专题1.3 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题 高考数学压轴题分项讲义(解析版)

专题一 压轴选择题

第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题

【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还

有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．

类型一 四面体的外接球问题

典例1．[福建省泉州市2019届高三1月单科质检]已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，

平

面，

，

，若球的表面积为

，则三棱锥的侧面积的最大值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】设球O 得半径为R ，AB=x ，AC=y ，

由4πR 2=29π，得4R 2=29．又x 2+y 2+22=（2R ）2，得x 2+y 2=25．三棱锥A-BCD 的侧面积：S=S △ABD +S △ACD +S △ABC =

由x 2+y 2≥2xy，得xy≤当且仅当x=y=时取等号，由（x+y ）

2

=x 2+2xy+y 2≤2（x 2+y 2），得x+y≤5,当且仅当x=y=时取等号，∴S≤5

+=当且仅当

x=y=时取等号. ∴三棱锥A-BCD 的侧面积的最大值为

.故选A.

【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径2222c b a R ++=，c b a ,,分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面

积．

【举一反三】【2018南宁摸底联考】三棱锥

中，

为等边三角形，

，

，

三棱锥的外接球的体积为（ ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

类型二 三棱柱的外接球问题

典例2．[山东省临沂市2019届高三上学期第六次质量调研]已知三棱柱的侧棱垂直于底面,各

顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为

,则此球的体积等于( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】设AA 1=h ，则∵棱柱的体积为，AB=2

，AC ＝

，∠BAC ＝60°，∴×2

××h ＝

∴h=1，

∵AB=2

，AC ＝

，∠BAC ＝60°∴BC=

如图，

连接上下底面外心，O 为PQ 的中点，OP ⊥平面ABC ，AP=则球的半径为OA ，

由题意OP=，∴OA=所以球的体积为：πR 3=.

故选B.

【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点A B C 、、距离相等的点在过ABC ∆的外心且垂直于平面ABC 的直线上，再确定到顶点

111A B C 、、距离相等的点过111A B C ∆的外心且垂直于平面111A B C 的直线上，故直三棱柱111ABC A B C -的外

接球球心为连接上下底面外心的线段的中点，进而可确定外接球半径．

【举一反三】【陕西省榆林市2018届高考模拟第一次测试】已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球

O 的球面上，若13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的直径为（ ）

A. 13

B. 410

C. 210

D. 217

2

【答案】A

【解析】因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，AA 1=12， 所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，

△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心， 即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长， 因为AB=3，AC=4，BC=5，BC 1=13， 所以球的直径为：13． 故答案为：A 。

类型三 四棱锥的外接球问题

典例3．【河北省承德市联校2018届高三上学期期末考试】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）

A. 142π平方尺

B. 140π平方尺

C. 138π平方尺

D. 128π平方尺 【答案】C

【解析】将该几何体补形为长方体，外接球的直径2R 即为长方体的对角线，即

()

2

2222578254964138R =++=++=，故其表面积是24π138πR =.

【名师指点】某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．本题可以利用补体法，将四棱锥补体为直三棱锥，利用直三棱柱的外接球半径求法确定其外接球半径．

【举一反三】【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考