2020年天津市高三下学期期初检测六校联考数学试卷及答案
【精准解析】天津市六校2020届高三上学期期初检测数学试题+Word版含解析

可得 a 4, c 6 ,
由余弦定理可得: b2 a2 c2 2ac cosB 16 36 2 6 4 ( 1) 64 ,得 b 8 ,
4
由正弦定理 a b ,可得: sin A 15 ,cos A 7 .
sin A sin B
8
8
所以 cos 2 A 2cos2 A 1 17 , sin 2 A 2sin Acos A 7 15 ,
3.已知
a
ln
,b
lg125
,
c
1 e
0.3
,则
a
,b
,
c
的大小关系是(
)
A. a b c
B. b a c
C. c a b
D. 以上选项都不对
【答案】B
【解析】
只要坚持 梦想终会实现
-1-
高中学习讲义
【分析】
利用指数对数函数的图像和性质确定 a, b, c 的范围即得它们的大小关系.
【详解】由题得
x甲
=
18+26+28+28+31+33 6
=
82 3
,
只要坚持 梦想终会实现
-2-
高中学习讲义
x乙
=
12+18+19+25+26+32 6
=22
,
所以 x甲 x乙 .
从茎叶图可以看出甲的成绩较稳定,
所以要派甲参加.
故选:B
【点睛】本题主要考查平均数的计算和茎叶图,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和
A. x R , 2x2 3x
B. x R , 2x2 3x
C. x R , 2x2 3x
2020年天津京津中学高三数学理联考试卷含解析

2020年天津京津中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 复数,则().A.16 B.8 C.D.参考答案:A2. 某算法的程序框图如图所示,则输出S的值是( )A.6B.24C.120D. 840参考答案:C3. (8)某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为(A)(B)(C)(D)参考答案:D.4. 如图所示的函数的部分图象,其中A、B两点之间的距离为5,那么f(﹣1)=()A.﹣1 B.2 C.﹣2 D.2参考答案:D【考点】正弦函数的图象.【分析】根据题意,求出函数的半周期,计算ω的值,再求出φ的值,写出f(x)的解析式,计算出f(﹣1)的值.【解答】解:根据题意,A,B两点之间的距离为5,A,B两点的纵坐标的差为4,所以函数的半周期为T==3,解得T=6;则ω==,函数解析式为f(x)=2sin(x+φ);由f(0)=1,得2sinφ=1,∴sinφ=;又≤φ≤π,∴φ=;则f(x)=2sin(x+).∴f(﹣1)=2sin(﹣+)=2sin=2.故选:D.5. 对于平面上点P和曲线C,任取C上一点Q,若线段PQ的长度存在最小值,则称该值为点P到曲线C的距离,记作,若曲线C是边长为6的等边三角形,则点集所表示的图形的面积为()A. 36B.C. D.参考答案:D【分析】画出点集S={P|d(P,l)≤1}所表示图形,分别求出各部分图形的面积,作和得答案.【详解】点集S={P|d(P,l)≤1}所表示图形如图中的阴影部分所示:其中三个顶点处的扇形正好是一个半径为1的圆,其面积为,等边三角形ABC外的三个矩形面积为6,等边三角形ABC内的部分面积为-=18-故面积和为,故选D.【点睛】本题考查曲线与方程,考查数形结合的解题思想方法,关键是对题意的理解,是中档题.6. 函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f (x)在开区间(a,b)内有极小值( )A.2个B.1个C.3个D.4个参考答案:B考点:利用导数研究函数的极值.专题:导数的综合应用.分析:如图所示,由导函数f′(x)在(a,b)内的图象和极值的定义可知:函数f(x)只有在点B 处取得极小值.解答:解:如图所示,由导函数f′(x)在(a,b)内的图象可知:函数f(x)只有在点B处取得极小值,∵在点B的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,且f′(x B)=0.∴函数f(x)在点B处取得极小值.故选:B.点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值,考查了数形结合的思想方法,考查了推理能力,属于基础题.7. 若集合A={1,2,3,4,5},集合,则图中阴影部分表示A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {4,5}D. {1,4}参考答案:A【分析】将阴影部分对应的集合的运算表示出来,然后根据集合表示元素的范围计算结果.【详解】因为阴影部分是:;又因为,所以或,所以或,所以,又因为,所以,故选A.【点睛】本题考查根据已知集合计算图所表示的集合,难度较易.对于图中的阴影部分首先要将其翻译成集合间运算,然后再去求解相应值.8. 已知函数f(x)=,若关于x的不等式f2(x)+af(x)>0恰有两个整数解,则实数a的取值范围是()A.(﹣,﹣) B.[,)C.(﹣,﹣] D.(﹣1,﹣]参考答案:C【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.【分析】求出原函数的导函数,得到函数f(x)的单调区间,再由f2(x)+af(x)>0求得f(x)的范围,结合函数f(x)的单调性可得使不等式f2(x)+af(x)>0恰有两个整数解的实数a的取值范围.【解答】解:∵f′(x)=,∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,当a>0时,f2(x)+af(x)>0?f(x)<﹣a或f(x)>0,此时不等式f2(x)+af(x)>0有无数个整数解,不符合题意;当a=0时,f2(x)+af(x)>0?f(x)≠0,此时不等式f2(x)+af(x)>0有无数个整数解,不符合题意;当a<0时,f2(x)+af(x)>0?f(x)<0或f(x)>﹣a,要使不等式f2(x)+af(x)>0恰有两个整数解,必须满足f(3)≤﹣a<f(2),得<a≤,故选:C.9. 在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限参考答案:B10. 计算机执行右边程序框图设计的程序语言后,输出的数据是55,则判断框内应填()A.n<7 B.n≤7 C.n≤8 D.n≤9参考答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. .在三棱锥P-ABC中,,点P到底面ABC的距离是;则三棱锥P-ABC的外接球的表面积是_________.参考答案:5π【分析】根据线面垂直的判定定理以及勾股定理得出,平面,将三棱锥放入长方体中,得出长方体的外接球的半径,即为三棱锥的外接球的半径,再由球的表面积公式得出答案.【详解】取中点为,连接,过点作的垂线,垂足为平面,平面平面,,平面,平面,即在中,,与重合,即,平面将三棱锥放入如下图所示的长方体中则该三棱锥的外接球的半径所以三棱锥的外接球的表面积故答案为:【点睛】本题主要考查了多面体的外接球的问题,涉及了线面垂直的证明,属于中档题.12. 已知,函数的图象过(0,1)点,则的最小值是.参考答案:略13.在平面直角坐标系xOy 中,角的始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆交点的纵坐标为,则__________.参考答案:【分析】角的终边与单位圆交点的纵坐标为,可以求出终边与单位圆交点的横坐标,这样可以求出角,也就能求出的值.【详解】设角的终边与单位圆交点的横坐标为,因为角的终边与单位圆交点的纵坐标为,所以,当角的终边与单位圆交点的坐标为时,,当角的终边与单位圆交点的坐标为时,,,综上所述.【点睛】本题考查了通过求一个角的终边与单位圆的交点的坐标,求此角二倍角的余弦值问题,考查了分类讨论思想、数形结合思想.14. 设函数,则______.参考答案:略15. 已知中,,,则面积的最大值为 ;参考答案:16. 在中,点满足,则参考答案:3/1617. 复数(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为 .参考答案:4【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数.【分析】化简复数为a+bi (a ,b ∈R),然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a 的值.【解答】解:=.∵复数是纯虚数∴,解得:a=4.故答案为:4.【点评】本题考查了复数的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.三、 解答题:本大题共5小题,共72分。
高三理科数学六校联考试题 及答案

主视图左视图22高三理科数学六校联考试题本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 参考公式:锥体体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.第 Ⅰ 卷一.选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知,A B 是非空集合,命题甲:A B B = ,命题乙:A B ⊂≠,那么 ( )A.甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 2.复数21i i =- ( )A . 1i - B. 1i -+ C. 1i + D. 1i --3.已知点(,)N x y 在由不等式组002x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域内,则(,)N x y 所在平面区域的面积是( ) A .1B .2C .4D .84.等差数列{a n }中,已知35a =,2512a a +=,29n a =,则n 为 ( ) A. 13 B. 14 C. 15 D. 165. 函数21lo g 1x y x+=-的图像 ( )A . 关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y x =对称6.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ()A.B.C.3D.37.已知平面,,αβγ,直线,m l ,点A ,有下面四个命题: A . 若l α⊂,m A α= 则l 与m 必为异面直线;B. 若,l l m α 则m α ;C. 若 , , ,l m l m αββα⊂⊂ 则 αβ ;D. 若 ,,,m l l m αγγαγβ⊥==⊥ ,则l α⊥.其中正确的命题是 ( )8.某种游戏中,黑、黄两个“电子狗”从棱和为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”,黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…,黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…,它们都遵循如下规则:所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须异面直线(其中i 是正整数).设黑“电子狗”爬完2012段、黄“电子狗”爬完2011段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、黄“电子狗”间的距离是 ( ) A. 0B. 1C.2D. 3第 Ⅱ 卷二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题:第9、10、11、12、13题是必做题,每道试题考生都必须做答.9. 0-=⎰.10.函数2()sin cos 2f x x x =+,x R ∈的最小正周期为 11.在直角ABC ∆中, 90=∠C ,30=∠A , 1=BC ,D 为斜边AB 的中点,则 CD AB ⋅= .12.若双曲线22219x ya-=(0)a >的一条渐近线方程为320x y -=,则以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆的离心率为__________.13.