2001-2013年河南专升本高数真题及答案

2005年河南省普通高等学校
选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
一、单项选择题（每小题2分，共计60分） 在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.
1.函数x
x y --=5)
1ln(的定义域为为 （ ）
A. 1>x
B.5<x
C.51<<x
D. 51≤<x
解：C x x x ⇒<<⇒⎩
⎨⎧>->-510501.
2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ）
A ．x x y cos = B. 13++=x x y
C. 2
22x x y --= D. 222x x y -+=
解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数2
22x
x y -+=为偶
函数,应选D.
3. 当0→x 时，与12
-x e 等价的无穷小量是 （ ）
A. x
B.2x
C. x 2
D. 22x 解： ⇒-x e x ~12~12
x e x -,应选B.
4.=⎪⎭
⎫
⎝⎛++∞
→1
21lim n n n （ ） A. e B. 2e C. 3e D. 4e
解：2)1(2lim
2
)1(221
21lim 21lim 21lim e n n n n n n n n
n n n n n n =⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪
⎭
⎫
⎝⎛++∞→+⋅∞
→+∞
→∞→,应选B.
5.设⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x x
x
x f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B. -1 C. 21 D. 2
1
-
解：21
)11(1lim )11(lim 11lim
)(lim 0000=-+=-+=--=
→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且2
1
)1()21(lim
0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ）
A. 1
B. 21-
C. 41
D. 4
1
-
解：4
1
)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim
020
-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应
选D.
7.由方程
y
x e xy +=确定的隐函数
)(y x 的导数
dy
dx
为
（ ）
A.)1()1(x y y x --
B.)1()1(y x x y --
C.)1()1(-+y x x y
D.)
1()1(-+x y y x
解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,
即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,
所以dy dx )
1()1(x y y x --=
,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f n C. 1)]()[1(++n x f n D. 1)]([)!1(++n x f n 解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='', ⇒ΛΛ=)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.
9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x f
C.]1,1[,11
)(2
--=x
x f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.
10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,2
1
(内,)(x f 单调 ( )
A.增加,曲线)(x f y =为凹的
B.减少,曲线)(x f y =为凹的
C.增加,曲线)(x f y =为凸的
D.减少,曲线)(x f y =为凸的
解: 在)1,21
(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数
)(x f 在)1,21
(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.
11.曲线x
e y 1-
=
（ ）
A. 只有垂直渐近线
B. 只有水平渐近线
C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，
D. 无水平、垂直渐近线 解：0lim ;11lim 0
=⇒∞==⇒=-→±∞
→x y y y x x ，应选C.
12.设参数方程为⎩
⎨⎧==t b y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx y
d （ ）
A.t a b 2sin
B.t a b 3
2sin - C.t a b 2cos D.t
t a b
2
2cos sin -
解：dx
dt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯
'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22 t
a b
t a t a b 322sin sin 1sin -
=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx e x f x
x 11
)(，则=)(x f （ ）
A. x 1
-
B. 21x
- C. x 1 D. 21x
解：两边对x 求导 221
11
)()1()(x
x f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.
14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （ ）
A.C x F +)(sin
B.C x F +-)(sin
C.C x F +)(cos
D.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.
15.下列广义积分发散的是 （ ）
A.⎰+∞+02
11dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x
解：2arctan 11002π==+∞
++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x
; ∞==+∞
∞
+⎰
e
e
x dx x x 2)(ln 2
1
ln ;10
=-=+∞-+∞-⎰x
x e dx e ,应选C.
16.=⎰-11
||dx x x （ ）
A.0
B.
32 C.34 D.3
2
- 解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-a
a dx x f )( （ ）
A.0
B.⎰a dx x f 0
)(2 C.⎰--a a dx x f )( D.⎰-a
a
dx x f )(
解：⎰⎰
⎰⎰-----===-===-a
a
a
a
a a
a
a
u
t dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.
18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （ ）
A.C x x +-2sin 2121
B.C x x ++-2sin 41
21 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 2
1
解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='
C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 4
1
2122cos 1sin sin )(2,应选B.
19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 （ ）
A.⎰
b
a dx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.⎰x
a
dt t f )(是)(x f 的一个原函数
C.⎰a
x
dt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积
解: ⎰b a
dx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰b
a
dx x f )(不是)(x f 的原函
数 ,应选A.
20.直线2
2
113+=
-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行 解：n s n s ρρρρ⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..
21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数x z ∂∂和y
z
∂∂存在是它在该点处可
微的 （ ）
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.无关条件 解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.
22.设y
x
z 2ln = ，则=)2,1(dz （ ）
A.dx x y 2
B.dy dx 2
1
21- C.dy dx 21- D.dy dx 21+
解：dy y
dx x dz y x y x z 1
1ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C.
23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 （ ） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(
解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x y
z y x x
z
,应选B.
24.二次积分⎰⎰2
02
),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 （ ）
A. ⎰⎰
40
2),(y
dx y x f dy B. ⎰⎰
400),(y
dx y x f dy C. ⎰⎰40
2
2),(x
dx y x f dy D. ⎰⎰
40
2
),(y
dx y x f dy
解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A.
25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σD
d y x f ),(
（
）
A.⎰⎰
π
θθθ2020
)sin ,cos (a rdr r r f d B.⎰⎰
πθθθ2020
)sin ,cos (a
dr r r f d C.⎰⎰
πθ
θθθ20
cos 20
)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰
πθ
θθθ20
cos 20
)sin ,cos (a dr r r f d
解：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2
π
θ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=
σD
d y x f ),(⎰
⎰
πθ
θθθ20
cos 20
)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.
26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，
=+⎰
L
dy x xydx 22
（ ）
A. -1
B.1
C. 2
D. -1
解：L ：,2
⎩⎨⎧==x
y x
x x 从0变到1 , 1422210
4
10
31
3
32
===+=+⎰⎰⎰
x dx x dx x dx x dy x xydx L
,应选B.
27.下列级数中，条件收敛的是 （ ）
A ．∑∞
=+-11)1(n n
n n B ．∑∞=-1321)1(n n n
C ．∑∞
=-1
21
)1(n n
n D ．∑∞
=+-1)1()1(n n n n
解：∑∞=+-11)1(n n n n 发散, ∑∞
=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n
是收敛的，但∑∞
=1321n n 是32
=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n
条件收敛，应选
B.
28. 下列命题正确的是 （ ） A ．若级数∑∞
=1
n n u 与∑∞
=1
n n v 收敛，则级数21
)(n n n v u +∑∞
=收敛
B ．若级数∑∞
=1
n n u 与∑∞
=1
n n v 收敛，则级数)(2
1
2n n n v u +∑∞
=收敛
C ．若正项级数∑∞=1
n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21
)(n n n v u +∑∞
=收敛
D ．若级数∑∞=1
n n n v u 收敛，则级数∑∞=1n n u 与∑∞
=1
n n v 都收敛
解：正项级数∑∞=1
n n u 与∑∞=1
n n v 收敛⇒ ∑∞=1
2
n n
u 与∑∞
=1
2n n v 收敛，
而)(2)(222n n
n n v u v u +≤+，所以级数21
)(n n n v u +∑∞
=收敛 ，应选C 。

