当 时, , 单调减少.当 时, , 单调增加.于是 为 在 内唯一的极小值,也为最小值.因此函数 的零点个数与 的符号有关.
当 ,即 时, 在 恒为正值函数,无零点;
当 ,即 时, 在 内只有一个零点,即 ;
当当 ,即 时,因为 ,由连续函数的零点定理知, 和 ,使得 ,且由函数的单调性知, 在 和 内最多各有一个零点,所以当 时, 在 有且只有两个零点.
(4)因为
所以 是偶函数.
(5) .所以 是奇函数.
7.求函数 的值域.
解因为反函数 的定义域为 ,所以函数 的值域为 .
8.设有方程 其中 .求解 与 .
解由方程组得 ,代入 ,所以 .
9.若函数 的图形有对称中心 及 ,试证 为周期函数,并求出周期 .
解由于 的图形有对称中心 及 ,于是有
.
进而有 且 ,令 ,由上式便得到 .由周期函数的定义,注意到 ,因此 是以 为周期的周期函数.
10、设函数 在 内有定义,且对任意的实数 ,有 ,求 .
解由于 ,且 .
11、若函数 对其定义域内的一切 ,恒有 ,则称函数 对称于 .证明:如果函数 对称于 及 ,则 必定是周期函数.
证若 及
所以 是以 为最小周期的周期函数.
12.若 的图形有对称轴 和对称中心 ,求证 为周期函数.
关于数学分析的计算题I（积分）
关于数学分析的计算题I（积分）不定积分与定积分计算：∫1sin4x+cos4x dx计算：∫1+sin x1−cos x e−x dx计算：I(m,n)=∫10x m(ln x)n dx计算：∫2π0x sin x1+cos2x dx1计算：∫10ln(1+x)1+x2dx计算：反常积分与含参积分计算：I=∫+∞0e−pxsin bx−sin axx dx(p>0,b>a)计算：∫+∞11+x21+xαdx1计算：∫+∞01−e−tt sin tdt1计算：重积分计算：设D={(x,y)|−1≤x≤1,0≤y≤1}，计算∬\bf计算：设D由y = x,y = 0,x = \frac{\pi }{2}围成，计算\iint\limits_D {\left| {\cos \left( {x + y} \right)} \right|dxdy}\bf计算：设\Omega 由锥⾯{x^2} + {y^2} = {z^2}和z=2所围成，计算\iiint\limits_\Omega {\sqrt {{x^2} + {y^2}} dxdydz}\bf计算：设V为单位球{x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 1，a,b,c为不全为零的常数，计算I = \iiint\limits_V {\cos \left( {ax + by + cz} \right)dxdydz} \bf计算：曲线积分\bf计算：设c为{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9与x + y + z = 0的交线，计算\int_c {xyds}\bf计算：设L为{x^2} + {y^2} = 1，取逆时针⽅向，计算\oint_L {\frac{{ - ydx + xdy}}{{4{x^2} + {y^2}}}}\bf计算：曲⾯积分\bf计算：设锥⾯S为{x^2} + {y^2} = {\left( {1 - z} \right)^2},0 \leqslant z \leqslant 1，计算\iint\limits_S {\frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{1 - z}}dS} \bf计算：设S为柱⾯{x^2} + {z^2} = 2az\left( {a > 0} \right)被锥⾯z = \sqrt {{x^2} + {y^2}} 所截取的有限部分，计算\iint\limits_S {\left( {x + z}\right)dS}()()\bf计算：设S为球⾯{x^2} + {y^2} + {\left( {z - a} \right)^2} = {a^2}中满⾜{x^2} + {y^2} \leqslant ay与z \leqslant a那部分的下侧(a>0)，计算\iint\limits_S {{x^2}dydz + zdxdy}\bf计算：设S为抛物⾯{x^2} + {y^2} = z位于z=0,z=1之间的部分，取外侧，计算\iint\limits_S {2xydydz - {y^2}dzdx - {x^2}dxdy}\bf计算：设f(x,y,z)表⽰从原点到椭球⾯\Sigma :\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1上p(x,y,z)处的切平⾯的距离，计算\iint\limits_\Sigma {\frac{{dS}}{{f\left( {x,y,z} \right)}}}\bf计算：设f\left( {x,y,z} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - {x^2} - {y^2} - {z^2},{x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 1} \\ {0{\text{ ,}}{x^2} + {y^2} + {z^2} > 1} \end{array}} \right.，计算F\left( t \right) = \iint\limits_{x + y + z = t} {f\left( {x,y,z} \right)dS}1\bf计算：附录\bf命题：设P(x,y),Q(x,y)在R^2上有连续的偏导数，且对任何⼀个圆周C，有\int_C {P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy = 0} ，证明：\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \frac{{\partial P}}{{\partial y}}1\bf命题：是S为球⾯{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1,f为连续函数，a,b,c为常数，证明\bf{Poisson}公式：\iint\limits_S {f\left( {ax + by + cz} \right)dS} = 2\pi \int_{ - 1}^1 {f\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} u} \right)du}1\bf命题：Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js。