将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排 成一数列:1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…, 右图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和,若输入m=4则相应最后的输出S 的值是__________.(二)选做题:第14、15题是选做题,考生只能从中选做一题.ONMBA14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2cos()2πρθ=-+,cos()104πθ-+=,则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为________.15.(几何证明选讲选做题)如图,点M 为O 的弦A B 上的一点,连接M O .M N O M ⊥,M N 交圆于N ,若2M A =,4M B =,则M N = .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)在A B C ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,S 是该三角形的面积,(1)若(2sin cos ,sin cos )2B a B B B =- ,(sin cos ,2sin )2Bb B B =+ ,//a b ,求角B 的度数;(2)若8a =,23B π=,S =b 的值.17 (本小题满分12分)甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是32和43假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响⑴求甲射击3次,至少1次未击中...目标的概率; ⑵假设某人连续2次未击中...目标,则停止射击,问:乙恰好射击4次后,被中止射击的概率是多少?⑶设甲连续射击3次,用ξ表示甲击中目标时射击的次数,求ξ的数学期望E ξ. (结果可以用分数表示)18. (本小题满分14分)如图,四边形A B C D 中(图1),E 是B C 的中点,2D B =,1,DC=BC =,AB AD ==将(图1)沿直线B D 折起,使二面角A B D C --为60(如图2)(1)求证:A E ⊥平面B D C ;(2)求异面直线A B 与C D 所成角的余弦值; (3)求点B 到平面A C D 的距离.19(本小题满分14分)已知函数()241(12)ln(21)22xa f x a x x +=-+++ .(1)设1a =时,求函数()f x 极大值和极小值; (2)a R ∈时讨论函数()f x 的单调区间.20.(本小题满分l4分)如图,P 是抛物线C :212y x =上横坐标大于零的一点,直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 与抛物线C 相交于另一点Q .(1)当点P 的横坐标为2时,求直线l 的方程;(2)若0O P O Q ⋅=,求过点,,P Q O 的圆的方程.21. (本小题满分l4分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,正数数列{}n b 中 ,2e b =(e 为自然对数的底718.2≈)且*N n ∈∀总有12-n 是n S 与n a 的等差中项,1 1++n n n b b b 与是的等比中项.(1) 求证: *N n ∈∀有nn n a a 21<<+;(2) 求证:*N n ∈∀有13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a .2012届第三次六校联考试题答案一.选择题:1、B ;2、A ;3、C ;4、C ;5、A ;6、B ;7、D ;8、D二、填空题:9. 4π; 10.π; 11. -1 ; 12.13; 13. 15;选做题:14. 1+ 15.三、解答题:16.解:(1)//a b24c o s s i n c o s 202BBB ∴⋅+= 21cos 4cos 2cos 102BB B -∴⋅+-= 1cos 2B ∴=(0,180)B ∠∈ 60B ∴∠=……………………6分(2)S = 1sin 2ac B ∴=7分得 4c =……………………8分2222cos b a c ac B =+-2284284cos120=+-⋅⋅……………………10分b ∴=12分17.解:(1)记“甲连续射击3次,至少1次未击中目标”为事件A 1,由题意,射击3次,相当于3次独立重复试验,故P (A 1)=1- P (1A )=1-32()3=1927答:甲射击3次,至少1次未击中目标的概率为1927;……………………4分(2) 记“乙恰好射击4次后,被中止射击”为事件A 2,由于各事件相互独立,故P (A 2)=41×41×43×41+41×41×43×43 =364,答:乙恰好射击4……………………8分(3)根据题意ξ服从二项分布,2323E ξ=⨯=……………………12分(3)方法二:03311(0)()327p C ξ==⋅=123216(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=22132112(2)()()3327p C ξ==⋅⋅=333218(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=161280123227272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………12分说明:(1),(2)两问没有文字说明分别扣1分,没有答,分别扣1分。
天津市十二重点中学2020届高三数学下学期毕业班联考试题(二)理(含解析)

天津市十二重点中学2020届高三下学期毕业班联考(二)数学(理)试题一:选择题。
1.已知集合,,则为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求得集合A、B,根据交集的定义写出.【详解】集合,,则.故选:A.【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题,是基础题.2.已知x,y满足不等式组,则目标函数的最小值为( )A. 1B. 2C. 4D. 5【答案】B【解析】分析:画出不等式组表示的可行域,平移直线,结合可行域可得直线经过点时取到最小值. 详解:画出不等式组表示的可行域,如图,平移直线,设可行域内一点,由图可知,直线经过点时取到最小值,联立,解得,的最小值为,故选B.点睛:本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.3.一个算法的程序框图如图所示,若该程序输出的结果是,则判断框中应填入的条件是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【详解】赋值i=1,T=0,S=0,判断条件成立,执行i=1+1=2,T=0+1=1,S=0;判断条件成立,执行i=2+1=3,T=1+1=2,S;判断条件成立,执行i=3+1=4,T=2+1=3,S;判断条件不成立,算法结束,输出S.此时i=4,4<4不成立.故判断框中应填入的条件是,故选:D.【点睛】本题考查程序框图,考查学生的读图能力,是基础题.4.已知m为实数,直线:,:,则“”是“”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的等价条件,求出m的值,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当m=1时,两直线方程分别为直线l1:x+y﹣1=0,l2:x+y﹣2=0满足l1∥l2,即充分性成立,当m=0时,两直线方程分别为y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,不满足条件.当m≠0时,则l1∥l2⇒,由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,由得m≠2,则m=1,即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件,故答案为:A【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断,考查两直线平行的等价条件,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答,直线和直线平行,则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.5.已知函数的最小正周期为,将的图象向左平移个单位长度,所得图象关于y轴对称,则的一个值是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:先根据函数的最小正周期为,求出的值,再由平移后得到为偶函数,可得,进而可得结果.详解:由函数的最小正周期为,可得,,将的图象向左平移个单位长度,得的图象,平移后图象关于轴对称,,,,故选D.点睛:已知的奇偶性求时,往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答:(1)时,是奇函数;(2)时,是偶函数.6.已知定义在R上的函数,则三个数,,,则a,b,c之间的大小关系是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】分析:求出的导数,得到函数的在上递增,利用对数函数与指数函数的性质可得,,从而比较函数值的大小即可.详解:时,,,可得在上递增,由对数函数的性质可得所以,由指数函数的性质可得,由可得,所以,根据函数的单调性可得,故选C.点睛:本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题,属于难题.解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间);二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7.双曲线C:的左、右焦点分别为,,点M,N在双曲线上,且,,线段交双曲线C于点Q,,则该双曲线的离心率是()A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】分析:运用双曲线的对称性结合,可设出的坐标,由可得的坐标,再由在双曲线上,满足双曲线的方程,消去参数可得从而可得到双曲线的离心率.详解:由,可得,由,可设,由,可得,可得,由在双曲线上,可得,消去整理可得,,故选D.点睛:本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率,属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来,再利用其中的一些关系构造出关于的等式,从而求出的值.8.已知函数定义在上的函数,则下列说法中正确的个数是()①关于x的方程,有个不同的零点②对于实数,不等式恒成立③在上,方程有5个零点④当,时,函数的图象与x轴围成的面积为4A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】分析:根据函数的表达式,作出函数的图象,利用数形结合分别判断即可.详解:由表达式可知.①当时,方程等价为对应方程根的个数为五个,而,故①错误;②由不等式等价为,在恒成立,作出函数图象如图,由图可知函数图象总在的图象上方,所以不等式恒成立,故②正确;③由,得,设,则在上,方程有四个零点,故③错误;④令得,,当时,函数的图象与轴围成的图形是一个三角形,其面积为,故④错误,故选B. 点睛:本题主要通过对多个命题真假的判断,主要综合考查函数的、函数的图象与性质,以及函数的零点与不等式恒成立问题,属于难题.这种题型综合性较强,也是高考的命题热点,同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”,因此做这类题目更要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件,另外,要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手,然后集中精力突破较难的命题.二:填空题。
2020天津六校第二学期统练(1)

.
