【数学】湖南省长郡中学2019-2020学年高二上学期入学考试试题
【数学】湖南省长郡中学2019-2020学年高二上学期入学考试试题
a弗第2019—2020号中友为二%我人学考或数学得分: __________________ ：本试卷分第I型选择题》和第II卷（II：选择踊》两部分，共8页.时段：120分林.满分100分.| 第I卷一，选择题；本大题共15个小题,每小题3分,共45分.焉I. 2师在班级大）名学生中,依次抽取学号为5,10・15,20,25,30.3—5,: 50的学生进行作业检套.这种抽样方法是（）1 A.随机抽样B.分层抽样C.系统抽样 D.以上都不是；★2.若某几何体的三视图如图所示，则该儿㈤TK:豕何体杓最长校的校长为（）// I 1 \A.#B.府c.y5【）.263,% S.为等差数列《。
・）的前〃项和，储+1>5。
〈监十］（，£\・工的最大值是与13. S.的最小值是灰CS.的显比值是Sr 【）.，的臬小俏是S.L如图是某学校举行的运动会I,七传评委为照体操噢目打出的分故的茎川统计图•去掉一个疑许分和一个最低分后,所剩数据的平均效和方8 4 4 6 4 7弟分别为（> 9 3A.B4wl. 84 K 81,1.6C 85.1.6 D. 85• I★ 5.四面体P-ABC的三的对桎分别相等•且长度依次为2辰5.5•则该四而体的外接球的衣而枳为< >r>. 29RR 28x数学试电《长理版'第1页ui?g近1数学试题（K 师板）第2文《共8负）★ 6.若阳”一。
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>‘ 一8上总存在点A •使得OA 则实数。
的 取值於幽是（）A.（—3 •一]）U （】，3） K （-3.3）C.[-l.l] LX [-3,-l]U[l,3]★n 在锐角:角形ABC 申，已知分别|）A,B.C 的对边，旦疆■2a/n 3,a = 4,则△4HC 面模的鼓大值为 《〉A .z./r a iTT csW "16" 8.若〃是两条异面宜线/上外的一点，则 （ >A.过点〃有fl 仅有-条汽线与/皿都平行B.过京产自且仅仃一条直线与/、m 都联AC.过点P 有且仅有一条宜线与l 、m 都相交 D,过点P 有n 仅有•条直线与八8都异面★9.巳知U 也改列SC 是公比不等于】的等比数列,且上叫一心。
长郡中学2019-2020学年高二上学期第一次模块检测数学试题(解析版)
长郡中学2019-2020学年度高二第一学期第一次模块检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分100分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分．1. 命题“()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，”的否定是（ ） A. ()0000,ln 1x x x ∃∈+∞≠+， B. ()0,ln 1x x x ∀∉+∞≠+，C. ()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，D. ()0000,ln 1x x x ∃∉+∞≠+，【答案】C 【解析】 【分析】按规则写出存在性命题的否定即可.【详解】命题“()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，”的否定为“()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，”， 故选C.【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.2. 设x ∈R ，则“213x -≤”是“311x ≥+”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别解不等式213x -≤和311x ≥+，然后判断能否从213x -≤推出311x ≥+，再判断能否从311x ≥+推出213x -≤，最后根据定义选出正确答案.【详解】213321312,x x x -≤⇒-≤-≤⇒-≤≤332110012111x x x x x -≥⇒-≥⇒≤⇒-<≤+++，显然能从12x -<≤推出12x -≤≤，不能从12x -≤≤推出12x -<≤，也就是说能从311x ≥+推出213x -≤，但不能从213x -≤推出311x ≥+，所以213x -≤是311x ≥+的必要不充分条件，故本题选B. 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，正确求解不等式的解集，根据定义进行判断是解题的关键. 3. 已知一组数据123,,,n x x x x ⋯，的平均数为5，方差为2，则数据131x +，231x +，…，31n x +的平均数x 与方差2s 三分别为（ ） A. 15x =，26s = B. 16x =，27s = C. 16x =，218s = D. 16x =，219s =【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数与方程的计算公式推导即可. 【详解】由题,()12315n x x x x n ++⋯+=,()()()22212155...52n x x x n ⎡⎤-+-++-=⎣⎦. 故()()12312311313131313n n x x x x x x x x x n n n=+++++⋯++=++⋯++⎡⎤⎣⎦ ()12313135116n x x x x n =⨯++⋯++=⨯+=.即16x =.()()()222212131163116...3116n s x x x n ⎡⎤=+-++-+++-⎣⎦()()()2221219595...95n x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦()()()222121955...518n x x x n ⎡⎤=⨯-+-++-=⎣⎦.即218s =故选：C【点睛】不同主要考查了平均数与方差的公式运用,需要根据题意列出每个数值变化后对应的表达式,与原平均数与方差的关系推导可得.属于基础题.4. 为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从500台取暖器中取50台进行检验，用随机数表抽取样本，将500台取暖器编号为001，002，…，500.下图提供了随机数表第7行至第9行的数据： 82 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据，则抽出第4台取暖器的编号为 A. 217 B. 206 C. 245 D. 212【答案】B 【解析】 【分析】从第7行第4列开始向右依次读取3个数据，重复的去掉后可得.【详解】由题意，根据简单的随机抽样的方法，利用随机数表从第7行的第4列开始向右读取，依次为217，157，245，217，206，由于217重复，所以第4台取暖器的编号为206．选B. 【点睛】本题考查随机数表，属于基础题.5. 已知函数2()6f x x x =--，在区间[6,4]-内任取一点0x ，使0()0f x ≥的概率为（ ）A.13B.25C.12D.34【答案】C 【解析】 【分析】先求出0,0x x -则的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案.【详解】由()0f x ≥得(3)(2)0x x -+，故3x ≥或2x -≤，由064x -≤≤，故062x -≤≤-或034x ≤≤，故使0,0x x -则的概率为411102P +==. 【点睛】本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般. 6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A. 35B. 20C. 18D. 9【答案】C 【解析】试题分析：模拟算法：开始：输入3,2,1,312,0n x v i i ====-=≥成立； 1224v =⨯+=，211,0i i =-=≥成立； 4219v =⨯+=，110,0i i =-=≥成立；92018v =⨯+=，011,0i i =-=-≥不成立，输出18v =.故选C.考点：1.数学文化；2.程序框图.7. 已知命题p ：若x y <，则22x y <；命题q ：若x y >，则x y -<-；在命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ⌝∧；④()p q ∨⌝中真命题是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②①【答案】C 【解析】 【分析】先分别判断命题,p q 的真假,再判断两个命题或且非的真假即可.【详解】对命题p ,当2,1x y =-=-时满足x y <,但22x y <不成立.故命题p 为假命题. 对命题q ,由不等式的性质可知命题q 为真命题.故①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ⌝∧为真命题；④()p q ∨⌝为假命题. 故选：C【点睛】本题主要考查了命题真假的判定以及命题的或且非的真假判定.属于基础题. 8. 将八位数(8)135化为二进制数为（ ） A. ()21110101 B. ()21010101C. ()21011101D. ()21111001【答案】C 【解析】 【分析】进位制之间的转化一般要先化为十进制数，再化为其它进位制数，先将8进制数转化为十进制数，再由除K 取余法转化为二进制数，选出正确选项． 【详解】135（8）=1×82+3×81+5×80=93（10）． 利用“除2取余法”可得 93（10）=1011101（2）． 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k 取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．9. 从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（ ） A.15B.310C.25D.12【答案】B 【解析】【详解】从1,2,3,4,5中任取三个数，取法总数为：3510C = 这三个数能构成三角形的情况有：()()()2,3,42,4,53,4,5，， ∴这三个数能构成三角形的概率为：310故选B10. 在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，已知60,1A b ︒==，ABC ∆则ABC∆外接圆的直径为（ ）A.81B.C.3D.3【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求得c ；利用余弦定理求得a ；根据正弦定理求得结果. 【详解】由题意得：113sin sin 60224ABC S bc A c ∆====4c = 由余弦定理得：2222cos 1168cos6013ab c bc A =+-=+-=a ∴=由正弦定理得ABC ∆外接圆的直径为：2sin sin 603a A ==本题正确选项：D 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用问题，考查学生对于基础公式和定理的掌握情况.11. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A. 2B. 3C. 10D. 15【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果. 【详解】设阴影部分的面积是s ，由题意得2400s=1010005s ∴=，选C. 【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．12. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =，112n n n a S S ++=，则n S = A. 32n - B.132n - C. 21n - D. 121n -【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列中11n n n a S S ++=-，化简表达式，再同时除以1n n S S +即可得到等差数列；求出1nS 的通项公式后，再取倒数即可得到n S 的表达式．【详解】由已知得1112n n n n n a S S S S +++=-=，两边同时除以1n n S S +，得1112n nS S +-=-， 故数列1{}n S 是以1为首项，2-为公差的等差数列，则()112132n n n S =--=-，所以132n S n=-． 【点睛】本题考查了数列求和公式的综合应用，等差数列通项公式的用法，属于基础题．13. 《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体水平优于甲 【答案】D 【解析】 【分析】根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A 错误 根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B 错误 根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C 错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D 正确 故答案选D【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.14. 