29. 微分方程y x y y x -='-2)2(的通解为 （ ） A. C y x =+22 B. C y x =+
C. 1+=x y
D. 222C y xy x =+-
解：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为222C y xy x =+-，应选D.
30.微分方程0β222=+x dt
x
d 的通解是 （ ）
A. t C t C x βsin βcos 21+=
B. t t e C e C x β2β1+=-
C. t t x βsin βcos +=
D. t t e e x ββ+=-
解：微分方程的特征方程为0βλ22=+，有两个复特征根i βλ±=，所以方程的通解为t C t C x βsin βcos 21+=，应选A.
二、填空题（每小题2分，共30分）
1.设2)1(2+=+x x f ,则=-)2(x f _________.
解：⇒+-=⇒++-+=+32)(3)1(2)1()1(22x x x f x x x f
116)2(2+-=-x x x f .
2.52
6lim 22=--+→x ax x x ,则=a _____________. 解：因10)6(lim 0)2(lim 22
2
=⇒=-+⇒=-→→a ax x x x x .
3.设函数x y arctan =在点)4
π
,1(处的切线方程是__________.
解：2
111121=+='===x x x y k ，则切线方程为)1(21
4π-=-x y ，
即02
π
12=+--y x .
4.设x x
e x y 1=，则=dy ___________.
解：dx x
x
e x x x x d e dy e y x x x x
x
x x
x
]1ln 1[)ln (2
1
ln ln +-=+=⇒=++ . 5.函数x x y ln 22-=的单调递增区间是 __________.
解：⇒>⇒⎪⎩
⎪⎨⎧
>>-⇒-='2100
1414x x x
x x x y ),21(∞+ 或),21[∞+. 6.曲线x
e y =的拐点是_________.
解：104)1(21=⇒=-=
''⇒⨯='x x
x x e y x
e
y x x
,得拐点为),1(e .
7.设)(x f 连续,且x dt t f x
⎰=3
)(,则=)27(f _________.
解：等式x dt t f x ⎰=3
)(两边求导有13)(23=x x f ,取3=x 有27
1
)27(=
f . 8.设3)2(,2)2(,1)0(='==f f f ，则 ⎰=''1
)2(dx x f x __________.
解：⎰⎰⎰'-'='=''10
1
0101
02)2(41)2(21)2(21)2(x d x f x f x x f xd dx x f x
4
5)0(41)2(41)2(21)2(41)2(211
0=+-'=-'=f f f x f f . 9.函数⎰-=x
t dt te y 0的极小值是_________.
解: 0)0(00=⇒=⇒=='-f x xe y x
.
10.⎰=+-dx x x x cos sin 1 ________.
解: ⎰⎰
++=++=+-C x x x
x x x d dx x x x |cos |ln cos )
cos (cos sin 1. 11. 由向量}2,1,0{},1,0,1{=-=b a ρρ
为邻边构成的平行四边形的面积为______.
解： 6||22
1
0101=⨯=⇒+-=-=⨯b a S k j i k
j i b a ρ
ρρρρρρ
ρρρ .
12.设
y
z
z x ln = ，则 =∂∂+
∂∂y z x z _________. 解：令y z z x
y z z x F ln ln ln +-=-= ,则
221,1,1z
z x z z x F y F z F z y x +-=--='='='.
)(;2z x y z F F y z z x z F F x z z y z x +=''-=∂∂+=''-=∂∂ ,所以)
()
(z x y z y z y z x z ++=
∂∂+∂∂ . 13.设D 是由0,,12==-=y x y x y ，所围成的第一象限部分,则⎰⎰D
dxdy x y
2)(
=_______.
解：积分区域在极坐标系下表示为}10,4
π
θ0|)θ,{(≤≤≤≤=r r D ,则
⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10
4π
02102
4π
02
θ)1θ(sec θcos θsin θ)(rdr d rdr d dxdy x y D
8
π21)θθ(tan 21θ)1θ(sec 214π
02
4π
02-=-=-=⎰d .
14.将2
23
)(x x x f -+=
展开为x 的幂级数是_________. 解：2
11
21112111)2)(1(323)(2x x x x x x x x x f -+
+=-++=-+=-+=, 所以)11(,21)1()2(21)()(0100<<-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-=+-=∑∑∑∞
=+∞=∞=x x x x x f n n n n n n n n
.
15.用待定系数法求方程x e x y y y 2)12(44+=+'-''的特解时,特解应设为_____ _____. 解：2是特征方程04λ4λ2=+-的二重根,且)12(+x 是一次多项式,特解应设为
x e B Ax x 22)(+.
三、计算题（每小题5分，共40分） 1．x
x x x x cos sin 1lim 2
-+→.
解：x x x x x x x x
x x x x x cos sin 1)
cos sin 1(lim cos sin 1lim 2020-+++=-+→→
)cos sin 1(lim cos sin 1lim
2
0x x x x x x x x x ++⨯-+=→→
x
x x x
x x x x x x cos sin 22lim
2cos sin 1lim 200
2
0+=-+=→→ 3
4
314sin cos 31lim
400
0=⨯=-=→x x x x .
2.已知2
arctan )(,2523x x f x x y ='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=,求
=x dx dy . 解：令u x x =+-2
52
3,则)(u f y = ,
2
2
)
25(162523arctan 2523)(+⨯⎪⎭⎫
⎝⎛+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'=⨯=x x x x x u f dx du du dy dx dy , 所以π4π42
161arctan 20=⨯=⨯==x dx dy .
3.求不定积分 ⎰+dx x
x 2
31. 解：⎰⎰⎰
+=+=+222
22
3111x d x dx x x x dx x x
)1(11)(1122222222x d x x x x d x x x ++-+=+-+=⎰⎰ C x x x ++-+=23
22
2
)1(3
2
1.
4.设⎪⎩⎪
⎨⎧<+≥+=0,210),1ln()(x x