i
11.在
1 3x
−
x 2
n
的展开式中,只有第
5
项的二项式系数最大,则展开式的常数项为
.
12.正方体外接球的表面积为16π ,则该正方体的表面积为
.
13.已知圆 C 经过点 A(2,−1) ,和直线 x + y = 1相切,且圆心在直线 y = −2x 上.则圆的方程
为
.
14.微信群里发四个红包(每个红包限 1 人抢),五人来抢,每人限抢一个,面值分别是 3 元 3
A.0
B. 1
C. 2
D.3
4.
5. 函数 f (x) = 1 sin 2x + 3 cos 2x(x ∈ R),将函数 f (x) 的图象向右平移 π 个单位长度,得
2
2
3
到函数
g
(x)
的图象,则
g
(x
)
在区间
0,π2
上的最小值为(
)
A.0
B. − 3
C.-1
1
D.
2
2
数学试卷 第 1 页 共 5 页
x2 5.已知双曲线 C : a2
−
y2 b2
= 1(a > 0,b > 0) 的右焦点为 F
,抛物线
y2
= 16x 与双曲线 C 共焦
点,点 A 在双曲线的渐近线上,∆OAF 是等边三角形( O 为原点),则双曲线的标准方程为( )
x2
A.
− y2 =1
x2
B.
− y2 =1
x2
C.
− y2 =1
2020 届高三年级第二学期期初检测六校联考
天津市六校2020学年度高三数学文科联考试卷

天津市六校2020学年度高三年级联考数学试题(文科)考试说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间为120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(每小题5分,共10个小题,共50分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数)1)(1ln()(>-=x x x f 的反函数是( ) A .)(1)(1R x e x f x ∈+=- B .)(110)(1R x x f x ∈+=-C .)1(110)(1>+=-x x fxD .)1(1)(1>+=-x e x fx2.已知条件265:,2|1:|x x q x p >->+条件,则q p ⌝⌝是的 ( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件3.设α是三角形的一个内角,且,51cos sin =+αα则方程1cos sin 22=-ααy x 表示( )A .焦点在x 轴上的双曲线B .焦点在y 轴上的双曲线C .焦点在x 轴上的椭圆D .焦点在y 轴上的椭圆4.设x x f x x f x a x f x =⎩⎨⎧>-≤-=-)(,0),1(0,2)(若有且只有两个实数解,则实数a 的取值范围是( )A .)2,(-∞B .)2,1[C .),1[+∞D .]1,(-∞5.m 、n 表示直线,γβα,,表示平面,给出下列四个命题,其中真命题为 ( )(1)βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m I (2)m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβαI I (3)αγβγαβα⊥=⊥⊥m m 则,,,I(4)βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n mA .(1)、(2)B .(3)、(4)C .(2)、(3)D .(2)、(4)6.若多项式=+++++++=+910109910102,)1()1()1(a x a x a x a a x x 则Λ( )A .9B .10C .-9D .-107.若函数)(,0)(21,0)1,0)(2(log )(2x f x f a a x x x f a 则内恒有在区间>⎪⎭⎫ ⎝⎛≠>+=的单调递增区间是( )A .⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-41, B .⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,41 C .()+∞,0D .⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,8.如果直线N M my kx y x kx y ,04122交于与圆=-++++=两点,且M 、N 两点关于直线0=+y x 对称,则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y my kx y kx 所表示的平面区域的面积是( )A .41 B .21 C .1 D .29.椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 的左右焦点分别为F 1、F 2,P 为椭圆M 上任一点,且21PF PF ⋅的最大取值范围是,],3,[2222b a c c c -=其中则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,21C .⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2110.设)(),(22222)(1031074n f N n n f n 则∈+++++=+Λ等于( )A .)18(72-nB .)18(721-+n C .)18(723-+n D .)18(724-+n第Ⅱ卷(非选择题,共100分)二、填空题(每小题4分,6个小题,共24分)11.已知抛物线方程为,2ax y =则其准线方程为 . 12.向量θ夹角与则满足,6||,2||,=-=+的最小值为 .13.点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上,三棱锥P —ABC 中,E 、F 分别是AC 、AB的中点,△ABC 、△PEF 都是正三角形,PF ⊥AB ,则△ABC 的边长为 . 14.设3log log 2log ,10=-+<<y a x y x a x x a 满足和,如果y 有最大值,42则此时a = ,x = .15.“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数(如34689),则五位“渐升数”共有 个,若把这些数按从小到大的顺序排列,则第100个数为 . 16.函数]2,0[|,sin |2sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且只有两个不同的交点,则k 的取值范围是 . 三、解答题(本大题共6小题,共76分)17.(本小题满分12分)已知△ABC 的面积为2,32=⋅- (1)求A tan 的值;(2)求)4cos(12cos 2sin 22sin 22A AA A --+π的值. 18.(本小题满分12分)某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球获得二等奖;摸出两个红球获得一等奖。
【附加15套高考模拟试卷】天津市六校2020届高三下第一次联考数学(文)试题含答案

天津市六校2020届高三下第一次联考数学(文)试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形,现从该正方形中任取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .316B .38C .14D .182.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布()20,3N ,从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) A .4.56%B .13.59%C .27.18%D .31.74%3.若向量a r ,b r 满足同3a =r ,2b =r ,()a ab ⊥-r r r ,则a r 与b r的夹角为( )A .2πB .23πC .6πD .56π4.抛物线的焦点为F ,准线为l ,A ,B 是抛物线上的两个动点,且满足23AFB π∠=,设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ,则MN AB的最大值是( )A .3B .3C .3D 35.设()f x 为定义在R 上的函数,当0x ≥时,()22()x f x x b b =++为常数,则(1)f -= A .-3B .-1C .1D .36.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:相逢时良马比驾马多行( ) A .1125里 B .920里C .820里D .540里分别交1l ,2l 于,A B 两点,若||OA ,||AB ,||OB 成等差数列,且(0)FA FB λλ=<u u u r u u u r,则该双曲线的离心率为( )A .5B .3C .5D .528.若实数,满足,则的最大值是( )A .-4B .-2C .2D .49.已知菱形ABCD 的边长为2,π3B ∠=,点P 满足AP AB λ=uu u r uu u r ,R λ∈.若3BD CP ⋅=-u u u r u u u r ,则λ=( ) A .12 B .12- C .13 D .13-10.函数()sin()f x x ωϕ=+(0>ω,2πϕ<)的最小正周期是π,若其图象向左平移3π个单位后得到的函数为奇函数,则函数()f x 的图象( ) A .关于点(0)12,π对称 B .关于直线12x π=对称C .关于点(0)6π,对称 D .关于直线6x π=对称 11.设,a b 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,,a b αβ⊂⊥,则“//αβ”是“a b ⊥r r”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件12.已知定义在()0,+∞上的函数()f x 满足()()0xf x f x -<',且()22f =,则()0xxf e e->的解集是( )A .(),ln2-∞B .()ln2,+∞ C .()20,e D .()2,e +∞ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2020届天津市部分区高三下学期质量调查数学(文)试题Word版含解析

2020届天津市部分区高三下学期质量调查数学(文)试题一、单选题1.设集合{}1,2,3A =,{}13B x R x=∈-<<,则A B =I ( )A .{}1,2B .{}1,3C .{}2,3D .{}1,2,3 【答案】A【解析】直接利用交集的定义求解即可.【详解】 Q 集合{}1,2,3A =,{}13B x R x =∈-<<,∴集合A 与集合B 公共元素组成的集合{}1,2A B ⋂=,故选A.【点睛】研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.2.设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是( )A .7B .5C .3D .2【答案】B【解析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,表示的可行域,如图,由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩, 将2z x y =+变形为2y x z =-+,平移直线2y x z =-+,由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时,直线在y 轴上的截距最大,z 最大值为2315z =⨯-=,故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.3.如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出a 的值为( )A .3B .2C .23D .12- 【答案】A 【解析】模拟执行程序框图,只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可得到输出的a 的值.【详解】输入3,1a i ==, 第一次循环2,23a i ==; 第二次循环1,32a i =-=; 第三次循环3,4,43a i ==>, 退出循环输出3a =,故选A. 【点睛】 本题主要考查程序框图的循环结构流程图,属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点:(1) 不要混淆处理框和输入框;(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构;(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构;(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数;(5) 要注意各个框的顺序,(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可. 4.