华东师范大学数学分析试题
华东师范大学2019数学分析一、（30分）计算题。
1、求2120)2(cos lim x x x x -→ 2、若)),sin(arctan 2ln x x e y x +=-求'y .3、求⎰--dx x xe x2)1(. 4、求幂级数∑∞=1n n nx的和函数)(x f .5、L 为过)0,0(O 和)0,2(πA 的曲线)0(sin >=a x a y ,求⎰+++L dy y dx y x .)2()(3 6、求曲面积分⎰⎰++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧.二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续.3、若)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，则∑⎰=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 110)()()1()(1lim . 4、若∑∞=1n n a收敛，则∑∞=12n n a 收敛.5、若在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在(0,0)上可微.6、),(y x f 在2R 上连续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若⎰⎰=>∀∀rD dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 则.),(,0),(2R y x y x f ∈= 三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞→ 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。
大学数学分析题题库
大学数学分析题题库题目一：极限与连续性1. 计算下列极限：(a) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{4x}$(b) $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$(c) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$2. 判断函数在给定点或区间内的连续性：(a) 函数$f(x) = \sqrt{x}$在$x=0$处是否连续？(b) 函数$g(x) = \frac{1}{x}$在区间$(1, 2)$内是否连续？(c) 函数$h(x) = \begin{cases} x, & x < 1 \\ 2, & x \geq 1 \end{cases}$在$x=1$处是否连续？题目二：微分学基础1. 计算下列函数的导数：(a) $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$(b) $g(x) = \sin(x) + \cos(x)$(c) $h(x) = e^x \cdot \ln(x)$2. 判断函数在给定点处的可导性：(a) 函数$f(x) = |x|$在$x=0$处是否可导？(b) 函数$g(x) = \sqrt[3]{x}$在$x=8$处是否可导？题目三：积分与面积1. 计算下列定积分：(a) $\int_{0}^{1} x^2 \, dx$(b) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x) \, dx$(c) $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$2. 计算两个曲线之间的面积：(a) 曲线$y = x^2$与$x$轴所围成的面积；(b) 曲线$y = \sin(x)$与$y = \cos(x)$在区间$[0, \pi/2]$内所围成的面积。
题目四：级数与收敛性1. 判断下列级数的敛散性：(a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$(b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$(c) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$2. 判断函数项级数的一致收敛性：(a) 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}$在区间$[0,\pi]$上是否一致收敛？(b) 级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n}$在区间$(-\infty, \infty)$上是否一致收敛？总结：数学分析题库涵盖了极限与连续性、微分学、积分与面积以及级数与收敛性等重要概念和技巧。
数学分析1考试题及答案
数学分析1考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是否连续？A. 是B. 否答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：B4. 函数f(x) = x^2 + 3x - 4的零点个数是？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/4 + 1/9 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x的导数是________。
答案：3x^2 - 32. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C3. 函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的定积分是________。
答案：8/34. 函数f(x) = sin(x)的原函数是________。
答案：-cos(x) + C5. 函数f(x) = ln(x)的定义域是________。
答案：(0, +∞)三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (x^3 + 5x^2 - 2x)。
