初中数学竞赛专题选讲
初中数学竞赛专题选讲 对称式(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一、内容提要一.定义1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如： 代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, yx 11+， xyzx z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc c b a 1111-++， （xy+yz+zx ）()111z y x ++， 222222222111b a c a c b c b a -++-++-+. 都是轮换式. 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1.含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中，如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)中，有因式a －b 一项, 必有同型式b －c 和 c －a 两项.4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）. 例如：∵x+y, xy 都是对称式，∴x+y ＋xy ， （x+y ）xy ， xyy x +等也都是对称式. ∵xy+yz+zx 和zy x 111++都是轮换式， ∴z y x 111++＋xy+yz+z ， （zy x 111++）（xy+yz+z ）. 也都是轮换式.. 二、例题例1.计算：（xy+yz+zx ）()111z y x ++－xyz()111222zy x ++. 分析：∵（xy+yz+zx ）()111zy x ++是关于x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy 分别乘以x 1，y 1，z1连同它的同型式一齐写下. 解：原式＝（z xy y zx x yz ＋+）＋（z+x ＋y ）+(y+z+x)－(zxy y zx x yz ＋+) ＝2x+2y+2z.例2. 已知：a+b+c=0, abc ≠0.求代数式 222222222111ba c a cbc b a -++-++-+的值 分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 解：∵2221c b a -+＝222)(1b a b a ---+＝ab 21-， ∴222222222111b a c a c b c b a -++-++-+＝－ab 21－bc 21－ca 21 ＝ －abc b a c 2++＝0. 例3. 计算：（a+b+c ）3分析：展开式是含字母 a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4. 解：设（a+b+c ）3＝m(a 3+b 3+c 3)+n(a 2b+a 2c+b 2c+b 2a+c 2a+c 2b)+pabc.（m, n, p 是待定系数）令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8；令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=27638221p n m n m m 得⎪⎩⎪⎨⎧===631p n m∴（a+b+c ）3＝a 3+b 3+c 3+3a 2b+3a 2c+3b 2c+3b 2a+3c 2a+3c 2b+6abc.例5. 因式分解：① a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)；② （x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5.解：①∵当a=b 时，a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝0.∴有因式a －b 及其同型式b －c, c －a.∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a －b ）(b －c)(c －a)，可得 一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得 a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝m(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a)比较左右两边a 3b 的系数，得m=－1.∴a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝－(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a).② x=0时，（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝0∴有因式x ，以及它的同型式y 和z.∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz ，其商是二次齐次轮换式.∴用待定系数法：可设（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝xyz ［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数， 得 80=m+n ；令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数， 得 480=6m+n.解方程组⎩⎨⎧=+=+480680n m n m得⎩⎨⎧==080n m . ∴（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝80xyz(x+y+z).三、练习1.已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x 3+x 2y －2xy 2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿ 2. 已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a 3b －(a －b)，试接着写完全代数式_________________________________.3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：① （x 2y+y 2z+z 2x ）（xy 2+yz 2+zx 2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2－xy －yz －zx ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4. 计算：（x+y ）5.5. 求（x+y ）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.6. 因式分解：① ab(a －b)+bc(b －c)+ca(c －a)；② (x+y+z)3－(x 3+y 3+z 3)；③ （ab+bc+ca ）(a+b+c)－abc ；④ a(b －c)3+b(c －a)3+c(a －b)3.7. 已知：abcc b a 1111=++. 求证：a, b, c 三者中，至少有两个是互为相反数.8. 计算：bc ac ab a a +--22＋ca ba bc b b +--22＋abcb ca c c +--22. 9. 已知：S ＝21（a+b+c ）. 求证：16)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+- ＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).10. 若x,y 满足等式 x=1+y 1和y=1+x1且xy ≠0，那么y 的值是（ ） （A ）x －1. （B ）1－x. （C ）x. （D ）1+x.参考答案1. y 3+z 3+y 2z+z 2x －2y 2z －2z 2x2. b 3c+c 3d+d 3a －(b －c)－(c －d)－(d －a)3. ②x 3+y 3+z 3－3xyz4. 设(x+y)5=a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3), a=1, b=5, c=10.5. 设原式＝（x+y+z ）［a(x 2+y 2+z 2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.6 .③当a=－b 时，原式＝0， 原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=17. 由已知等式去分母后，使右边为0， 因式分解8. 19. 一个分式化为S （S －a ）(S －b)(S －c)10. 选 C。
初中数学竞赛辅导整数问题选讲
第1讲 整数问题选讲【例l 】 求一个最小的正整数，使它的21是平方数，31是立方数，51是五次方数． 分析与解 因为这个整数的21，31，51是整数，所以它一定能被2、3、5整除，再考虑这个整数的最小性要求，它应具有形式：)0,0,0(,532=/=/=/=c b a N c b a又因为c b a N 532211-= 是平方数，则c b a ,,1-均为偶数． 因为 c l b a N 53231-=是立方数，则c b a ,1,-均为3之倍数． 因为 153251-=c b a N 是5次方数，则1,,-c b a 为5之倍数． 进而知 a 是3和5的倍数，且a 为奇数，则a 最小为15；b 是2和5的倍数，且b 被3除余l ，则b 最小数为l0；c 是2和3的倍数，且c 被5除余l ，则c 最小数为6；故所求数为 .53261015⨯⨯=N【例2】能同时表示成连续9个整数之和、连续l0个整数之和及连续11个整数之和的最小正整数是哪个分析与解 设所求正整数为A ，则依题意A 可表示为(其中p ，n ，k 均为整数)： 459)9()2()1p (+=++++++=p p p A ①5510)10()2()1(+=++++++=n n n n A ②6611)11()2()1(+=++++++=k k k k A ③由①、②、③可得： )(109t n p += ④)1(1110+=k n ⑤再由④、⑤知n 是11的倍数，且除以9余8．故n 最小可取44．所以A 的最小值为10×44+55=495．【例3】有一个三位数，能被35整除，并且各位数字之和为l5，求这个数． 分析与解 设所求三位数为abc N =，则有c b a N ++=10100,15=++c b a因为35│N ，当然有5│N ，故c=0或c=5．当c=0时，有 )15(1010010100a a b a N -+=+=15090+=a )12(3)2112(7+++=a a由7│N 知 7│3)12(+a . 从而7│2a+l因为 a + b=15 ， 所以 6≤a≤9，故满足7│2a+l 的a 不存在．当c=5时，有 a a N 6)1512(7++=由7│N 推出7│6a. 显然当a =7时成立．这时b=3，故所求三位数为735．【例4】一个两位数除以它的反序数所得的商恰好等于余数，求这个两位数．分析与解 设这个两位数为y x N +=10，则由题意可得：,)10(10q q x y y x ++=+ (其中q 为自然数)变形为 q y q x q =---)110()10(以下就q 的取值进行讨论：(1)1=q ，有1)(9=-y x ，不可能成立；(2)2=q ，有,2198=-y x 这时y 为偶数：2=y 时，;5=x 8,6,4=y 时，均不可能成立；(3)3=q ，有3297=-y x ，不存在x 、y ；(4)4=q ，有4396=-y x ．这样的x 、y 也不存在；(5)5≥q ，有,549)110(x )10(5≥+-=-≥y q q x 11≥x ，即无解．综上所述，所求两位数为52．