x x x f ,求⎰-20)1(dx x f .
解：令t x =-1 ,则⎰⎰-=-1
1
20
)()1(dt t f dx x f
⎰⎰⎰⎰+++=+=--10
11
00
1)1ln(21
)()(dt t dt t dt t f dt t f
⎰+-+++=-101
0011)1ln()2ln(dt t
t t t t
⎰+--+=10)11
1(2ln 2ln dt t
12ln 3)1ln(2ln 21
010-=++-=t t .
5.设),sin (22y x y e f z x += ，其中),(v u f 可微，求
y
z x z ∂∂∂∂,. 解：令v y x u y e x =+=22,sin ,则),(v u f z =,复合关系结构如图05-1所示,
x v
v z x u u z x z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂
),(2),(sin v u f x v u f y e v u x
'+'=,
y
v v z y u u z y z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂ ),(2),(cos v u f y v u f y e v u x '+'=. 6．求⎰⎰
D
dxdy y
x 22
，其中D 是由2,1===x x y xy 及所围成的闭区域. z v
u x x
y
y 图05-1
解：积分区域如图05-2所示，曲线x y xy ==,1在第一象限内的交点为（1，1），
积分区域可表示为：x y x
x ≤≤≤≤1
,21.
则⎰⎰⎰⎰⎰-==2112122
2122)1(dx y x dy y x dx dxdy y x x x
x x D
⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-=213212)(1dx x x dx x x x
49242
124=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x .
7．求幂级数1
20
12)1(+∞
=∑+-n n n x n 的收敛域（考虑区间端点）.
解： 这是缺项的标准的幂级数，
因为 2
21232113212lim )1(1232)1(lim lim ρx n n x x n n x u u n n n n n n n
n n =++=-+⋅+-==∞→+++∞→+∞→， 当1ρ<，即11<<-x 时，幂级数绝对收敛；
当1ρ>，即1>x 或1-<x 时，幂级数发散； 当1ρ=，即1±=x 时，
若1=x 时，幂级数化为∑∞
=+-01
2)1(n n
n 是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，是
收敛的，若1-=x 时，幂级数化为∑∞
=++-01
1
2)1(n n n 也是交错级数，也满足来布尼兹定理
的条件，是收敛的.
故幂级数的收敛域为[-1,1].
8．求微分方程 0cos 2)1(2=-+'+x xy y x 通解.
解：微分方程可化为 1cos 122
2+=++'x x
y x x y ，这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次线性微分方程0122=++'y x x y 的通解为1
2
+=x C
y . 设非齐次线性微分方程的通解为1)(2+=x x C y ，则2
2
2)
1()
(21)(+-+'='x x xC x x C y ，代入方程得x x C cos )(=',所以C x x C +=sin )(.
故原微分方程的通解为1
sin 2++=x C
x y (C 为任意常数).
四、应用题（每小题7分，共计14分） 1. 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,
公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?
解：设每套公寓租金为x 元时,所获收入为y 元,
则 )2000(),200](100
2000
50[>---
=x x x y , x
x 图05-2
整理得 ),14000007200(1001
2-+-=
x x y )72002(100
1+-='x y 均有意义,
令0='y 得唯一可能的极值点3600=x ,而此时050
1
<-
=''y ,所以3600=x 是使y 达到极大值的点,即为最大值的点.
最大收入为115600340034)2003600](100
2000
360050[=⨯=---=y (元).
故 租金定为每套3600元时,获得的收入最大,最大收入为115600元.
2.平面图形由抛物线x y 22=与该曲线在点)1,2
1
(处法线所围成,试求:
(1)该平面图形的面积;
(2)该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积.
解：平面图形如图05-3所示,切点)1,21
(A 处的切线斜率为2
1='=x y k ,
由x y 22=得y y 1
=',故A 点处的切线斜率
112
1='='===y x y y k ,
从而A 点处的法线斜率为-1, 法线方程为023
=-+y x . 联立方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=02322y x x y 得另一交点
,29(B (1) 把该平面图形看作Y 型区域,其面积为
316)6223(2)2
3(1
3321
32=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--⎰y y y dy y y S ;
(2) 根据抛物线的对称性知,该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形OBC 绕x 轴旋转所成旋转体的体积,有
故 ⎰⎰+--=--=292
32
92
332290
22290
)3
1
2349(ππ)2
3
(π2πx x x x
dx x xdx V x
π4
45]981[
π=-=. 五、证明题（6分） 试证：当0>x 时，有
x
x x x 1
1ln 11<+<+. 证明：构造函数x x f ln )(=，它在)0(∞+，内连续，
当0>x 时，函数在区间]1,[x x +上连续，且x
x f 1
)(='.
故)(x f 在]1,[x x +上满足Lagrange 中值定理,存在)1,(ξ+∈x x , 使得)ξ()()1(f x f x f '=-+，)1ξ(+<<x x .
y
x 图05-3
023=-y
而
x
f x 1
ξ1)ξ(11<='<+,故有
x x x x 1ln )1ln(11<-+<+, 即0>x 时,x
x x x 1
1ln 11<+<+成立.
2006年河南省普通高等学校
选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试
《高等数学》试卷
一、单项选择题（每小题2分，共计60分）
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.
1.已知函数)12(-x f 的定义域为]1,0[ ，则)(x f 的定义域为 （ ）