在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111na a a +++的值 A.1n n- B.1n n+ C.11n n -+ D.1n n + 【答案】A【解析】分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111na a a +++的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=， 则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-，所以1111(1)1==---n a n n n n所以231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n-+++=-+-++-=-=-，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.15. 若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（ ） A.18B.35C.58D.78【答案】C 【解析】 【分析】设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，利用几何概型即可得到结果. 【详解】设1路车到达时间为x 和2路到达时间为y ．（x ，y ）可以看做平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{（x ，y ）|0≤x ≤10且0≤y ≤20}，这是一个长方形区域，面积为S ＝10×20＝200A 表示某生等车时间不超过5分钟，所构成的区域为a ＝{（x ，y ）|0≤x ≤5或0≤y ≤5}， 即图中的阴影部分，面积为S ′＝125， 代入几何概型概率公式，可得 P （A ）'12552008S S === 故选C【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．16. 已知,x y 满足约束条件50503x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则36z x y =+的最大值为__________．【答案】57 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线36z x y =+，观察直线在x 轴的截距取最大值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出目标函数的最大值. 【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线36z x y =+，当直线36z x y =+经过可行域的顶点()3,8A 时，该直线在x 轴上的截距取最大值，此时，z 取最大值，即max 336857z =⨯+⨯=，故答案为57.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值时，找最优解求解，考查数形结合数学思想，属于中等题．17. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数,m n 作为P 的坐标，则点P 落在圆2216x y +=内的概率_________. 【答案】29【解析】基本事件总数为116636C C =，且每种结果出现的可能性都相等．记事件A 为“点(,)P m n 落在圆2216x y +=内”，则事件A 所包含的基本事件为(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)、、、、、、、，共8个，故82()369P A ==． 18. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据如下表所示，由最小二乘法求得回归直线方程ˆ0.654yx =+．由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为__________．零件数x /个 10 2030 40 50 加工时间 62758189【答案】53 【解析】 【分析】根据回归直线方程经过样本中心点(),x y ,设所求数据的值为m ,再分别求解,x y 代入ˆ0.654yx =+求解即可.【详解】设所求数据的值为m ,则()11020304050305x =++++=,()()116275818930755y m m =++++=+. 故()0.1307563054m +=⨯+,解得53m =. 故答案为：53【点睛】本题主要考查了回归直线方程经过样本中心点(),x y 的知识点,属于基础题. 19. 已知0m >，0n >，且2m n +=，则21n m n+的最小值为________. 【答案】52【解析】 【分析】由2m n +=，可得21221222n n m n n m m n m n m n ++=+=++，然后利用基本不等式可求出最小值. 【详解】因为2m n +=，所以2122n n m n m n m n ++=+211522222n m m n =++≥+=，当且仅当43m =，23n =时取等号.【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件： ①各项都正数； ②和（或积）为定值； ③等号取得的条件.20. 如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得14AC DB AB ==，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ．得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为n S ，现给出有关数列{}n S 的四个命题： ①数列{}n S 是等比数列； ②数列{}n S 是递增数列；③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有2019n S >； ④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有2019n S <． 其中真命题的序号是__________．（请写出所有真命题的序号） 【答案】②④ 【解析】 【分析】先分析12,S S 、23,S S 、34,S S 的关系,再归纳出关于{}n S 的递推公式,进而累加求和求出{}n S 的通项公式进行分析即可. 【详解】由题,1S a =.图2中正六边形的边长为2a,所以 211422aS S S a =+⨯=+,图3中最小正六边形的边长为4a,所以 32244aa S S S =+⨯=+,图4中最小正六边形的边长为8a,所以 433482a aS S S =+⨯=+…由此类推, ()13,22n n n aS S n ---=≥,即{}n S 为递增数列,且不是等比数列,故①错误,②正确.又()()()112211...n n n n n S S S S S S S S ---=-+-++-+1341212 (2122212)n n n a a a a a a a a ---⎛⎫- ⎪⎝⎭=++++++=+- ()114152,2n a a a n n N +-⎛⎫=+-<≥∈ ⎪⎝⎭,又15S a a =<,所以存在最大的正数20195a =,使得对任意的正整数n ,都有2019n S <.故③错误,④正确. 故答案为：②④【点睛】本题主要考查了根据图形的变化规律,求解通项公式与累加求和的方法.需要根据题意先找出前几个图形间的关系,再推导出第n 的图形与第1n -的图形间的关系,从而得出递推公式进行求解.属于中档题.三、解答题：本大题共5个小题，每小题8分，共40分．21. 某生产企业对其所生产的甲、乙两种产品进行质量检测，分别各抽查6件产品，检测其重量的误差，测得数据如下（单位：mg ）： 甲：13 15 13 8 14 21 乙：15 13 9 8 16 23 （1）画出样本数据的茎叶图；（2）分别计算甲、乙两组数据的方差并分析甲、乙两种产品的质量（精确到0.1）． 【答案】（1）见解析（2）214.7S ≈甲，224.7S ≈乙，甲产品质量好，较稳定． 【解析】 【分析】（1）根据题目中的数据，画出茎叶图即可； （2）利用公式计算甲乙的平均数与方差即可．【详解】（1）根据题目中的数据，画出茎叶图如图所示；（2）根据茎叶图得出，甲的平均数是81313141521146+++++=，乙的平均数是8913151623142+++++=；甲的方差是216s =甲[（﹣6）2+（﹣1）2+（﹣1）2+02+12+72]14.7≈． 乙的方差是216s =乙[（﹣6）2+（﹣5）2+（﹣1）2+12+22+92]≈24.7． 甲产品质量好，较稳定.【点睛】本题考查了画茎叶图与求平均数与方差的问题，是基础题目． 22. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos a C b =-. (Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅱ)若6B π=，4b =，求BC 边上的中线AM 的长.【答案】（Ⅰ）π6A =； （Ⅱ）AM =【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理边化角，求得cos A 的值即可确定∠A 的大小； (Ⅱ)易知△ABC 为等腰三角形，利用余弦定理可得AM 的长. 【详解】（Ⅰ）因为cos a C b =，由正弦定理可得sin cos sin A C B C =-， 因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以cos sin 2A C C =， 因为sin 0C ≠，所以cos A =，π6A = ．（Ⅱ）由π6A B ==，则2π3C =，所以4BC AC ==，AB =2BM =， 由余弦定理可得2222cos 28AM BM AB BM AB B =+-⋅=，所以AM =【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理． 23. 在等比数列{}n a 中，3429,954a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）13-=n n a （2）3nn S n =⋅【解析】 【分析】（1）将已知条件化为1a 和q 后，联立解出1a 和q 后即可得到通项公式； （2）根据错位相减法可得结果.【详解】（1）因为3429,954a a a =+=，所以213119,954,a q a q a q ⎧=⎨+=⎩解得11,3.a q =⎧⎨=⎩故{}n a 的通项公式为1113n n n a a q --==. （2）由（1）可得1(21)3n n b n -=+⋅， 则22135373(21)3(21)3n n n S n n --=+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 2313335373(21)3(21)3n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，②①-②得2312323232323(21)3n nn S n --=+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-+⋅.所以13(13)232(21)313n n n S n ---=+⨯-+⨯-2n S -23n n =-⋅故3nn S n =⋅.【点睛】本题考查了等比数列通项公式基本量的计算，考查了错位相减法求数列的和，属于中档题. 24. 每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间，但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系，在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数，得到了如下数据：（1）请根据统计的最后三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若由（1）中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗，则认为线性回归方程是可靠的，试判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；（3）若100颗小麦种子的发芽率为n 颗，则记为%n 的发芽率，当发芽率为%n 时，平均每亩地的收益为10n 元，某农场有土地10万亩，小麦种植期间昼夜温差大约为9C ︒，根据（1）中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.附：在线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑.【答案】（1）5572ˆyx =+（2）见解析（3）7950万元 【解析】 【分析】（1）先进行数据处理：每个温差值减去12，每个发芽数减去86，得到新的数据表格，求出11ˆ,,,ˆy bx a ，的值，最后求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）根据线回归方程，分别计算当8x =时，当10x =时，它们的估计值，然后判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；（3）当9x =时，根据线性回归方程计算出ˆy的值，然后计算出发芽率以及收益. 【详解】数据处理12x -；86y -. （1）此时：10x =，11y =，14301511302ˆb+-⨯⨯==+-⨯，11ˆˆ51012a yb x =-⋅=-⨯=， ∴586(12)2ˆ1yx -=-+，∴5572ˆy x =+. （2）当8x =时：ˆ77y=，797722-=≤符合，当10x =时：ˆ82y=，828112-=≤符合， 前两组数据均符合题意，该回归直线方程可靠.（3）当9x =时，ˆ79.5y=. 发芽率79.5%79.5%100n ==，∴79.5n =. 收益：79.51010⨯⨯（万亩）7950=（万元）. 种植小麦收益为7950万元.【点睛】本题考查了求线性回归方程，以及用数据检验线性回归方程是否可靠，考查了应用线性回归方程估计收益问题，考查了数学应用能力.25. 