热学[李椿章立源钱尚武]习题解答_第三章气体分子热运动速率与能量的统计分布律

第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律
3-1 设有一群粒子按速率分布如下：
试求(1)平均速率V ；（2）方均根速率2
V （3）最可几速率Vp
解：（1）平均速率：
18.32
864200
.5200.4800.3600.2400.12≅++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
V (m/s)
(2) 方均根速率
37.32
2
≅∑∑=
i
i i N V N V
(m/s)
3-2 计算300K 时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。

解：s m RT
V P /3951032300
31.8223
=⨯⨯⨯=
=
-μ
s m RT
V /446103214.3300
31.8883
=⨯⨯⨯⨯=
=
-πμ
s m RT
V
/4831032300
31.8333
2
=⨯⨯⨯=
=
-μ
3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K 、1000K 和10000K 。

解：μ
RT
V P 2=
代入数据则分别为：
T=100K 时 s m V P /1028.22⨯= T=1000K 时 s m V P /1021.72⨯= T=10000K 时 s m V P /1028.23⨯=
3-4 某种气体分子在温度T
1时的方均根速率等于温度T
2
时的平均速率，求
T 2/T
1。

解：因
μ
RT
V
3
2
=
πμ
2
8RT
V=
由题意得：
μ
RT
3
πμ
2
8RT
=
∴T
2
/T
1
=
8
3π
3-5 求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在
计算中可将dv近似地取为△v=1m/s）
解：设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N，由麦氏速率分布律：
△N=V
V
e
KT
m
N V
KT
m
∆
⋅
⋅
⋅-2
2
2
32
)
2
(
4
π
π
∵ V
p2
=
2KT
m
，代入上式
△N=
V
V
V
p
p
e
V
V
V
N∆
-
-⋅
⋅2
2
2
2
1
4
ρ
π
因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s，
又s
m
V
P
/
402
10
28
273
31
.8
2
3
≅
⨯
⨯
⨯
=
-
△V=1m/s
（
v
v
p
=）代入计算得：△N=×10－3N个
3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分
子数△N
1
与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N
2
之比。

解：取分子速率为V
1
=3000m/s
V 2=1500m/s, △V 1=△V 2=10m/s 由5题计算过程可得： △V 1=
1
22
12214V V V p p
p
e V V V
N
∆-
-⋅⋅π
△N 2=
2
22
222
14V V V p
p
p
e V V V
N
∆-
-⋅⋅π
∴ △N/△N 2=
2
12
1
)(2
1)(21)()(p
p
p V V V V p e V V e V V --⋅
其中V P =
33
1018.210
2573
31.82⨯=⨯⨯⨯-m/s v 1v p =，v 2
v p
=
∴ 969.0687.0375.12
2
687.02375
.1221≅⨯⨯=∆∆--e
e N N 解法2：若考虑△V 1=△V 2=10m/s 比较大，可不用近似法，用积分法求△N 1，△N 2 dN=
dV
V V V p
P
e
V
N
222
3
4-
-⋅π
△N 1=⎰⎰⎰-=1
2
21
V V V V dN dN dN
△N 2=⎰⎰⎰-=3
443
V V V V dN dN dN
令X i =v i
v p
i=1、2、3、4利用16题结果:
2
2
)([0
i i
x i i V e
x x erf N dN --
=⎰
π
∴ △N 1=]2
)([]2
)([2
12
2112x x i e x x erf N e x x erf N ---
--
π
π
（1）
△N 2=
]2
)([]2
)([2
32
43344x x e x x erf N e x x erf N ---
--
π
π
（２）
其中V P =
s m RT
/10182.223⨯=μ
375.111==
P V V x 379.122==P V V
x 687.033==
P V V x 6722.044==P
V V
x 查误差函数表得： erf(x 1)= erf(x 2)= erf(x 3)= erf(x 4)=
将数字代入（１）、（２）计算，再求得：
703.02
1
=∆∆N N
3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：
（1） 速率在区间v p ～内 （2） 速度分量v x 在区间v p ～内
（3）
速度分量v p 、v p 、v p 同时在区间v p ～内
解：设气体分子总数为N ，在三种情况下的分子数分别为△N 1、△N 2、△N 3
（1） 由麦氏速率分布律：
△
N=⎰⎰⎰-=1
2
21
V V V V dN dN dN
令v 2=，v i =v p ，p i i v v x =，则111==p v v x ，01.122==p
v v
x ，利用16题结果可得；
2122112212
)(2)(x x e x x erf e x x erf N N --+--=∆π
π 查误差函数表：erf （x 1）= erf （x 2）=
∴
008.01
=∆N
N （2）
由麦氏速率分布律：
x v v p x dv e
v N
dN p
x
22
1-
-=
π
∴x v v v p x v v v p dv e
v N
dv e
v N
N p
x p
x 2
1
2
2
)(
1
)(0
1
2----⎰⎰-
=
∆π
π
)(])(
exp[1
)(])(exp[1
20
20
21
2p
x p x v v p x p x v v v v d v v v v d v v N N p p ⎰
⎰
--
-=∆π
π
令p x v v x =
， 111==p v v x ，01.122==p
v v
x ∴dx e
dx e
N N x x x x ⋅-
=∆--⎰
⎰
2
1
2
2
21
1π
π
利用误差函数：
dx x xp e x erf x
)(2
)(20
-=
⎰
π
%21.0]8427.08468.0[2
1
)()([21
122=-=-=∆x erf x erf N N （3）令p
x
v v x =
，由麦氏速度分布律得： z y x v v v v p dv dv dv e v N dN p
z
y x ⋅=++-
-22223
31π
π
8
33230033108.0)002.0()(]
[)1(2
112
2
2---⨯==∆=-=∆⎰⎰N
N dx e dx e N N x x x x π
3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv 为纵坐标，v 为横坐标，作1摩尔氧气在100K 和400K 时的分子速率分布曲线。