答案：02. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在区间[1, 3]上的定积分。
答案：-43. 求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的极值点。
答案：x = 3/4四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是单调递增的。
答案：略2. 证明函数f(x) = x^3在x=0处连续。
数学分析期末复习题
数学分析(三)复习题一、计算题1．求二重极限yx x ay x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+211lim ；2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角； 3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。
4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。
5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。
6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。
7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。
8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。
9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求=t dtdu 。
10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。
11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C=(2,-2,1)的方向导数。
12．求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。
13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。
14．在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。
15．设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+2zy，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。
16． 求函数z=arctg xy在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21,23)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角α的范围为：0≤α<π）。
17. 设数量场u=222zy x z ++，试求：（1）gradu ；（2）在域1<z<2内，inf|gradu|，及sup|gradu|。
微积分(数学分析)练习题及答案doc
微积分(数学分析)练习题及答案doc统计专业和数学专业数学分练习题计算题1.试求极限2.试求极限3.试求极限4.试讨论5.试求极限lim2？xy？4xy222。
22(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)lim1?cos(x?y)(x?y)e(x?y)sinxy224xy2..（x，y）？（0,0）lim1xsinylim（x，y）？（0,0）x？Y22(x,y)?(0,0)limx?y2.21? 十、Y16.你呢？F（x？Y，XY），F有连续的偏导数，求7z？arctanxy，y？前男友，求你了dzdx.UU十、y8。
找到抛物面Z？2x2？点m（1,1,3）处Y2的切平面方程和法向方程。
9找到f（x，y）？2x2？xy？y2？6x？3岁？5泰勒公式（1，±2）。
10找到函数f（x，y）了吗？E2x（x？Y2？2Y）的极值。
11.描述隐函数的定义12.叙述隐函数存在唯一性定理的内容.13.叙述隐函数可微性定理的内容.14.用隐函数解释反函数的存在性和导数。
15讨论笛卡尔叶线x?y?3axy?033确定的隐函数y？F（x）的一阶和二阶导数。
16讨论等式f(x,y,z)?xyz3?x?y?z?023在原点附近确定的二元隐函数及其偏导数。
17设函数f（x，y，z）？XYZ，方程x?y?z?3xyz.22223（1）验证了可微隐函数y可以由上述方程在点P0（1,1,1）附近确定吗？Y（Z，x）和Z？z（x，y）；（2）找到FX（x，y（x，z），z）和FX（x，y，z（x，y）），以及它们在点y的位置？f（x）处的值。
18.讨论方程式1f（x，y，u，v）？u2乐队？v2？x2？Y0克（x，y，u，v）？？U五、xy？1.0在点P0（2,1,1,2）附近，我们可以确定什么样的隐函数数组并求其偏导数。
19.设定方程式u2v2x2y21,uvxy0.问在什么条件下,（1）从方程组可以唯一地确定u和V是X和y的可微函数？（2）从方程组可以唯一地确定u，X是V，y的可微函数？20.求球面x2?y2?z2?50与锥面x2?y2?z2所截出的曲线的点(3,4,5)处的切线与法平面方程。
数学分析试题
数学分析试题1. 某函数的导数为 $f'(x) = 2x + 1$，求函数 $f(x)$。
解析：根据导函数的意义，可知函数 $f(x)$ 的导数为 $f'(x) = 2x + 1$。
那么，我们需要求函数 $f(x)$。
根据导数的求解方法，对 $f'(x)$ 进行积分即可得到原函数 $f(x)$。
由于导数的积分结果有无数种形式，为了统一解答，我们可以称原函数为 $F(x)$。
则有 $F'(x) = 2x + 1$。
对 $F'(x)$ 进行积分，得到 $F(x) = x^2 + x + C$，其中 $C$ 为常数。
因此，函数 $f(x) = F(x) = x^2 + x + C$。
2. 求函数 $y = \frac{1}{x}$ 在 $x = 2$ 处的切线方程。
解析：首先，计算函数$y = \frac{1}{x}$ 的导数。