设,则“”是“”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】根据指数函数的单调性可证明充分性与必要性均成立.【详解】在上递减,若充分性成立,若,则, 必要性成立,即“”是“”的充要条件,故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义,属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意:首先弄清条件和结论分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题的等价性判断;对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5.已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,若()()()0.322,2,log 5a f b f c f ===,则,,a b c 的大小关系为( ) A .c b a >>B .a b c >>C .c a b >>D .b c a >>【答案】B 【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围,从而可得结果.【详解】00.310.3222,122<<∴<<Q ,22log 5log 42>=Q ,0.3222log 5∴<<,()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上递减, ()()()0.3222log 5f f f ∴>>,即a b c >>,故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题,属于难题.解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(本题是看两个区间()()1,2,2,+∞ ;二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ,双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥,则双曲线的方程为( )A .221169x y -= B .22134x y -= C .221916x y -= D .22143x y -= 【答案】C【解析】根据双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥,结合222+=a b c ,列出关于a 、b 、c 的方程组,求出a 、b 即可得结果.【详解】()3,4Q 在22221x y a b -=的渐近线上, 43b a ∴=,① 又Q 12PF PF ⊥,44133c c ∴⋅=--+,② 又222+=a b c ,③由①②③得,229,16a b ==,∴双曲线方程为221916x y -=,故选C. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质,属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤:(1)判断焦点位置;(2)设方程;(3)列方程组求参数;(4)得结论.7.函数()()()sin 2f x x ϕϕπ=+<的图象过点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭(如图所示),若将()f x 的图象上所有点向右平移6π个单位长度,得到函数()g x 的图象,则()g x 图象的一条对称轴的方程为( )A .512x π=B .23x π=C .4x π= D .12x π=【答案】D【解析】利用图象求得函数()f x 的解析式,根据平移法则求得()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由232x k πππ+=+可得结果.【详解】()sin 2y x ϕ=+Q 过,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭,()3k πϕπϕπ∴+=<,k Z ∈,3ϕπ∴=-或23ϕπ=, 又()200,3f πϕ>∴=Q , ∴()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位, 得()2sin 263g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 即()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 令232x k πππ+=+,212k x ππ=+,k Z ∈, 0k =时,12x π=为()y g x =的一条对称轴的方程,故选D.【点睛】 本题考查了三角函数的图象与性质,重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握,能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题,反映学生对所学知识理解的深度.8.已知函数()216,42,4x x x x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩若存在实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==,其中c b a >>,则()()a b f c +的取值范围是( )A .24,36()B .48,54()C .24,27()D .()48,+∞【答案】B【解析】由二次函数的性质可得()()()6a b f c f c +=,数形结合求出c 的取值范围,可得()f c 的取值范围,从而可得结果.【详解】画出()216,42,4x x x x x x -⎧-+<=⎨≥⎩ 图象,如图, a b c <<Q ,∴由二次函数的性质可得6a b +=,由图可知,24log 91c <<+,()()()24log 91f f c f ∴<<+,()()()2log 911248,log 9129f f +-=+==,()89f c ∴<<,()48654f c <<,即()()a b f c +的取值范围是()48,54,故选B.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质,考查了二次函数指数函数的性质以及数形结果思想的应用,属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.函数图象是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来,图象的应用常见的命题探究角度有:1、确定方程根的个数;2、求参数的取值范围;3、求不等式的解集;4、研究函数性质.二、填空题9.i 是虚数单位,复数132i i -=+_____________. 【答案】1755z i =--【解析】利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数132i i-+即可. 【详解】 ()()()()13i 2i 13i 2i 2i 2i ---=++- 17i 17i 555--==--,故答案为17i 55z =--. 【点睛】复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.10.已知函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠,()'f x 为()f x 的导函数,且满足()'11f =,则a =____________.【答案】e【解析】利用对数函数的求导公式求出()'f x ,将1x =代入所求导函数,从而可得结果.【详解】()log a f x x =Q ,()()11','11ln ln f x f x a a∴===, a e ∴=,故答案为e .【点睛】本题主要考查初等函数的求导公式,意在考查对基本公式的掌握与应用,属于基础题.11.圆柱的体积为34π,底面半径为2,若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上,则该球的体积为____________. 【答案】43π 【解析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高,由勾股定理求出球的半径,根据球的体积公式可得结果.【详解】设圆柱的高为h ,Q 圆柱体积为34π3 23324h ππ⎛∴⨯⨯= ⎝⎭,1h =, 设球半径为R ,则()222231R =+,244R =,可得1R =,∴球的体积为34433R ππ=,故答案为43π. 【点睛】本题主要考查圆柱与球体的性质,以及柱体与球体的体积公式,意在考查综合运用所学知识解答问题的能力,考查了空间想象能力,属于中档题.12.已知圆心在直线10x y --=上的圆与y 轴的两个交点坐标分别为()()0,4,0,2-,则该圆的方程为_____________.【答案】()()222113x y -+-=【解析】求出()()0,4,0,2-的垂直平分线方程,与直线10x y --=联立,可得圆心坐标,从而求得圆的半径,进而可得结果.【详解】 Q 圆与y 轴的两个交点坐标分别为()()0,4,0,2-,∴圆心在()()0,4,0,2-的垂直平分线上1y =,又Q 圆心在10x y --=上,∴由110y x y =⎧⎨--=⎩得圆心坐标为()2,1,=∴圆的方程为()()222113x y -+-=,故答案为()()222113x y -+-=.【点睛】本题主要考查圆的方程与性质,属于中档题. 求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标(),x y ,根据题意列出关于,x y 的方程即可;②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径,写出方程;③待定系数法,可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程,再根据所给条件求出参数即可.13.已知0,0,0a b c >>>,若点(),P a b 在直线2x y c ++=上,则4a b a b c+++的最小值为___________.【答案】2+ 【解析】由(),P a b 在直线2x y c ++=上,可得20a b c +=->,设2c m c n -=⎧⎨=⎩,则2m n +=,原式化为4212m n m n +⎛⎫⨯+- ⎪⎝⎭,展开后利用基本不等式可得结果. 【详解】(),P a b Q 在2x y c ++=上,2a b c ∴++=,20a b c +=->,4422a b c a b c c c +-+=++-4212c c=+--, 设2c m c n -=⎧⎨=⎩,则2m n +=, 42424222m n c c m n m n +⎛⎫+=+=⨯+ ⎪-⎝⎭2333n m m n =++≥+=+当222m n =,即2c =时,“=”成立,4213122c c ∴+-≥+=+-即4a b a b c+++的最小值为2+,故答案为2+. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数是否在定义域内,二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).14.在ABC ∆中,D 为AB 的中点,点O 满足2CO OD u u u v u u u v=,OA OB ⊥,若10AB =,则AC BC ⋅=u u u v u u u v___________.【答案】200【解析】由已知,求得15,2102OD AB OC OD ====,且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ,则()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】ABC ∆Q 中,D 为AB 的中点,点O 满足2CO OD u u u v u u u v=,OA OB ⊥, 10AB =, 15,2102OD AB OC OD ∴====,且0OA OB ⋅=u u u r u u u r , ()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()2OC OC OA OB OA OB =-⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22OC OC OD =-⋅u u u r u u u r u u u r22100100200OC OC =+=+=u u u r u u u r ,故答案为200.