某大学就业部从该大学2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪收入在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下的频率分布直方图：若月薪落在区间()22x s x s -+，的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见．其中x s 、分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s ≈1500元（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）现该校2018届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生？ （2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率；（3）位于某省的一高校2018届某专业本科毕业生共200人，现他们决定于2019年元旦期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用．假定这200人与所抽取样本中的100人月薪分布情况相同，并用样本频率进行估计，现有两种收费方案： 方案一：按每人一个月薪水的10%收取；方案二：月薪高于样本平均数的毎人收取800元，月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何用． 问：哪一种收费方案最终总费用更少？ 【答案】（1）见解析；（2）35；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）6650x =，23650x s -=，经比较可知张茗属于就业不理想的学生；（2）月薪不超过5000的有3人，超过5000的有3人，从6人中抽2人共有15种，其中符合恰有1人月薪不超过5000的有9种，由古典概型概率公式可得；（3）方案一收取133000元，方案二收取108000元，经比较可知方案二符合题意． 【详解】（1）x =3500×1000×0.00005+4500×1000×0.00010+5500×1000×0.00015+6500×1000×0.00030+7500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015+9500×1000×0.00005=6650，x -2s=6650-3000=3650＞3600，所以张茗属于“就业不理想“的学生．（2）第一组有1000×0.00005×100=5人，第二组有1000×0.00010×100=10人，第三组有1000×0.00015×100=15人，所以按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为A ，第二组抽2人，记为B ，C ，第三组抽3人，记为D ，E ，F ，从这6人中抽2人共有15种：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ），（D ，E ），（D ，F ），（E ，F ）．其中恰有一人月薪不超过5000元的有9种：（A ，D ），（A ，E ），（A ，F ），（B ，D ），（B ，E ），（B ，F ），（C ，D ），（C ，E ），（C ，F ）． 根据古典概型概率公式可得P=915=35． （3）同一组中的数据用该组区间的中点值作代表可得：方案一：月薪在3000-4000之间的收取1000×0.00005×200×3500×0.1=3500； 月薪在4000-5000之间的收取1000×0.00010×200×4500×0.1=9000； 月薪在5000-6000之间的收取1000×0.00015×200×5500×0.1=16500； 月薪在6000-7000之间的收取1000×0.00030×200×6500×0.1=39000； 月薪在7000-8000之间的收取1000×0.00020×200×7500×0.1=30000； 月薪在8000-9000之间的收取1000×0.00015×200×8500×0.1=25500； 月薪在9000-10000之间的收取1000×0.00005×200×9500×0.1=9500； 共收取133000元．方案二：月薪高于6650的收取800×200×1000×（0.00020+0.00015+0.00005）=64000； 月薪不低于4000但低于6650的收取400×200×1000×（0.00010+0.00015+0.00030）=44000；共收取108000．故方案二最终总费用更少．【点睛】本题考查了频率分布直方图中平均数的计算，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2019-2020学年湖南省长郡中学高二上学期第二次模块检测数学试题--(附解析答案)
2019-2020学年湖南省长郡中学高二上学期第二次模块检测数学试题一、单选题1．某次娱乐节目中有,,A B C 三个方阵，其人数之比为3:3:4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，方阵A 被抽出人数为12人，则此样本容量n 为( ) A ．20 B ．25C ．30D ．40【答案】D【解析】根据题中数据，先确定A 方阵所占比例，进而可求出样本容量. 【详解】因为,,A B C 三个方阵，其人数之比为3:3:4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，则A 方阵抽取的人数占样本容量的3333410=++，又方阵A 被抽出人数为12人，所以此样本容量n 为1240310=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查分层抽样求样本容量，熟记分层抽样的特征即可，属于基础题型.2．设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，方程221sin cos x yαα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则α∈( )A ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】根据题意，结合椭圆的标准方程，列出不等式组，求解，即可得出结果. 【详解】因为方程221sin cos x y αα+=表示焦点在x 轴上的椭圆，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0cos 0sin cos 02ααααπα>⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩，解得：42ππα<<.故选：B. 【点睛】本题主要考查由方程表示椭圆求参数的问题，熟记椭圆的标准方程即可，属于常考题型. 3．若函数()sin cos f x a x =-,则()f a '= ( ) A ．sin a B ．cos aC ．sin cos a a +D ．2sin a【答案】A 【解析】解答： f ′(x )=sin x ，所以f ′(α)=sin α 故选A.4．已知ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）A ．4π B ．14π-C ．8π D ．18π-【答案】B 【解析】【详解】根据几何概型得：取到的点到O 的距离大于1的概率：221214d P D ππ-====-⨯圆外部分的面积矩形的面积，故选B.5．方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是 A ．01a <≤ B ．1a < C ．1a ≤ D ．01a <≤或0a <【答案】C【解析】试题分析：①0a ≠时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则0a <；若方程有两个负的实根，则必有102{001440aa aa >-<∴≤∆=-≥＜．．②若0a =时，可得12x =-也适合题意． 综上知，若方程至少有一个负实根，则1a ≤．反之，若1a ≤，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程2210ax x ++=至少有一负的实根的充要条件是1a ≤． 故答案为C【考点】充要条件，一元二次方程根的分布6．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点朝上的概率是( )A ．125216B ．25216C ．31216D ．91216【答案】D【解析】先根据题意，确定一颗骰子抛掷一次出现6点朝上的概率，计算出现0次6点朝上的概率，根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果. 【详解】因为将一颗质地均匀的骰子抛掷一次出现6点朝上的概率为16， 因此，先后抛掷三次，出现0次6点朝上的概率为3112516216⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以至少出现一次6点朝上的概率是125911216216-=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率，熟记概率计算公式，以及对立事件的概率即可，属于常考题型.7．下列命题正确的是( )A ．若a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，则a r 与c r共线B ．向量,,a b c r r r共面，即它们所在的直线共面C ．若//a b r r ，则存在唯一的实数λ使λa b =r rD ．零向量是模为0，方向任意的向量 【答案】D【解析】假设b r为零向量，即可判断A 选项；根据向量的特征，可判断B 选项；根据共线向量定理，可判断C 选项；根据零向量的定义，可判断D 选项. 【详解】A 选项，若0b =r r ，则根据零向量方向的任意性，可的a r 与b r 共线，b r 与c r 共线；但a r与c r不一定共线，故A 错；B 选项，因为向量是可以自由移动的量，因此三个向量共面，其所在的直线不一定共面；故B 错；C 选项，根据共线向量定理，若//a b r r ，其中0b ≠r r ，则存在唯一的实数λ使λa b =r r；故C 错；D 选项，根据零向量的定义可得，零向量是模为0，方向任意的向量；即D 正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查向量相关命题的判定，熟记向量的概念，向量的特征，以及共线向量定理即可，属于基础题型.8．与圆A ：()22549x y ++=和圆B ：()2251x y -+=都外切的圆的圆心P 的轨迹方程是( )A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．()2210169x y x -=>D ．()2210916x y x -=>【答案】D【解析】先由题意，得到两定圆的圆心和半径，再由圆P 与圆A ，圆B 都外切，设圆P的半径为r ，得到610PA PBPA PB AB ⎧>⎪⎨-=<=⎪⎩，根据双曲线的定义，即可确定动点轨迹，从而求出轨迹方程.【详解】由题意，可得圆()22549x y ++=的圆心为(5,0)A -，半径为7；圆()2251x y -+=的圆心为(5,0)B ，半径为1；又圆P 与圆A ，圆B 都外切，设圆P 的半径为r ， 则7PA r =+，1PB r =+，所以610PA PB PA PB AB ⎧>⎪⎨-=<=⎪⎩，因此，根据双曲线的定义可得，圆心P 的轨迹是双曲线的右支； 且该双曲线的焦距为210c AB ==，实轴长为26a PA PB =-=，因此53c a =⎧⎨=⎩，所以22216b c a =-=.故所求轨迹方程为：()2210916x y x -=>.故选：D. 【点睛】本题主要考查求轨迹方程，熟记双曲线的定义，以及圆与圆位置关系即可，属于常考题型.9．如图是根据x ，y 的观测数据()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅得到的点图，由这些点图可以判断变量x ，y 具有线性相关关系的图（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】B【解析】通过观察散点图可以得出，②③没有明显的线性相关关系；①④是明显的线性相关． 【详解】由题图知，②③的点呈片状分布，没有明显的线性相关关系； ①中y 随x 的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与y 负相关； ④中y 随x 的增大而增大，各点整体呈上升趋势，y 与x 正相关． 故选：B ． 【点睛】本题考查了通过散点图判断两个变量之间的线性相关，是基础题目． 10．对具有线性相关关系的两个变量x ，y ，测得一组数据如表所示：x 2 4 5 6 8y 20 m 60 70 n根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为10.5 1.5y x =+$，则m n +=（ ） A ．119 B ．120C ．129D ．130【答案】B【解析】由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解m n +的值．。
长郡中学高二入学考试理科数学考试试题及参考答案
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湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题含答案
（ ）根据频率分布直方图估计这 位男生身高的中位数；
（ ）用分层抽样的方法在身高为 内抽取一个容量为 的样本，从样本中任意抽取 位男生，求这两位男生身高都在 内的概率．
23.已知数列 的前 项和为 ，且 对任意 都成立.