由于这是一个倒数函数，我们可以使用倒数的导数公式，即 $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$。
在 $x = 2$ 处，函数的导数为 $f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}$。
根据切线的定义，切线的斜率等于函数在该点的导数。
因此，切线的斜率为 $-\frac{1}{4}$。
接下来，我们使用点斜式方程来求切线方程。
已知切线过点 $(2, \frac{1}{2})$，斜率为 $-\frac{1}{4}$。
将这些值代入点斜式方程 $y - y_1 = m(x - x_1)$，其中 $(x_1,y_1)$ 为已知点，$m$ 为斜率。
代入已知值，得到 $y - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}(x - 2)$。
整理方程，得到切线方程 $y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2}$。
3. 求函数 $y = e^x$ 在 $x = 0$ 处的泰勒展开式，并写出前四项。
数学分析试题库--计算题、解答题
数学分析题库（1-22章）四．计算题、解答题求下列极限 1.24lim 2n n n →∞-- ； 2.111lim(1)1223(1)n n n →∞++++⨯⨯+； 3.01lim sin x x e x →-；4.10(1)lim xx x ex →+-；5.31lim 1n n n →∞--；6.211lim(1)nn n n →∞++；7.612sin lim cos3x xxπ→-； 8.011lim()1x x x e →--；9. x xxx x sin tan lim 0--→; 10． 10lim(sin 2cos )xx x x →+ ；求下列函数的导数或微分11.cos x y e x =；12.ln(ln )y x =；13.sin x y x =；14.求函数sin y x =的各阶导数；15.sin 2x y e x =16.ln(cos ln )y x x =+17.sin (cos )x y x =18. 求函数cos y x =的各阶导数；19．设x x y 1tan 3+=，求dx dy ；20.设x e x v x x u ==)(,ln )(，求)(),(33v u d uv d ； 21. 32(arctan )y x =， 求y ';22.x x y x =，求y '; 23. 求由参量方程⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x t t 所确定的函数的二阶导数22d y dx ; 24. 设3x y x e =, 试求(6)y .25. 试求由摆线方程(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ 所确定的函数()y f x =的二阶导数26.求函数()11++=x x x f 的单调区间、极值、凹凸区间及拐点. 27．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin )(x x x x x f m （m 为正整数），试问： （1）m 等于何值时，f在0=x 连续； （2）m 等于何值时，f 在0=x 可导； （3）m 等于何值时，f '在0=x 连续.28．试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间[-1, 1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？29．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(24x x x x x f（1）证明：0=x是极小值点； （2）说明f 的极小值点0=x 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.30．若对任何充分小的0>ε，f 在],[εε-+b a 上连续，能否由此推出f 在),(b a 内连续. 31. 试求2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.32. 试求函数32|2912|y x x x =-+在[1,3]-上的最值和极值.33.求函数155345++-=x x x y 在[1,2]-上的最大最小值：34. 确定函数25363223+--=x x x y 的凸性区间及拐点. 35.举例说明:在有理数集内,确界原理和单调有界定理一般都不成立.36..举例说明:在有理数集内,聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立.37.设11,1,2,2H n n n ⎧⎫⎛⎫== ⎪⎨⎬+⎝⎭⎩⎭.问能否从H 中选出有限个开区间覆盖10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,说明理由. 38.求不定积分.39.求不定积分(0)a >. 40.求不定积分arctan x xdx ⎰.41.求不定积分2321x dx x ++⎛⎜⎠.42.求不定积分. 43.求不定积分53cos dx x -⎰. 44.计算定积分1ln e x dx ⎰.45.计算定积分10⎰. 46.计算定积分10arcsin xdx ⎰. 47.求极限2222111lim 122n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭. 48.设()f x 在[,]a b 上连续,()()()x a F x f t x t dt =-⎰.求()F x ''.49.求由椭球面2222221y x z a b c++=所围立体的体积. 50.求椭圆22221y x a b+=所围的面积. 51.求摆线(sin ),(1cos )(0),02x a t t y a t a t π=-=->≤≤的弧长. 52.求平面曲线sin ,0y x x π=≤≤绕x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积.53.讨论无穷积分20x xe dx +∞-⎰是否收敛?若收敛,则求其值. 54.讨论无穷积分21(1)dx dx x x +∞+⎰是否收敛?若收敛,则求其值. 55.