A. ]1,2
1
[ B. ]1,1[- C. ]1,0[ D. ]2,1[-
解：B x x ⇒≤-≤-⇒≤≤112110.
2.函数)1ln(2x x y -+=)(+∞<<-∞x 是 （ ） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数
解：01ln )1ln()1ln()()(22==+++-+=-+x x x x x f x f A ⇒.
3. 当0→x 时，x x sin 2-是x 的 （ ） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小
解： 1sin lim 20-=-→x
x
x x C ⇒.
4.极限=+∞→n
n
n n sin 32lim （ ）
A. ∞
B. 2
C. 3
D. 5
解：B n
n
n n n n n ⇒=+=+∞→∞→2]sin 32[lim sin 32lim .
5.设函数⎪⎩
⎪
⎨⎧=+≠-=0,10,1
)(2x a x x e x f ax ，在0=x 处连续，则 常数=a （ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
解：B a a a ae x
e x
f ax x ax x x ⇒=⇒+===-=→→→1122lim 1
lim
)(lim 20200. 6. 设函数)(x f 在点1=x 处可导 ，则=--+→x
x f x f x )
1()21(lim 0 （ ）
A. )1(f '
B. )1(2f '
C. )1(3f '
D. -)1(f '
解：x
x f f f x f x x f x f x x )
1()1()1()21(lim
)1()21(lim 00--+-+=--+→→ C f x
f x f x f x f x x ⇒'=---+-+=→→)1(3)
1()1(lim 2)1()21(lim 200
7. 若曲线12+=x y 上点M 处的切线与直线14+=x y 平行，则点M 的坐标（ ）
A. （2，5）
B. （-2，5）
C. （1，2）
D.（-1，2） 解： A y x x x y ⇒==⇒=⇒='5,2422000.
8.设
⎪⎩⎪⎨
⎧==⎰2
02cos sin t
y du u x t ，则
=dx
dy
（ ）
A. 2t
B. t 2
C.-2t
D. t 2-
解： D t t t t dx dy ⇒-=-=2sin sin 22
2
. 9.设2(ln )
2(>=-n x x y n ，
为正整数),则=)(n y （ ） A.x n x ln )(+ B. x 1 C.1
)!
2()1(---n n x
n D. 0 解：B x
y x y x x y n n n ⇒=⇒+=⇒=--1
ln 1ln )()1()2(.
10.曲线2
33
222++--=x x x x y （ ）
B. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近线 B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐近线
C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线，
D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线
解：A y y y x x x x x x x x y x x x ⇒∞=-==⇒++-+=++--=-→-→±∞→2122lim ,4lim ,1lim )
2)(1()
3)(1(2332.
11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ）
A. ]2,0[|,1|-=x y
B. ]2,0[,)1(1
3
2-=x y
C.]2,1[,232+-=x x y D ． ]1,0[,arcsin x x y =
解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等C ⇒.
12. 函数x e y -=在区间),(+∞-∞内 （ ）
A. 单调递增且图像是凹的曲线
B. 单调递增且图像是凸的曲线
C. 单调递减且图像是凹的曲线
D. 单调递减且图像是凸的曲线 解： C e y e y x x ⇒>=''<-='--0,0.
13.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=--dx e f e x x )( （ ） A.C e F e x x ++--)( B. C e F x +-)( C. C e F e x x +---)( D. C e F x +--)( 解：D C e F e d e f dx e f e x x x x x ⇒+-=-=⎰⎰-----)()()()(.
14. 设)(x f 为可导函数，且x e x f =-')12( ，则 =)(x f （ ）
A. C e x +-1
22
1 B. C e x ++)1(2
1
2
C. C e x ++1
22
1 D. C e x +-)1(2
1
2 解：B C e x f e x f e x f x x x
⇒+=⇒='⇒=-'++)1(2
1
)1(21
2)()()12(.
15. 导数=⎰b
a
tdt dx d arcsin （ ）
A.x arcsin
B. 0
C. a b arcsin arcsin -
D. 2
11
x
-
解：⎰b
a xdx arcsin 是常数，所以
B xdx dx
d b
a ⇒=⎰0arcsin . 16.下列广义积分收敛的是 （ ）
A. ⎰+∞1dx e x
B. ⎰+∞11dx x
C. ⎰+∞+12
41dx x D. ⎰+∞1cos xdx
解：C x dx x ⇒-==++∞
∞+⎰)21arctan 4(412arctan 4141112
π.
17.设区域D 由)(),(,),(,x g y x f y a b b x a x ==>==所围成，则区域D 的面积为
（ ）
A. ⎰-b
a
dx x g x f )]()([ B.
⎰-b
a
dx x g x f )]()([
C. ⎰-b a
dx x f x g )]()([ D. ⎰-b
a
dx x g x f |)()(|
解：由定积分的几何意义可得D 的面积为 ⎰-b
a
dx x g x f |)()(|D ⇒.
18. 若直线3
2
311-=
+=-z n y x 与平面01343=++-z y x 平行，则常数=n （
）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 解： B n n n ⇒=⇒=+-⇒-⊥30943}3,43{}3,,1{.
19.设y
x
y x y x f arcsin
)1(),(-+=，则偏导数)1,(x f x '为 （ ） A.2 B.1 C.-1 D.-2 解： B x f x x f x ⇒='⇒=1)1,()1,(.
20. 设方程02=-xyz e z 确定了函数),(y x f z = ，则x
z
∂∂ = （ ）
A. )12(-z x z
B. )12(+z x z
C. )
12(-z x y
D. )12(+z x y