（Ⅰ）求 值；
（Ⅱ）证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
（Ⅲ）设 ，求数列 的前 项和 .
24.已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P 轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4.
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且 （O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
16.某中学高二年级甲班的学生共有25名女生和35名男生，现以简单随机抽样的方法从甲班全班同学中推选5名学生代表甲班参加全校演讲比赛，则甲班中某女生被抽到的概率是________．
17.已知函数 （ ，且 ）的图像恒过定点 ，则 __________．
C. 有最大值， 有最大值D. 有最小值， 有最小值
二、多项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对得1分）
11.下列关于函数 的说法中正确的是（）
A. 为奇函数
B. 上单调递减
C. 不等式 的解集为
D. 不等式 的解集为
12.如图，在正四棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点，异面直 与 所成角的余弦值为 ，则（）
长郡高二入学考试数学(文科)答案
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二填空题
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长郡中学学年度高二第一学期入学考试
数学!文科"参考答案
一#选择题
长郡高二入学考试数学(文科)
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文科数学!长郡版"!!#
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长郡中学高二入学考试理科数学考试试题及参考答案
理科数学 长郡版 !# !
长郡中学 学年度高二第一学期入学考试
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2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高二(上)期中数学试卷试卷试题及答案
2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分.）1．椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为( )A ．(5,0)B ．(0,5)C ．(，0)D ．2．命题“x R ∀∈，3210x x -+…”的否定是( ) A ．不存在x R ∈，3210x x -+…B ．0x R ∃∈，320010x x -+…C ．0x R ∃∈，320010x x -+> D ．x R ∀∈，3210x x -+>3．某高级中学共有学生3000人，其中高二年级有学生800人，高三年级有学生1200人，为了调查学生的课外阅读时长，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为( ) A ．20B ．25C ．30D ．354．从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是( )A ．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”B ．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C ．“都是白球”与“有一个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”5．过点(2,2)-且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程是( )A ．22124y x -= B ．22142x y -= C ．22142y x -= D ．22124x y -= 6．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为( ) A ．23B ．12 C ．13D ．147．如图，某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是()A ．甲所得分数的极差为22B ．乙所得分数的中位数为18C ．两人所得分数的众数相等D ．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数8．已知命题:p x R ∃∈，sin 1x >，命题:(0,1)q x ∀∈，0lnx <，则下列命题中为真命题的是( )A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∧9．已如样本1x ，2x ，3x ，n x 的平均数为x ，标准差为s ，那么样本131x +，131x +，331x +，⋯⋯，31n x +的平均数和标准差分别是( )A ．31x +，3sB ．31x +，9sC ．31x +，31s +D ．3x ，9s10．在区间[0，]π上随机地取一个数x ，则事件“1sin 2x …”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．12D ．1311．已知椭圆221164x y +=以及椭圆内一点(2,1)P ，则以P 为中点的弦所在直线斜率为( )A ．12B ．12- C ．2 D ．2-12．0x ∃…，使20x x a +-…，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a >B ．1a …C ．1a <D ．1a …13．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点0(1,)M y 在抛物线C 上，05||4y MF =，则tan (FAM ∠= ) A ．25B ．52C ．54D ．4514．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若||1x =，则1x =”的否命题为：“若||1x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的充要条件C ．直线1:()10l ax a l y +++=，2:20l x ay ++=，“2a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件D ．命题“若x y ≠，则cos cos x y ≠”的逆否命题为真命题15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，若||OA ，||AB ，||OB 成等差数列，且(0)FA FB λλ=<，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．52二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）16．椭圆22136x y m+=短轴的长为8，则实数m = ． 17．某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是 ．18．设1F ，2F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且12||:||2:1PF PF =，则△12PF F 的面积等于 ．19．在平面区域0202x y ⎧⎨⎩剟剟内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足x y b +…的概率大于18，则b 的取值范围是 ．20．已知O 为坐标原点，点(1,2)P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A ，B ，若0PA PB k k +=，则AB OP k k 的值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21．设命题p ：实数x 满足22320x ax a -+<，其中0a <；命题q ：实数x 满足2760x x ++<， （1）当1a =-时，若p q ∧为真，求x 范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．22．（100分）为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率．23．已知动圆P过点1(0,)8F且与直线18y=-相切，圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若A，B是曲线C上的两个点且直线AB过OAB∆的外心，其中O为坐标原点，求证：直线AB过定点．24．2019年的流感来得要比往年更猛烈一些．据四川电视台4SCTV-“新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上．这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院．某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆ)a y bx =-25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B 为椭圆C 上位于x轴同侧的两点，△12AF F 的周长为6，12F AF ∠，的最大值为3π．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若1221AF F BF F π∠+∠=，求四边形12AF F B 面积的取值范围．2019-2020学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．椭圆221916x y +=的一个焦点坐标为( )A ．(5,0)B ．(0,5)C ．(，0)D ．【解答】解：椭圆221916x y +=的焦点坐标在y 轴，又因为3a =，4b =，所以c =故双曲线221916x y +=的右焦点的坐标是． 故选：D ．2．命题“x R ∀∈，3210x x -+…”的否定是( ) A ．不存在x R ∈，3210x x -+…B ．0x R ∃∈，32010x x -+…C ．0x R ∃∈，320010x x -+> D ．x R ∀∈，3210x x -+>【解答】解：命题“x R ∀∈，3210x x -+…”的否定是：0x R ∃∈，32010x x -+>， 故选：C ．3．某高级中学共有学生3000人，其中高二年级有学生800人，高三年级有学生1200人，为了调查学生的课外阅读时长，现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为( ) A ．20B ．25C ．30D ．35【解答】解：抽取比例为751300040=， 高一年级有3000(8001200)1000-+=人， 高一年级应被抽取的人数为110002540⨯=． 故选：B ．4．从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是( )A ．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”B ．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C ．“都是白球”与“有一个黑球”D ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”【解答】解：对于A ，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生， 但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球， ∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，A 满足题意；对于B ，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生， 如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，B 不满足题意；对于C ，“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，C 不满足题意； 对于D ，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥，D 不满足题意． 故选：A ．5．过点(2,2)-且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线方程是( )A ．22124y x -= B ．22142x y -= C ．22142y x -= D ．22124x y -= 【解答】解：设所求双曲线方程为222x y λ-=，把(2,2)-代入方程222x y λ-=，解得2λ=-．由此可求得所求双曲线的方程为22124y x +-=． 故选：A ．6．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为( ) A ．23B ．12 C ．13D ．14【解答】解：依题意，任取2种名著进行阅读，包含的基本事件个数为246C =个，而取到红楼梦包含133C =个基本事件， 所以取到《红楼梦》的概率为3162P ==， 故选：B ．7．如图是某赛季甲，乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是 ( )A ．甲所得分数的极差为22B ．乙所得分数的中位数为18C ．两人所得分数的众数相等D ．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【解答】解：甲所得分数的极差为331122-=，A 正确； 乙所得分数的中位数为18，B 正确；甲所得分数的众数为22，乙所得分数的众数为22，C 正确； 故选：D ．