解：由麦氏速率分布律得：
2223
2)2(4v e KT
m N dv dN v KT
m
-=ππ 将π=，N=N A =×1023T=100K m=32×10-3代入上式得到常数：
A=e KT m N A 23
)2(4ππ KT
m
B 2=
∴
22V Ae dv
dN
BV ⋅=- （1） 为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论：
由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为： 令22V Ae dv
dN
y BV ⋅==
-则 0)]2(2[222=-⋅+⋅=--BV e V V e A dv
dy
BV BV 得B
V V P 1=
= 又在V=0时，y=0，V →∞时，y →0 又m
KT B V P 1
1
121==
m
KT B V P 2
2
221
== ∵T 1=100K ＜T 2=400K ∴1P V ＜2P V 由此作出草图
3-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值v
1。

解：V
KT m e m
KT
KT m V KT
m d V e m KT KT m VdV
e KT
m dv V f V
v KT
mV KT m
KT
mv ππππππππ4
2)()2(4)2()()2(
4)2(4)(110
22
3
220223
0223
022
==
⋅-⋅=-⋅⋅-===∞-
∞-∞-∞⎰⎰⎰
3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm 的小圆孔，容器贮有100℃的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为。

（1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。

（2） 每小时有多少克水银从小孔逸出
解：（1）
)
/(1098.11020114.3373
31.88823s m RT
V ⨯=⨯⨯⨯⨯=
=
-πμ
（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为：t s V n N ⋅⋅=
4
1
其中
KT V P V n ⋅
=4141是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，2)2
(d
s π=是小孔面积，t=3600s ，故t s V KT
P
N ⋅⋅⋅=
41，代入数据得： N=×1019（个） ∴)
(1035.110
05.41002.610201219
233
g N N mN M A
--⨯=⨯⨯⨯⨯==
=μ
3-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数
密度分别为p 1、n 1、p 2、n 2。

两部分气体的温度相同，都等于T 。

摩尔质量也相同，均为μ。

试证明：如隔板上有一面积为A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：
)
(
22
1
P
P
A
RT
M-
=
π
μ
证明：设p
1
＞p
2
，通过小孔的分子数相当于和面积为A的器壁碰撞的分子数。

