常微分方程答案习题word
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？A. 未知函数是连续的B. 未知函数是可微的C. 未知函数的导数是未知的D. 方程中包含未知函数的导数答案：A2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？A. 唯一性B. 存在性C. 可微性D. 可积性答案：D3. 一阶线性微分方程的一般形式是：A. \( y' + p(x)y = q(x) \)B. \( y' = p(x)y + q(x) \)C. \( y' - p(x)y = q(x) \)D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)答案：A4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是：A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)B. \( y = C_1e^x + C_2 \)C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。
《常微分方程》题库及答案
《常微分方程》题库及答案一．求解下列方程1．求方程0sin cos =+x y dxdyx之通解; 2．求方程xx y ax dy cos 1tan =+之通解； 3．解初值问题2(1)20(0)1dy x xy dx y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩； 4．求方程()lndy x yxy x y dx x+-=+ 之通解； 5．求方程 yx xy y dx dy 321++= 的通解； 6. 求方程 0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x 的通解； 7．求由以xxx x cos ,sin 为基本解组的线性齐次方程； 8．求方程 2)(22x dx dy xdx dy y +-=的通解及奇解； 9．求方程⎰+=+xx y x dt dtt dy 02)(2))((1 的通解； 10. 求方程 0)sin ()2sin (22=-++dy y xy dx x y x 的通解； 11．求由以 x x x ln , 为基本解组的线性齐次方程； 12．求方程 2222)(12dxdy y y dx y d += 的通解. 13.求方程y y dxdyln =之通解。
14.求方程xy dxdyy x 2)(22=+之通解。
15.求方程0)(222=-+dy y x xydx 之通解。
16. 求方程y x e dxdy-=之通解。
17. 求方程0)2(=+---dy xe y dx e yy 之通解。
18. 求方程x x y y sec tan '=+之通解。
二．1．解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧-==y x e axdyy 20)1(2.求如下微分方程组之通解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=--=z x dtdz z y x dtdyz y x dt dx2. 3.求出初值问题的逐次近似解21,0y y y ：2(0)0dyx y dxy =+=⎧⎪⎨⎪⎩. 4. 求出微分方程0).().(=+dy y x N dx y x M 有形如)(22y x +=ϕυ的积分因子的充要条件。
《常微分方程》答案_习题4.2
习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。
常微分方程课后习题答案.doc
习题2.1 1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+cy=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2ydy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dxdy =yx xy y321++解：原方程为：dx dy =yy 21+31xx +yy 21+dy=31xx +dx两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：yy -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dxdy =-yx y x +-令xy =u 则dx dy =u+x dxdu 代入有：-112++uu du=x1dxln(u 2+1)x=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy .6. xdxdy -y+22y x -=0解：原方程为：dx dy =xy +x x ||-2)(1xy -则令xy =u dxdy =u+ xdxdu211u- du=sgnx x1dxarcsinxy =sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgydy =ctgxdx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=xc cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c. 8dxdy +yexy 32+=0解：原方程为：dxdy =yey2e x 32 ex3-3e2y-=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =xy lnx y令xy =u ,则dxdy =u+ xdxduu+ xdxdu =ulnuln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy =cy.10.dxdy =e y x -解：原方程为：dxdy =e x e y -e y =ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dxdy =dxdu -1dxdu -1=u 2211u+du=dxarctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dxdy =2)(1y x +解：令x+y=u,则dxdy =dxdu -1dxdu -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dxdy =1212+-+-y x y x解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c14: dxdy =25--+-y x y x解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+解：原方程为：dx dy=（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dxdy=41dxdu -4141dx du -41=u 2+3dxdu =4 u 2+13u=23tg(6x+c)-1tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dxdy =2222x -2 y x 2y+证明： 令xy=u,则x dxdy +y=dxdu则dxdy =x 1dxdu -2xu ，有：u x dxdu =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
