二次根式综合复习讲义

二次根式复习
知识点一：二次根式的概念
二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个
非负数时，
才有意义．
【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。

二次根式的判定 【例1】下列各式1）
22211
,5,3)2,4,5)(),6)1,7)2153
x a a a -+---+ 其中是二次根式的是_________（填序号）．
举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A a
B 10-
C 1a +
D 2
1a
+#
2a 2a b 1x +2
1x +3中是二次根式的个数有______个
二次根式有意义的运用 【例2】3
x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三：
1、使代数式4
3
--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4
22
21x x
-
+-x 的取值范围是
3、如果代数式mn
m 1+
-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
二次根式定义的运用
$
【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=
举一反三：
111x x --2
()x y =+，则x －y 的值为（ ）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值
3、当a 1取值最小，并求出这个最小值。

二次根式的整数部分与小数部分
已知a b 是
1
2
a b +
+的值。

、
若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。

若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1
2+
的值.
知识点二：二次根式的性质
1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．
注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a a a 20=≥．
注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()20 ]
3. a a a a a a 2
00==≥-<⎧⎨
⎩
||()() 注意：（1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()
()与()()a a a 20=≥的区别与联系
（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 二次根式双重非负性的运用
【例4】若()2
240a c --=，则=
+-c b a ．
\
举一反三：
1、若0)1(32
=++-n m ，则m n +的值为 。

2、已知y x ,为实数，且()02312
=-+-y x ，则y x -的值为（ ）
A ．3
B ．– 3
C ．1
D ．– 1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为
＿＿＿＿＿＿.
4、若
1
a b -+()
2005
_____________
a b -=。

公式)0()(2≥=a a a 的运用
【例5】 化简：2
1a -+的结果为（ ）
A 、4—2a
B 、0
C 、2a —4
D 、4
举一反三：
?
1、在实数范围内分解因式:
2
3x
-= ；4244m m -+=
429__________,2__________x x -=-+=
21-
3，则斜边长为
公式⎩
⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2
的应用
【例6】已知2x <,
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
举一反三：
1( )
A ．-3
B ．3或-3
C ．3
D ．9
—
2、已知a<02a │可化简为（ ）
A ．－a
B ．a
C ．－3a
D ．3a
3、若23a ）
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a - 4、若a －3＜0，则化简
a
a a -++-4962的结果是（ ）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a
52
得（ ）
（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -
6、当a ＜l 且a ≠0时，化简a a a a -+-2212＝ ．
7、已知0a <
#
【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │
+的结果等于（ ）
A ．－2b
B ．2b
C ．－2a
D ．2a
举一反三：实数a
在数轴上的位置如图所示：化简：1______a -=．
【例8】
化简1x -2x -5，则x 的取值范围是（ ）
A x 为任意实数
B 1≤x ≤4
C x ≥1
D x ≤1
`
举一反三：
若代数式2，则a 的取值范围是（ ）
A ．4a ≥
B ．2a ≤
C ．24a ≤≤
D ．2a =或4a =
【例9】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ）
A. a=0
B. a=1
C. a=0或a=1
D. a ≤1
举一反三：
1
、如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是（ ）
.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥
2、若03)3(2
=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ） （A ）3>x （B ）3<x （C ）3≥x （D ）3≤x
【例10】化简二次根式2
2
a
a a +-
的结果是 ￥
（A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a
举一反三：
1、把二次根式a a
-1
化简，正确的结果是（ ） A.
-a B. --a
C. -a
D.
a
2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，
x x
b
＝ ；a a --11)
1
(0
o
b
a
＝ 。

知识点三：最简二次根式和同类二次根式
1、最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．
2、同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

`
【例11】在根式1)
222;2)
;3);4)275
x
a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)
举一反三：
1、)b a (17,54,b 40,2
1
2,30,a 45222+中的最简二次根式是 。

2、下列根式中，不是．．
最简二次根式的是（ ） A ．7
B ．3
C ．12
D ．2
3、下列根式不是最简二次根式的是( )
21a + 21x + 2b
0.1y 4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是为什么
(1)b a 23 (2)23ab
(3)22y x + (4)
)(b a b a >- (5)5 (6)xy 8 。

5、把下列各式化为最简二次根式：
(1)12 (2)
b a 245 (3)x y
x 2
【例12】下列根式中能与3是合并的是( )
A.8
B.
27 5 D.
2
1 举一反三：
1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ） A 318和 B 1
33
和
C 22a b ab 和
D 11a a +-和
2、在二次根式：①12；② 32；③
3
2
；④27中，能与3合并的二次根式是 。

3、如果最简二次根式83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则
a=__________.
知识点四：二次根式计算——分母有理化
—
1．分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：a =来确定，b a -与
b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a +a ，
3．分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式；
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【例13】 把下列各式分母有理化
（1
（2 （3 （4）-。