从1跑到2的分子数：t
A
V
n
N⋅
⋅
=
1
1
14
1
从2跑到1的分子数：t
A
V
n
N⋅
⋅
=
2
2
24
1
实际通过小孔的分子数：（从1转移到2）
)
2
2
1
1
2
1
(
4
1
V
n
V
n
At
N
N
N-
=
-
=
∆
因t=1秒，
KT
P
n=，
πμ
RT
V
8
=
T
1
=T
2
=T
∴
)
(
2
)
(
8
4
1
)
(
8
4
1
2
1
2
1
2
1
P
P
A
RT
P
P
RT
RT
A
KT
P
KT
P
RT
Am
n
m
M
-
=
-
=
-
==
∆
=
π
μ
πμ
μ
πμ
若P
2
＞P
1
，则M＜0，表示分子实际是从2向1转移。

3-12 有N个粒子，其速率分布函数为
)0
(
)
(
〉
〉
=
=v
v
C
Ndv
dN
v
f
)
(0
)
(
v
v
v
f〈
=
(1)作速率分布曲线。

(2)由N和v
求常数C。

(3)求粒子的平均速率。

解：（）)
(
)
(
〉
〉
=v
v
C
v
f
)
(
)
(
v
v
v
f〈
=
得速率分布曲线如图示
（2）∵1)(0=⎰∞
dv v f
∴10)(0
==⎰⎰∞
v cdv dv v f
即10=cv 0
1v c = （3）0200
2
121)(v cv dv v vf v ==
=⎰
∞
3-13 N 个假想的气体分子，其速率分布如图3-13所示（当v ＞v 0时，粒子
数为零）。

（1）由N 和V 0求a 。

（2）求速率在到之间的分子数。

（3） 求分子的平均速率。

解：由图得分子的速率分布函数：
N
V Va
0 (00V V 〈〈)
N
a
(002V V V 〈〈) f(v)= 0 (02V V 〉)
(1)
∵dv V Nf dN )(=
∴
a
V aV V V a adv
dV V Va
dV V f N N V
V V 0020020
2
3
21)(0
=+=
+=
=
⎰
⎰
⎰
∞
32V N a =
(2) 速率在到之间的分子数
3
3221)5.12()(000025.125.10
N V V N V V a adV
dV V Nf N V V
V V =⋅=-===
∆⎰
⎰
3-14 证明：麦克斯韦速率分布函数可以写作： )(2x F dx
dN =
其中p
v v
x =
m
KT
v p 2= 2
224)(x e x N
x F -⋅=
π
证明：
dx
x e N
v v d v e
N
dv v e v N dv
v e
KT
m
N dv v Nf dN x p
v p
v v v v p KT mv p
p
2223
23222
3
2
2
222224)(
44)2(4)(--
-
---⋅=⋅=⋅⋅===π
π
ππππ
∴)(4222x F x e N
dx dN x =⋅⋅=-π
3-15设气体分子的总数为N ，试证明速度的x 分量大于某一给定值v x 的
分子数为：)](1[2
x erf N
N x v -=∆∞∝
（提示：速度的x 分量在0到∞之间的分子数为2
N
）
证明：由于速度的x 分量在区间v x ～v x +dv x 内的分子数为：
x v v p
x dv e
v N
dNv p
x
⋅=
-
-221π
故在v x ～∞范围内的分子数为：
⎰⎰
⎰
-=
=∆∞
∞
∞→x x
x
x
x v v x v v V dN dN dN N 0
由题意：
2
N dN x v =
⎰
∞
x v v v p
v v dv e
v N
dN p
x
x
x
x ⋅=
-
-⎰
⎰
220
10
π
令p
x
v v x =
利用误差函数得：
)(2220
2
x erf N
dx
e N dN x
x v v x
x =
⋅=
⎰
⎰
-π
∴
)](1[2
)
(22x erf N
x erf N N N x V -=
-=
∞→
3-16 设气体分子的总数为N ，试证明速率在0到任一给定值v 之间的分子数为：
]2
)([2
0x v e x erf N N -→-
=∆π
其中p
v v
x =
，v p 为最可几速率。