【例5】一整数a 若不能被2和3整除，则472+a 必能被24整除．分析与解 因为4814722+-=+a a ，所以需往证 24 │1-2a因为a 不能被2整除．则a 为奇数．即a 可表示为：12+=k a (k 为整数)所以 )1(41)12(122+=-+=-k k k a 能被8整除．又 ()()()1112+-=-a a a a a 为连续三整数之积，必能被3整除，而a 不能被3整除， 则12-a 一定能被3整除．由(3，8)=1，知12-a 能被3×8=24整除．即证．【例6】若整数a 、b 、c 、d 和m 使d cm bm am +++23能被5整除，且d 不能被5整除，证明：总可以找到这样的整数n ，使得a bn cn dn +++23也能被5整除．分析与证 设 d cm bm an A +++=23 a bn cn dn B +++=23消去d 得： ]1)1()[1(22223+++++-=-cn bmn mn n m a mn B An又由题设d 不能被5整除，知m 不能被5整除，故m 的取值有下列四种情形：l k m +=5，此时取,15+=t n 25+=k m ，此时取,35+=t n35+=k m ，此时取,25+=t n45+=k m ，此时取,45+=t n都能有5│1-mn ，即有5│B An -3从而5│ B ．即对任何的m ，都可找到相应的m ，使5│B ．【例7】试求一个三位数abc ，使得它的平方的末三位数字仍是abc ．分析与解 由题意．我们作)1(2-=-abc abc abc abc它应为1000的倍数．而1000 = 8×125因为(8，125)=1, 1)1,(=-abc abc ，所以由l000│)1(-abc abc推出 8│abc ，125│1-abc 或 125│abc ，8│1c -ab由125│1-abc ，知abc =126，251，376，501，626，751； 这里仅有376=abc ，使8│abc由125 │abc ，知abc =125，250，375，50'0，625，750， 这里仅有625=abc 时，使8│1c -ab .所以满足条件的三位数有376和625．【例8】如果a 为合数，则a 的最小质因数一定不大于a分析与证 设bq a =，其中q 为最小质因数．若a q >，显然同时也有a b >. 则a a a bq a =⋅>=矛盾，所以结论成立．说明 这一结论表明，合数a 一定是不大于a 的质数的倍数．换句话说，如果所有不大于a 的质数都不能整除a (a ≠l)，那么a 一定是质数．这就给出了判断一个数是不是质数的一种方法，如判断191是不是质数，由于a <14，小于14的质数2，3，5，7，11，13都不能整除191，所以191是质数．利用这种方法，可以求出不大于a 的所有质数．例如求50以内的所有质数．由于不大于a <8的质数有2、3、5、7，可在2，3，4，…，50中依次划去2、3、5、7的倍数(保留2、3、5、7)最后余下的数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47就是50以内的全体质数．这就是著名的爱拉托斯散素数筛选法． · ’思考 用爱拉托斯散筛选法求出100以内的所有质数．【例9】如果p 和182+p 都是质数，求证：282+-p p 也是质数．分析与解 按整数除以3的余数对P 进行分类讨论：当13+=k p 时，)31624(31)13(818222++=++=+k k k p 为合数，故;13+=/k p 当23+=k p 时，)113224(31822++=+k k p 为合数，故;23+=/k p于是k p 3=，由P 为质数，仅有P=3，73182=+p 为质数，71282=+-p p 也为质数．所以只要P 和182+p 为质数，2p 82+-p 也为质数．【例l0】有两个两位数，它们的差为56，它们的平方末两位数相同，求这两个数． 分析与解 设这两个数为)(b b a a 、>，则有8756⨯==-b a 。
初中数学竞赛题选讲
初中数学竞赛题选讲（代数部分）一．内容主要分为四部分：1．代数式的求值问题2．方程与方程组的求解问题及其应用3．一元一次不等式（组）及二元一次不等式（组）的求解及应用4．二次函数问题二．代数式的求值的相关考点：1．关于整式的求值问题2．关于分式的化简与求值3．二次根式的化简与求值三．方程与方程组相关考点：1．一元一次方程与多元一次方程组；2．一元二次方程；3．可化为一元二次方程的方程；4．列方程组解应用题。
四．不等式（组）的考点：1.考察不等式组的解法2.不等式组的整数解问题3.不等式中字母范围的确定4.带绝对值的不等式解答5.利用不等式解决实际问题 五．二次函数考点： 1、二次函数的性质 2、二次函数的表达式3、二次函数与一元二次方程的关系4、根与系数的关系 六．有关知识拓展： （一）整式：1、高次二项式的变形：2、的变形：3、 的变形：4． 公式5．带余除：若关于x 的多项式A 与B 相除，商式为f(x),余式为Q(x),则： A=f(x)B+Q(x)()()()y x y x yx yx yxyx y xy xy x y x yx yx y x +++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+333344773326622223355233cabc ab c b a ---++222()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=-++-----a c c b b a cabc ab c b a22222221b a 33+()()()()b a ab b a b ab a b a b a ++++-=-=+332233()c b a ++2()()ca bc ab c b a c b a +++++++=22222（二）分式：运算法则：（三）二次根式：代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍． 一、灵活运用乘法公式和运算法则代数式的变形化简，离不开乘法公式、各种运算法则及它们的变形用法。
初中数学竞赛专题选讲《条件等式的证明》
初中数学竞赛专题选讲条件等式的证明一、内容提要1 恒等式：如果等式中所含的字母在允许值范围内，用任何实数值代替它，等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式例如： ①ab=ba ， ②ab 2=a 22abb 2， ③ －x 4=x x 42-≠0， ④a 2=a 在实数范围内a ≥0， ⑤n n a =a 在实数范围内n 为正奇数都是恒等式 只含常数的等式是恒等式的特例 如：3－2=1， 32321-=+2 条件等式：满足一定条件下的等式，称为条件等式 方程是条件等式，解方程就是求出能满足等式的条件未知数的值3 证明条件等式就是在题设的条件下，判断恒等式4 证明条件等式的方法，除和证明恒等式的一般方法见第20讲以外，要特别注意如何把已知的条件用上 一般有以下几种：① 用已知的条件直接代入即等量代换② 变形后代入包括把已知变形，或把结论变形③ 引入参数后代入包括换元5. 分式，根式在恒等变形时，要注意字母保持允许值的范围不变二、例题例1 已知：a z y x =+, b x z y =+, c yx z =+且≠0 求证：1111=+++++cc b b a a 分析：①设法化为同分母， ②轮换式可先代入一式，其余的可用同型式③用已知直接代入证明 ：∵z y x x zy x z y xa a ++=+++=+11 根据 轮换式的性质，得∴c c b b a a +++++111=1=++++++++zy x z z y x y z y x x 例2 已知：cb ac b a ++=++1111求证：12121212)(1111++++++=++n n n n c b a c b a n 是整数 分析：先把已知变形，找出a, b, c 之间的关系证明：由已知，去分母，得bcabcacabcababc=abcabcbcacabab=0abbcca=0∴a=－b ， 或b=－c ， 或c=－a∵n 是整数， ∴2n1是奇数当a=－b 时 ，左边=12121212111)(1++++=++-n n n n c c b b ； 右边=12)(1+++-n c b b =121+n c 即a=－b 时，等式成立同理可证：当b=－c 和c=－a 时，等式也成立∴12121212)(1111++++++=++n n n n c b a c b a n 为整数 例3 已知：a 3=b 3=c 3, 1111=++zy x 求证：=++3222cz by ax 333c b a ++ 证明：设a 3=b 3=c 3= 引入参数那么a 2=x k, b 2=yk , c 2=z k 代入左边， 得 ： 左边=333)111(k zy x k z k y k x k =++=++； 而且 a=3x k , b=3yk , c=3z k 代入右边， 得： 右边==++333333zk y k x k z y x 111++3k =3k ∴=++3222cz by ax 333c b a ++例4 已知： abc ≠0，方程ac －bc 2bc －abab －ac=0有两个相等实根求证：bc a b 1111-=- 分析：要等式b c a b 1111-=-成立，必须且只须ac －bc=ab －ac 证明：∵方程有两个相等的实数根，∴△=0即 bc －ab 2－4ac －bc ab －ac=0bc －abac －ac 24bc －acab －ac=0， 添项ac －ac［bc －ac －ab －ac ］24bc －acab －ac=0∴［bc －acab －ac ］2=0∴bc －acab －ac =0∴ ac －bc=ab －ac∵abc ≠0，两边都除以abc,得，bc a b 1111-=- 例5 已知：a a c c b b 111+=+=， a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1证明：由已知a －b=b c 11-=bcc b -, ∵ a ≠b ，即a －b ≠0，∴bc=ba cb -- 根据轮换式性质，得同型式： ca=c b a c --, ab=ac b a -- ∴ ab ×bc ×ca=a c b a --×b a c b --× cb ac -- ∴a 2b 2c 2=1三、练习1 已知： abc=1 求证：1111=++++++++c ca c b bc b a ab a 2 已知： =b a b a +-, =c b c b +-, =a c a c +- 求证： 111=1－1－1－3 已知：a －b 2b －c 2c －a 2=0 求证：c z b y a x == 4 已知： cb b a = 求证： abc 2a 2b 2c 2=2abcac 5. 已知：zx y c y z x b x y z a +-=+-=+-222 求证：abc=0 6. 已知：b b ac a a c b c c b a -+=-+=-+， abc ≠0求证： 8))()((=+++abca c cb b a 7 已知： 19492=19882 且111=+yx ， >0, >0 求证： 1988194919881949+=+y x8 已知：=ab ba 2-， 且ab a x x b a x a =++++)1)((1222122+b ab 0,0b x a x a x a x a 1=--+-++321420+321420-a z y x =+b x z y =+c yx z =+1111=+++++c c b b a a a k k b a c a c b c b a =+=+=+abb a 4)(2+0 9把左边分母有理化10左边被开方数配方a 2)2b 可得a=2,b=14. 用反比，合比12 0。
(完整版)初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)