8．已知命题:p x R ∃∈，sin 1x >，命题:(0,1)q x ∀∈，0lnx <，则下列命题中为真命题的是( )A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∧【解答】解：命题:p x R ∃∈，sin 1x >为假命题， 当(0,1)x ∈，0lnx <恒成立，即命题q 是真命题， 则()p q ⌝∧是真命题，其余为假命题， 故选：D ．9．已如样本1x ，2x ，3x ，n x 的平均数为x ，标准差为s ，那么样本131x +，131x +，331x +，⋯⋯，31n x +的平均数和标准差分别是( )A ．31x +，3sB ．31x +，9sC ．31x +，31s +D ．3x ，9s【解答】解：根据题意，样本1x ，2x ，3x ，n x 的平均数为x ，标准差为s ，其方差为2s ， 那么样本131x +，231x +，331x +，⋯⋯，31n x +的平均数 1231(31313131)31n x x x x x x n'=++++++⋯⋯++=+， 则其方差229s s '=，则样本131x +，131x +，331x +，⋯⋯，31n x +的标准差为3s ， 故选：A ．10．在区间[0，]π上随机地取一个数x ，则事件“1sin 2x …”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．12D ．13【解答】解：0x π剟， ∴由12snx …得06x π剟或56x ππ剟， 则事件“12snx …”发生的概率50166303P ππππππ-+-===-，故选：D ．11．已知椭圆221164x y +=以及椭圆内一点(2,1)P ，则以P 为中点的弦所在直线斜率为( )A ．12B ．12-C ．2D ．2-【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示；设以点P 为中点的弦所在直线与椭圆相交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ；则22111164x y +=①，22221164x y +=②； ∴①-②，得12121212()()()()0164x x x x y y y y +-+-+=；由中点坐标公式：124x x +=，122y y +=， ∴12124()2()0164x x y y --+=； 121212y y k x x -∴==--．故选：B ．12．0x ∃…，使20x x a +-…，则实数a 的取值范围是( ) A ．1a >B ．1a …C ．1a <D ．1a …【解答】解：0x ∃…，使20x x a +-…，等价于(2)x min a x +…，设()2x f x x =+，[0x ∈，)+∞，则函数()f x 在[0x ∈，)+∞上是单调增函数， 所以()(0)1f x f =…，所以a 的取值范围是1a …． 故选：B ．13．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点0(1,)M y 在抛物线C 上，05||4y MF =，则tan (FAM ∠= ) A ．25B ．52C ．54D ．45【解答】解：过M 向抛物线的准线作垂线，垂足为N ，则005||24y p MN y =+=，故02y p =． 又0(1,)M y 在抛物线上，故012y p =，于是122p p =，解得12p =， 055||44y MN ∴==， ||4tan tan ||5AN FAM AMN MN ∴∠=∠==． 故选：D ．14．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若||1x =，则1x =”的否命题为：“若||1x =，则1x ≠”B ．“1x =-”是“2560x x --=”的充要条件C ．直线1:()10l ax a l y +++=，2:20l x ay ++=，“2a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件D ．命题“若x y ≠，则cos cos x y ≠”的逆否命题为真命题【解答】解：命题“若||1x =，则1x =”的否命题为：“若||1x ≠，则1x ≠”，所以A 不正确； “1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以B 不正确；直线1:()10l ax a l y +++=，2:20l x ay ++=，“2a =-或0a =”是“12l l ⊥”的充要条件，所以C 正确；命题“若x y ≠，则cos cos x y ≠”的逆否命题为：若cos cos x y =，则x y =显然不正确是假命题； 故选：C ．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别为直线1l ，2l ，经过右焦点F 且垂直于1l 的直线l 分别交1l ，2l 于A ，B 两点，若||OA ，||AB ，||OB 成等差数列，且(0)FA FB λλ=<，则该双曲线的离心率为( )ABCD ．52【解答】解：由双曲线的性质可得：||AF b =，||OA a =，tan b AOF a∠=，222222tan 2tan tan 211()bAOF ab a AOB AOF b tan AOF a b a ∠∴∠=∠===-∠--， 在Rt OAB ∆中，||||tan ||AB AB AOB OA a∠==， ∴22||2AB aba ab =-，2222||a b AB a b ∴=-，||OB ∴=又||OA ，||AB ，||OB 成等差数列，2||||||AB OA OB ∴=+，∴2224a b a a b =- 化简得：222320a ab b --=，即(2)(2)0a b a b +-=， 20a b ∴-=，即2a b =，222244()a b c a ∴==-，2254a c =，22254c e a ∴==，e ∴=． 故选：A ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上）16．椭圆22136x y m +=短轴的长为8，则实数m = 16 ． 【解答】解：椭圆22136x y m +=短轴的长为8， 因为6a =，212a =，所以椭圆的焦点坐标在x 轴，4=，解得16m =． 故答案为：16．17．某班共有56名学生，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知12号、26号、54号同学在样本中，则样本中还有一名同学的编号是 40 ． 【解答】解：12号、26号、54号同学在样本中， 542628-=，261214-=， ∴抽样间隔为14，∴样本中还有一位同学的编号应是261440+=．故答案为：40．18．设1F ，2F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且12||:||2:1PF PF =，则△12PF F 的面积等于 12【解答】解：1F ，2F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，1(3,0)F -，2(3,0)F ，12||6F F =， 12||:||2:1PF PF =，∴设2||PF x =，则1||2PF x =，由双曲线的性质知|2|x x -=x =．1||PF ∴=2||PF =124cos 5F PF ∴∠==，123sin 5F PF ∠=．∴△12PF F 的面积为131225⨯=．故答案为：12．19．在平面区域0202x y ⎧⎨⎩剟剟内任取一点(,)P x y ，若(,)x y 满足x y b +…的概率大于18，则b 的取值范围是 (1,)+∞ ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则矩形的面积224S =⨯=， 当满足x y b +…的概率大于18，则满足x y b +…对应的区域为OED ∆， 则(,0)E b ，(0,)D b ，(0)b >， 则OED ∆的面积11482S =⨯=，即21122b =，即21b =， 解得1b =，若满足x y b +…的概率大于18，则对应区域的面积OED S S ∆>，此时直线x y b +=在直线1x y +=的上方， 即1b >，故b 的取值范围是(1,)+∞， 故答案为：(1,)+∞20．已知O 为坐标原点，点(1,2)P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A ，B ，若0PA PB k k +=，则AB OP k k 的值为 2- ． 【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则212122212112444AB y y y y k y y x x y y --===-+-． 1121112241214PA y y k y x y --===-+-，同理242PB k y =+． 0PAPB k k +=，∴1244022y y +=++，得124y y +=-． ∴414AB k ==--． 又221OP k ==，122AB OP k k ∴=-⨯=-． 三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21．设命题p ：实数x 满足22320x ax a -+<，其中0a <；命题q ：实数x 满足2760x x ++<， （1）当1a =-时，若p q ∧为真，求x 范围；（2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =-时，p 真，则2320x x ++<，解得21x -<<-； q 真，则解得61x -<<-． p q ∧为真，则p 真且q 真，故x 范围为(2,1)--．（2）p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则q 是p 的必要不充分条件， p 真，有2a x a <<， ∴126a a -⎧⎨-⎩……，故31a --剟． 22．（100分）为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率．【解答】解：（1）由频率和为1，得(0.0050.0100.0250.020)101a ++++⨯=，0.040a =； 设综合评分的中位数为x ，则(0.0050.0100.025)100.040(80)0.5x ++⨯+⨯-=，解得82.5x =， 所以综合评分的中位数为82.5；（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为(0.0400.020)100.6+⨯=，即概率为0.6； 所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3:2； 所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为a 、b 、c ，非一等品2个，记为D 、E ； 从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：ab 、ac 、aD 、aE 、bc 、bD 、bE 、cD 、cE 、DE 共10种；抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：aD 、aE 、bD 、bE 、cD 、cE 共6种， 所以所求的概率为63105P ==． 23．已知动圆P 过点1(0,)8F 且与直线18y =-相切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）若A ，B 是曲线C 上的两个点且直线AB 过OAB ∆的外心，其中O 为坐标原点，求证：直线AB 过定点．【解答】解：（1）设点(,)P x y 1||8y =+，平方整理得：212x y =， ∴曲线C 的方程，212x y =． （2）证明：由题意可知直线AB 的斜率一定存在，否则不与曲线C 有两个交点． 设AB 方程为y kx m =+，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程22y kx my x =+⎧⎨=⎩，得220x kx m --=， 则得122k x x +=，122m x x =-， 由212x y =得：2112y x =，2222y x =．△280k m =+>． 2222212121212224()4()y y x x x x x x m ===⨯=．△28k m =+直线AB 过AOB ∆的外心，其中O 为坐标原点，OA OB ∴⊥． ∴12120OA OB x x y y =+=， ∴202mm -+=．0m ≠ 解得12m =． ∴直线AB 过定点1(0,)2．24．2019年的流感来得要比往年更猛烈一些．据四川电视台4SCTV - “新闻现场”播报，近日四川省人民医院一天的最高接诊量超过了一万四千人，成都市妇女儿童中心医院接诊量每天都在九千人次以上．这些浩浩荡荡的看病大军中，有不少人都是因为感冒来的医院．某课外兴趣小组趁着寒假假期空闲，欲研究昼夜温差大小与患感冒人数之间的关系，他们分别到成都市气象局与跳伞塔社区医院抄录了去年1到6月每月20日的昼夜温差情况与患感冒就诊的人数，得到如下资料：该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2月至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（参考公式：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆ)ay bx =- 【解答】解：（1）由表中2月至5月份的数据，得144(1113128)1144x =+++==，196(25292616)2444y =+++==，故有52()()012512(3)(8)36i i i x x y y =--=⨯+⨯+⨯+-⨯-=∑，5222222()021(3)14ii xx =-=+++-=∑，由参考公式得8ˆ7b=，由ˆˆa y bx =-得30ˆ7a =-， 即y 关于x 的线性回归方程830ˆˆˆ77y bx a x =+=-．