(完整版)常微分方程习题及解答
常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。
常微分方程，自变量的个数只有一个。
偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。
常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。
2．举例阐述常数变易法的基本思想。
答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。
例：求()()dyP x y Q x dx=+的通解。
首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ⎰=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ⎰=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx⎰⎰=+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dx c x P x Q x ⎰⎰+⎰=+l l l即()()()P x dx dc x Q x dx-⎰=l 积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c -⎰=+⎰%l 进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -⎰⎰=+⎰%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t xa t x a t x f t x t x t x t ηηη---'⎧++++=⎪⎨'===⎪⎩ 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,n ηηη是已知常数。
常微分方程(第三版)课后答案解析
常微分方程 2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分方程_习题集(含答案)
《常微分方程》课程习题集一、单选题1. 设函数(,),(,)M x y N x y 连续可微, 则方程(,)(,)0M x y dx N x y dy += 是全微分方程的充分必要条件是 . (A) M N y x ∂∂=∂∂， (B) ,M N x y ∂∂=∂∂ (C) ,M N y x ∂∂≠∂∂ (D) .M N x y ∂∂≠∂∂2. 下面的方程是全微分方程的是 . (A) 0ydx xdy x y-=+， (B) 220y dx x dy +=， (C) 220xy dx x ydy -=， (D)220ydx xdy x y -=-. 3. 设一阶方程2()()(),(()()0)dy p x y q x y r x p x r x dx=++≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
4. 设一阶方程()(),(0,1)n dy p x y q x y n dx=+≠，则它是 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
5. 形如'(')y xy y ϕ=+的一阶隐式方程称为 。
（A ）线性非齐次方程； （B ）伯努利方程；（C ）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。
6. 二阶微分方程2100x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos3sin 3]t x e C t C t -=+,（B ）312[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,(D) 312[cos3sin 3]t x e C t C t -=+.7. 二阶微分方程250x x x '''++=的通解是 。
（A ）12[cos sin ]t x e C t C t -=+,（B ）212[cos sin ]t x e C t C t -=+,（C ）12[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+,(D) 212[cos 2sin 2]t x e C t C t -=+.8. 二阶微分方程440x x x '''-+=的通解是 。
常微分方程自学练习题22页word
常微分方程自学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5 方程21y dxdy-=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________. 8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________. 9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________. 11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ). 12 求解方程y x dxdy/-=的解是( ). 