初中数学竞赛专题［配方法］一、内容提要1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2土2ab+b2写成完全平方式(a土b) 2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a +b配上2ab, ②由 2 ab 配上a +b ,③由a2土2ab配上b2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：①用完全平方式来因式分解例如：把x4+4因式分解.2 2 2 2 2母乱=x +4 + 4x — 4x =(x +2) — 4x = ...........这是由a2+b2配上2ab.②二次根式化简常用公式：福|a ,这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简、一5一2 6.我们把5-2*写成2 - 2逐+ 3=(克V - ^ 2^3 + (V3)2=(V2 —V3 ).这是由2 ab配上a2+b2.③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即a >0, .,•当a=0时, a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a — 2的最值... a2+2a— 2= a2+2a+1 - 3=(a+1) 2- 3当a=— 1时,a +2a— 2有最小值—3.这是由a2土2ab配上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如：：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x, y.解：方程x2+y2+2x-4y+1 + 4= 0.配方的可化为(x+1) 2+(y - 2) 2=0.要使等式成立，必须且只需x 1 0y 2 0x 1 y2解得此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题2 2 2 2例 1.因式分解：a b —a +4ab— b +1.解：a b — a +4ab — b +1 = a b +2ab+1+( — a +2ab — b ) (折项，分组)=(ab+1 ) 2 - (a - b)：(配方)= (ab+1+a-b ) (ab+1-a+b) (用平方差公式分解)本题的关键是用折项，分组，树立配方的思想^例2.化简下列二次根式：①J7 5 ；②*2焰；③了10时3 2豆. 解：化简的关键是把被开方数配方①(7 4>/3 = J4 2 2/3 3 = J(2 V3)2=2 < 3 = 2 + 43.②户=居=疗=\吁<2（73 1）=无V2 2 . 2③\；10 4^3 2龙=寸10 4》（。
初中数学竞赛专题选讲
初中数学竞赛专题选讲图象法一、内容提要1. 在讲（一元二次方程）中，根据根的判别式和根与系数的关系，介绍了存在实数根，有理数根，整数根的充分必要条件.2. 要讨论两个实数根的符号，则可以建立不等式组.方程ax 2+bx+c=0中，① 有两个实数根的充分必要条件是⎩⎨⎧≥∆≠00a ②有两个正实数根的充要条件是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≥∆00-0ac ab (a ≠0包含在0 >ac 之中) ③有一正一负实数根的充要条件是0<ac (a ≠0，△>0均已包含在内) ④有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<00ab a c3. 在较小区间内讨论实数根，则常利用图象来建立不等式组.4. 一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解，也可借助图象.二、例题例1..已知：方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0的两个实数根x 1,x 2满足：0<x 1<1<x 2<2.求：k 的取值范围. (1990年全国初中数学联赛题)解：先画出二次函数y=7x 2－(k+13)x+k 2－k －2的图象的略图.根据图象的开口方向是向上，它与横轴有两个交点，这两点在点(1，0)的两旁，的大体位置是：分析图象 可知当x=0 时，y>0, 记作f(0)>0；当x=1时，y<0, f(1)<0；当x=2时，y>0, f(2)>0.得不等式组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--++-<--++->--.02)13(202)13(02222k k k k k k k k ；；解这个不等式组得⎪⎩⎪⎨⎧><<<->-<.30422 1k k k k k 或；；或∴原不等式组解集是 －2<k<－1；或3<k<4.答：k 的取值范围是 －2<k<－1；或3<k<4时.本题由三个点的横坐标0，1，2和它所对应的纵坐标范围建立不等式组.例2. m 取什么值时，方程x 2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1？解：根据抛物线y= x 2+(m+2)x+3的开口向上；它在纵轴的交点为(0，3)；与横轴的两个交点都在点(1，0)右边. 得图象的略图如下（左、右两图）：据图象分析当x=1时， y>0； 顶点横坐标 －ab 2>1；纵坐标a b ac 442-≤0. 得不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤+->+->+++.04)2(1212203212m m m ，， 解这个不等式组得⎪⎩⎪⎨⎧--≤+-≥-<>.32232246m m m m 或，，∴原不等式组解集是 －6<m ≤－2－23.答：当－6<m ≤－2－23时，方程x 2+(m+2)x+3=0的两个根都大于1.本题只有一个特殊点，故用了抛物线的顶点横、纵坐标.例3.已知：方程(1－m 2)x 2+2mx －1=0的两个实数根都在0到1之间(不包括0和1).求：m 的取值范围.解：函数y=(1－m 2)x 2+2mx －1的图象可由：①它在纵轴上的截距是－1；②与横轴的两个交点在0到1之间.得知开口是向下的，画出略图如下：：从图象分析：a<0； f(1)<0； 0<－ab 2<1 . 得不等式组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<--<<-+-<-.1)1(220012101 222m m m m m ，，解这个不等式组 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>-<>><>-<.25125102011m m m m m m m 或，，或，或∴不等式组解集是 m>2.本题因抛物线的顶点横坐标，上下都有界，故不用顶点的纵坐标.例4.已知：方程x 2+2px+6=0的两个实数根，一根大于1，另一根小于1.求：p 的值.解：根据抛物线y= x 2+2px+6的开口向上，它与横轴的两个交点的大致位置，画出略图如下：根据图象可知：f (1)<0；顶点纵坐标a b ac 442-<0. 得不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<-++.044)6(406212p p p p ， 解这个不等式组， 得⎩⎨⎧>-<-<.237p p p 或， ∴不等式组解集是p<－7 . 答(略)本题因顶点横坐标无法定，故只有两个不等式. 其实只要f (1)<0就可以了.关键是建立充分必要条件的不等式组.注意：(1)若方程可求得有理数根时，则可以直接建立不等式组. 如：例3 可得两个根为11+m 和11-m ； (2)若符合基本对称式，则可用韦达定理来解.如： 例4 可用x 1－1>0, x 2－1<0建立不等式(x 1－1)(,x 2－1)<0.左边去括号后，再转化为关于p 的不等式.例5. a 取什么值时，方程12+=-a x 无解？ ②有3个解？③两个解？解：画出函数y=1-2-x 和y=a 的图象 ，它们的交点就是方程的解.∵直线y=a 平行于横轴.∴①当a ＜－1时，直线y=a 与y=1-2-x 没有交点，即方程无解；②当a ＝1时，直线y=1 与. y=1-2-x 恰好有3个公共点，即方程12+=-a x 有3个解.；③.当a=－1或a>1时，y=a 与y=1-2-x 都有2个公共点，就是方程有2个解.例6. 求代数式|x+1|+|x －1|+|x+2| 在－2<x<2 区间内的最大值和最小值.解：作函数 y=|x+1|+|x －1|+|x+2| 的图象.由图象可知：当x=－1, y 有最小值 3；当x=2时，y 有最大值 8.∴代数式 |x+1|+|x －1|+|x+2| 有最大值8和最小值 3.。
初中数学竞赛专题选讲(初三.22)
初中数学竞赛专题选讲（初三.22）辅助圆一、内容提要1.经过两个点可以画无数个圆；经过三个点作圆，必须是不在同一直线上的三个点，可以作一个圆，并且只能作一个圆.2.经过四点作圆(即四点共圆)有如下的判定定理：①到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上(圆的定义).②一组对角互补的四边形顶点在同一圆上.③一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆.④同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆.推论：同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径).3.画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有：①同弧所对的圆周角相等.②圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.③圆心角(圆周角)、弧、弦、弦心距的等量关系.④圆中成比例线段定理：相交弦定理，切割线定理.4.证明型如ab+cd=m2常用切割线定理二、例题例1.已知：点O是△ABC的外心，BE，CD是高.求证：AO⊥DE证明：延长AO交△ABC的外接圆于F，连接BF.∵O是△ABC的外心∴AF是△ABC外接圆的直径，∠ABF=Rt∠.∵BE，CD是高，∠BDC=∠CEB=Rt∠.∴B，C，E，D四点共圆(同斜边的直角三角形顶点共圆)∴∠ADE=∠ECB=∠F.∴∠AGD=∠ABF=Rt∠，即AO⊥DE.例2.正方形ABCD的中心为O，面积为1989cm2，P为正方形内的一点，且∠OPB=45 ，PA ∶PB=5∶14，则PB=____cm. 解：∵∠OPB=∠OAB=45∴ABOP 四点共圆(同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆) ∴∠APB=∠AOB=Rt ∠.在Rt △APB 中，设PA 为5x ，则PB 是14x. ∴(5x)2+(14x)2=1989. 解得x=3, 14x.＝42. ∴PB=42 (cm).例3.已知：平行四边形ABCD 中，CE ⊥AB 于E ，AF ⊥BC 于F. 求证：AB ×AE+CB ×CF=AC 2. 证明：作BG ⊥AC 交AC 于G. ∵CE ⊥AB ， AF ⊥BC.∴A ，F ，B ，G 和B ，E ，C ，G 分别共圆. (对角互补的四边形顶点共圆)根据切割线定理，得 AB ×AE=AG ×AC CB ×CF=CG ×AC∴AB ×AE+CB ×CF=AC(AG+CG)=AC 2.例4.已知：AD 是Rt △ABC 斜边的高，角平分线BE 交AD 于F. 求证：AE 2=AB 2－BE ×BF.分析：根据同角的余角相等，可证AE=AF. 由射影定理AB 2=BD ×BC.故只要证AE ×AF ＝BD ×BC －BE ×BF 创造应用切割线定理的条件，作△ABC 的 外接圆并延长BE 交圆于G ，得 F 、D 、C 、G 四点共圆 . ∴ BD ×BC=BF ×BG .∴右边= BF ×BG .－ BE ×BF=BF(BG －BE)=BF ×EGC从而转为要证AE ×AF= BF ×BG . 即AFEGBF AE只要证△AEG ∽△BFA ……(证明由同学自已完成)例5已知：从⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA ，PB 切点A 和B ，在AB 上任取一点C ，经过点C 作OC 的垂线交PA 于M ，交PB 于N.求证：OM=ON. 证明：连结OA ，OB .∵A ，B 是切点 ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB. 又∵OC ⊥MN.∴A ，M ，C ，O 和B ，N ，O ，C(辅助圆可以不画)根据同弧所对的圆周角相等，得 ∠OAC=∠OMC ， ∠ONC=∠OBC. ∵OA=OB ， ∴∠OAC=∠OBC. ∴∠OMC=∠ONC ， ∴OM=ON.。