利用级数敛散性定义验证级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑是否收敛.若收敛,求其和数. 56.判断级数111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的敛散性. 57.判断级数121n n n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑的敛散性. 58.判断级数()121sin n n n∞=-∑是绝对收敛,条件收敛还是发散. 59. 判断级数1sin ,(0,2)n nx x n π∞=∈∑是绝对收敛,条件收敛还是发散. 60. 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn n n x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性. 61. )(x f n =221x n nx+, ∈x ] 1 , 0 [. 讨论函数列{)(x f n }的一致收敛性.62. 函数列在]1,0[上是否一致收敛？63. )(x f n 2222x n xe n -=在R 内是否一致收敛？64.函数列在] 1 , 0 [上是否一致收敛？65. 求幂级数 ++++74533234333231x x x x 的收敛域 . 66. 计算积分⎰-=102dx e Ix , 精确到0001.0. 67. 把函数)(x f =)5ln(x +展开成)2(-x 的幂级数.68. 求幂级数∑∞=+0!1n n x n n 的和函数. 69. 展开函数x e x x f )1()(+=.70.在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数,)(x x f =（i ）,ππ<<-x （ii ）.20π<<x71. 设)(x f 是以π2为周期的分段连续函数, 又设)(x f 是奇函数且满足)()(x f x f -=π. 试求)(x f 的Fourier 系数⎰-=πππnxdx x f b n 2sin )(12的值， ,2,1=n . 72. 设)(x f 以π2为周期，在区间]2,0[π内, 试求)(x f 的Fourier 级数展开式.73.设求在],[ππ-内)(x f 的以π2为周期的Fourier 级数展开式.74. 设)(x f 是以π2为周期的连续函数,其Fourier 系数为,,,0n n b a a ,2,1=n .试用,,,0n n b a a 表示函数x x f x F cos )()(=的Fourier 系数 75. 试求极限.42lim)0,0(),(xyxy y x +-→ 76. 试求极限.)()cos(1lim 222222)0,0(),(y x y x ey x y x ++-→ 77. 试求极限.1sin 1sin )(lim )0,0(),(y x y x y x +→ 78. 试讨论.lim 422)0,0(),(y x xy y x +→ 79. 试求极限.11lim 2222)0,0(),(-+++→y x y x y x80. ),(xy y x f u+=,f 有连续的偏导数，求 .,y u x u ∂∂∂∂ 81. ,arctan xy z =,x e y = 求.dxdz 82. 求抛物面 222y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程及法线方程.83. 求5362),(22+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式. 84. 求函数)2(),(22y y x e y x f x ++=的极值.85. 叙述隐函数的定义.86. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容.87. 叙述隐函数可微性定理的内容.88. 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数.89. 讨论笛卡儿叶形线所确定的隐函数)(x f y =的一阶及二阶导数. 90. 讨论方程在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数.91. 设函数23(,,)f x y z xy z =, 方程(1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =;(2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值.92. 讨论方程组在点)2,1,1,2(0P 近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。
数学分析精选习题
数学分析精选习题数学分析是一门基本学科，是其他大多数数学分支学科的基础和突破口。
学习数学分析时，除了理论知识的掌握，习题的做法与解法也是非常重要的一部分。
下面我将介绍一些精选的数学分析习题。
一、一元积分学1、计算定积分 $\int_{1}^{2}(x-1)^{2} dx$分析：将 $(x-1)^{2}$ 展开后，进行积分，得到$\int_{1}^{2}x^{2}-2x+1dx$，计算可得 $\frac{1}{3}$。
2、计算定积分 $\int_{0}^{1}\frac{dx}{(x+1)^{2}}$分析：利用换元法可得到$\int\frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+C$，代回原式，得到$\left[-\frac{1}{x+1}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$。
二、多元积分学1、计算二重积分 $\iint_{D}xydxdy$，其中 $D=\{(x,y)|1\leqx\leq 2,0\leq y\leq1\}$分析：直接进行积分即可得到 $\frac{3}{4}$。
2、计算三重积分 $\iiint_{\Omega}xe^{x}\sin y dxdydz$，其中$\Omega=\{(x,y,z)|0\leq x\leq 1,0\leq y\leq\pi,0\leq z\leq2\}$分析：先对 $x$ 进行积分，得到 $\frac{1}{2}(e-e^{0})$，然后对 $y$ 进行积分，得到0，最后对 $z$进行积分，得到 $2(e-1)$。