（2）由1月份数据得当10x =时，830150ˆ10777y =⨯-=． 1504|22|277-=<， 由6月份数据得当6x =时，83078ˆ6777y =⨯-=． 786|22|277-=<， 则该小组所得线性回归方程是理想的．25．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B 为椭圆C 上位于x轴同侧的两点，△12AF F 的周长为6，12F AF ∠，的最大值为3π．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若1221AF F BF F π∠+∠=，求四边形12AF F B 面积的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）△12AF F 的周长为6，226a c ∴+=，即3a c +=，① 当A 为椭圆C 的上下顶点时，12F AF ∠的最大值为3π，此时△12AF F 为等边三角形，2a c =，②联立①②及222a b c =+，解得2a =，b =1c =．∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）1221AF F BF F π∠+∠=，12//AF BF ∴，延长1AF 交椭圆C 于点A '，由（Ⅰ）知1(1,0)F -，2(1,0)F ， 设1(A x ，1)y ，2(A x '，2)y ，直线AA '的方程为1x ty =-，联立221143x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty +--=．∴122634t y y t +=+，122934y y t =-+． 设1AF 与2BF 的距离为d ，则四边形12AF F B 的面积： 21211(|||)||22F AA S AF BF d AA d S '=+='=．1212121||||||2S F F y y y y ∴=-=-===令m =，1m …． 212121313m S m m m∴==++．()S m 在[1，)+∞上单调递减，(0S ∴∈，3]．故四边形12AF F B 面积的取值范围为(0，3]．。
2019-2020年高二上学期入学考试数学试题含解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设{}{}2|12,|1A x x B x x =-<<=≤，则AB =（ ）A ．()1,2-B ．()1,1-C ．[)1,2-D ．(]1,1- 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得{}{}|12,|11A x x B x x =-<<=-≤≤，所以A B =(]1,1-，故选D ．考点：集合的运算．2.已知互相垂直的平面,αβ交于直线l ．若直线,m n 满足//,n m αβ⊥，则（ ）A ．//m lB ．//m nC ．n l ⊥D ．m n ⊥ 【答案】C考点：线面位置关系的判定与证明．3.已知函数()1,0,0x x x f x a x -≤⎧=⎨>⎩，若()()11f f =-，则实数a 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()1,0,0xx x f x a x -≤⎧=⎨>⎩，所以(1)2,(1)f f a -==，若(1)(1)f f =-，所以2a =，故选B ．KS5U考点：分段函数的解析式及其应用． 4.已知2sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．16 B ．13 C ．12D ．23【答案】A考点：三角函数的化简求值．5.某校高三年级共1200名学生，现采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行健康状况调查，若抽到男生比女生多10人，则该校男生共有（ ）A ．700B ．660C ．630D ．610 【答案】C 【解析】试题分析：设抽取的样本中男生共有x 人，则女生有10x -人，由样本容量为200，所以10200x x +-=，所以105x =，则该校男生共有1051200630200⨯=人，故选C ． 考点：分层抽样．【方法点晴】本题主要考查了分层抽样方法及其应用，分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配，这是分层抽样的最主要的特点，首先各确定分层抽样的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力．KS5U 6.已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若()3sin cos sin 13cos B C C B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2：3B ．4：3C ．3：1D ．3：2【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理，设sin sin sin a b ck A B C===，因为()3sin cos sin 13cos B C C B =-，可化简()sin 3sin C B C =+,又A B C π++=，所以sin 3sin C A =，所以sin :sin 3:1C A =，故选C ．考点：正弦定理及其应用．7.已知()()()2,1,,3,1,2a b k c =-=-=，若()2a b c -⊥，则b =（ ）A ．B ．C ．25D 【答案】A考点：向量的坐标运算． 8.函数()()()0sin 10sin 70f x x x =+++的最大值是（ ）A ．1B D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得()()()()()00sin 10sin 70sin 10sin 6010f x x x x x =+++=++++0000013sin(10)sin(10)10)sin(10)10)2222x x x x x =+++++=+++0001030)40)x x =++=+，当0sin(40)1x +=，故选B ．考点：两角和与差的正弦函数．KS5U9.执行如图所示的程序框图，若输入5K =，则输出的S 是（ ）A ．306B ．50C ．78D ．18 【答案】D考点：程序框图．10. 在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为1sin 2S bc A =，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ） A ．1517- B ．45- C ．1517D ．45【答案】A 【解析】试题分析：因为22()S a b c +=+，所以2222S b c a b c =+-+，所以1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，又因为22sin cos 1A A +=，解得15cos 17A =-或cos 1A =-（舍去），所以15cos 17A =-．考点：余弦定理．11.扇形OAB 中，090,2AOB OA ∠==，其中C 是OA 的中点，P 是AB 弧上的动点（含端点），若实数,λμ满足OP OC OB λμ=+，则λμ+的取值范围是（ ）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．[]1,2D ．⎡⎣【答案】D 【解析】考点：平面向量的基本定理及其意义．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标表示及其运算、平面向量的基本定理的应用、圆的参数方程、辅助角公式等知识点的综合应用，解答中有OP OC OB λμ=+，得(,)(,0)(0,2)x y λμ=+，所以2x y λμ=⎧⎨=⎩，设cos ,sin 2λθμθ==，则)λμθϕ+=+是解答问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．KS5U 12.四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为24316π同一球面上，则PA =（ ）A ．3B ．72C ．D ．92【答案】B 【解析】试题分析：连结,AC BC 交于点E ，取PC 的中点O ，连结OE ，则//OE PA ，所以OE ⊥底面ABCD ，则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，半径为12R P C =所以球的体积为34243316ππ=，解得72PA =，故选B ．考点：球的内接多面体；求的体积和表面积公式．【方法点晴】本题主要考查了四面体的外接球的体积公式、球内接四棱锥的性质等知识的应用，同时考查了共定理的运用，解答值需要认真审题，注意空间思维能力的配用，解答中四棱锥的外接球是以O 为球心，半径为R =利用体积公式列出等式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答额你听的能力，属于中档试题．KS5U2019-2020年高二上学期入学考试数学试题含解析二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-，且//a b ，则24a b +=___________．【答案】()6,12--考点：向量的坐标运算．14.过点()2,1且与直线340x y ++=垂直的直线方程为____________． 【答案】350x y --= 【解析】试题分析：因为直线340x y ++=的斜率为13-，所以与直线340x y ++=垂直的直线斜率为3，由点斜式方程可得13(2)y x -=-，可得直线方程为350x y --=． 考点：直线方程的求解．15.四边形ABCD 中，AC BD ⊥且2,3AC BD ==，则AB CD 的最小值为____________． 【答案】134-考点：平面向量的数量积的运算．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，平面向量的坐标表示等知识点的应用，其中涉及到平面向量的坐标运算和向量的模的计算以及平面向量的夹角公式等知识，注意解题方法的积累和总结，属于中档试题，解答中适当的建立直角坐标系，写出相应点的坐标和向量的运算公式是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力． 16.将()22xx af x =-的图像向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数()y g x =的图像向下平移2个单位后得曲线 2C ，1C 与2C 关于x 轴对称，若()()()f x F x g x a=+的最小值为m 且2m >则实数a 的取值范围为____________． 【答案】122a << 【解析】试题分析：因为将函数的图象向右平移2个单位后得曲线1C ，所以曲线1C 22:()22x x a p x --=-，因为曲线1C 与2C 关于x 轴对称，所以曲线222:()22x x a C q x --=-，因为将函数()g x 的图象向下平移2个单位后得曲线2C ，所以22()222x x a g x --=-+，所以()()2()211141()22242x x x x f x a a F x g x a a a --=+=-+=-⋅+2+，因为1(,4)4a ∈，所以110,4104a a ->->，因为20x >，所以()2F x ≥，因为()F x 最小值m 且2m >+，所以22m =>+122a <<．考点：函数的图象及变换；基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的图象及其图象的变换、参数的取值范围的求法，涉及到函数的图象的对称性、函数的单调性、函数的最值、均值不等式等知识点的综合应用，综合性强，解题是要注意等价转化思想和方程思想的运用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．KS5U三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知向量12122,3a e e b e e =-=+，其中()()121,0,0,1e e ==． 求：（1）a b ；（2）a 与b 夹角的正弦值．【答案】（1）1；（2）10．考点：平面向量的坐标运算；向量的数量积的运算． 18.（本题满分12分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从某校高中毕业班中抽取 一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．数据分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7． （1）求这次铅球测试成绩合格的人数；（2）若参加测试的学生中9人成绩 优秀，现要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知学生a b 、的成绩均为优秀，求两人a b 、至少有1人入选的概率．【答案】(1)36；(2)512．考点：频率分布直方图；古典概型及其概率的求解． 19.（本小题满分12分）（正弦定理sin sin sin a b cA B C==）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知1cos 2,3A c A C =-==． （1）求a 的值；（2）若角A 为锐角，求b 的值及ABC ∆的面积．【答案】(1)(2)2．考点：正弦定理和余弦定理．20.（本小题12分）在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF是边长均为4正方形，,CF ABCD BG⊥⊥平面ABCD，且24AB BG BH==．（1）求证：GH⊥平面EFG；（2）求三棱锥G ADE-的体积．【答案】(1)证明见解析；(2)323．（2）因为CF ⊥平面,ABCD BG ⊥平面ABCD ，∴//CF BG ．