初中数学竞赛题选讲知识点梳理
初中数学竞赛题选讲知识点梳理数学竞赛在初中阶段是一项受到广泛关注的活动，无论是对学生的数学能力的考察还是对数学知识的综合运用都提出了高要求。
在数学竞赛中，学生所面临的题目类型和考点非常多样化和丰富。
为了帮助同学们更好地应对数学竞赛，笔者将按照常见的数学竞赛题目类型，梳理其中涉及的重要知识点，以供大家参考。
1. 空间几何题空间几何题是数学竞赛中的一类常见题型，主要考察学生对几何形体的认识和推理能力。
在此类题目中，常见的几何形体包括立体图、平面图和几何体的侧视图、俯视图和正视图。
知识点梳理：- 几何体的名称与特点：如球体、长方体、正方体等。
- 几何体的计算：包括体积、表面积的计算公式。
- 侧视图、俯视图和正视图之间的转换与关系：学会根据图形的特点判断几何体的形状和位置。
2. 数列与函数题数列与函数题在数学竞赛中常常出现，涉及到同学们熟悉的数列概念和函数的运算求解。
知识点梳理：- 数列的概念与性质：包括等差数列、等比数列等。
学生需要了解数列的通项公式、前n项和等概念等。
- 数列的运算：同学们需要掌握数列的加法、减法及乘法等运算，以及运用这些运算求解问题的能力。
- 函数的概念与性质：学生需要理解函数的定义、函数的图像以及函数的性质等。
- 函数的运算与组合：包括函数相加、相减、相乘等基本运算，以及函数的复合等。
3.方程与不等式题方程与不等式题在数学竞赛中也是常见的题型，主要考察学生的方程与不等式的解法和推理能力。
知识点梳理：- 一元一次方程与一元一次不等式：学生需要掌握解一元一次方程和不等式的基本方法，并能灵活应用于问题求解。
- 二元一次方程与二元一次不等式：同学们需要熟悉解二元一次方程和不等式的方法，包括图形解法和代入法等。
- 绝对值方程与绝对值不等式：学生需要理解绝对值的概念，掌握解绝对值方程和不等式的方法。
- 分式方程与分式不等式：同学们需要了解分式方程和不等式的性质，并学会解这类问题的方法。
4.概率与统计题概率与统计题在数学竞赛中也经常出现，主要考察学生对概率与统计的基本理解和运用能力。
讲解初中数学竞赛试题及答案
讲解初中数学竞赛试题及答案初中数学竞赛试题通常涵盖代数、几何、数论和组合等数学领域。
下面是一个模拟的初中数学竞赛试题及其答案的讲解。
题目一：代数问题题目：已知 \( a, b \) 为正整数，且满足 \( a^2 - b^2 = 1 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的所有可能值。
答案：根据题目中的等式 \( a^2 - b^2 = 1 \)，我们可以将其转换为 \( (a+b)(a-b) = 1 \)。
因为 \( a \) 和 \( b \) 都是正整数，所以 \( a+b \) 和 \( a-b \) 也必须是正整数，并且它们的乘积为1。
考虑到正整数的性质，可能的组合只有 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)或 \( (2, 1) \)。
对于 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)，显然不可能，因为 \( a+b \) 和\( a-b \) 不能同时为1。
对于 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \)，我们可以得到 \( a =\frac{3}{2} \) 和 \( b = \frac{1}{2} \)，但这不是正整数，所以不符合题意。
因此，我们考虑 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \) 或 \( (4, 3) \)。
对于 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \)，我们可以得到 \( a = 2.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这同样不是正整数。
对于 \( (a+b, a-b) = (4, 3) \)，我们可以得到 \( a = 3.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这也不是正整数。
但是，如果我们考虑 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \) 的整数解，我们可以得到 \( a = 2 \) 和 \( b = 1 \)，这满足题目要求。
讲解：这个问题考察了平方差公式的应用，通过将等式转换为\( (a+b)(a-b) = 1 \) 并考虑正整数的性质来找到可能的解。
初中数学竞赛专题选讲 换元法(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.8）换元法一、内容提要1. 换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2. 换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3. 换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4. 解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5. 倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax 4+bx 3+cx 2+bx+a=0.两边都除以x 2,得a(x 2+21x )+b(x+x 1)+c=0. 设x+x 1=y, 那么x 2+21x = y 2－2, 原方程可化为ay 2+by+c －2=0.对于一元五次倒数方程 ax 5+bx 4+cx 3+cx 2+bx+a=0， 必有一个根是－1.原方程可化为 (x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a)=0.ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程.形如 ax 4－bx 3+cx 2＋bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为a(x 2+21x)－b(x －x 1)+c=0. 设x －x 1=y, 则x 2+21x=y 2+2, 原方程可化为 ay 2－by+c+2=0.二、例题例1. 解方程1112---++x x x =x. 解：设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x .原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 例2. 解方程：x 4+(x －4)4=626.解：（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.例3. 解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .解：∵这是个倒数方程，且知x ≠0，两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25. 由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 例4 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x解：（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.） 设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .三、练习解下列方程和方程组：（1到15题）： 1. =++++)7(27x x x x 35－2x.2. (16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2.3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .4. (2x 2－x －6)4+(2x 2－x －8)4=16.5. (2115-+x )4+(2315-+x )4=16.6. x x x x 112+++=223. 7. 2x 4－3x 3－x 2－3x+2=0. 8. ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++19182222xy y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+160311122y x y x . 10. 563964467222+-=+-+--x x x x x x . 11. (6x+7)2(3x+4)(x=1)=6.12. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-++13511y x y x . 13. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1025y x x y y x .14. ⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+++01823312y xy y y x y x . 15x xx x =-+-111. 16. 分解因式： ①(x+y －2xy)(x+y －2)+(1－xy)2； ②a 4+b 4+(a+b)4 .17. 已知：a+2=b －2=c ×2=d ÷2, 且a+b+c+d=1989.则a=___,b= ____,c=_____,d=____18. ［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2，那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.参考答案 1. 221229 2. ±43±34 3. －25 4. 2,－23,4651± 5.3231-32211， 6. 1 7.21,2 8.⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==727272722332y x y x y x y x 9. ⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==555555555555412124y x y x y x y x 10. 7,－111.－32,－3512.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==10358y x y x 13.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==8228y x y x 14. ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1031041031041513y x y x y x y x 15. x=251± 16.①设x+y=a,xy=b ②设a 2+b 2=x,ab=y17.设原式=k, k=44218. –2可设2x －21=t, x=21t+41代入[3x+1]。
初二数学竞赛专讲
初二数学竞赛专讲初二数学竞赛专讲一、引言：数学竞赛的重要性和意义数学竞赛是培养学生数学能力和思维能力的有效途径之一。
通过参加数学竞赛，学生能够接触到更广阔的数学领域，拓展了他们的数学视野，激发了他们对数学的兴趣和热爱。
同时，数学竞赛也能够锻炼学生的逻辑思维、推理能力和问题解决能力，培养他们的创新精神和团队合作能力。
二、竞赛策略和方法1. 准备工作在参加数学竞赛之前，学生需要做好充分的准备工作。
首先，他们要熟悉并掌握各个竞赛题型的特点和解题方法，例如选择题、填空题、解答题等。
其次，学生要广泛阅读数学竞赛相关的教材、习题集和复习资料，加强对数学知识的理解和应用。
最后，学生要进行模拟考试和练习，熟悉竞赛的考试要求和时间限制，提高自己的应试能力和临场发挥。