[提示：dx e x dx e xe d x x x 2
2
2
22)(----=] 证明：
dv v v v
e
N
dv v e v N
dv
v e KT
m N dv
v f N N p
p
v v v
v v v
p
v KT
m
v
v
v p
p
⋅=
===∆---
--→⎰
⎰⎰⎰22
10
2
0322230
002222244)2(4)(π
π
ππ
令p
v v
X =
，则dx v dv p = ∴dx x e N
N x
x v 20
02
4⎰
-→=
∆π
由提示得：])([2
122
2
x xe d dx e dx xe x x x ----=
∴]
2)([)]
([21422
20
0x
x x x x v e x erf N xe d dx e N
N ---→-=-⋅=∆⎰⎰π
π
3-17 求速度分量v x 大于2 v p 的分子数占总分子数的比率。

解：设总分子数N ，速度分量v x 大于2 v p 的分子数由15题结果得：
)](1[22x erf N
N x v -=∆∞∝
其中22===
p
p p v v v v x 可直接查误差函数表得：erf （2）=
也可由误差函数： erf （z ）=
]11!59!47!33!1[2
963⋯⋯+⋅''-⋅-⋅+⋅-z z z z z π
将z=2代入计算得：
erf （2）= ∴%24.02
9952
.012=-=
∆∞
→N
N p v
3-18 设气体分子的总数为N ，求速率大于某一给定值的分子数，设（1）v=v p （2）v=2v p ，具体算出结果来。

解：（1）v=v p 时，速率大于v p 的分子数：
⎰
⎰⎰
∞
∞-==∆0
1])()([)(v
v
dv v f dv v f N dv v f N N
利用16题结果：
]2
)(1[2
x xe x erf N N -+
-=∆π
这里1==
p
v v
x
∴N N N 57.0]41
.08427.01[1=+-=∆ （2）v=2v p 时，2==
p
v v
x ，则速率大于2v p 的分子数为： N e erf N N 046.0]2
2)2(1[42=⨯+
-=∆-π
3-19 求速率大于任一给定值v 的气体分子每秒与单位面积器壁的碰撞次数。

解：由18题结果可得单位体积中速率大于v 的分子数为：
)(],2
)(1[2
V
N n xe x erf n n x v =
+
-=-∞→π
在垂直x 轴向取器壁面积dA ，则速率大于v 能与dA 相碰的分子，其v x 仍在0～∞间，由《热学》P30例题，每秒与单位面积器壁碰撞的速率大于v 的分子数为：
]2
)(1[414
1
)(20
x v x x x v xe x erf v n n v dv v v f n N -∞→∞
∞→+-==
==
∆⎰
π
p
v v
x =
3-20 在图3-20所示的实验装置中，设铋蒸汽的温度为T=827K ，转筒的直径为D=10cm ，转速为ω=200πl/s ，试求铋原子Bi 和Bi 2分子的沉积点P ′到P 点（正对着狭缝s 3）的距离s ，设铋原子Bi 和Bi 2分子都以平均速率运动。

解：铋蒸汽通过s 3到达P ′处的时间为：
v
D
t =
在此时间里R 转过的弧长为：
v
D t D S 2212
ωω==
∵209=Bi μ 4182=Bi μ ∴RT
D v
D S Bi
Bi 82
22
2
πμωω=
=
代入数据得：
)(53.182
2
cm RT
D S Bi
Bi ==
πμω
3-21 收音机的起飞前机舱中的压力计批示
为，温度为270C ；起飞后压力计指示为，温度仍为27 0C ，试计算飞机距地面的高度。

解：根据等温气压公式： P=P0e - 有In = - ∴ H = - In •
其中In =In = ，空气的平均分子量u=29. ∴H= × =×103(m)
3-22 上升到什么高度处大气压强减为地面的75%设空气的温度为0 0C.
解：由题意知： = 故H = -In • 代入数据得：H =×103(m) 3-23 设地球大气是等温的，温度为t= 0C,海平面上的气压为P0=750mmHg,令测得某山顶的气压P=590mmHg,求山高。