解： 令xy e F yz F xyz e z y x F z z x z -='-='⇒-=222,),,(
A z x z xy xyz yz xy e yz x z z ⇒-=-=-=∂∂⇒)12(222. 21.设函数x
y
y x z +=2 ，则===11y x dz （ ）
A. dy dx 2+
B. dy dx 2-
C. dy dx +2
D. dy dx -2
解：2
22x
ydx
xdy dy x xydx dz -++= A dy dx dx dy dy dx dz y x ⇒+=-++=⇒==221
1.
22.函数2033222+--=y x xy z 在定义域上内 （ ） A.有极大值，无极小值 B. 无极大值，有极小值 C.有极大值，有极小值 D. 无极大值，无极小值
解：,6)0,0(),(062,06222-=∂∂⇒=⇒=-=∂∂=-=∂∂x
z y x y x y z x y x z
⇒=∂∂∂-=∂∂2,622
2y x z
y
z 是极大值A ⇒. 23设D 为圆周由012222=+--+y x y x 围成的闭区域 ，则=⎰⎰D
dxdy （ ）
A. π
B. 2π
C.4π
D. 16π
解：有二重积分的几何意义知：=⎰⎰D
dxdy 区域D 的面积为π.
24.交换二次积分⎰⎰
>a x
a dy y x f dx 0
0(),(，常数）的积分次序后可化为
（ ）
A. ⎰⎰a
y
dx y x f dy 0
),( B. ⎰⎰a
a
y
dx y x f dy 0
),(
C. ⎰⎰a a dx y x f dy 0
),( D. ⎰⎰a y
a
dx y x f dy 0),(
解： 积分区域},0|),{(}0,0|),{(a x y a y y x x y a x y x D ≤≤≤≤=≤≤≤≤=
B ⇒.
25.若二重积分⎰⎰
⎰⎰=20
sin 20
)sin ,cos (),(π
θ
θθθrdr r r f d dxdy y x f D
，
则积分区域D 为 （
）
A. x y x 222≤+
B. 222≤+y x
C. y y x 222≤+
D. 220y y x -≤≤
解：在极坐标下积分区域可表示为：}sin 20,2
0|),{(θπ
θθ≤≤≤
≤=r r D ，在直角坐标系下边界方程为y y x 222=+，积分区域为右半圆域D ⇒
26.设L 为直线1=+y x 上从点)0,1(A 到)1,0(B 的直线段,则=-+⎰L
dy dx y x )(
（ ）
A. 2
B.1
C. -1
D. -2
解：L ：,1⎩
⎨⎧-==x y x
x x 从1变到0，⎰⎰⇒-=+=-+012)(D dx dx dy dx y x L .
27.下列级数中，绝对收敛的是 （ ）
A ．∑∞
=1
sin
n n
π
B ．∑∞
=-1sin
)1(n n n
π
C ．∑∞=-1
2
sin
)1(n n n π
D ．∑∞
=1
cos n n π
解： ⇒<
2
2
sin
n n π
π
∑∞
=π
1
2sin
n n
收敛C ⇒. 28. 设幂级数
n n n n
a x a
(0
∑∞
=为常数Λ,2,1,0=n ）
，在点2-=x 处收敛，则∑∞
=-0
)
1(n n n
a
（ ）
A. 绝对收敛
B. 条件收敛
C. 发散
D. 敛散性不确定
解：∑∞=0
n n
n x a 在2-=x 收敛，则在1-=x 绝对收敛，即级数∑∞
=-0
)1(n n n a 绝对收
敛A ⇒.
29. 微分方程0sin cos cos sin =+ydx x ydy x 的通解为 （ ） A. C y x =cos sin B. C y x =sin cos C. C y x =sin sin D. C y x =cos cos
解：dx x
x
dy y y ydx x ydy x sin cos sin cos 0sin cos cos sin -=⇒=+
C C y x C x y x
x d y y d ⇒=⇒=+⇒-=⇒sin sin ln sin ln sin ln sin sin sin sin .
30.微分方程x xe y y y -=-'+''2的特解用特定系数法可设为 （ ） A. x e b ax x y -+=*)( B. x e b ax x y -+=*)(2 C. x e b ax y -+=*)( D. x axe y -=*
解：-1不是微分方程的特征根，x 为一次多项式，可设x e b ax y -+=*)( C ⇒.
二、填空题（每小题2分，共30分）
31.设函数,1||,01
||,1)(⎩
⎨⎧>≤=x x x f 则=)(sin x f _________.
解：1)(sin 1|sin |=⇒≤x f x .
32.=--+→x
x x x 23
1lim
22=_____________. 解：=++=++--=--+→→→)
31(1
lim )31)(2()2(lim 231lim
2222x x x x x x x x x x x x 12
3
341
=
=
.
33.设函数x y 2arctan =，则=dy __________.
解：dx x dy 2
412
+= .
34.设函数bx ax x x f ++=23)(在1-=x 处取得极小值-2，则常数b a 和分别为___________.
解：b a b a b ax x x f -+-=-=+-⇒++='12,02323)(25,4==⇒b a .
35.曲线12323-+-=x x x y 的拐点为 __________.
解：)1,1(),(0662632-=⇒=-=''⇒+-='y x x y x x y . 36.设函数)(),(x g x f 均可微，且同为某函数的原函数，有1)1(,3)1(==g f 则=-)()(x g x f _________.
解：2)1()1()()(=-=⇒=-g f C C x g x f 2)()(=-⇒x g x f .
37.⎰-=+π
π
dx x x )sin (32 _________.
解：3
202sin )sin (3
02
3
2
3
2
π=+=+=+⎰⎰⎰⎰π
π
π-π
π-π
π-dx x xdx dx x dx x x .
38.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0,0
,)(2x x x e x f x ，则 ⎰=-20
)1(dx x f __________.
解：⎰⎰⎰⎰--=--=+=====-201110012132
)()1(e dx e dx x dt t f dx x f x t x .
39. 向量}1,1,2{}2,1,1{-==b a ρρ
与向量的夹角为__________.
解：3,2
1663||||,cos π
>=⇒<==⋅>=<b a b a b a b a ρρρρρρρρ .
40.曲线⎩⎨
⎧==0
22z x
y L ：绕x 轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _________. 解：把x y 22=中的2y 换成22y z +，即得所求曲面方程x y z 222=+. 41.设函数y x xy z sin 2
+= ，则 =∂∂∂y
x z
2_________.
解： ⇒+=∂∂y x y x