2. 解题技巧在解题过程中，学生需要掌握一些解题技巧，以提高解题效率和准确性。
首先，学生要善于观察和分析题目，理解题目的意思和要求。
其次，学生要善于运用数学方法和定理，将复杂的问题转化为简单的问题。
此外，学生要注重推理和证明过程，写清楚解题思路和步骤，确保答案的正确性。
最后，学生还需要注意时间的掌握，合理分配时间，不浪费时间在难题上，避免错失较易解答的题目。
3. 队伍配备在参加数学竞赛时，学生可以选择组队参赛。
队伍的配备非常重要，每个队员都应有良好的数学基础和解题能力。
在队伍中，队员之间要建立良好的合作关系，相互学习、讨论和提高。
此外，队长要充分发挥自己的领导力和组织能力，合理分配任务，确保整个队伍的配合和效率。
三、竞赛中常见的数学题型和解题方法在数学竞赛中，根据题型的不同，解题方法也会有所不同。
下面列举了一些常见的数学题型和解题方法。
1. 选择题选择题是数学竞赛中最常见的题型之一。
解答选择题时，学生应注意每个选项的含义和条件，运用数学知识和方法进行分析和判断，选取正确的答案。
此外，学生要注意排除明显错误的选项，不要被干扰和迷惑。
2. 填空题填空题是要求学生填写一个或多个答案的题目。
初中数学竞赛专题选讲(含答案)
初中数学竞赛专题选讲一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根 差相等.求：m+n 的值.解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42- 依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A的周长比和面积比都等于k (k ≥1).证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿x=0＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿x=1＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿x=-1＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿5/4＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿1＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿1＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿9q=2p2＿＿＿＿＿＿.6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿一正一负＿＿＿.7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ A ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？a=1b=-1/29. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ C ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－110. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿a 不等于 b ＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.M=-1 b=212. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围.13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m 的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤118.方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0 (k是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k的取值范围是( )（A）3<k<4(B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1（D）无解参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1,m>1） 15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C初中数学竞赛专题选讲面积法一、内容提要1. 因为面积公式是用线段的代数式表示的，所以面积与线段可以互相转换。
初中数学竞赛专题选讲绝对值(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.18）绝对值一、内容提要1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示如下：⎪⎩⎪⎨⎧=<->=)0(0)0()0(a a a a a a2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法. 例如：（1）化简 )2(-x x解：当x=0, x=2时, )2(-x x =0；当x<0或x>2时, )2(-x x =x(x －2)=x 2－2x ；当0<x<2时，)2(-x x =－x(x －2)=－x 2+x.（2）解方程2-+x x =6.解：当x<0时，x=－2；当0≤x ≤2时，方程无解；当x>2时，x=4.∴原方程的解是：x=－2， x=4..（3）作函数y=2-+x x 的图象.解：化去绝对值符号，得y=－2x+2 (x<0)；y=2 (0≤x ≤2) ；y=2x －2 (x>2).分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=2-+x x 的图象. 0 2X<0 0<x<2 x>23. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.例如： ①解方程3=x ； ②解不等式3<x ； ③解不等式32>＋x . 解：①∵3=x 的几何意义是：x 是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，即3和－3，∴方程3=x 的解是x=3, x=－3.②∵3<x 的几何意义是：x 是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，∴不等式3<x 的解集是 －3＜x ＜3.③∵2+x 的零点是x=－2,∴32>＋x 的几何意义是：x 是数轴上到点（－2）的距离大于3个单位的点所表示的数，∴32>＋x 的解集是x<－5或x>1.（如下图）4. 绝对值的简单性质：①绝对值是非负数； ②两个互为相反数，它们的绝对值相等.根据这些性质，可简化函数的作图步骤. 例如：（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕x 轴向上翻折作函数图象：①y=1-x ②y=22--x x1-2 0 --5（2） 当f （－x ）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函数图象，再画出关于纵轴对称的图象.例如：y=x 2－2x －3的图象， 可先作y=x 2+2x －3自变量x<0时的图象（左半图） 再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.（3） 把y=x 的图象向上平移a 个单位，所得图象解析式是y=a x +；把y=x 的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=3－x .（4） 利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便.二、例题例1. 已知方程x ＝ax+1有一个负根并且没有正根，求a 的值.（1987年全国初中数学联赛题）解：当x<0时，原方程为－x=ax+1, x=011<+a －, ∴ a+1>0. ∴a>－1；当x>0时，原方程为x=ax+1, x=011>a－, ∴1－a>0. ∴a<1.∵方程有一个负根并且没有正根，∴a>－1且a ≮1，∴a 的取值范围是a ≥1.例2. 求函数y=2x x -3－的最小、最大值. 解：当x<0时， y=－x+6； 当0≤x<3时，y=－3x+6；当x ≥3时， y=x －6 .根据图象有最低点而没有最高点∴函数没有最大值只有最小值－3(当x=3时).例3. 解方程：①x x -=+42； ②421=-++x x .解：①∵点（x ）到点A （－2）和点B （4）的距离相等（如下图），∴x=1.②∵点（x ）到点A （－1）与到点B （2）的距离的和等于4，AB ＝3∴x=2.5, x=-1.5.例4. 解不等式: ①1≤2+x ≤3； ②121>--+x x .解：①点（x ）到点A （－2）的距离大于或等于1而小于或等于3在数轴上表示如图，∴不等式的解集是： －5≤x ≤－3 或－1≤x ≤1②点(x) 到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上.在数轴上表示，如图：∴不等式的解集是x>1.例5. a 取什么值时，方程a x =--12 有三个整数解？ (1986年全国初中数学联赛题)解：化去绝对值符号，得12--x =±a, 2-x =1±a , x －2=±(1±a)，∴x=2±(1±a) .当a=1时，x 恰好是三个解4，2，0.用图象解答更直观；（1）先作函数 y=12--x 图象，（2）再作y=a(平行于横轴的直线 )与y=12--x 图象相交，恰好是三个交点时，y=1,即a=1.本题若改为：有四个解，则0<a<1；两个解，则 a=0 或a>1；一个解，则a 不存在；无解，则a<0.三、练习1. 方程3+x =4的解是＿＿＿＿＿＿＿.2. 方程6-2-+x x =0的解是________.3. 方程21-++x x =3的解是________.4. 方程x x +-3=5的解是＿＿＿＿＿＿＿.5. 不等式2≤3 -x ≤5的解集是___________________.6. 不等式21-++x x <5的解集是_______________________.7. 不等式21-++x x <3的解集是_______________________.8. 不等式11-2-<x x 的解集是_______________________.9. 已知=-2)3(x 3-x, 那么 =+-x x 1_______________.10. 关于x 的方程x =ax+2有根且只有负根，求a 取值范围.11. a 取什么值时，方程a x =--12无解？有解？有最多解？12. 作函数y=312-+-++x x x 的图象；并求在－3≤x ≤3中函数的最大、最小值.13. 解方程451=-+-x x .14. 作函数y=12+-x x 的图象.15. 选择题：①.对于实数x ，不等式1≤｜x －2｜≤7等价于（ ）（A ） x ≤1或x ≥3 （B ）1≤x ≤3 （C ）－5≤x ≤0（D ）－5≤x ≤1或3≤x ≤9 （E ）－6≤x ≤1或3≤x ≤10②不等式｜x －1｜+｜x+2｜<5的所有的实数解的集合是（ ）（A ）{}23<<-x x ：(B) {}21<<-x x ： (C) {}12<<-x x ： (D) {}5.35.1<<-x x ：(E) φ（空集）参考答案1. －7，1.2. .2. –2.3. 3. –1≤x ≤2.4. 4. –1，4.5. 5.－2≤x ≤0， 5≤x ≤86. –2<x<37.空集.28. 0<x<39.当x<1时，原式=1；当1≤x≤3时，原式=2x－1.10.仿例1.11.仿例512. 函数的最大值是11，最小值是5.13. 1≤x≤5.15.(D),(A).。
[初二]竞赛专题选讲之——同一法
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初中数学竞赛专题选讲同一法一、内容提要1.“同一法”是一种间接的证明方法。