【点睛】本题主要考查平面向量的运算以及平面向量数量积的运算,属于中档题. 平面向量数量积的计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式.利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.三、解答题15.在ABC ∆中,b =cos A =,2B A π=+.(Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)求cos 2C 的值. 【答案】(Ⅰ)3a =(Ⅱ)79【解析】(Ⅰ)根据同角的三角函数关系式,结合cos A =,可以求出sin A 的值,运用正弦定理,可以求出a 的值;(Ⅱ)由cos 3A =,2B A π=+,运用诱导公式,可以求出sin B 的值,根据同角的三角函数关系式,可以求出cos B 的值,运用三角形内角和定理和两角和的正弦公式求出sin C ,最后利用二倍角的余弦公式求出cos 2C 的值. 【详解】解:(Ⅰ)在ABC ∆中,由cos A =,(0,)A π∈得sin A ==因为2B A π=+,由正弦定理sin sin a bA B=,得sin()2a A A π+=,即cos a A =, 所以3a =.(Ⅱ)因为cos A =,2B A π=+,所以sin sin()cos 2B A A π=+==cos B ==. 所以1sin sin()sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B A B π=--=+=⋅+⋅=. 故27cos212sin 9C C =-=.【点睛】本题考查了正弦定理的应用,考查了同角的三角函数关系式,考查了二倍角的余弦公式,考查了两角和的正弦公式,考查了数学运算能力.16.“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式,小李的微信朋友圈内也有大量的好友参加了“微信运动.”他随机的选取了其中30人,记录了他们某一天走路的步数,将数据整理如下:(1)若采用样本估计总体的方式,试估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率; (2)已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”,否则评定为“懈怠型”.将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层,进行分层抽样,从中抽取5人,将这5人中属于“积极型”的人依次记为()1,2,3i A i =L ,属于“懈怠型”的人依次记为()1,2,3i B i =L ,现再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查.(i )试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;(ii )设M 为事件“抽取的2人来自不同的类型”,求事件M 发生的概率. 【答案】(1)56;(2)(i ){}12,A A ,{}11,A B ,{}12,A B ,{}13,A B ,{}21,A B ,{}22,A B ,{}23,A B ,{}12,B B ,{}13,B B ,{}23,B B ;(ⅱ)35【解析】(1)根据统计表各区间段的人数和总人数,得到每日走路步数超过5000步的频率,利用频率估计出概率;(2)(i )根据分层抽样,得到“积极型”和“懈怠型”的人数,从而列出所有的可能结果;(ii )写出满足事件M 的情况,根据古典概型公式,得到答案. 【详解】解:(1)由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人,频率为56, 所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. (2)(i )5人中“积极型”有125230⨯=人,这两人分别记为1A ,2A . 5人中“懈怠型”有185330⨯=人,这三人分别记为1B ,2B ,3B .在这5人中任选2人,共有以下10种不同的等可能结果:{}12,A A ,{}11,A B ,{}12,A B ,{}13,A B ,{}21,A B , {}22,A B ,{}23,A B ,{}12,B B ,{}13,B B ,{}23,B B .(ii )事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果:{}11,A B ,{}13,A B ,{}21,A B ,{}22,A B ,{}23,A B所以根据古典概型公式,得其概率为()63105P M ==. 所以事件M 发生的概率35. 【点睛】本题考查利用频率估计概率,分层抽样中各层数量的计算,求古典概型概率,属于简单题. 17.如图,四棱锥P ABCD -中,PA CD ⊥,AD BC ∥,90ADC PAD ∠=∠=︒,,112BC CD AD ===,2PA =,M 为PD 的中点.(1)求证:PA AB ⊥; (2)求证:CM ∥平面PAB ; (3)求直线CM 与平面PAD 所成的角. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)6π【解析】(1)根据PA AD ⊥,PA CD ⊥,得到PA ⊥平面ABCD ,从而得到PA AB ⊥;(2) 【详解】(1)证明:90PAD ∠=︒Q ,PA AD ∴⊥又PA CD ⊥Q ,CD AD D =I ,,CD AD ⊂平面ABCD ,PA ∴⊥平面ABCD又AB ⊂Q 平面ABCDPA AB ∴⊥.(2)证明:取PA 中点N ,连接,MN BN .M Q ,N 分别是PA ,PD 的中点, MN AD ∴P 且12MN AD =, 又BC AD Q ∥且12BC AD =,MN BC ∴P 且=MN BC ,∴四边形MNBC 是平行四边形,CM BN ∴P ,又CM ⊄Q 平面PAB ,BN ⊂平面PAB ,CM ∴P 平面PAB .(3)解:CD PA ⊥Q ,CD AD ⊥,PA AD A ⋂=,,PA AD ⊂平面PAD ,CD \^平面PADCMD ∴∠为直线CM 与平面PAD 所成的角在Rt PAD ∆中,PA =Q 2AD =,PD ∴=MD ∴=所以在Rt CMD ∆中,tan 3CD CMD MD ∠==. 6CMD π∴∠=.所以,直线CM 与平面PAD 所成的角为6π.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质,线面平行的判定,求直线与平面所成的夹角,属于简单题. 18.已知{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,且11a =,3412a a +=,12b a =,25b a =. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)设()()*1nn n n c a b n N=-∈,求数列{}nc 的前n 项和nS.【答案】(1)21n a n =-,3nn b =;(2)()1341388n n n S +-=-⋅-. 【解析】(1)由11a =,3412a a +=求出{}n a 的公差,可得{}n a 的通项公式,由1225,b a b a ==求出等比数列的首项与公比,从而可得{}n b 的通项公式;(2)利用(1)得()()()()()11213213n n nn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-,结合等比数列的求和公式,利用错位相减法可得结果. 【详解】(1)Q 设等差数列{}n a 的公差为d ,1341,12a a a =+=,12512a d ∴+=,2d ∴=,21n a n ∴=-.设等比数列{}n b 的公比为q ,1225,b a b a ==,1223,9b a b ∴===,3q ∴=,∴3n n b =.(2)由题意,得()()()11213nnn n n n c a b n =-⋅⋅=-⋅-⋅()()213nn =-⋅- ,()()()()()23133353213nn S n ∴=⋅-+⋅-+⋅-++-⋅-L ,()()()()()()23131333233213n n n S n n +∴-=⋅-+⋅-++-⋅-+-⋅-L ,上述两式相减,得()()()()()23143232323213n n n S n +=-+⋅-+⋅-++⋅---⋅-L()()()()2112313321313n n n -+⎡⎤⋅---⎣⎦=-+--⋅-+()1341322n n +-=-⋅-. ()1341388n n n S +-∴=-⋅-.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算,以及等比数列的求和公式,错位相减法的应用,属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点:①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件(一个等差数列与一个等比数列的积);②相减时注意最后一项 的符号;③求和时注意项数别出错;④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22,短轴长为22.(1)求C 的方程;(2)如图,经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于,A B 两点,交y 轴于点E ,点P 为线段AB 的中点,若点E 关于x 轴的对称点为H ,过点E 作OP (O 为坐标原点)垂直的直线交直线AH 于点M ,且APM ∆面积为23,求k 的值. 【答案】(1)22142x y +=;(2)22±【解析】(1,短轴长为222a b c =+ ,列出关于a 、b 、c 的方程组,求出a 、b 即可得结果;(2)设直线l 的方程为()2y k x =+,与椭圆方程联立,结合韦达定理求得直线EM 的斜率,可得直线EM 方程,与直线AH 的方程联立求得点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,根据点到直线的距离公式、弦长公式以及三角形面积公式可得2413221APMkS AP d k ∆=⋅==+,从而可得结果. 【详解】(1)由题意,知22222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩.解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22142x y +=.(2)易知,椭圆的左顶点()2,0A -,设直线l 的方程为()2y k x =+,则()()0,2,0,2E k H k -.由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理,得()2222218840k x k x k +++-=.设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ,()()422644218416k k k ∴∆=-+-=. 2122821k x x k +=-+,21228421k x x k -⋅=+. ()2012214221k x x x k ∴=+=-+,()2002242222121k k y k x k k k ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭,0012OP y k x k ∴==-,∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =-=. ∴直线EM 方程为22y kx k =+,直线AH 的方程为()2y k x =-+.∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离为d ==12AB x ∴=-==12AP AB ==. 241132221APMkS AP d k ∆∴=⋅==+. AOMS ∆=Q,243213k k ∴=+,解得k =. 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组,解出,,a b ,从而写出椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.20.已知函数()322f x x ax b x =+-,其中,a b ∈R .