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 又∵//ED CF ，∴//BG ED ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴//BG 平面ADE ，则G ADE B ADE V V --=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分又,CD AD CD DE ⊥⊥，∴CD ⊥平面ADE ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分 而//AB CD ，所以AB ⊥平面ADE ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ∴11113244432323G ADE B ADE V V AD DE AB --==⨯=⨯⨯⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：线面位置关系的判定与证明；三棱锥体积的计算．21.（本小题满分12分）已知()()()sinx,cosx ,sin ,,2cos ,sin a b x k c x x k ===--．（1）当0,4x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，求b c +的取值范围； （2）若()()g x a b c =+，求当k 为何值时，()g x 的最小值为32-．【答案】(1) []1,2b c +∈；(2)k <-（2）()()()()()2sin ,cos ,4sin cos cos sin a b x x k g x a b c x x x k x k +=+=+=-++- ()23sin cos sin cos x x k x x k =-+--令sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，且222sin cos 2sin cos 12sin cos t x x x x x x =+-=-， 所以21sin cos 2t x x -=，所以()g x 可化为()()22221333,222t h t kt t t kt k t -⎡=-+-=+--∈⎣，对称轴3322kk t =-=-⨯，①当3k -<k >时， ()(((222min 333222g x h k k k ==⨯+--=--+，由23322k -+=-，得230k +-=，所以2k =k >，所以此时无解，②当3k ≤-≤，即k -≤ ()222min33733233262k k k g x h k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由2733622k --=-，得0k ⎡=∈-⎣，③当3k ->k <- 考点：向量的坐标运算；三角函数的图象与性质；三角函数的最值．【方法点晴】本题主要考查了向量的坐标运算、三角函数的图象与性质、三角函数的最值等问题的求解，其中涉及到分类讨论思想和函数与方程思想、换元思想的应用，解得中利用向量的坐标化简与运算，把b c +和()()g x a b c =+转化为三角函数是解答问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，属于中试题．22.（本小题满分12分） 已知函数 ()()20x ax b f x x x++=≠是奇函数，且满足()()14f f =． （1）求实数,a b 的值；（2）若[)2,x ∈+∞，函数()f x 的图像上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x 轴：请说明理由；（3）是否存在实数k 同时满足以下两个条件：①不等式()02k f x +>对()0,x ∈+∞恒成立，②方程()f x k =在[]8,1x ∈--上有解．若存在，求出实数k 的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】(1) 0a =；(2)84k -<≤-；（3）84k -<≤-．（2）由（1）知，()4f x x x=+， 任取[)12,2,x x ∈+∞，且12x x <，()()()121212*********x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ∵122x x ≤<，∴1212120,0,40x x x x x x -<>->，∴()()()()12120,f x f x f x f x ->>，所以，函数()f x 在区间[)2,+∞单调递增，所以在区间[)2,+∞任取12x x ≠则必有12y y ≠故函数()f x 的图象在区间[)2,+∞不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（3）对于条件①；由（2）可知函数()f x 在()0,x ∈+∞上有最小值()24f =． 故若()02k f x +>对()0,x ∈+∞恒成立，则需()min 2k f x >-，则42k >-， ∴8k >-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分对于条件②：由（2）可知函数()f x 在(),2-∞-单调递增，在[)2,0-单调递减， ∴函数()f x 在[]8,2--单调递增，在[]2,1--单调递减，又()()()178,24,152f f f -=--=--=-，考点：函数的奇偶性的性质；根的存在性及根的个数的判定．【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性的性质、根的存在性及根的个数的判定，同时涉及到函数的单调性与函数的值域等知识的应用，解答中根据()f x 的单调性，求出函数()f x 的值域，若方程()f x k =在[]8,1--有解，求得1742k -≤≤-，列出同时满足条件①②的不等式组，即可求解k 的取值范围是解答关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于难题．。
长郡中学2019-2020学年高二上学期第一次模块检测数学试题(原卷版)
长郡中学2019-2020学年度高二第一学期第一次模块检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分100分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分．1. 命题“()0000,ln 1x x x ∃∈+∞=+，”的否定是（ ） A. ()0000,ln 1x x x ∃∈+∞≠+， B. ()0,ln 1x x x ∀∉+∞≠+，C. ()0,ln 1x x x ∀∈+∞≠+，D. ()0000,ln 1x x x ∃∉+∞≠+，2. 设x ∈R ，则“213x -≤”是“311x ≥+”的（ ） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知一组数据123,,,n x x x x ⋯，的平均数为5，方差为2，则数据131x +，231x +，…，31n x +的平均数x 与方差2s 三分别为（ ） A. 15x =，26s = B. 16x =，27s = C. 16x =，218s =D. 16x =，219s =4. 为了检验某厂生产的取暖器是否合格，先从500台取暖器中取50台进行检验，用随机数表抽取样本，将500台取暖器编号为001，002，…，500.下图提供了随机数表第7行至第9行的数据： 82 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 若从表中第7行第4列开始向右依次读取3个数据，则抽出第4台取暖器的编号为 A. 217B. 206C. 245D. 212 5. 已知函数2()6f x x x =--，在区间[6,4]-内任取一点0x ，使0()0f x ≥概率为（ ）A.13B.25C.12D.346. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A. 35B. 20C. 18D. 97. 已知命题p ：若x y <，则22x y <；命题q ：若x y >，则x y -<-；在命题：①p q ∧；②p q ∨；③()p q ⌝∧；④()p q ∨⌝中真命题是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②①8. 将八位数(8)135化为二进制数为（ ） A. ()21110101B. ()21010101C. ()21011101D. ()211110019. 从1,2,3,4,5中任取三个数，则这三个数能构成三角形的概率为（ ） A.15B.310C.25D.1210. 在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，已知60,1A b ︒==，ABC ∆3则ABC∆外接圆的直径为（）A. 8381B. 27C. 2633D. 239311. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A. 2B. 3C. 10D. 1512. 设nS是数列{}na的前n项和，且11a=，112n n na S S++=，则nS=A. 32n- B.132n-C. 21n- D.121n-13. 《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（）(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A. 甲数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体水平优于甲14. 在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111na a a +++的值 A.1n n- B.1n n + C.11n n -+ D.1n n + 15. 若1路、2路公交车均途经泉港一中校门口，其中1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，某生去坐这2趟公交车回家，则等车不超过5分钟的概率是（ ） A.18B.35C.58D.78第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分．16. 已知,x y 满足约束条件50503x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则36z x y =+的最大值为__________．17. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数,m n 作为P 的坐标，则点P 落在圆2216x y +=内的概率_________.18. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据如下表所示，由最小二乘法求得回归直线方程ˆ0.654yx =+．由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为__________．零件数x /个 10 2030 40 50 加工时间 6275818919. 已知0m >，0n >，且2m n +=，则21n m n+的最小值为________. 20. 如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得14AC DB AB ==，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD ．得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为n S ，现给出有关数列{}n S 的四个命题： ①数列{}n S 是等比数列； ②数列{}n S 是递增数列；③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有2019n S >；④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有2019n S <． 其中真命题的序号是__________．（请写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共5个小题，每小题8分，共40分．21. 某生产企业对其所生产的甲、乙两种产品进行质量检测，分别各抽查6件产品，检测其重量的误差，测得数据如下（单位：mg ）： 甲：13 15 13 8 14 21 乙：15 13 9 8 16 23 （1）画出样本数据的茎叶图；（2）分别计算甲、乙两组数据的方差并分析甲、乙两种产品的质量（精确到0.1）． 22. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足3cos 2a Cbc =-. (Ⅰ)求角A 的大小； (Ⅱ)若6B π=，4b =，求BC 边上的中线AM 的长.23. 在等比数列{}n a 中，3429,954a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .24. 每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间，但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系，在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数，得到了如下数据： 温差()xC ︒ 8 10 11 12 13 发芽数y （颗） 7981858690（1）请根据统计的最后三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若由（1）中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗，则认为线性回归方程是可靠的，试判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；（3）若100颗小麦种子的发芽率为n 颗，则记为%n 的发芽率，当发芽率为%n 时，平均每亩地的收益为10n 元，某农场有土地10万亩，小麦种植期间昼夜温差大约为9C ︒，根据（1）中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.附：在线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑.25. 某大学就业部从该大学2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行了问卷调查，其中有一项是他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪收入在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下的频率分布直方图：若月薪落在区间()22x s x s -+，的左侧，则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见．其中x s 、分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s ≈1500元（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）现该校2018届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是否属于“就业不理想”的学生？ （2）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率；（3）位于某省的一高校2018届某专业本科毕业生共200人，现他们决定于2019年元旦期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用．假定这200人与所抽取样本中的100人月薪分布情况相同，并用样本频率进行估计，现有两种收费方案：方案一：按每人一个月薪水的10%收取；方案二：月薪高于样本平均数的毎人收取800元，月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何用．问：哪一种收费方案最终总费用更少？。