三、微分方程1、求解微分方程 $\frac{dy}{dx}+y=1-x$，$y(0)=0$。
分析：通过对变量分离的方法，得到 $y=1-x-Ce^{-x}$，代入初始条件，得到 $y=1-(x+1)e^{-x}$。
2、求解微分方程 $\frac{dy}{dx}-y=x^{2}$。
分析：先考虑齐次线性微分方程，可得 $y_{c}=Ce^{x}$，然后考虑非齐次线性微分方程的特解，通过猜测法，得到特解为$y_{p}=Ax^{2}+Bx+C$，代入原方程进行化简，得到 $A=1,B=-2,C=2$，故该方程的解为 $y=e^{x}+x^{2}-2x+2$。
数学分析竞赛试题及答案
数学分析竞赛试题及答案试题一：极限计算计算下列极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]试题二：级数收敛性判断判断下列级数是否收敛：\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \]试题三：函数连续性与可导性若函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，判断其在 \(x=1\) 处的连续性与可导性。
试题四：中值定理应用若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，且 \(f(a) = f(b)\)，证明在 \((a, b)\) 内至少存在一点 \(c\)，使得 \(f'(c) = 0\)。
试题五：积分计算计算下列定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx \]答案：试题一：根据极限的定义，我们知道当 \(x\) 趋近于 0 时，\(\sin x\) 与 \(x\) 是等价无穷小，所以极限为 1。
试题二：根据级数的比较判别法，由于 \(\frac{1}{n^2}\) 与\(\frac{1}{n(n+1)}\) 比较，后者的级数是收敛的，因此原级数也收敛。
试题三：函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) 在 \(x=1\) 处的导数为\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)，代入 \(x=1\) 可得 \(f'(1) = -1\)。
由于 \(f(x)\) 在 \(x=1\) 处的左导数和右导数都存在且相等，所以\(f(x)\) 在 \(x=1\) 处连续且可导。
试题四：根据罗尔定理，由于 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，且 \(f(a) = f(b)\)，所以必然存在至少一点 \(c \in (a, b)\) 使得 \(f'(c) = 0\)。
数学分析综合算式练习题
数学分析综合算式练习题一、综合算式1. 计算下列各式的值：（1）$5 + 2 \times 3 - 4 \div 2$（2）$6 \times (4 - 3) + 8 \div 2$（3）$10 \div 2 - (3 + 1) \times 2$（4）$(3 + 4) \times (2 - 1) + 5$（5）$6 - (3 \times 2 + 4) \div (1 + 1)$2. 将下列算式化简：（1）$(a + b)^2 - (a - b)^2$（2）$5xy - 3xz + 2yz - 4xy + 7xz - 6yz$（3）$(a - b + c)^2 - (a^2 - b^2 - c^2)$（4）$3(x - y + z) + 2(y - z - x) + (z - x + y)$二、方程与不等式1. 解下列方程：（1）$2x - 3 = 9$（2）$3(x + 4) = 15$（4）$2(x - 1) + 3(2 - x) = x + 3 - 2x$2. 解下列不等式，并用图示法表示解集：（1）$2x - 5 < 7$（2）$3 - x \geq 2x + 1$（3）$4(x - 1) \leq 3(x + 2)$（4）$5 - 2x > 3x + 4$三、函数1. 已知函数$f(x) = 2x^2 + 3x - 1$，求：（1）$f(2)$的值；（2）当$f(x) = 0$时，求$x$的值。
2. 求函数$y = 3x^2 - 2x + 4$的最小值。
3. 若函数$g(x)$满足$g(2x) = x^2 - 3x$，求函数$g(x)$的表达式。
四、导数与微分1. 求下列函数的导数：（1）$f(x) = 3x^2 - 2x + 1$（2）$g(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$（4）$k(x) = \ln(x^2 + x)$2. 求函数$y = 2x^3 - 3x^2 + x$在点$(1, 0)$处的切线方程。
数学分析考试题
数学分析考试题一、选择题1. 函数 $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ 的定义域是：A. $(-\infty, -1) \cup (-1, 1)$B. $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$C. $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$D. 全体实数集 $\mathbb{R}$2. 极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ 的值为：A. 0B. 1C. $\infty$D. 不存在3. 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b)$，则 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上：A. 必定有一个零点B. 必定有一个极值点C. 必定有一个拐点D. 必定有一个最大值和一个最小值4. 定积分 $\int_{0}^{1} x^n dx$ ($n \neq 1$) 的值为：A. $\frac{1}{n+1}$B. $\frac{1}{n}$C. $\frac{1}{n-1}$D. 不能确定5. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 交错收敛的二、填空题6. 求函数 $g(x) = |x-2| + |x-4|$ 的最小值。