13已知(0)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________.14 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ).15方程0652=+-⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy dx dy 的通解是( ).16方程534y x y dx dy =++⎪⎭⎫⎝⎛的阶数为_______________.17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y Λ在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________.18若P(X)是方程组Y =)(x A dxdy的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件u(0,t)=g 1(t), ；第二类边界条件)(),0(t u t xu =∂∂， ；第三类边界条件F )(),0(),0(0t u t u t x u k =-∂∂，T )(),(),(1t v t L u t L xuk =-∂∂，其中k 0,k 1,T 都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。
常微分方程习题及答案.[1](可编辑修改word版)
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一、是非题第十二章 常微分方程(A)1. 任意微分方程都有通解。
()2. 微分方程的通解中包含了它所有的解。
()3. 函数 y = 3sin x - 4 cos x 是微分方程 y ' + y = 0 的解。
()4. 函数 y = x 2 ⋅ e x 是微分方程 y ' - 2 y ' + y = 0 的解。
()5. 微分方程 xy ' - ln x = 0 的通解是()y =1(ln x )2+ C 2( C 为任意常数)。
6. y ' = sin y 是一阶线性微分方程。
()7. y ' = x 3 y 3 + xy 不是一阶线性微分方程。
()8． y ' - 2 y ' + 5 y = 0 的特征方程为r 2 - 2r + 5 = 0 。
( ) 9． dy= 1 + x + y 2 + xy 2 是可分离变量的微分方程。
()dx二、填空题1. 在横线上填上方程的名称① (y - 3)⋅ ln xdx - xdy = 0 是 。
② (xy 2 + x )dx + (y - x 2 y )dy = 0 是 。
③ x dy = y ⋅ l n y 是。
dx x ④ xy ' = y + x 2 sin x 是。
⑤ y ' + y ' - 2 y = 0 是。
2. y ' + sin xy ' - x = cos x 的通解中应含个独立常数。
3. y ' = e -2x 的通解是。
4. y ' = sin 2x - cos x 的通解是。
5. xy ' + 2x 2 y '2 + x 3 y = x 4 + 1是阶微分方程。
6. 微分方程 y ⋅ y ' - (y ')6= 0 是阶微分方程。
51 2 1 2 7. y = 1所满足的微分方程是。
《常微分方程》习题解答
《常微分方程》习题解答习题1.21求下列可分离变量微分方程的通解：(1)ydy某d某解：积分，得(2) 1212y某c1即某2y2c22dyylnyd某解：y0,y1为特解，当y0,y1时，dyd某，ylny积分，得lnlny某c1,(3)lnyec1e某ce某c0，即yece某dye某yd某y某解：变形得eydye某d某积分，得eec(4)tanyd某cot某dy0解：变形得dytanycoyin某dyd某.，y0为特解，当y0时，d某cot某inyco某积分，得lninylnco某c1,即inyco某e1c,clninyco某c1,c02．求下列方程满足给定初值条件的解：(1)dyy(y1),y(0)1d某解：y0,y1为特解，当y0,y1时，(11)dyd某，y1y积分，得lny1某c1,yy1ec1e某ce某,c0y将y(0)1代入，得c0，即y1为所求的解。
(2)(某1)y2某y0,y(0)122dy2某y22,解：d某某1积分，得y0为特解，当y0时，dy2某d某，22y某11ln某21cy1ln某112将y(0)1代入，得c1，即y为所求的解。
2(3)y33y,y(2)0解：y0为特解，当y0时，dy3y23d某，积分，得y某c,13y(某c)3将y(2)0代入，得c2，即y(某2)3和y0均为所求的解。
(4)(y2某y2)d某(某2y某2)dy0,y(1)1解：某0,y0为特解，当某0,y0时，1某1yd某dy0，22某y某c1某y某yeece,c0y111111积分，得ln某lnyc1,某y某22某y将y(1)1代入，得ce，即ee为所求的解。
y11224．求解方程某1yd某y1某dy0解：某1(1y1),y1(1某1)为特解，当某1,y1时，某1某2d某y1y2dy0积分，得1某21y2c(c0)6．求一曲线，使其具有以下性质：曲线上各点处的切线与切点到原点的向径及某轴可围成一个等腰三角形(以某轴为底)，且通过点(1,2).解：设所求曲线为yy(某)对其上任一点(某,y)的切线方程：Yyy'(某某)于某轴上的截距为a某yy'由题意建立方程：某y某某0y'即y'y,某y(1)2再由2ec得c=ln2,得所求曲线为求得方程的通解为某yec,为某y2c07．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比（1）如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？（2）如果在3小时时的细菌数为得10个，在5小时时的细菌数为得410个，那么在开始时有多少个细菌？解：设t时刻的细菌数为q(t),由题意建立微分方程kt44dqkqdtk0求解方程得qce再设t=0时，细菌数为q0,求得方程的解为qq0ekt （1）由q(4)2q0即q0e4k2q0得kln24q(12)q0e12kq0e12ln248q0（2）由条件q(3)q0e3k104,q(5)q0e5k4104ln423ln4比较两式得k，再由q(3)q0e3kq0e28q0104得q01.25103习题1.31解下列方程：(2)(y2某y)d某某dy0解：方程改写为22dyyy2()()2d某某某ydu11d某2uu2整理为()du令u，有u某d某uu1某某积分，得ln(u0,1)ulnc1某u1即uc1某c1某1代回变量，得通解某(y某)cy,(4)某yy某tany0也是方程的解y某dyyytan解：方程改写为d某某某yduinud某tanu令u，有某即cotudu(inu0)某d某cou某积分，得inuc某代回变量，得通解iny某c某(5)某yy(某y)ln某y某解：方程改写为dyd某y某(1y某)ln某y某令uydu某，有某d某(1u)ln(1u)当u0,u1时dud某(1u)ln(1u)某积分，得ln(1u)c某代回变量，得通解ln(1y某)c某(6)某y某2y2y 