已知空气的平均分子量为.
解：H = - In • 代入数据得：H=×103(m)
3-24 根据麦克斯韦速度分布律，求气体分子速度分量vx 的平均值，并由此推出气体分子每一个平动自由度所具有的平动能。

解：（1） x=∫∞ -∞vx2f(vx)dv x =2 ∫∞ 0vx2( ) e - vx2dv x
= v -1p∫∞
0vx2 e - vx2dv x
查《热学》附录3-1表得：
x= Vp-1( )3/2=
同理可得：
y= x=
(2)分子总的平动能： 2= 2=
= m x=
同理得： = =
可见，气体分子的平均动能按自由度均分，都等于 KT.
3-25 令ε= mv2表示气体分子的平动能，试根据麦克斯韦速率分布律证明，平动能在区间ε～ε+dε内的分子数占总分子数的比率为：
f(ε)dε= (KT) -3/2ε •e-ε/KT•dε
根据上式求分子平动能ε的最可几值。

证明：（1）∵ f(v)dv =4∏( )3/2•e v2v2dv
= (KT)
-3/2•( v2)1/2•e-mv2/2KT•d( )
∵ε= mv2
故上式可写作：
F(ε)dε= (KT) -3/2•ε •e
-ε/KT•dε
(2) 求ε最可几值即f(ε)为极大值时对应的ε值。

= (KT) -3/2 [ε •e -ε/KT(- )+e- • ε- ]
= (KT) -3/2e - ( ε- -ε /KT)=0
∴ε- -ε =0
得: εp = ε =
3-26 温度为27 0C时，一摩尔氧气具有多少平动动能多少转动动能
解：氧气为双原子气体，在T=300K下有三个平动自由度，两个转动自由度。

由能均分定理得：
ε= RT = ××300 = ×103 (J)
= RT = ×300 = ×103(J)
3-27 在室温300K下，一摩托车尔氢和一摩尔氮的内能各是多少一克氢和一克氮的内能各是多少
解：U氢= RT =×103(J)
U氮= RT =×103(J)
可见，一摩气体内能只与其自由度（这里t=3,r=2,s=0）和温度有关。

一克氧和一克氮的内能：
U=
∴U氢= = = ×103(J)
U氮= = = ×103(J)
3-28 求常温下质量为M=3.00g 的水蒸气与M=3.00g的氢气的混合气体的定容比热
解：设Cv1 ‘、Cv2 ‘分别为水蒸气和氢气的定容比热，Cv1 、Cv2分别为水蒸气和氢气的定容摩尔热容量。

在常温下可忽略振动自由度，则有：
Cv1= R =3R ∴Cv1’= =
Cv2= R = Cv2’= =
Cv = =
= ( + )
= (J/gK)
3-29 气体分子的质量可以由定容比热算出来，试推导由定容比热计算分子质量的公式。

设氩的定容比热Cv = 75Cal•Kg-1•K-1,求氩原子的质量和氩的原子量.
解：（1）一摩尔物质定容热容量为：Cv =ucv,对理想气体来说：
Cv = (t+r+2s)R
分子质量m = = •
= (t+r+2s)R•
= (t+r+2s) •
(Cv=75cal/kg•k)
(2) 氩是单原子分子，故Cv = R
=3(Cal/mol•K)
故氩的原子量u= = ×10-2(Kg/mol)
分子质量m= = ×10-26(Kg)
3-30 某种气体的分子由四个原子组成，它
们分别处在正四面体的四个顶点：
（1）求这种分子的平动、转动和振动
自由度数。

（2）根据能均分定理求这种气体的定
容摩尔热容量。

解：（1）因n个原子组成的分子最多有
3n个自由度。

其中3个平动自由度，3个转动自
由度，3n-1个是振动自由度。

这里n=4，故有12
个自由度。

其中3个平动、个转动自由度，6个
振动自由度。

(2) 定容摩尔热容量：
Cv= (t+r+2s)R = ×18×2= 18（Cal/mol•K）。