它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。
2.同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。
这称为同一法则。
互逆两个命题一般是不等价的。
例如原命题：福建是中国的一个省（真命题）逆命题：中国的一个省是福建（假命题）但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。
例如原命题：中国的首都是北京（真命题）逆命题：北京是中国的首都（真命题）因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。
又如原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。
（真命题）逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。
（真命题）因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。
3.釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是：①作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立）②证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）二、例题例1.求证三角形的三条中线相交于一点已知：△ABC中，AD，BE，CF都是中线求证：AD，BE，CF相交于同一点分析：在证明AD和BE相交于点G之后，本应再证明CF经过点G，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB 于F，，证明CF，就是第三条中线（即证明AF，＝F，B）证明：∵∠DAB＋∠EBA＜180∴AD和BE相交，设交点为G连结并延长CG交AB于F，连结DE 交CF ，于M∵DE ∥AB ∴F A ME '＝F B MD '＝F C CM '， 即F A F B ''＝ME MD F B ME '＝F A MD '＝F G MG '， 即F B F A ''＝ME MD ∴F A F B ''＝F B F A ''， ∴AF ，＝BF ，，AF ，是BC 边上的中线， ∵BC 边上的中线只有一条， ∴AF ，和AD 是同一条中线∴AD ，BE ，CF 相交于一点G 。
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第一讲有理数一、冇理数的概念及分类。
二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧(凑整法、分拆法等)。
三、例题示范1、数轴与大小例1、己知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1,点A与原点0的距离为3, 那么满足条件的点B与原点0的距离之和等于多少？满足条件的点B有多少个？例2、将—122Z,_97 1998 98这四个数按由小到大的顺序，用连结起来。
1998 98 1999 99提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示厶先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。
例3、观察图中的数轴，用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。
试确定三个数丄，丄丄的大小关系。
cib b-a c3 3分析：由点B在A右边，知b・a〉O,而A、B都在原点左边，故ab〉O,又c>l>0,故耍比较丄，丄丄的大小关系，只要比较分母的大小关系。
ab b- a c例4、在有理数a与b(b>a)之间找出无数个冇理数。
捉示：Pp + 山5为大于是的自然数) n注：P的表示方法不是唯一的。
2、符号和括号在代数运算中，添上(或去掉)括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。
例5、在数1、2、3、…、1990前添上“ + ”和“一”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提水：造零:n-(n+1 )-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧「两个相反数的代数和为零。
3、算对与算巧例6、计算-1-2-3— -2000-2001-2002提示：1、逆序相加法。
2、求和公式：S二(首项+末项)x项数+2。
例7、计算1+2—3—4+5+6—7-8+9+…—2000+2001+2002提示：仿例5,造零。
结论：2003o例8、计算99...9x99・・・9 + 199 (9)s_V~v_V_z x~V~'n个9 拜个9 〃个9提示1：凑整法，并运用技巧:199…9二10"+99…9, 99・・・9二10"-1。
初中数学竞赛辅导讲义(总77页)
初中数学竞赛辅导讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲 分式的运算[知识点击]1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。
2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。
3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x例2． 已知z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51+ …… +121-n - 121+n ） =21（1- 121+n ）∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21 [小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
初中数学竞赛专题选讲三点共线
初中数学竞赛专题选讲三点共线一、内容提要1. 要证明A ，B ，C 三点在同一直线上， A 。
B 。
C 。
常用方法有：①连结AB ，BC 证明∠ABC 是平角②连结AB ，AC 证明AB ，AC 重合③连结AB ，BC ，AC 证明 AB ＋BC ＝AC④连结并延长AB 证明延长线经过点C2. 证明三点共线常用的定理有：① 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行② 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直③ 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半④ 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半⑤ 两圆相切，切点在连心线上⑥ 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上二、例题例1.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点P 是形内的任一点，PM ⊥AB ，PN ⊥CD求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：过点P 作EF ∥AB ， ∵AB ∥CD ，∴EF ∥CD ∠1＋∠2＝180 ，∠3＋∠4＝180∵PM ⊥AB ，PN ⊥CD∴∠1＝90 ，∠3＝90 ∴∠1＋∠3＝180∴ M ，N ，P 三点在同一直线上例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上已知：平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD 和BC 的中点，O 是AC 和BD 的交点求证：M ，O ，N 三点在同一直线上证明一：连结MO ，NO ∵MO ，NO 分别是△DAB 和△CAB 的中位线∴MO ∥AB ，NO ∥AB根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行4321A B C D F E N M P O A B C D M N∴ M ，O ，N 三点在同一直线上证明二：连结MO 并延长交BC 于N， ∵MO 是△DAB 的中位线 ∴MO ∥AB 在△CAB 中∵AO ＝OC ，ON ，∥AB∴BN ，＝N ，C ，即N ，是BC 的中点 ∵N 也是BC 的中点，∴点N ，和点N 重合∴ M ，O ，N 三点在同一直线上例3.已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90 ，M ，N 分别是AB和CD 的中点，BC ，AD 的延长线相交于P求证：M ，N ，P 三点在同一直线上 证明：∵∠A ＋∠B ＝90 ，∠APB ＝Rt ∠连结PM ，PN根据直角三角形斜边中线性质 PM ＝MA ＝MB ，PN ＝DN ＝DC ∴∠MPB ＝∠B ，∠NPC ＝∠B∴PM 和PN 重合 ∴M ，N ，P 三点在同一直线上 例4.在平面直角坐标系中，点A 关于横轴的对称点为B ，关于纵轴的对称点是C ，求证B 和C 是关于原点O 的对称点 Y 解：连结OA ，OB ，OC ∵A ，B 关于X 轴对称， C A ∴OA ＝OB ，∠AOX ＝∠BOX 同理OC ＝OA ，∠AOY ＝∠COY ∴∠COY ＋∠BOX ＝90 O X ∴B ，O ，C 三点在同一直线上 ∵OB ＝OC∴ B 和C 是关于原点O 的对称点 B 例5.已知：⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，过点B 的直线EF 分别交⊙O 1和⊙O 2于E ，F 。
初中数学竞赛专题选讲 最大、最小值含答案)
初中数学竞赛专题选讲(初三.20)最大 最小值一、内容提要1. 求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+ab 2)2+a b ac 442-.∵在实数范围内(x+ab 2)2≥0， ∴若a>0时，当x=－a b2 时， y 最小值=a b ac 442-；若a<0时，当x=－ab2 时， y 最大值=a b ac 442-.②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax 2+bx+c －y=0. ∵x 在全体实数取值时， ∴ △≥0即b 2－4a(c －y)≥0， 4ay ≥4ac －b 2.若a>0，y ≥a b ac 442-，这时取等号，则y 为最小值a b ac 442-；若a<0，y ≤a b ac 442-，这时取等号，则y 为最大值ab ac 442-.有时自变量x 定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x 和y ， 如果x+y=10, 那么xy 的积有最大值，最大值是25. 定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x 和y ，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8. 证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.设a>0, b>0, a+b=k . (k 为定值).那么ab=a(k －a)=－a 2+ka=－(a －21k)2+42k .当a=2k时，ab 有最大值42k .证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法. 设a>0, b>0, ab=k (k 为定值)，再设 y=a+b. 那么y=a+ak , a 2－ya+k=0.（这是关于a 的二次议程方程） ∵ a 为正实数，∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0， y 2－4k ≥0. ∴y ≤－2k (不合题意舍去)； y ≥2k . ∴ y 最小值=2k . 