解：方程改写为dyd某1(y某)2y某令uydu某，有某d某1u2分离变量du1u2d某某积分，得arcinulnc某代回变量，得通解arciny某lnc某,y某也是方程的解2解下列方程：(1)(2某4y6)d某(某y3)dy0解：方程改写为dyd某4y2某6某y3令24030，解得1,2(1u1)作变换某1,y2有d42d再令udu4u2上方程可化为ud1uu1ddu(u1)(u2)u22)cu1整理为(u1,2)积分，得(u2)(代回变量，得通解(y2某)3c(y某1)2,(2)(2某y1)d 某(4某2y3)dy0y某1也是方程的解解：方程改写为dy2某y1d某4某2y3du5u52u3du5d某(u1)分离变量d某2u3u1令u2某y，有积分，得2ulnu15某c1代回变量，得通解2某y1ce2y某(4)y2(y22)某y1vy2则原方程变为解：令u某1,dvv22()duuvvdzz22()再令z，则方程化为zuudu1z(1z)2du分离变量dz(z0)uz(1z2)积分，得lnzu2arctanzlnc代回变量，得通解y2ce3解方程(2某3y7)某d某(3某2y8)ydy022222arctany2某12ydy2某23y27dy22某23y27解：方程改写为即222222某d某3某2y8d 某3某2y8。
(完整版)常微分方程练习试卷及答案
常微分方程练习试卷一、填空题。
1.方程 x 3 d2x 10 是阶（线性、非线性）微分方程 .dt 22. 方程 x dyf (xy ) 经变换 _______ ，能够化为变量分别方程.y dx3.微分方程 d 3 y y 2x 0 知足条件 y(0) 1, y (0)2 的解有个 .dx 34. 设 常 系 数 方程 yy*2 xxx，则此方程的系数ye x 的 一个 特解 y ( x) eexe，， .5. 朗斯基队列式 W (t )0是函数组 x 1(t), x 2 (t),L , x n (t ) 在 a x b 上线性有关的条件 .6. 方程 xydx (2 x 2 3y 2 20) dy 0 的只与 y 有关的积分因子为.7. 已知 X A(t) X 的基解矩阵为 (t ) 的，则 A(t ).8. 方程组 x '2 0．0 x 的基解矩阵为59. 可用变换 将伯努利方程化为线性方程 .10 . 是知足方程 y2 y 5y y 1 和初始条件的独一解 .11. 方程的待定特解可取的形式 :12. 三阶常系数齐线性方程 y 2 y y 0 的特点根是二、计算题1. 求平面上过原点的曲线方程 , 该曲线上任一点处的切线与切点和点 (1,0) 的连线互相垂直 .dy x y 1 2．求解方程.dxx y 3d 2 x dx 2。
3. 求解方程 x2( )dt dt4．用比较系数法解方程 . .5．求方程y y sin x 的通解.6．考证微分方程(cos x sin x xy 2 )dx y(1 x2 )dy0 是适合方程，并求出它的通解.311A X 的一个基解基解矩阵(t) ，求dXA X7．设 A，，试求方程组dX241dt dt 知足初始条件x(0)的解 .8.求方程dy2x13y2经过点 (1,0)的第二次近似解 . dx9.求dy)34xy dy8y20 的通解(dxdx10. 若A 21试求方程组 x Ax 的解(t ),(0)141,并求expAt2三、证明题1.若(t), (t ) 是 X A(t) X 的基解矩阵，求证：存在一个非奇怪的常数矩阵 C ，使得(t)(t )C .2.设 ( x) (x0 , x) 是积分方程y(x)y0x2 y( )]d ,x0 , x [ , ] [x0的皮卡逐渐迫近函数序列 {n (x)} 在 [,] 上一致收敛所得的解，而(x) 是这积分方程在 [ ,] 上的连续解，试用逐渐迫近法证明：在[,] 上( x)( x) .3. 设都是区间上的连续函数 ,且是二阶线性方程的一个基本解组 . 试证明 :(i)和都只好有简单零点(即函数值与导函数值不可以在一点同时为零);(ii)和没有共同的零点;(iii)和没有共同的零点.4. 试证：假如(t ) 是dXAX 知足初始条件(t0 )的解，那么(t) exp A(t t 0 ) dt.答案一 . 填空题。
常微分方程课后习题答案.doc
习题 3.4(一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）：1、422⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy x dx dyx y解：令p dxdy =，则422p x xp y +=，两边对x 求导，得dxdp px xpdxdp xp p 3244222+++=()02213=⎪⎭⎫⎝⎛++p dx dpxxp 从0213=+xp 得 0≠p 时，2343,21py px -=-=；从02=+p dxdp x得 222,c pc y pc x +==，0≠p 为参数，0≠c 为任意常数.经检验得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==222c p c y p c x ，（0≠p ）是方程奇解.2、2⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy y x解：令p dxdy =，则2p x y +=，两边对x 求导，得dxdp p p 21+=pp dxdp 21-=，解之得 ()c p p x +-+=21ln 2，所以()c p p p y +-++=221ln 2，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解. 3、21⎪⎭⎫ ⎝⎛++=dx dy dxdy xy解：这是克莱洛方程，因此它的通解为21c cx y ++=，从⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=01122c cx c cx y 中消去c, 得到奇解21x y -=.4、02=-+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy x dx dy 解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 2c cx y +=，从⎩⎨⎧=++=022c x c cx y 中消去c, 得到奇解 042=+y y . 5、022=-+⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy xdx dy 解：令p dxdy =，则22p xp y +=，两边对x 求导，得 dxdp pdxdp xp p 222++=22--=x pdpdx ，解之得 232-+-=cpp x ，所以 1231-+-=cpp y ，可知此方程没有奇解. 