z sin 2y x y x z cos 212+=∂∂∂.
42.设区域}11,10|),{(≤≤-≤≤=y x y x D ，则________)(2⎰⎰=-D
dxdy x y .
解：⎰⎰⎰⎰⎰-=-=-=--D
dx x dy x y dx dxdy x y 10210112232
2)()( .
43. 函数2
)(x e x f -=在00=x 处展开的幂级数是________________.
解： ∑∞
=⇒=0!n n x
n x e ∑
∑∞=∞
=-+∞-∞∈-=-==00
22),(,!1)1(!)()(2
n n n n n x x x n n x e x f . 44.幂级数∑∞
=+++-0
1
12)1()1(n n n n
n x 的和函数为 _________. 解：∑∑∑∞=∞
=-+∞=+++=-=+-=+-01
1101
1)21ln()2()1(1)2()1(2)1()1(n n n n n n n n n n x n x n x n x , )22(≤<-x .
45.通解为x x e C e C y 321+=-（21C C 、为任意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程为_________.
解：x x e C e C y 321+=-0323,1221=--⇒=-=⇒λλλλ
032=-'-''⇒y y y .
三、计算题（每小题5分，共40分） 46．计算 x
x e x x
x 2sin 1lim 3202
-→--. 解：20300
4
2
032
0161lim 3222lim 81lim 2sin 1lim
2
222
x
e x xe x x e x x
x e
x x x x x x x x x -=+-=--=---→-→-→-→ 16
1
lim 161322lim
22
000
0-=-=-=-→-→x x x x e x xe . 47.求函数x x x y 2sin 2)3(+=的导数dx
dy
.
解：取对数得 ：)3ln(2sin ln 2x x x y +=，
两边对x 求导得：x x
x x x x x y y 2sin 33
2)3ln(2cos 2122++++='
所以]2sin 33
2)3ln(2cos 2[)3(222sin 2x x
x x x x x x x y x +++++='
x x x x x x x x x x x 2sin )32()3()3ln(2cos )3(212sin 222sin 2+++++=-. 48.求不定积分 ⎰-dx x
x 2
24.
解：⎰⎰⎰====⎰
-==-=π<
<π-dt t tdt tdt t t
dx x x t
x t )2cos 1(2sin 4cos 2cos 2sin 4422sin 22
2
22
C x x x C t t x C t t +--=+-=+-=2
42arcsin 2cos sin 22arcsin 22sin 22
.
49.计算定积分⎰--+102
)2()
1ln(dx x x .
解：⎰⎰⎰+---+=-+=-+10101
01
02)
1)(2(1
2)1ln(21)1ln()2()1ln(dx x x x x x d x dx x x ⎰=-=+-+=++--=101
02ln 3
12ln 322ln 12ln 312ln )1121(312ln x x dx x x .
50.设),()2(xy x g y x f z ++= ，其中),(),(v u g t f 皆可微，求 y
z
x z ∂∂∂∂,.
解：x
v v g x u u g x y x y x f x z ∂∂∂∂+
∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂)2()2( ),(),()2(2xy x g y xy x g y x f v u
'+'++'= =∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂+∂+'=∂∂y
v
v g y u u g y y x y x f y z )2()2(),()2(xy x g x y x f v
'++'. 51．计算二重积分⎰⎰=D
ydxdy x I 2，
其中D 由12,===x x y x y 及所围成. 解：积分区域如图06-1所示， 可表示为：x y x x 2,10≤≤≤≤.
所以 ⎰⎰⎰⎰==1
222x
x D
ydy x dx ydxdy x I
10
310323)2(10510421
022
====⎰⎰x dx x y dx x x
x .
52．求幂级数n
n n
x n ∑
∞
=--+0)1()
3(1的收敛区间（不考虑区间端点的情况）. 解： 令t x =-1，级数化为 n
n n
t n ∑∞
=-+0)
3(1，这是不缺项的标准的幂级数.
x
x
因为 3
13)
3(11
)3(1
lim 1)3(1)3(1lim
lim 1
1=--+-=+⋅-+-+==∞→+∞→+∞→n
n n n n
n n
n n n n a a ρ，
故级数n
n n
t n ∑
∞
=-+0)
3(1的收敛半径31==ρR ，即级数收敛区间为（-3，3）. 对级数n
n n
x n ∑∞
=--+0)1()
3(1有313<-<-x ，即42<<-x . 故所求级数的收敛区间为）
，（42-. 53．求微分方程 0)12(2=+-+dy x xy dy x 通解.
解：微分方程0)12(2=+-+dx x xy dy x 可化为 212x
x
y x y -=+'，这是一阶线性
微分方程，它对应的齐次线性微分方程02=+'y x y 通解为2x
C
y =.
设非齐次线性微分方程的通解为2)
(x
x C y =，则3)(2)(x x C x C x y -'='，代入方程得
C x x x C x x C +-=⇒-='2
)(1)(2
.
故所求方程的通解为2211x
C
x y +-=.
四、应用题（每小题7分，共计14分） 54. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为y
x ,千件；甲厂月生产
成本是5221+-=x x C （千元），乙厂月生产成本是3222++=y y C （千元）.若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.
解：由题意可知：总成本8222221++-+=+=y x y x C C C ，
约束条件为8=+y x .
问题转化为在8=+y x 条件下求总成本C 的最小值 .
把8=+y x 代入目标函数得 0(882022>+-=x x x C 的整数）. 则204-='x C ，令0='C 得唯一驻点为5=x ，此时有04>=''C . 故 5=x 是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有38,3==C y . 所以 甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元. 55.由曲线)2)(1(--=x x y 和x 轴所围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.
解：平面图形如图06-2所示,此立体可看作X 型区域绕y 轴旋转一周而得到。