解方程组⎩⎨⎧==+.2k ab k b a ， 得a=b=k .∴当a=b=k 时，a+b 有最小值 2 k . 3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1. 已知：3x 2+2y 2=6x, x 和y 都是实数，求：x 2+y 2的最大、最小值.解：由已知y 2=2362x x -, ∵y 是实数， ∴y 2≥0.即2362x x -≥0， 6x －3x 2 ≥0， x 2－2x ≤0.解得 0≤x ≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x 2+y 2=x 2+2362x x -=－21( x －3)2+29在区间0≤x ≤2中，当x=2 时，x 2+y 2有最大值 4. ∴当x=0时，x 2+y 2=0是最小值 .例2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等. 求：这个矩形周长、面积的最小值. 解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k. 那么2(a+b)=ab=k.即 ⎪⎩⎪⎨⎧==+.21k ab k b a ，∴a 和b 是方程 x 2－21kx+k=0 的两个实数根. ∵a, b 都是正实数，∴△≥0. 即(－2k )2－4k ≥0. 解得k ≥16；或k ≤0 . k ≤0不合题意舍去. ∴当k ≥16取等号时，a+b, ab 的值最小，最小值是16. 即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3. 如图△ABC 的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH ，问EH 取多少长时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？解：用构造函数法 设EH=x, S 矩形=y, 则GH=xy . ∵△AHG ∽△ABC ，∴hxh a x y-= . ∴ y=4)2()(2ahh x h a h x h ax +--=-. aCEF∴当x=2h 时，y 最大值 =4ah . 即当EH=2h 时，矩形面积的最大值是4ah.例4. 如图已知：直线m ∥n ，A ，B ，C 都是定点，AB=a, AC=b, 点P 在AC 上，BP 的延长线交直线m 于D.问：点P 在什么位置时，S △PAB +S △PCD 最小？ 解：设∠BAC=α，PA=x, 则PC=b －x.∵m ∥n ，∴PA PCAB CD ＝. ∴CD=x x b a )(-S △PAB +S △PCD =21axSin α+21xx b a )(-(b －x) Sin α=21aSin α()222x x bx b x +-+=21aSin α(2x+)22b x b -. ∵2x ×x b 2=2b 2(定值)， 根据定理二，2x +x b 2有最小值.∴ 当2x =x b 2， x=b 221时，S △PAB +S △PCD 的最小值是 (2－1)abSin α. 例5.已知：Rt △ABC 中, 内切圆O 的半径 r=1. 求：S △ABC 的最小值.解：∵S △ABC =21ab ∴ab ＝2S △.∵2r=a+b －c, ∴c=a+b －2r. ∴a+b －2r=22b a + .两边平方，得 a 2+b 2+4r 2+2ab －4(a+b)r= a 2+b 2. 4r 2+2ab －4(a+b)r=0. 用r=1, ab=2S △ 代入， 得 4+4S △－4(a+b) =0. a+b=S △+1. ∵ab=2S △ 且a+b=S △+1.∴a, b 是方程x 2－(S △+1)x+2S △=0 的两个根.nmDa∵a,b 是正实数， ∴△≥0，即 [－(S △+1)]2－4×2S △ ≥0， S △2－6S △+1≥0 .解得 S △≥3+22或S △≤3－22. S △≤3－22不合题意舍去. ∴S △ABC 的最小值是3+22. 例6.已知：.如图△ABC 中，AB=26+，∠C=30 . 求：a+b 的最大值.解：设 a+b=y , 则b=y －a. 根据余弦定理，得 (26+)2=a 2+(y －a)2－2a(y －a)Cos30写成关于a 的二次方程： (2+3)a 2－(2+3)ya+y 2－(8+43)=0.∵a 是实数， ∴△≥0.即(2+3)2y 2－4(2+3)[y 2－(8+43)]≥0，y 2－(8+43)2≤0 .∴ －(8+43)≤y ≤(8+43). ∴a+b 的最大值是8+43.又解：根据定理三 ∵AB 和∠C 都有定值. ∴当a=b 时，a+b 的值最大.由余弦定理，(26+)2=a 2＋b 2－2abCos30可求出 a=b=4+23. ……… 三、练习1. x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 满足. x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=. x 1x 2x 3x 4x 5，那么. x 5的最大值是＿＿＿＿＿＿.2. 若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积是______.3. 面积为100cm 2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿. 4. a, b 均为正数且a+b=ab,那么 a+b 的最小值 是________.5. 若x>0, 则x+x9的最小值是________. 6.如图直线上有A 、B 、C 、D 四个点.那么到A ，B ，C ，D 距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..7. 如右图△ABC 中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是 以AB ，BC ，CA 为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 8. 下列四个数中最大的是 ( )（A ） tan48 +cot48 ..(B)sin48 +cos48 . (C) tan48 +cos48 . (D)cot48 +sin48 .9.已知抛物线y=－x 2+2x+8与横轴交于B ，C 两点，点D 平分BC ，若在横轴上侧的点A 为抛物线上的动点，且∠BAC 为锐角，则AD 的取值范围是__________10. 如图△ABC 中，∠C=Rt ∠，CA=CB=1，点P 在AB 上，PQ ⊥BC 于Q.问当P 在AB 上什么位置时，S △APQ 最大？ 11. △ABC 中，AB=AC=a ，以BC 为边向外作等边 三角形BDC ，问当∠BAC 取什么度数时AD 最长？12. 已知x 2+2y 2=1, x,y 都是实数，求2x+5y 2的最大值、最小值. 13. △ABC 中∠B=60，AC=1，求BA+BC 的最大值及这时三角形的形状. 14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15. D ，E ，F 分别在△ABC 的边BC 、AC 、AB 上，若BD ∶DC=CE ∶EA=AF ∶FA =k ∶(1－k) (0<k<1). 问k 取何值时，S △DEF 的值最小？16.△ABC 中，BC=2，高AD=1，点P ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB 上，且四边形PEAF 是平行四边形.问点P 在BC 的什么位置时，S PEAF 的值最大？C DA B AB参考答案1. 5.2. 5，5 25.3. 40cm4. 45. 66.BC 上，BC+AD.7. 最大值是9，∵S △=21×3×2×SinBAC, ∠BAC=90度时值最大. 8. (A). 9. 3<AD ≤9 10. P 在AB 中点时，S △最大值=81， S △=222x x -⋅x 与2－x 的和有定值， 当x=2－x 时，S △值最大.11. 当∠BAC=120度时，AD 最大，在△ABD 中，设∠BAD=α由正弦定理a Sin ain 230)30180(S AD ==--α，当150 －α=90 时， AD 最大. 12. 当x=52时，有最大值1029；当x=－1时，有最小值－2 (仿例3). 13. 当a=c 时，a+c 有最大值2，这时是等边三角形. 14. 内切圆半径的最大值r=(2－1)△S (仿例6).15. 当 k=21时，S △DEF =41S △ABC ，16.当PB=1时，S 有最大值21. 16. 当点P 是BC 中点时，面积最大值是12.。
初中数学竞赛专题选讲-“或者”与“并且”(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.15）“或者”与“并且”一、内容提要1.“或者”与“并且”的词义是清楚的，区别也是明显的. 例如：① 正整数a 是3或5的倍数，那么a=3, 5, 6, 9, 10, 12, 15……；如果正整数b 是3的倍数且是5的倍数，那么b=15，30，45，60，…….在正整数中，设3的倍数的集合为P ，5的倍数集合为Q ，那么 ：a 是P 和Q 两个集合中的所有元素，而b 是这两个集合中的公共元素.② ⎩⎨⎧-==.12y x ，是方程x+y=1的一个解. 这里的大括号表示“并且”即当 x=2并且y=－1时，等式x+y=1成立.⎩⎨⎧-==.12y x ，等价于x=2并且y=－1. 记作⇔⎭⎬⎫-==12y x x=2并且y=－1. x=2, x=－2是方程x 2－4=0 的两个解.即当x=2或者x=－2时，等式x 2－4=0成立.x=2或x=－2 可记作 x=±2 .即 x=±2⇔ x=2或x=－2.2. 用“或者”与“并且”表示命题的等价命题.①.x ≥4⇔x>4或x=4.②.－4<x<4⇔x>－4且x<4⇔⎩⎨⎧<->.44x x ， ③.x ≠2⇔x<2或x<2④.x ≠±2⇔x ≠2且x ≠－2⇔⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠≠22x x )如图：3. 判断带有“或者”词义的命题的真假：第一种，命题结论带有“或者”的. 例如：⑤ 命题3≥2，读作3大于2或等于2，它是真命题. 因为“3大于2”，“3等于2”两个命题，用“或者”连结，只要有一个成立，就是真命题.⑥命题“如果a=0,那么a 2≥0”，也是真命题，因为这个命题等价于：若a=0, 则a 2>0或a 2=0，两个结论，用“或者”连结，有一个成立即可.第二种，命题的题设出现“或者”的. 例如⑦ 命题“如果a ≥0，则a 2=0”. 读作如果a=0或a>0, 则a 2=0. 它是假命题 因为命题的两个题设都使结论成立是不可能的. 这个命题等价于： 若a=0,则a 2=0且若a>0，则a 2=0. 两个命题要同时成立才是真命题.⑧ 方程和方程组的解：方程( x －a)(x －b)=0， 同解于x －a=0或者x －b=0.方程组⎩⎨⎧=-=-.00b x a x ， 同解于x －a=0并且x －b=0. ⑨不等式和不等式组的解集： 不等式组⎩⎨⎧>+>+.00b x a x ， 等价于x+a>0并且x+b>0. 不等式(x+a)(x+b)>0 等价于⎩⎨⎧>+>+；，00b x a x 或者⎩⎨⎧<+<+.00b x a x ， 二、例题例1.写出下列命题的等价命题：①实数a, b, c 都不为零；②实数a,b,c 不都为零；③x=±3且y ＝±2； ④⎩⎨⎧≥≤≤-.044x x ， 解：①. a, b, c 都不为零.⇔a ≠0且b ≠0且c ≠0.⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠≠≠⇔000c b a ⇔abc ≠0.②. a, b, c 不都为零⇔a, b, c 中至少有一个不为零.⇔a ≠0或b ≠0或c ≠0.⇔不是a, b, c 都等于零.⇔a 2+b 2+c 2≠0.③. x=±3且y ＝±2 ⇒⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±=23y x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==-==⇔2233y y x x 或或 ⇔⎩⎨⎧==；，23y x 或⎩⎨⎧-==；，23y x 或⎩⎨⎧=-=；，23y x 或⎩⎨⎧-=-=.23y x ， ④.