【例14】把下列各式分母有理化
（1
（2 （3） （4）
【例15】把下列各式分母有理化：
（1
（2 （3
；
举一反三：
1、已知x =
，y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）22
3x xy y -+
2、把下列各式分母有理化：
（1）()a b a b a b -≠+ （2）
22
22a a a a +--++- （3）2222
b a b b a b
-+++
)
小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：
①与
； ②
与
；
③
与
； ④
与
．
知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

a ·
b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0）
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方
根 …
a b =a b
（a ≥0，b>0） 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

a b
=a b （a ≥0，b>0）
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的
左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
【例16】化简
(1)916⨯ (2)1681⨯ (3) 1525⋅
(4)2
2
9x y (0,0≥≥y x ) (5)
1
2
×632⨯
【例17】计算（1）
（2） （3） （4）
、
（5） （6） （7） （8）
【例18】化简：
364 2
2
649b a )0,0(≥>b a
2964x y )
0,0(>≥y x 25169x
y )0,0(>≥y x
【例19】计算：123
3128 11416 （4648）
【例20】2
2x x
x x =
--x 的取值范围是（ ） A 、2x > B 、0x ≥ C 、02x ≤≤ D 、无解
知识点六：二次根式计算——二次根式的加减
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数． 【例20】计算 {
（1）1132750.5227- （2）12
543102024553457⎛- ⎝；
（3）1111327538532（4）113326327284814723247+
]
【例21】 （1）
（2a b +
-
（33a （4）2⎛-- ⎝
$
（55-+ （6++
知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值
1、确定运算顺序；
2、灵活运用运算定律；
3、正确使用乘法公式；
4、大多数分母有理化要及时；
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；
$
【例22】 1、
a
b
b a ab b 3)23(235÷-⋅ 2、 22 (212 +4
1
8 －348 )
3、
13
（）÷16 4、673)3
2272(-⋅++
5、62332)(62332(+--+）
6、)54)(54()523(2
-+-+
】
7、11
10)562()562(+- 8、)0()122510(9312>--m m
m m m
m m
二次根式综合运用
1．已知：
，求的值．
2．已知，求的值。

3．已知：
，求的值．
/
4．求
的值．
5．已知、是实数，且，求的值．
知识点八：根式比较大小
1、根式变形法 当0,0a b >>时，①如果a b >，则a b >；②如果a b <，则
a b <
2、平方法 当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22
a b <，则a b <。

3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

!
5、倒数法
6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

7、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔< 8、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①1a
a b
b >⇔>； ②1a
a b
b
<⇔<
【例24】 比较的大小。

【例25】
的大小。

【例26】
、
【例27】 【例28】33的大小。

二次根式练习
二次根式：
1. 1
1
m +有意义，则m 的取值范围是 。

2. 当__________x 是二次根式。

\
3. 2x =-，则x 的取值范围是 。

4. 当15x ≤5_____________x -=。

5. 把的根号外的因式移到根号内等于 。

6. 下列各式一定是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
7. 若A =
=（ ）
A. 24a +
B. 22a +
C. ()2
22a + D. ()2
24a +
8. 若1a ≤ ）
A. (1a -
B. (1a -
C. (1a -
D. (1a -
<
9.
=
x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥ 10. 去掉下列各根式内的分母：
())10x ())21x
11. 已知2310x x -+= :
12. 已知,a b (10b -=，求20052006a b -的值。

二次根式的乘除
1. _____,______m n ==。

2. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. 4 D.
3. 已知0xy ，化简二次根式的正确结果为（ ）
A. B. C. D. 、
4. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ）
A. 2
a b =+ B. a b =+
C.
22a b =+ D.
a b =+
5. ）
A. 它是一个非负数
B. 它是一个无理数
C. 它是最简二次根式
D. 它的最小值为3 6. 计算：
()
1 ()2
；
()(()
30,0a b -≥≥ ())40,0a
b
()5 ()6⎛÷ ⎝
~
7. 化简：
())10,0a b ≥≥ ()2
()3a -
8. 把根号外的因式移到根号内： }
()1.- ()(2.1x -
二次根式的加减
1. 下面说法正确的是（ ）
A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式
B.
C.
…
D. 同类二次根式是根指数为2的根式
2. 若12x ） A. 21x - B. 21x -+ C. 3 D. -3
3. 10=，则x 的值等于（ ） A. 4 B. 2± C. 2 D. 4±
4. 的整数部分为x ，小数部分为y y -的值是（ ）
A. 3
B.
C. 1
D. 3
5. 已知x y ==33_________x y xy +=。

6.
)(
)
2000
2001
2
32
______________-+=。

7. 计算： 【
⑴.
⑵. (231⎛
+ ⎝
⑶. (()
2
771+-- ⑷. ((((2
2
2
2
1111+
·
8. 计算及化简：
⑴. 22
- ⑵.
⑶. ⑷.
-
9. 已知：
x y ==3243223
2x xy x y x y x y -++的值。

10.
已知：11a a +=+221
a a
+的值。

11. 已知：,x y
为实数，且13y x -+
，化简：3y --
12. 已知1
1
039
32
2++=+-+-y x x x y x ，求
的值。