(1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线30y -=平行,求a 与b 满足的关系; (2)当0b =时,讨论()f x 的单调性;(3)当0,1a b ==时,对任意的()0,x ∈+∞,总有()()xf x x e k <+成立,求实数k 的取值范围.【答案】(1)2320a b +-=;(2)①当0a =时,()f x 在R 上单调递增;②当0a >时,()f x 在2,3a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增;在2,03a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减;当0a <时,函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增;在20,3a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减;(3)[)2,-+∞. 【解析】(1)求出()'f x ,由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行,得()'10f =,从而可得结果;(2)求出()'f x ,分三种情况讨论a 的范围,在定义域内,分别令()'0f x >求得x 的范围,可得函数()f x 增区间,()'0f x <求得x 的范围,可得函数()f x 的减区间;(3)当0,1a b ==时,()3f x x x =-,()()x f x x e k <+对任意的()0,x ∈+∞恒成立等价于21x k x e >--在()0,x ∈+∞恒成立. 设()()21,0x g x x e x =-->,两次求导,可得()()02g x g <=-,从而可得结果.【详解】(1)由题意,得()22'32f x x ax b =+-.由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行,得()'10f =. 即2320a b +-=.(2)当0b =时,()2'32f x x ax =+,由()'0f x =知240a ∆=≥.①当0a =时,0∆=,()'0f x ≥在R 恒成立,∴函数()f x 在R 上单调递增.②当0a >时,由()'0f x >,解得0x >或23x a <-; 由()'0f x <,解得203a x -<<. 函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增;在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时,()'0f x >,解得23x a >-或0x <; 由()'0f x <,解得203x a <<-.函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增;在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. (3)当0,1a b ==时,()3f x x x =-,由()()x f x x e k <+,得()3x x x x e k -<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立. 0x Q >,21x x e k ∴-<+,21x k x e ∴>--在()0,x ∈+∞恒成立.设()()21,0x g x x e x =-->,则()'2xg x x e =-, 令()2x h x x e =-,则()'2xh x e =-, 由()'0h x =,解得ln2x =.由()'0h x >,解得0ln2x <<;由()'0h x <,解得ln2x >.∴导函数()'g x 在区间()0,ln2单增;在区间()ln2,∞+单减,()()''ln22ln220g x g ∴≤=-<,∴()g x 在()0,∞+上单调递减,()()02g x g ∴<=-,2k ∴≥-.故所求实数k 的取值范围[)2,-+∞.【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值,考查了不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立(()min a f x ≤即可);② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可);③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立;④ 讨论参数,排除不合题意的参数范围,筛选出符合题意的参数范围.。
2020届天津市十二区县重点学校高三毕业班下学期第二次联考测试数学试题(解析版)

绝密★启用前天津市十二区县重点学校2020届高三毕业班下学期第二次联考测试数学试题(解析版)一、选择题(5分×9)1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-,集合{}0,1,2A =,{}1,0,1B =-,则()U A B ⋂=( )A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3- 【答案】A【解析】【分析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题,注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】={1,3}U C A -,则(){1}U C A B =-故选:A【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.设,x y ∈R ,则“x y >”是“ln ln x y >”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由对数函数的单调性,可得0x y >>,进而可得充分性和必要性.【详解】解:ln ln 0x y x y >⇔>>,则“x y >”是“ln ln x y >” 必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考查充分性和必要性的判断,考查对数函数单调性的应用,是基础题.3.某学校组织部分学生参加体能测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).若低于60分的人数是18人,则参加体能测试的学生人数是()A. 45B. 48C. 50D. 60【答案】D【解析】【分析】根据频率分布直方图,利用频率、频数与样本容量的关系,即可求出该班的学生数. 【详解】解:根据频率分布直方图,得低于60分的频率是(0.005+0.01)×20=0.3,所以该班的学生人数为1860 0.3=.故选:D.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频率=频数/样本容量的应用问题,是基础题目.4.已知832axx⎫-⎪⎭的展开式中常数项为112,则实数a的值为()A. ±1B. 1C. 2D. 2±【答案】A【解析】【分析】。
天津2020届高三年级第二学期期初检测六校联考

2020届高三年级第二学期期初检测六校联考数学学科试卷第I 卷(选择题,共45分)一、选择题(本题共9个小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.考试结束后,上交答题卡. 1.已知集合{}{}22|,|g 14lo A x x B x x ==<≤,则A B =I ( )A .(),2-∞B .()0,2C .()2,0-D .(]2,2-2.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若,,a b c 成等比数列,且2c a =,则cos B =( )A .34 B . 14C .4D .33.下列命题正确的个数为( ) ①“函数sin 2y x =的最小正周期为2π”为真命题;②对于命题p :0x R ∃∈,20010x x ++<,则命题p 的否定:x R ∀∈,210x x ++≥ ③若,m n R ∈ ,“ n m ln ln <”是“n m e e <”的充分不必要条件 ④随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),P (ξ<4)=0.8则P (2≤ξ<4)=0.3.A.0B. 1C. 2D.34. 函数()()R x x x x f ∈+=2cos 232sin 21,将函数()x f 的图象向右平移3π个单位长度,得到函数()x g 的图象,则()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π,上的最小值为( )A.0B.23-C.-1D.21 5.已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ,抛物线x y 162=与双曲线C 共焦点,点A 在双曲线的渐近线上,OAF ∆是等边三角形(O 为原点),则双曲线的标准方程为( ) A.112422=-y x B.141222=-y x C.1322=-y x D.1322=-y x 6.已知数列{}n a 满足()*+∈-=N n a a nn 111,且21=a ,则2020a =( ) A.-1 B.21 C.23D.2 7.已知函数2()2sin12xxf x e =+-,15(log 3),a f =0.5(0.4)b f -=-, 3log 3.1(3)c f =则,,a b c 的大小关系( )A.a c b >>B.b c a >>C.c b a >>D.a b c >>8.已知56BAC π∠=,3,AB AC ==BP BC λ=u u u r u u u r ,且5AP BC ⋅=-u u u r u u u r ,则λ的值为( )A.12 B.23 C.13 D.149.已知定义在R 上的奇函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤---=)10(,12)1(,27321)(2x x x x x f x ,若关于t 的方程)()(R m m t f ∈=恰有5个不同的实数根54321,,,,t t t t t ,则54321t t t t t ++++的取值范围是( )A.()1,2--B.()1,1-C.()2,1D.()3,2第Ⅱ卷 (非选择题,共105分)二.填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.) 10.已知i 是虚数单位,n m ,均为实数,若复数1n mii i-=+,则n m +=___ . 11.在2nx ⎫-⎪⎭的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为 . 12.正方体外接球的表面积为16π,则该正方体的表面积为 .13.已知圆C 经过点()1,2-A ,和直线1=+y x 相切,且圆心在直线x y 2-=上.则圆的方程为 .14.微信群里发四个红包(每个红包限1人抢),五人来抢,每人限抢一个,面值分别是3元3元6元8元(相同面值算一种),则五人得到红包面值不同结果的种数有 .(填数字)15.已知,,x y z R +∈求22234xz yzx y z +++的最大值为 .三.解答题(本大题5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.(本题14分)甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动,每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团。
天津市六校2020届高三数学下学期期初检测试题

14.60
15. 5 2
三.解答题(本大题 5 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
16.(本小题满分 14 分)
【答案】解:(Ⅰ)设“恰有两个同学选报的社团完全相同”为事件 A,
7
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P( A)
C32C42 (C21C21 (C42 )3
则
| 2 4 |
2 ,解得 2 ( - 2 舍)
2 3 92 4 4 3
5
3
………15 分
18.【答案】(Ⅰ)因为 e 3 , b 1,所以 a 2, c 3 2
………2 分
椭圆的标准方程为 x2 y2 1 4
………………………3 分
(Ⅱ)因为 k AB
1, 2
AB
5
,
l AB
………………………5 分 ………………………6 分
由题知 l : y 1 x - 2 ,所以 d 2 2 2
2
5
………………………7 分
所以 SPAB
1d 2
AB
1 2
2
2 1 5
5
2 1.