⎩⎨⎧≥≤≤-.044x x ，⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=>≤-≥0044x x x x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-≥⇔；，，044x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧=≤-≥.044x x x ，，例2. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=.64222y x x ，解：由x 2=4，得x=±2.把x=±2.代入4＋y 2=6， 得y=±2.∴原方程组的解是 ⎩⎨⎧±=±=.22y x ， 即原方程组有四个解：⎩⎨⎧==；，22y x ⎩⎨⎧-==；，22y x ⎩⎨⎧=-=；，22y x ⎩⎨⎧-=-=.22y x ， 例3. 已知：a, b, c 是△ABC 的三边，试按下列条件判定三边之间的大小关系：① （a －b ）(b －c)=0 ； ②（a －b ）2+(b －c)2=0.解：① ∵当a －b=0或b －c=0时，等式成立.∴a, b, c 三边的大小关系是：a=b ；或b=c ；或a=b=c.② ∵当（a －b ）2＝0且(b －c)2＝0时，等式成立.∴⎩⎨⎧=-=-.00c b b a ， ∴a, b, c 三边的大小关系是：a=b=c.例4. x 取什么值时，下列各式在实数范围内有意义？①x x -+31； ②x -41.解：① x x -+31有意义.⇔⎩⎨⎧≥-≥+.0301x x ， ⇔⎩⎨⎧≤-≥.31x x ， 这个不等式组的解集，是 －1≤x ≤3.∴当－1≤x ≤3时，x x -+31有意义.② x -41有意义.⇔⎩⎨⎧≠-≥.040x x ， ⎩⎨⎧≠≥⇔.160x x ， ∴这个不等式组的解集，是：x ≥0且x ≠16.即当0≤x ＜16或x>16时，x -41有意 义.例5. 绝对值的几何意义是：在数轴上，一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.根据上述定义，解不等式：①x ＜5； ②y ＞3.解：① x ＜5，就是表示x 的点离开原点的距离小于5. （如图）即 x>－5且x<5. ∴x ＜5的解集是－5＜x ＜5. ② y ＞3，就是表示y 的点离开原点的距离大于3. （如图）即y<－3 或y>3.∴y ＞3的解集，是；y<－3 或y>3 .例6. 已知：方程0221=++-x t x 无解，求：t 的值. 解：去分母，得x+2+t(x －2)=0.整理为关于x 的一次方程， (t+1)x=2(t －1).当⎩⎨⎧≠-=+.0)1(201t t ， 时，原方程无解. 解这个方程组，得： t=－1；当x=2 或x=－2时原方程也无解.（∵这是增根）.分别以x=2， x=－2代入方程 (t+1)x=2(t －1).当x=2，t 无解； 当x=－2 时， t=0.综上所述，当t=－1 或t=0 时，方程0221=++-x t x 无解. 三、练习1. 填空：① 当a=＿＿＿＿＿＿＿ 时，)3)(11+-a a （ 没有意义. ② 当x ＿＿＿＿＿＿＿＿时， 912-x 有意义. ③ 当x ＿＿＿＿＿＿＿＿时，31--x x 在实数范围内有意义. ④ 当整数b=__________ 时，b3的值是整数. ⑤ 方程x+y=2 的正整数解是＿＿＿＿＿＿，非负整数解是＿＿＿＿＿＿＿＿.⑥ 平面内不重合的两条直线的位置关系有＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑦ 经过一点有一条＿＿只有一条直线和已知直线垂直.2. 用“或者”或“并且”连接词写出下列命题的等价命题① x ≠0⇔＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.② a ≠±3⇔＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.③ －3＜x ≤2⇔＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3. 用含有“或者”或“并且”的连接词叙述下列命题，并判断其真假.①如果x 2=16， 那么x= ±4. ②如果a=±3， 那么a =3.③如果x=0， 那么x 2≥0. ④如果y ≥0， 那么y 2>0. ⑤如果x ＜4， 那么－4<x<4. ⑥如果y ≥2， 那么y ≤－2或y ≥2.⑦如果x 是实数， 那么x 2+1≥0. …..⑧如果x ≥－3，. 那么3+x ＝x+3.4. x 取什么值时，下列各式能成立？①（x －2）(x+3)=0 ； ②(x+1)(x －2)>0； ③2＜x －1<5.5. 解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1322y x x ， 6. 解不等式组 ⎩⎨⎧><<-.253x x ， 7. 若a 是不为0的实数，那么根式a -1的取值范围是什么？8. a,b 是实数，若要由a 2>b 2 能得出a>b, 那么a, b 应满足什么条件？9. △ABC 中∠A ≤∠B ≤∠C 且2∠C=5∠A ，那么∠B 的取值范围是什么？10. a, b, c 三实数不都是零，可表示为( )(A) a+b+c ≠0. (B) abc ≠0 . (C) a 2+b 2+c 2≠0. (D) ab+bc+ca ≠0.11. 已知最简根式a b a +2 与b a -7是同类根式，那么应满足条件的a, b 的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.12. 方程x =ax+2 有一个负数根且没有正数根，那么a 的取值范围是____________.参考答案1. ①－1或3 ②3且－3 ③ x ≥1且 x ≠3 ④1或－1或3或－3 ⑤x=1且y=1；…… 2 ①x>0或x<0 ②a<－3或－3<a<3或a>3…3只有④假命题4①2或－3③3<x<6 5有4个解6.2<x<57.0<a-1<18.a+b>09. 40≤∠B≤7510.(C)11. a=3且b=112.大于或等于1.。
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初中数学竞赛专题选讲
配方法
一、内容提要
1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a 2±2ab+b 2写成完全平方式 （a ±b ）
2. 有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式. 常用的有以下三种：
①由a 2+b 2配上2ab ， ②由2 ab 配上a 2+b 2， ③由a 2±2ab 配上b 2.
2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：
① 用完全平方式来因式分解
例如：把x 4+4 因式分解.
原式＝x 4+4＋4x 2－4x 2=(x 2+2)2－4x 2＝……
这是由a 2+b 2配上2ab.
② 二次根式化简常用公式：a a =2
，这就需要把被开方数写成完全平方式. 例如：化简625-.
我们把5－26写成 2－232＋3 ＝2)2(－232＋2)3( ＝（2－3）2.
这是由2 ab 配上a 2+b 2.
③ 求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即∵a 2≥0， ∴当a=0时， a 2的值为0是最小值.
例如：求代数式a 2+2a －2 的最值.
∵a 2+2a －2= a 2+2a+1－3=(a+1)2－3
当a=－1时, a 2+2a －2有最小值－3.
这是由a 2±2ab 配上b 2
④ 有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.
例如:：求方程x 2+y 2+2x-4y+5=0 的解x, y.
解：方程x 2+y 2+2x-4y+1＋4＝0.
配方的可化为 （x+1）2+(y －2)2=0.
要使等式成立，必须且只需⎩⎨⎧=-=+0
201y x . 解得 ⎩
⎨⎧=-=21y x 此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.
二、例题
例1. 因式分解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1.
解：a 2b 2－a 2+4ab －b 2+1＝a 2b 2+2ab+1+(－a 2+2ab －b 2) （折项，分组）
＝（ab+1）2－(a －b)2 （配方）
＝（ab+1+a-b ）(ab+1-a+b) （用平方差公式分解）
本题的关鍵是用折项，分组，树立配方的思想.
例2. 化简下列二次根式： ①347+； ②32-； ③223410+-.
解：化简的关键是把被开方数配方 ①347+＝33224+⨯+＝2
)32(+ ＝32+＝2＋3. ②32-＝2322-＝2324-＝2
)13(2
- ＝2)13(2-＝2
26-. ③223410+-＝2
)12(410+- ＝）
＋（12410- ＝246-＝22224+⨯-＝2)22(-
=2－2.
例3. 求下列代数式的最大或最小值：
① x 2+5x+1； ② －2x 2－6x+1 . 解：①x 2+5x+1＝x 2+2×2`5x+225⎪⎭
⎫ ⎝⎛－425+1 ＝（x+
25）2－421. ∵（x+2
5）2≥0，其中0是最小值. 即当x=25时，x 2+5x+1有最小值－4
21. ②－2x 2－6x+1 ＝－2（x 2+3x-2
1）
=－2(x 2+2×
23x+4949-－2
1) ＝－2（x+23）2+211 ∵－2（x+
2
3）2≤0，其中0是最大值， ∴当x=－23时，－2x 2－6x+1有最大值211. 例4. 解下列方程：
①x 4－x 2+2xy+y 2+1=0 ； ②x 2+2xy+6x+2y 2+4y+10=0.
解：①（x 4－2x 2＋1）＋（x 2+2xy+y 2）=0 . （折项，分组）
(x 2－1)2+(x+y)2=0. （配方）
根据“几个非负数的和等于零，则每一个非负数都应等于零”.
得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-0
012y x x ∴⎩⎨⎧-==1,1y x 或 ⎩⎨⎧=-=1
1y x ②x 2+2xy+y 2+6x+6y+9+y 2－2y+1=0 . (折项，分组)
(x+y)2+6（x+y ）+9+y 2－2y+1=0.
(x+y+3)2+(y －1)2＝0. （配方）
∴⎩⎨
⎧=-=++0103y y x ∴⎩⎨⎧=-=14y x 例5. 已知：a, b, c, d 都是整数且m=a 2+b 2, n=c 2+d 2, 则mn 也可以表示为两个整
数的平方和，试写出其形式. （1986年全国初中数学联赛题）
解：mn=( a 2+b 2)( c 2+d 2)= a 2c 2+ +a 2d 2 +b 2 c 2+ b 2 d 2
= a 2c 2+ b 2 d 2+2abcd+ a 2d 2 +b 2 c 2－2abcd (分组，添项)
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
例6. 求方程 x 2+y 2-4x+10y+16=0的整数解
解：x 2-4x+16+y 2+10y+25=25 (添项)
（x －4）2+(y+5)2＝25 （配方）
∵25折成两个整数的平方和，只能是0和25；9和16.
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-⎪⎩⎪⎨⎧=+=-9
)5(16)4(16)5(9)40)5(25)4(25)5(0)422222222y x y x y x y x 或（或或（ 由⎩⎨⎧=+=-5504y x 得⎩
⎨⎧==04y x 同理，共有12个解⎩⎨
⎧-==104y x ⎩⎨⎧==5-9y x ⎩⎨⎧-=-=51y x ……。