利用体积公式⎰=b
a y dx x f x V |)(|2π.
显然，抛物线与x 两交点分别为（1. 故 ⎰=b
a y dx x f x V |)(|2π
⎰---=2
1
)2)(1(2dx x x x π ⎰+--=2
123)23(2dx x x x π
2)4(22
1
234ππ=+--=x x x .
五、证明题（6分）
56.设)(x f 在],[a a -（0>a ，为常数）上连续， 证明：
⎰
⎰--+=a
a
a
dx x f x f dx x f 0
)]()([)(.
并计算⎰--+44
1cos π
π
dx e x
x .
证明：因为⎰⎰⎰--+=a
a
a
a
dx x f dx x f dx x f 0
)()()(，
而⎰⎰⎰⎰-=-=--====-=-00
)()()()()(a
a
a t
x a dx x f dt t f t d t f dx x f ， 故⎰⎰⎰⎰⎰-+=+=--a a
a
a
a a
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0
0)()()()()(
即有 ⎰⎰--+=a a
a
dx x f x f dx x f 0
)]()([)(.
利用上述公式有
dx e e
e x dx e x e x dx e x x x x x x x ⎰⎰⎰
π
π-ππ--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=+404044111cos 1)cos(1cos 1cos 2
2
sin cos 40
4
===⎰π
π
x dx x .
2007年河南省普通高等学校
选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试 《高等数学》试卷 题号 一 二 三 四 五 六 总分 核分人 分数
一. 单项选择题（每题2分，共计50分）
在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后 面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分. 1.集合}5,4,3{的所有子集共有 （ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8 解：子集个数D n ⇒==8223。