…………………8 分
(法 2)设 Pcos ,sin , AB 5
……………4 分
则 d 2 cos 2sin 2 2 2 cos 2 2
1)
5 12
………………4 分
另解:四个社团中选两个一共有 6 个组合,每位同学从一个组合中选一个
P(
A)
C32
6 63
5
5 12
(Ⅱ)设“甲同学选报足球社”为事件 B
(以上列式正确给 2 分)
P(B)
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2020年天津市高三下学期期初检测六校联考数学试卷第I 卷(选择题,共45分)一、选择题(本题共9个小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.考试结束后,上交答题卡. 1.已知集合{}{}22|,|g 14lo A x x B x x ==<≤,则A B =I ( )A .(),2-∞B .()0,2C .()2,0-D .(]2,2-2.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若,,a b c 成等比数列,且2c a =,则cos B =( )A .34 B . 14C .4D .33.下列命题正确的个数为( ) ①“函数sin 2y x =的最小正周期为2π”为真命题;②对于命题p :0x R ∃∈,20010x x ++<,则命题p 的否定:x R ∀∈,210x x ++≥ ③若,m n R ∈ ,“ n m ln ln <”是“n m e e <”的充分不必要条件 ④随机变量ξ服从正态分布N (2,σ2),P (ξ<4)=0.8则P (2≤ξ<4)=0.3.A.0B. 1C. 2D.34. 函数()()R x x x x f ∈+=2cos 232sin 21,将函数()x f 的图象向右平移3π个单位长度,得到函数()x g 的图象,则()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π,上的最小值为( )A.0B.23-C.-1D.21 5.已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的右焦点为F ,抛物线x y 162=与双曲线C 共焦点,点A 在双曲线的渐近线上,OAF ∆是等边三角形(O 为原点),则双曲线的标准方程为( ) A.112422=-y x B.141222=-y x C.1322=-y x D.1322=-y x 6.已知数列{}n a 满足()*+∈-=N n a a nn 111,且21=a ,则2020a =( ) A.-1 B.21 C.23D.2 7.已知函数2()2sin 12xxf x e =+-,15(log 3),a f =0.5(0.4)b f -=-, 3log 3.1(3)c f =则,,a b c 的大小关系( )A.a c b >>B.b c a >>C.c b a >>D.a b c >>8.已知56BAC π∠=,3,AB AC ==BP BC λ=u u u r u u u r ,且5AP BC ⋅=-u u u r u u u r ,则λ的值为( )A.12 B.23 C.13 D.149.已知定义在R 上的奇函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--≤---=)10(,12)1(,27321)(2x x x x x f x ,若关于t 的方程)()(R m m t f ∈=恰有5个不同的实数根54321,,,,t t t t t ,则54321t t t t t ++++的取值范围是( )A.()1,2--B.()1,1-C.()2,1D.()3,2第Ⅱ卷 (非选择题,共105分)二.填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.) 10.已知i 是虚数单位,n m ,均为实数,若复数1n mii i-=+,则n m +=___ . 11.在2nx ⎫-⎪⎭的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为 . 12.正方体外接球的表面积为16π,则该正方体的表面积为 .13.已知圆C 经过点()1,2-A ,和直线1=+y x 相切,且圆心在直线x y 2-=上.则圆的方程为 .14.微信群里发四个红包(每个红包限1人抢),五人来抢,每人限抢一个,面值分别是3元3元6元8元(相同面值算一种),则五人得到红包面值不同结果的种数有 .(填数字)15.已知,,x y z R +∈求22234xz yzx y z +++的最大值为 .三.解答题(本大题5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.(本题14分)甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动,每个同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团。
(Ⅰ)求恰有两个同学选报的社团完全相同的概率。
(Ⅱ)求同学甲选报足球社的概率。
(Ⅲ)若甲已经报名参加了合唱社团,只需在其余三个社团中再选报一个,乙、丙从四个社团中随机选两个,设报名足球社的同学人数为X ,求随机变量X 的分布列及期望17.(本题15分)已知平面ABCD ⊥平面CDEF ,且四边形ABCD 是边长为2的正方形,四边形CDEF 为直角梯形,∠CDE=90°,EF ∥CD ,EF=1,DE=2,G 为线段CF 上一点,且CF CG λ=,H 为线段DE 上靠近E 的三等分点。
(Ⅰ)当21=λ时,求证AH ∥平面BDG 。
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求平面BDG 与平面BCF 所成的锐二面角的余弦值。
(Ⅲ)当λ为何值时,直线BE 与平面BDG 所成角的正弦值为32。
18.(本题15分)已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的离心率是23,一个顶点是()1,0B ,椭圆的右顶点为A .(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)P 为椭圆C 上一动点,求PAB ∆面积的最大值;(Ⅲ)设Q P ,是椭圆上异于顶点的任意两点,且BQ BP ⊥,求证:直线PQ 恒过定点.19.(本题15分)数列{}n a 的前n 项和n S 满足:()n n S n n S 122-+-()02=+-n n ,()*∈N n ,{}n a 为正项数列;数列{}n b 是首项为14,公比为14的等比数列.(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(Ⅱ)令()2221nn n n a n n b a c +++=,数列{}n c 的前n 项和n T ,求n T .20.(本题16分)设函数()()01>++=a b aeae x f x x ,其中e 是自然对数的底数. (Ⅰ)设曲线()x f y =在点()()22f ,处的切线方程为x y 23=, 求b a ,的值;(Ⅱ)求()x f 在[)∞+,0内的最小值; (Ⅲ)当0,1==b a 时,已知正数m 满足:存在[)+∞∈,10x ,使得()()03003x x m x f +-<成立,试比较11--e m m e 与的大小,并证明你的结论.六校联考 数学学科评分标准一、 选择题(本题共9个小题,每小题5分,共45分) BADBA DCCB二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分). 10.-211.7 12. 3213.()()22122=++-y x 14.60 15.25三.解答题(本大题5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分14分)【答案】解:(Ⅰ)设“恰有两个同学选报的社团完全相同”为事件A ,125)()1()(32412122423=+=C C C C C A P………………4分 另解:四个社团中选两个一共有6个组合,每位同学从一个组合中选一个125656)(323=⨯⨯=C A P(以上列式正确给2分) (Ⅱ)设“甲同学选报足球社”为事件B21)(2413==C C B P………………7分(Ⅲ)X 的所有可能值为0,1,2,3, ………………8分 甲同学报名足球社的概率为31,由(2)可知,乙、丙报名足球社的概率都为21,故61)21(32)0(2===X P………………9分 125)21(32)21(31)1(2122=+==C X P………………10分31124)21(31)21(32)2(2122==+==C X P ………………11分121)21(31)3(2===X P ………………12分X 0123P61125 31 121……………………………13分34123128125)(=++=X E……………………………14分 17.【答案】解:(Ⅰ)∵平面ABCD ⊥平面CDEF ,且交线为CD DE ⊥CD ∴DE ⊥平面ABCD ………… 1分故以DE DC DA ,,方向为x 轴,y 轴,z 轴方向建立空间直角坐标系,由题意得)0,0,0(D ,),0,2,0(),0,2,2(),0,0,2(C B A ),2,0,0(E ),34,0,0(H )1,23,0(G ,则)1,23,0(=DG ,)0,2,2(=DB设平面DBG 的法向量为),,(111z y x m =则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0220231111y x z y ,令)3-,2,2-(=m , ………………………………… 3分 )34,0,2(-=0=⋅m AH …… …… …… …… 4分又∵⊄AH 平面BDG , …… …… …… …… 5分 故AH ∥平面BDG .