6、0123=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy y dx dy x解：原方21⎪⎭⎫⎝⎛-=dx dy dxdy xy ，这是克莱罗方程，因此其通解为21ccx y -=，从⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-02132c x c cx y 中消去c ，得奇解042732=+y x .7、21⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy dx dy x y解：令p dxdy =，则()21p p x y =+=，两边对x 求导，得 22+-=-p ce x p ， 所以 ()212+-+=-p e p c y p ， 可知此方程没有奇解. 8、()022=--⎪⎭⎫ ⎝⎛a x dx dy x解：()xa x dx dy 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛xa x dxdy -±=dx x a x dy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-±= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±=2123232axx y ()()22349a x x c y -=+可知此方程没有奇解. 9、3312⎪⎭⎫⎝⎛-+=dx dy dx dyx y解：令p dxdy =，则3312p p x y -+=， 两边对x 求导，得 dxdp pdxdp p 22-+=212pp dxdp --=解之得 ()c p p x +--+-=2ln 3222，所以 c p p p p y +------=2ln 6433123， 且 322-=x y 也是方程的解，但不是方程的奇解.10、()012=-++⎪⎭⎫⎝⎛y dx dy x dx dy 解：2⎪⎭⎫⎝⎛++=dx dy dx dydx dyx y这是克莱罗方程，因此方程的通解为2c c cx y ++=， 从⎩⎨⎧++++=cx c c cx y 212中消去c, 得方程的奇解()0412=++y x .（二）求下列曲线族的包络. 1、2c cx y +=解:对c 求导，得 x+2c=0, 2x c -=, 代入原方程得，442222xxxy -=+-=，经检验得，42xy -=是原方程的包络.2、0122=-+cx y c解：对c 求导，得 yxc x yc 2,0222-==+，代入原方程得0124424=--yxy yx，即044=+y x ，经检验得044=+y x 是原方程的包络. 3、()()422=-+-c y c x解：对c 求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0, 2y x c +=,代入原方程得()82=-y x .经检验,得 ()82=-y x 是原方程的包络.4、()c y c x 422=+-解：对c 求导，得 -2(x-c)=4, c=x+2,代入原方程得()2442+=+x y ，()142+=x y , 经检验，得()142+=x y 是原方程的包络.(三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.解：设所求曲线方程为y=y(x),以X 、Y 表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为()()()()x X x y x y Y -'=-，它与X 轴、Y 轴的截距分别为y y x X '-=，y x y Y '-=，按条件有 a y x y y y x ='-+'-，化简得y y a y x y '-'-'=1，这是克莱洛方程，它的通解为一族直线cac cx y --=1，它的包络是()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----=--=21101c acc a x c ac cx y ，消去c 后得我们所求的曲线()24a y x ax +-=.(四) 试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，从()()⎩⎨⎧'+=+=c f x c f cx y 0 中消去p 后而得的曲线；c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程()()⎩⎨⎧'+=+=c f x c f cx y 0中消去c 而得的曲线， 显然它们的结果是一致的，是一单因式，因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解. 习题4.11. 设()t x 和()t y 是区间b t a ≤≤上的连续函数，证明：如果在区间b t a ≤≤上有()()≠t y t x 常数或()()t x t y 常数，则()t x 和()t y 在区间b t a ≤≤上线形无关。
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习题 3.4
(一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）：
1、4
22⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=dx dy x dx dy x y
解：令
p dx
dy
=，则422p x xp y +=， 两边对x 求导，得dx
dp
p x xp dx dp x
p p 3
244222+++= ()02213=⎪⎭⎫
⎝
⎛++p dx dp x xp 从0213=+xp 得 0≠p 时，2
343
,21p y p x -=-
=；
从02=+p dx
dp
x
得 222,c p c y p c x +==， 0≠p 为参数，0≠c 为任意常数.
经检验得331234x p y p ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩
，是方程奇解.
2、2
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=dx dy y x
解：令
p dx
dy
=，则2p x y +=， 两边对x 求导，得dx
dp p
p 21+=
p
p dx dp 21-=， 解之得 ()c p p x +-+=21ln 2， 所以()c p p p y +-++=221ln 2，
且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.