7. 计算极限 $\lim_{x \to 2} \frac{(x^2 - 4)}{(x-2)^2}$。
8. 求定积分 $\int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx$。
9. 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的和。
10. 设 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，求 $f(x)$ 的单调递增区间。
三、计算题11. 求函数 $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的导数。
数学分析 测试试卷及答案
综合测试试卷一一、 计算题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）1、xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→； 2、()x x x 2cot lim 0→ ；3、设a 为非零常数，则xx a x a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→lim ；4、⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→n n n n n 3lim ； 5、xx x ex e111lim +-+→；6、⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→x x x x 2sin 3553lim 2； 7、⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim ；8、()x x x sin 2031lim +→；9、⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x 11ln sin 31ln sin lim ； 10、()()x x x x x x +++→1ln cos 11cossin 3lim20 ； 11、20211limx x x x --++→； 12、⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x tan 11lim 20； 13、()3021ln arctan limx xx x +-→ ；14、若0>a ，0>b 为常数，则xxx x ba 302lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→；15、⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n πππcos 12cos 1cos 11lim。
. 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16、xx x x sin sinlim10→的值为（ ） A. 1； B. ∞; C.不存在; D. 0.17、=+--+→232231x x x x x lim （ ）A. 3；B. 4-;C. 1;D. 1-.18、 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim （ ）A.e 2;B. 2-e; C. 2e ； D.e2. 19、若22222=--++→x x bax x x lim ，则必有( ) A. 82==b a ,; B. 52==b a ,;C. 80-==b a ,； D. 82-==b a ,. 20、当+→0x 时，以下四式中为无穷小量的是（ ）A. x x 1sin ;B. x e 1; C. x ln ; D. x xsin 1.21、当+→0x 时，以下四式中为无穷大量的是（ ） A. 12--x; B.xx sec sin +1; C. xe -; D. x e 1. 22、=→xx x x cos sinlim10（ ） A.不存在; B. 0; C. 1; D. ∞.23、()=-→xx x cos tan lim 02π（ ）A.0;B. 1;C. ∞;D. 不存在. 24、=⎪⎭⎫⎝⎛--→1110x x e x lim （ ）A.0;B. 21;C. ∞;D.21-. 25、()=+→xx x ex 10lim （ ）A.e ;B. 1;C. 2e ; D. 2.三、计算题（本大题共3小题，每小题17分，共51分）26、623lim 2232--++-→x x xx x x ; 27、()11lim 22--+∞→x x x . 28、38231lim x x x +---→. 29、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x . 30、n n n n n !2lim ∞→. 31、()()()503020152332lim++-∞→x x x x . 32、设)(a f '存在，且0>)(a f ，求xx a f x a f ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→)(lim 1.33、xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim . 34、11lim 31--→x x x . 35、xx x cos lim 00+→. 36、xx x x 10arcsin lim ⎪⎭⎫⎝⎛→. 37、()x x x x cos 1sin 1ln lim 0-+→. 38、201sin lim x x →. 39、21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→. 40、121lim +∞→+++p p p p n n n ，0>p .41、()1ln lim0-+→xx e x.42、dx xx an nn ⎰+∞→1sin lim.（提示：先用积分中值定理：()()a b f dx x f ba-=⎰ξ)(，[]b a ,∈ξ）综合测试试卷一参考答案一、计算题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1、1； 2、21； 3、a e 2；4、2；5、1-；6、56；7、21；8、6e ；9、2；10、23；11、41-；12、31； 13、61-； 14、()23ab ； 15、22π。
