河北大学高数题库计算题

计算题，每道题8分

第八章 多元函数微分法及其应用

1、求 1(,)(0,1)

lim (1)x

x y xy →+

2、求

22

(,)(,)

lim (

)x

x y xy x y →-∞+∞+ 3、设2()z

y u x

= 求(1,1,1)du

4、(6分)设u e y x st y t s x

===+sin ,

,

22，求,s t u u ''。

5、设u f =(,,)ξηζ，其中ξηζ==-=x

y

xy 2

2

2，求∂∂∂∂2222

u x u

y ,。

6、设函数(,)z z x y =由方程2

2

2

60x y z z ++-=所决定.求22z

x

∂∂.

7、设0=-xyz e z

, 求22x

z

∂∂

8、设2

2

(,)xy

z f e x y =+，求2z

x y

∂∂∂.

9、若 2

22

e x

y z z ++=确定(,)z z x y =. 求

z

x

∂∂ 和 z y ∂∂.

10、设函数(,)z f xy x y =+，f 具有二阶连续偏导数，求2z

x y

∂∂∂.

11、设1

(,)()z f x y y x y x

ϕ=++，其中f 、ϕ具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂。

12、设

，其中

二阶可导，(,)g u v 具有连续二阶偏导数，求

2z

x y

∂∂∂。 13、设(2,sin )z f x y y x =-，其中(,)f u v 具有二阶连续偏导数 ,求2z

x y

∂∂∂。

14、设函数3(,)y

z x f xy x =，f 具有二阶连续偏导数，求

.

15. 设函数 ，其中f 具有二阶连续偏导数，

均可微，

求

.

16、设(,)()x y

z f xy g y x

=+，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续偏导数,求2z x y ∂∂∂。

17、求旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面及法线方程.

第九章 重积分

18、 计算⎰⎰D

xyd σ, 其中D 是由抛物线x y 2=及直线2x y -=所围成的闭区域.

19、计算二重积分2,:01,0 1.D

y x dxdy D x y -≤≤≤≤⎰⎰

20、计算二重积分{}

22

max ,x y D

e

dxdy ⎰⎰，其中{}(,)0101D x y x y =≤≤≤≤

21、计算积分

⎰⎰⎰Ω

dxdydz z xy

32

，

其中Ω为曲面z xy =，平面y x x ==,1和z =0所围的区域 .

22、计算Ω

，其中Ω是由柱面2216x y +=与平面4y z +=和0z =所围成的闭

区域。

23、计算三重积分()x z dv Ω

+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z =与z =区域。

24、计算三重积分zdv Ω

⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22z x y =+与平面4z =所围成的闭区域。

25、计算三重积分2

2

2

()x y z dv Ω

++⎰⎰⎰，其中Ω是曲线220y x

x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲

面与平面z=4所围成的立体。

第十章 曲线积分与曲面积分

26、计算曲线积分()()()C

z y dx x z dy x y dz -+-+-⎰，其中C 是曲线221

2x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩，从z 轴

的负向看，C 的方向是逆时针的。

27、设曲线L 是由抛物线y =x 2和x =y 2所围成的区域的边界。求曲线积分

2()(2cos )x L

I y e dx x y dy =

+++⎰

。

28、计算()()⎰

+-++C

y x dx

y x dy y x 2

2，其中C 为圆周()()1122

2

=-+-y x （顺时针方向）.

29、计算曲线积分()()

d y a y

e dx ay y e I C

x x ⎰-+-=cos sin ，其中a 为常数，C 为由点()

0,2A 到点()0,0O 的上半圆周x y x 222=+.

30、计算曲线积分 22L

x y ds +⎰

，其中L 为圆周：22x y ax +=（0a >）.

31、在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线L ，使沿该曲线

从O 到A 的积分3(1)(2)L

y dx x y dy +++⎰的值最小。

32、计算曲面积分4(2)3z x y dS ∑

++

⎰⎰，其中∑为平面1234

x y z

++=在第一卦限中的部分。

33、计算曲面积分zdxdy ydzdx xdydz ∑

++⎰⎰，其中∑是平面1x y z ++=被三个坐标平

面所截得的三角形，取上侧。

34、计算曲面积分zds ∑

⎰⎰，其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分。

35、计算第一类曲面积分I x y z ds =++⎰⎰()∑

，其中∑:x y z z 222

10++=≥,为上半单位

球面。

36、计算xdydz ydzdx zdxdy S

++⎰⎰，S :球面x y z R 2222

++=的外侧。

37、设∑为曲面2221x y z ++=的外侧，计算曲面积分

333I x dydz y dzdx z dxdy ∑

=++⎰⎰ 。

38、求曲面积分S

I yzdzdx zdxdy =+⎰⎰，其中S 为球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分。

39、计算曲面积分zdxdy ∑

⎰⎰，其中∑为球面2222x y z R ++=在xOy 面上方部分的上侧。

40、计算()()()

x x dydz y y dzdx z z dxdy 222

123+++++⎰⎰∑

，其中∑为球面x y z 2221++=的

外侧。

41、计算xdydz ydzdx zdxdy ∑

++⎰⎰，其中曲面 ∑为22z x y =+（01z ≤≤）的下侧.

42、计算⎰⎰∑

++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑为半球面222y x R z --=的上侧.

第十一章 无穷级数