变分法

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在无穷多组的容许位移中找到这一组， 就必须求解微分方程的边值问题，很可惜， 只有在简单的情况下，才能得到解析解。多 数情况下，只能采用数值计算的方法。
变分法为数值计算提供了理论基础。 其中最小势能原理指出：在无穷多组的容 许位移中，使弹性体总势能为最小的一组 位移，就是我们要找的位移，根据它们求 得的应力还满足应力边界条件和平衡微分 方程。 变分方法从能量角度分析，提供了解 决问题的另一种思路，为数值计算奠定了 理论基础。
2 2 2 2
u v w u v w E U 外力势能的变分为 2(1 ) 1 2 x y z x y z 2 2 )d xd yd z 2 B Zw δ C δV ( Xu δ A Yv δ m m m m m m 1 m w v 1 u w 1 v u d xd yd z 2 y z 2 z x 2 x y ( X u mδ Am Y vmδ Bm Z wmδ Cm )d S
9
下面我们证明实际存在的一组使总势能为 最小的位移,根据他们求得的应力满足平衡方 程和应力边界条件。 现在假设位移发生了位移边界条件所 容许的微小位移（虚位移）δu，δv，δw， 应变的变分可记为：
u δ x δ δ u x x w v δ yz δ w δv y z y δ z
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F
F
外力势能随位移成直线下降，弹性体势 能成抛物线上升，总势能为
1 2 U V Cu Fu 2
开始，总势能呈下降趋势，到达某一 位置，总势能为最小，过了这一点， 弹性体的势能的增加超过了外力势能 的减少，总势能又开始增加。在总势 能最小点，弹性体在该外力作用下达 到平衡。这时的位移是真实的位移。
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最小势能原理的简单例子
例如在两端固定的柔索，可以有各种形状，但 只有一种是真实的，这一种使得柔索的总势能为最 小。 再以最简单的轴向受压的杆件为例， 总势能包括外力势能和弹性体的变形势 能，这两个势能都以杆件顶部的位移为 参数，随位移增大，弹性体的应变能增 大，而外力势能减小，其变化曲线如图 所示： 1 2 U Cu 2 V Fu 其中C为杆的刚度。
V
v ( ij ) d V f i ui d V pi ui d S
V s
应变能
体力势
面力势
2
表明： 在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能 的一阶变分为零。 等价于总势能V+U取驻值 —极值势能原理
2 平衡状态 1）稳定平衡状态������ δ （U+V） >0势能取极小值 2）不稳定平衡状态������δ2 （U+V） <0势能取极大值 3）随宜平衡状态 δ2 （U+V） =0不定
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一里滋法
§10-3 位移变分法
先设定满足位移边界条件的位移分量的表达式， 其中包含若干个待定的系数，再根据极小势能原理， 决定这些系数。取位移分量的表达式如下：
u u0 Amum v v0 Bm vm w w0 Cm wm
m m m
其中u0,v0,w0 为设定的函数，它们的边界值等于边界 上的已知位移； u0 s u , v0 s v , w0 s w um 、vm、wm 为边界值等于零的设定函数，Am、Bm、 Cm为待定的系数，位移的变分由它们的变分来实现。
该式的意义是：在给定的外 力作用下，在满足位移边界条件 的各组位移中，实际存在的一组 位移应使总势能为最小。如果考 虑二阶变分，进一步的分析证明， 对于稳定平衡状态，这个极值是 极小值。因此，该式又称为极小 势能原理。 外力势
V f i ui d V pi ui d S
V s
U V
Chapter 10.6
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Ritz 方法
根据结构、载荷和边界条件，选 取尽可能合适的位移试验函数 写出弹性系统的总势能表达式 对总势能进行变分，得到关于待 定系数的线性方程组 求解上述线性方程组
ui ui0 ainuin
S u : ui0 ui uin 0
ain
1、位移边界条件������ 2、位移变分方程
因而，有：位移变分方程 可互相导出
（最小势能原理）
1、平衡方程 2、应力边界条件
4
显然，实际存在的位移，除了满足位移边界条件以外， 还应当满足位移表示的平衡方程和应力边界条件；
现在又看到，实际存在的位移，除了满足位移边界条件 外，还满足位移变分方程。
而且，通过运算，还可以从位移变分方程导出用位移表示的 平衡微分方程和应力边界条件。 于是可见：位移变分方程可以代替平衡微分方程和应力边 界条件。
m
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代入
(U V ) 0
U U U ( A δAm B δBm C δCm ) m m m
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使用最小势能原理的解题方法： 直接法：假设容许位移函数，用最小势能原理求其中的 待求参数。如果假设的位移函数不完备，则解是近似的， 相当于多加了位移约束，结构偏刚硬，近似解小于真实 位移。
欧拉法：用最小势能原理推导出等效的平衡方程和力边界
条件，求解微分方程的边值问题。
Chapter 10.4
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位移分量的变分是 δu um δAm
δv vm δ Bm
m m
u u0 Amum v v0 Bm vm w w0 Cm wm
m m m
应变能的变分为
δ U (
δw wm δCm
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U U U δ Am δ Bm δ Cm ) Am Bm Cm
y x
( P cos Q cos R cos )ds
s
P Q R ( )dxdydz v x y z
9
总势能为
δ(U V ) [(l x m xy n zx px )δu (l xy m y n yz p y )δv x yx zx (l zx m zy n y pz )δw]d S Fb x δu y z x y xyx zy z xz yz Fb y δv Fb z δw d x d y d z z x x y y z
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最小势能原理的直接解法
总势能 是三个位移分量 ui 的泛函：
ui U ij fi ui d V pi ui d S
V S
在位移边界上自变函数 ui 应满足约束条件：
ui ui
on Su
Chapter 10.6
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最小势能原理的直接解法
里茨 (Ritz)法 迦辽金 (Galerkin)法
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最小势能原理的意义 弹性体在外力的作用下， 发生位移，产生变形。位移 可以是各种各样的，但必须 满足位移的边界条件。满足 位移边界条件的位移称为容 许位移，容许位移也有无穷 多组，其中只有一组是真实 的，真实位移除了满足位移 边界条件外，根据它们求得 的应力还应满足应力边界条 件和平衡微分方程。
三
极小势能原理（位移变分方程的一个应用） 由于虚位移是微小的，因此在虚位移的过程中， 外力的大小和方向可以当做保持不变，只是作用点有 了改变。利用变分的性质，位移变分方程可改写为：
U Xu Yv Zwdxdydz X u Y v Z w dS 0
x yx zx (l zx m zy n y )δw]d S δu y z x y xyx zy z xz yz δv δw d x d y d z z x x y y z
6
x, x yz , yz
y, y zx , zx
z z xy , xy
1 有 U x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz 2 U δ x ... δ yz ... d x d y d z yz x