数学分析练习题.doc
4 数学分析练习题1.函数f^y) = x2y-xe y在(1 ,0)处方向导数的最大值等于什2兀+ XLk心------------------------- 3 设/“)是连续函数，J=L/(x) = x + 2p(r)Jr,M/(x) =5.函数项级数u n(x)在£)上一致收敛于函数S(Q的(w,N)定义是n=l6.7.由曲线y = J｛x) , x = a , x = b和尤轴围成的llll边梯形绕尤轴旋转的旋转体体积V v=严dx8已知反常积分Jo 甬尹收敛于1,则比=0 19.求级数2 + 4 + - + 100 +工莎的和S = _________/I=I 210设。
00,兄=1,2,….且｛皿“｝有界，则工盗的敛散性为_______ •11.函数/W = c A的幕级数展开式为___________________________ .12.设平面点集E G/?2,点A W R2，“ A为E的内点”的定义是： __________ _______ 见p86 __________________________________________________________.1 . 1 ° xsin —+ ysin-, xyH 0 “、13 若 f(x,y)= y - x - ,(X,)，)H(0,0)则二重极限r hm f(x9y) =0, 巧=014函数z =兀v，则全微分dz = ____________________ .15 设/(x,y,?)=A>2+yF，则y 在点Po(2,_l,l)的梯度为16.改变累次积分/=pA^7(x,.y)6/y的次序，则".17以曲面z = Ax j)(其屮几叨)20)为顶，gy平面上的区域D为底的町顶柱体的体积18函数z是由方^.e x -xyz = 0所确定的二元函数，贝ij全微分dz\{}}= _____ ・s 119若级数y ---------- 发散，则a的取值范围是。
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浅谈数学分析中的一道计算题
摘要：本文笔者针对数学分析学习指导书的一道习题，给出了不同的解法，并以此说明做习题过程中体会总结并与所学知识和已有的结论联系尤为重要。
关键词：数学分析第一类曲面积分
数学分析是大学数学专业的一门重要基础课程，其特点是抽象严谨，解题方法又灵活多变。
因此，教师如何在教学中引导学生在做题的过程中运用本课中常用的方法，并联系所学知识，自觉地体会总结，就显得尤为重要。
一、预备知识
1. 定义：设s是空间可求面积的曲面，函数f（x，y，z）定义在s上。
给s任一分法t，将其分成n 份，记小曲面的面积分别为：△s1，△s2，…，△si，…，△sn，任取一点（？孜i，？浊i，？灼i）∈si，作和式■f（？孜i，？浊i，？灼i）△si。
记||t||=■{di}（di为si的直径），若极限■■f（？孜i，？浊i，？灼i）△si存在且与分法t 和取法（？孜i，？浊i，？灼i）均无关，则称此极限为f（x，y，z）在曲线s上的第一类曲面积分，记作：
■f（x，y，z）ds=■■f（？孜i，？浊i，？灼i）△si。
2. 引理1：若曲面s可用函数z=z（x，y）表示，且具有连续偏导数，f（x，y，z）在s连续，dxy为s在xoy面上的投影区域，则：
■f（x，y，z）ds=■f（x，y，z（x，y））■dxdy
3. 引理2：若光滑曲面s：x=x（u，v）y=y（u，v）z=z（u，v），（u，v）∈d，则■f（x，y，z）ds=■f（x（u，v），y（u，v），z （u，v））■dudv，
其中，e=x2u+y2u+z2u，g=x2v+y2v+z2v，f=xuxv+yuyv+zuzv
二、主要内容
数学分析学习指导书中有这样一道题：
计算曲面积分■（x2，y2）ds，其中s是球面x2+y2+z2=a2。
解法一：设s1：z=■，x2+y2≤a2；
s2：z=-■，x2+y2≤a2。
由第一类曲面积分公式有
■（y2+z2）ds=■（y2+z2）ds+■（y2+z2）ds
≤2■■dxdy
令x=rcos？兹y=rsin？兹则0≤r≤a0≤？兹≤2？仔，因此，■■dxdy=■rdr■■d？兹=■rdr■■d？兹
=■■（■+■）dr2=■[-■（a2-r2）■-2a2（a2-r2）■]■■=■·■a3=■？仔a4
所以，■（y2+z2）ds=■？仔a4
解法二：设s的参数方程为x=asin？渍cos？兹y=asin？渍sin？兹x=acos？渍，则d：0≤？渍≤？仔，0≤？兹≤2？仔且e=x2？渍+y2？渍+z2？渍=a2cos2？渍cos2？兹+a2cos2？渍
sin2？兹+a2sin2？渍=a2，
g=x2？兹+y2？兹+z2？兹=a2sin2？渍sin2？兹+a2sin2？渍cos2？兹+a2sin2？渍，
f=x？渍x？兹+y？渍y？兹+z？渍z？兹=-a2sin？渍cos？渍sin？兹cos？兹+a2sin？渍cos？渍sin？兹cos？兹=0 所以，
■（y2+z2）ds=■（a2sin2？渍sin2？兹+a2cos2？渍）■d？渍d？兹
=■d？兹■a4（sin2？渍sin2？兹+cos2？渍）sin？渍d？渍=2a4■■d？兹=■？仔a4.
解法三：
因为球面s关于分别平面x=y，平面x=z，平面y=z对称，
所以，■x2ds=■y2ds=■z2ds。
进一步，有
■（y2+z2）ds=■■（x2+y2+z2）ds=■a2■ds
=■a2·4？仔a2=■？仔a4
做完题目后，学生可能会觉得第一、二种解法没有第三种方法简单。
但是，我们利用第一、二种解法的主要目的是让学生熟悉公式，了解到常规方法的重要性，第三种方法是在掌握第一、二种方法的基础上，让学生学会观察、分析，根据所给问题的特征解决问题。
总之，数学分析由于抽象，因此需要学生多做练习，并且要考虑它的不同解法，由此对所学内容加深理解。
在教学实践中，教师可以帮助学生前后联系、经常总结，学生就会对这门课感兴趣，
非常愿意去学习并能学好它。
参考文献：
[1] 陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中.复旦大学数学系. 数学分析[m].高等教育出版社， 2003.
[2] 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏.数学分析学习指导书[m]. 高等教育出版社，2004.
（责编高伟）。