3、2
1⎪
⎭
⎫
⎝⎛++=dx dy dx dy x y
解：这是克莱洛方程，因此它的通解为21c cx y ++=，
从⎪⎩
⎪⎨⎧=+-++=0112
2
c c
x c cx y 中消去c,
得到奇解21x y -=.
4、02
=-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛y dx dy
x dx dy
解：这是克莱洛方程，因此它的通解为 2c cx y +=，
从⎩⎨⎧=++=0
22
c x c cx y 中消去c,
得到奇解 2
40y x +=.
5、022
=-+⎪⎭
⎫ ⎝⎛y dx dy x dx dy
解：令
p dx
dy
=，则22p xp y +=， 两边对x 求导，得 dx
dp p dx dp x p p 222++=
22
--=x p
dp dx ， 解之得 23
2
-+-=cp p x ， 所以 123
1
-+-=cp p y ， 可知此方程没有奇解.
6、012
3
=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy y dx dy x
解：原方程可化为2
1⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
=dx dy dx
dy x y ，
这是克莱罗方程，因此其通解为2
1c cx y -
=，
从⎪⎩
⎪⎨⎧
=+-=-02132c x c cx y 中消去c ，得奇解04273
2=+y x .
7、2
1⎪
⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy dx dy x y
解：令
p dx
dy
=，则()21p p x y =+=， 两边对x 求导，得 22+-=-p ce x p ， 所以 ()212+-+=-p e p c y p ， 可知此方程没有奇解.
8、()02
2
=--⎪⎭
⎫ ⎝⎛a x dx dy x
解：()x a x dx dy 2
2
-=
⎪⎭
⎫
⎝⎛
x
a
x dx dy -±=
dx x a x dy ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-±= ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-±=21
23232ax x y ()()
2
2
349a x x c y -=+
可知此方程没有奇解.
9、3
312⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+=dx dy dx dy x y
解：令
p dx dy =，则33
1
2p p x y -+=， 两边对x 求导，得 dx
dp
p dx dp p 2
2-+=
2
12
p p dx dp --=
解之得 ()c p p x +--+-
=2ln 32
22
，
所以 c p p p p y +------=2ln 6433123，
且 3
2
2-=x y 也是方程的解，但不是方程的奇解.
10、()012
=-++⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy
x dx dy
解：2
⎪
⎭
⎫
⎝⎛++=dx dy dx dy dx dy x y
这是克莱罗方程，因此方程的通解为2c c cx y ++=，
从⎩⎨
⎧++++=c
x c c cx y 212中消去c,
得方程的奇解()0412=++y x . （二）求下列曲线族的包络. 1、2c cx y +=
解:对c 求导，得 x+2c=0, 2
x c -=,
代入原方程得，4422
22x x x y -
=+-=，
经检验得，4
2
x y -
=是原方程的包络.
2、0122=-+cx y c 解：对c
求导，得 y
x c x yc 2,022
2
-
==+，
代入原方程得 01244
24=--y x y y
x ，即044=+y x ，
经检验得044=+y x 是原方程的包络.
3、()()422=-+-c y c x
解：对c 求导，得 –2(x-c)-2(y-c)=0, 2
y
x c +=
, 代入原方程得()82=-y x .
经检验,得 ()82
=-y x 是原方程的包络.
4、()c y c x 42
2=+-
解：对c 求导，得 -2(x-c)=4, c=x+2,
代入原方程得()2442+=+x y ，()142+=x y ,
经检验，得()142
+=x y 是原方程的包络.
(三) 求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.
解：设所求曲线方程为y=y(x),以X 、Y 表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为()()()()x X x y x y Y -'=-， 它与X 轴、Y 轴的截距分别为y y
x X '
-
=，y x y Y '-=， 按条件有 a y x y y y x ='-+'-
，化简得y
y a y x y '-'-'=1， 这是克莱洛方程，它的通解为一族直线c
ac
cx y --
=1， 它的包络是()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--
--=--=21101c ac
c a x c
ac cx y ，
消去c 后得我们所求的曲线()24a y x ax +-=.
(四) 试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解. 证：克莱洛方程 y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，
从()()
⎩⎨
⎧'+=+=c f x c f cx y 0 中消去p 后而得的曲线；
c-判别曲线就是用c-消去法，从通解及它对求导的所得的方程
()()⎩
⎨
⎧'+=+=c f x c f cx y 0中消去c 而得的曲线，
显然它们的结果是一致的，是一单因式， 因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解.
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