2.函数x x x f -+-=3)1a r c s i n ()(的定义域为 （ ）
A. ]3,0[
B. ]2,0[
C. ]3,2[
D. ]3,1[
解： B x x x ⇒≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≤-≤-200
3111。

3. 当0→x 时，与x 不等价的无穷小量是 ( )
A.x 2
B.x sin
C.1-x e
D.)1ln(x + 解：根据常用等价关系知，只有x 2与x 比较不是等价的。

应选A 。

4.当0=x 是函数x
x f 1
arctan )(= 的 （ ）
A.连续点
B. 可去间断点
C.跳跃间断点
D. 第二类间断点
解：21arctan lim 0π=+→x x ；C x x ⇒π
-=-→2
1arctan lim 0。

5. 设)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则h
h f h f h )
1()21(lim 0+--→的值为
（ ）
A.-1
B. -2
C. -3
D.-4
解：C f h f h f h
h f h f h h ⇒-='-=+'--'-=+--→→3)1(3)1()21(2[lim )
1()21(lim
00 。

6.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形 （ ）
A ．单调递减且为凸的
B ．单调递增且为凸的
C ．单调递减且为凹的
D ．单调递增且为凹的 解：⇒>'0)(x f 单调增加；⇒<''0)(x f 凸的。

应选B 。

7.曲线31x y +=的拐点是 （ ） A. )1,0( B. )0,1( C. )0,0( D. )1,1( 解：⇒=⇒==''006x x y )1,0(，应选A 。

8.曲线2
232
)(x x x f -=的水平渐近线是 （ ）
A. 32=y
B. 32-=y
C. 31=y
D. 3
1
-=y
解：C y x x x ⇒=⇒=-±∞→3
1
3132lim 22 。

9. =⎰→4
2
tan lim
x tdt x x （ ）
A. 0
B.
2
1
C.2
D. 1 解：B x
x x x xdx
x x x ⇒==→→⎰214tan 2lim tan lim
32040
02。

10.若函数)(x f 是)(x g 的原函数，则下列等式正确的是 （ ）
A.⎰+=C x g dx x f )()(
B. ⎰+=C x f dx x g )()(
C.⎰+='C x f dx x g )()(
D. ⎰+='C x g dx x f )()( 解：根据不定积分与原函数的关系知，⎰+=C x f dx x g )()(。

应选B 。

11.⎰=-dx x )31cos( （ ）
A.C x +--)31sin(3
1
B. C x +-)31sin(31
C. C x +--)31sin(
D. C x +-)31sin(3
解：A C x x d x dx x ⇒+--=---=-⎰⎰)31sin(3
1
)31()31cos(31)31cos(。

12. 设⎰--=x
dt t t y 0
)3)(1(，则=')0(y （ ）
A.-3
B.-1
C.1
D.3
解：⇒--=')3)(1(x x y D y ⇒='3)0( 。

13. 下列广义积分收敛的是 （ ）
A.⎰+∞1x
dx
B. ⎰+∞1x dx
C.⎰+∞1x
x dx D. ⎰10
x x dx 解：由p 积分和q 积分的收敛性知，⎰+∞1
x
x dx
收敛，应选C 。

14. 对不定积分⎰dx x
x 22cos sin 1
，下列计算结果错误是
（ ）
A. C x x +-cot tan
B. C x
x +-
tan 1
tan C. C x x +-tan cot D. C x +-2cot 解：分析结果，就能知道选择C 。

15. 函数2x y =在区间]3,1[的平均值为 （ ）
A. 326
B. 3
13 C. 8 D. 4
解：
⎰-b
a
dx x f a b )(1 B x dx x ⇒=
==⎰3
13
6213
1
3312。

16. 过Oz 轴及点)4,2,3(-的平面方程为 （ ） A. 023=+y x B. 02=+z y
C. 032=+y x
D. 02=+z x 解：经过Oz 轴的平面可设为0=+By Ax ，把点)4,2,3(-代入得032=+y x 应选C 。

也可以把点)4,2,3(-代入所给的方程验证，且不含z 。

17. 双曲线⎪⎩
⎪⎨⎧==-
014
32
2y z x 绕z 轴旋转所成的曲面方程为 （ ） A. 14
32
22=-+z y x B.
143222=+-z y x C. 14
3)(22=-+z y x D.
14)(32
2=+-z y x 解：把14322=-z x 中2x 换成2
2y x +得143222=-+z y x ，应选A 。

18.=+-→→xy xy y x 9
3lim 0
0 （ ）
A.
61 B. 61
- C.0 D. 极限不存在 解：B xy xy xy xy xy xy y x y x y x ⇒-=++
-=++-=+-→→→→→→61
931lim )93(lim 93lim 000000 。

19.若y x z =，则
=∂∂)
1,(e y
z
（ ）
A. e 1
B. 1
C. e
D. 0
解：C e e e x x y z
e y e ⇒===∂∂ln ln )1,()
1,( 。

20. 方程 132=-xz y z 所确定的隐函数为),(y x f z =，则
=∂∂x
z
（ ） A. xz
y z 322- B. y xz z 232- C. xz y z 32- D. y xz z 23-
解：令⇒--=132xz y z F ⇒-='-='2
332;xz zy F z F z x =
''-=∂∂z x F F x z xz
y z 322-，应选A 。

21. 设C 为抛物线2x y =上从)0,0(到)1,1( 的一段弧，则⎰=+C
dy x xydx 22
（ ） A.-1 B.0 C.1 D.2
解：C ：x x
y x x ,2⎩⎨⎧==从0变到1，⎰⎰⇒==+10
3
2142C dx x dy x xydx C 。

22.下列正项级数收敛的是 （ ）
A. ∑∞=+2131n n
B. ∑∞
=2ln 1
n n n
C. ∑∞=22)(ln 1n n n
D. ∑∞
=21
n n
n
n。