…… …… …… …… 6分 (Ⅱ)在平面BCF 中,)2,1,0(),0,0,2(-=-= 设平面BCF 的法向量),,(222z y x n =⎩⎨⎧=+-=-0202222z y x ,则令)1,2,0(=n .…… …… …… ……8分 ∴85855171,cos =>=<n m .…… …… …… …… 9分 故两个平面所成的锐二面角的余弦值为8585..…… …… …… … 10分 (设二面角则可以不作答,否则扣1分)(Ⅲ)∵λ=∴)2,,0(λλ-=,故)2,2,0(λλ-G … …… …… … 11分 ∴)0,2,2(),2,2,0(=-=DB DG λλ ⎩⎨⎧=+-=+02)2(0221111z y y x λλ,故设法向量)2,2,2(--=λλλm … 13分由题意可知32|,cos |=><…………… 14分3244932|42|2=+--λλλ,解得52=λ(32-=λ舍) ………15分18.【答案】(Ⅰ)因为23=e ,1=b ,所以3,2==c a ………2分椭圆的标准方程为1422=+y x ………………………3分(Ⅱ)因为5,21==AB k AB ,12:=+y xl AB , 设切线m x y l +-=21:, ………………………4分所以424,2214222=⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎩⎪⎨⎧=++-=m x x y x m xy 则,0444222=-+-m mx x , ………………………5分2,016-3222===∆m m , ………………………6分由题知2-21:x y l -=,所以5222+=d ………………………7分 所以()12551222121+=+==∆AB d S PAB . …………………8分(法2)设(),sin ,cos θθP 5=AB ……………4分则()()512252cos 2252sin 2cos 2+≤-+=-+=ϕθθθd …7分 所以()12551222121+=+==∆AB d S PAB . ……………8分 (Ⅲ)由题知k 存在,设()()221,1,,y x Q y x P设直线PQ 为m kx y l +=:,将直线l 代入椭圆C 整理得()044841222=-+++m kmx x k , 则22212214144,418-km x x k km x x +-=⋅+=+,① ……………9分 ()()044414642222>-+-=∆m k m k , ……………10分(没写判别式但最后检验了不扣分)因为BQ BP ⊥,所以1112211-=-⋅-x y x y , ……………11分 整理得()01212121=++-+y y y y x x ,因为m kx y m kx y +=+=2211,,整理得()()()()0111221212=-++-++m x x m k x x k ,②……………13分①代入②整理得03252=--m m ,解得1,53-==m m 或(舍去) …………………14分 所以,直线PQ 恒过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛53-0,. …………………15分 19. 【答案】(Ⅰ)由()()01222=+--+-n n S n n S n n ,得()[]()012=++-n n S n n S , …………………1分由于{}n a 是正项数列,所以0>n S ,n n S n +=2, ……………2分 于是,211==S a …………………3分2≥n 时,n S S a n n n 21=-=-, …………………4分综上,数列{}n a 的通项公式n a n 2=. …………………5分数列{}n b 是等比数列,411=b ,41=q ,所以nn b ⎪⎭⎫ ⎝⎛=41……………6分 (Ⅱ)因为()22241412+++⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n c n n ,令⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n n 412前n 项和为n A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧++22241n n n 前n 项和为n B ,所以n n n B A T += ①()n n n n n A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=-4124112416414412132Λ …7分 ②()1432412411241641441241+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n n n n A Λ …8分①-②得12412414141243+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n A Λ ………9分 所以()nn n A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=41986-98 …………………11分因为()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++2222211161241n n n n n , …………………12分所以()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--+--++++=22222222222211111112151-3141-2131-1161n n n n n n B n Λ ……………………………………13分 得()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=222111-45161n n B n , ……………………14分 所以()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2221114516141986-98n n n T n n ……15分20.【答案】(Ⅰ)依题意(),1'x x aeae x f -= ……………………………………1分 (),231222'=-=ae ae f ()32=f , …………………………………2分 解得22=ae 或212-=ae (舍去)所以22e a =, …………3分 代入原函数可得,3212=++b 即21=b . 故21,22==b e a . …………………………………4分 (Ⅱ)(),1'x x ae ae x f -= 当()0'>x f ,即a x ln ->时,()x f 在()+∞-,ln a 上递增; ……5分当()0'<x f ,即a x ln -<时,()x f 在()a ln --∞,上递减; ……6分 (1)当10<<a 时,()x f a ,0ln ->在()a ln 0-,上递减,在()+∞-,ln a 上递增,从而()x f 在[)∞+,0上的最小值为()b a f +=-2ln ……8分(2)当1≥a 时,()x f a ,0ln -≤在[)∞+,0上递增,从而()x f 在[)∞+,0上的最小值为()b aa f ++=10. ……………10分 (Ⅲ)令函数()(),313x x m e e x g x x +--+= 则()().1312'-+-=x m e e x g x x 当01,01,12≥->-≥x ee x x x ,又,0>m 故().0'>x g 所以()x g 是[)∞+,1上的单调增函数,因此()x g 在[)∞+,1上的最小值是().211m e e g -+=- 由于存在[)+∞∈,10x ,使得(),0303000<+--+-x x m e e x x 故2,0211--+><-+e e m m e e 即 ………………………12分 令函数()(),1ln 1---=x e x x h 则()x e x h 11'--=.令()0'=x h ,得1-=e x 当()1,0-∈e x 时,()0'<x h ,故()x h 是()1,0-e 上的单调减函数;当()∞+-∈,1e x 时,()0'>x h ,故()x h 是()∞+-,1e 上的单调增函数; ()()01==e h h ,所以当()()1,01,1-⊆-∈e e x 时,()()()011=<≤-h x h e h ;当()()()()0,,1,1=<+∞-⊆-∈e h x h e e e x .所以()0<x h 对任意的()e x ,1∈成立. ………………………14分①当()e e e e m ,1,21⊆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈-时,()0<m h ,即()m e m ln 11-<-,从而11--<e m m e ; ②当e m =时,1-=e m m e③当()()+∞-⊆+∞∈,1,e e m 时,()()0=>e h m h ,即()m e m ln 11->-,故11-->e m m e综上所述,当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈-e e e m ,21时,11--<e m m e ;当e m =时,1-=e m m e ; 当()+∞∈,e m 时,11-->e m m e . ………………………16分。