设外力势能为 则
V Xu Yv Zwdxdydz X u Y v Z w dS


U V 0
弹性系统的势能 总势能定义为：弹性体的应变能和载荷系统的外力势之
和 ，即
U V U V 0
8
U V 0
ui 0
0 ain
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迦辽金法 (Galerkin)
基本思路： 寻找一组（n个）满足所有边界条件的容许函数。用这 些容许函数的组合构造一个试函数 。
用微分方程的加权余量格式得到近似解，不需要泛函。
弹性力学问题的基本微分方程存在对应的泛函，故可 以从能量的极值原理推导出Galerkin法的基本方程。
虚位移δu，δv，δw，各自独立,而且是完全任 意的,因此上列积分式中括号内的系数均等于零, 这样我们就得到
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及
px= l1σx+l2τyx +l3τzx py= l1τxy+l2σy+l3τzy
pz= l1τxz +l2τyz+l3σz
或 Pi = σij lj 而这正是平衡方程和边界条件,这样我们从 虚位移原理或最小势能原理的变分方程,就包含 了平衡方程和边界条件.如果我们给出的位移是 坐标的连续函数(自然满足形变连续方程)满足弹 性体的几何约束,并且也满足最小势能原理或虚 位移原理,则求得的应力也满足平衡方程和边界 条件,也就是说他们是弹性问题的解.
x δu ... yz δw δ v ... d x d y d z z y x
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其中第一项根据分步积分 ,并用奥高公式
其他类似可得
x x ( x δu ) d x d y d z δu d x d y d z x x x l x δu d S δu d x d y d z x
最小势能原理������ ������ 在给定的外力作用下，满 足位移边界条件的各组位移中， 实际存在的位移，应使系统的总 势能成为驻值。当系统处于稳定 衡时，总势能取极小值，通常也 为最小值。
3
实际存在的 1）位移边界条件������ 位移应满足 2）平衡方程（位移形式）������ ������ 3）应力边界条件。
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x
δu d x d y d z
δU [(l x m xy n zx )δu (l xy m y n yz )δv
奥高公式:
曲面积分与三重积分的关系
z
V
n
s
曲面S所围的区域为V， S的外法线方向余弦为
cos
则有：
cos m
cos n