长郡中学高二入学考试文科数学考试试题及参考答案
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2019-2020学年湖南省长郡中学高二上学期入学考试数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省长郡中学高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）A．随机抽样B．分层抽样C．系统抽样D．以上都是【答案】C【解析】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，其它依次加5，得到样本编号.【详解】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，从第二组开始依次加5，得到样本编号为：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，属于系统抽样.【点睛】本题考查系统抽样的概念，考查对概念的理解.2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为()A7B6C5D．2【答案】A【解析】根据三视图知该几何体是一个正四棱锥，结合图中数据求出各条棱长即可得出结论．【详解】解：根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；则AC 2=DC 2BE 2==，AC ⊥底面CDEB ，结合图形中的数据，求得BC 2=，在Rt ABC V 中，由勾股定理得2222AB AC BC (2)(2)2=+=+=，同理求得22AD (2)26=+=22222222AE AC CE AC CD DE (2)217=+=++=++=A ．【点睛】本题利用三视图考查了四棱锥的结构特征，属基础题．3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S【答案】C【解析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7． 【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1 即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0 ∴d ＞0∵87aa-＜1＜0∴a7＜0，a8＞0数列的前7项为负，故数列{S n}中最小值是S7故选C．【点睛】本题考查等差数列中前n项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．4．如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )A．84,4.84 B．84,1.6 C．85,1.6 D．85,4【答案】C【解析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．【详解】由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的平均数为8484868487855++++=；方差为()()()()()2222218 8485848586858485878555⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案为C【点睛】茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数．5．四面体P ABC-的三组对棱分别相等，且长度依次为5,13 5.则该四面体的外接球的表面积（）A．294πB．28πC．296D．29π【答案】D【解析】分析：先将四面体P ABC-补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为25,13，5，再通过解方程组得长方体的长宽高，最后根据四面体的外接球为长方体的外接球求结果.详解：因为将四面体P ABC -补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为25,13，5，所以由22222225,13,5,x y z y x z +=+=+=得22216,4,9x y z ===因为四面体的外接球为长方体的外接球，所以外接球直径为22229x y z ++=因此四面体的外接球的表面积为24π29πR =， 选D.点睛：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”． 6．若圆上总存在点A ，使得，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】问题等价于圆和圆相交或相切，利用两圆圆心距大于等于两圆半径之差、小于等于两圆半径之和求解即可. 【详解】 问题可转化为圆和圆相交或相切，两圆圆心距，由得，解得，即，故选D. 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，体现了转化的数学思想，属于中档题. 两圆半径为，两圆心间的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.7．在锐角三角形ABC 中，已知,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且32sin ,4b a B a ==，则ABC △面积的最大值为（ ）A ．3B ．3C ．83D ．3【答案】B【解析】2sin a B =利用正弦定理将边化成角，得到sin A 的值，利用余弦定理，得到bc 的最大值，再由面积公式1sin 2S bc A =得到ABC V 面积的最大值. 【详解】在ABC V 中，由正弦定理得sin sin a bA B=2sin a B = 2sin sin B A B =，解得sin 2A =Q ABC V 为锐角三角形，则1cos 2A ==由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,2216b c bc =+-22162bc b c bc ∴+=+≥，16bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立1sin 2ABC S bc A ∴=⋅=≤V 故选B 项. 【点睛】本题考查三角形中正余弦定理的使用，基本不等式的简单应用，属于基础题. 8．若P 为两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面 【答案】B【解析】解：因为若点P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直，选B9．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且12019lg lg 0a a +=，若22()1f x x=+，则122019()()()f a f a f a +++=L （ ） A ．2018 B ．4036C ．2019D ．4038【答案】C【解析】∵正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且12019lg lg 0a a +=∴19lg 0a a ⋅=，即191a a ⋅=. ∵函数()221f x x=+ ∴222212222()()21111x f x f x x xx ++=+==+++ 令122019()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+，则201920181()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+ ∴1201922018201912()()()()()()22019T f a f a f a f a f a f a =++++⋅⋅⋅++=⨯ ∴2019T = 故选C.点睛：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数中也有应用.等差数列中主要利用等差数列性质：若()*,,,,m n p q m n p q N+=+∈，则mn p q aa a a +=+；函数中主要利用对称中心性质：若()f x 关于(),m n 对称，则()()22f x f m x n +-=. 10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且=，则B= ( )A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】试题分析：根据正弦定理可得, 由已知可得,整理可得,,在中.故C 正确.【考点】1正弦定理;2余弦定理.11．过点2,0)引直线l 与曲线21y x =-A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥时，直线l 的斜率等于（ ）A ．33-B ．33C ．33±D ．3【答案】A【解析】分析：由题意得曲线21y x =-x 轴上方的部分，设过点2,0)的直线为0(2)y k x -=，即20kx y k --=，又由OA OB ⊥，所以圆心到直线的距离等于2r ，列出方程即可求解.详解：由y =221(0)x y y +=≥，所以曲线y =x 轴上方的部分，则过点0)的直线与曲线y =10k -<<，设直线的方程为0(y k x -=，即0kx y --=，又由OA OB ⊥，所以圆心到直线的距离等于2r，即2d ==，解得k =，又因为10k -<<，所以k =，故选A.点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用问题，其中把OA OB ⊥转化为圆心到直线的距离为2，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理与运算能力.12．已知函数()cos ,(0,2)f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ,且方程()(0)f x m m =≠有两个不同的实根34,x x ,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m =( ) A ．12B ．12-CD． 【答案】D【解析】由题意可知：123,22x x ππ==，且34,x x 只能分布在12,x x 的中间或两侧，下面分别求解并验证即可的答案． 【详解】由题意可知:123,22x x ππ==,且34,x x 只能分布在12,x x 的中间或两侧,若34,x x 分布在12,x x 的中间,则公差32233d πππ-==, 故34,x x 分别为56π､76π,此时可求得5cos 6m π==; 若34,x x 分布在12,x x 的两侧,则公差322d πππ=-=,故34,x x 分别为5,22ππ-,不合题意.故选D. 【点睛】本题为等差数列的构成问题，涉及分类讨论的思想和函数的零点以及三角函数，属中档题．13．已知直线:10l x y --=，2:220l x y --=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则1l 的方程是（ ） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．10x y +-= D ．210x y +-=【答案】B【解析】画出l 和2l 的图像，确定两者的交点，结合直线1l 的斜率，确定正确选项. 【详解】由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩解得l 和2l 的图像的交点为()1,0，由于l 的斜率为1，2l 的斜率为2，故1l 的斜率为正数，由此排除C,D 选项.结合1l 过()1,0，排除A 选项. 故选：B.【点睛】本小题主要考查直线关于直线对称的直线方程的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14．设平面点集{}221(,)|()()0,(,)|(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂所表示的平面图形的面积为 A ．34π B ．35πC ．47π D ．2π 【答案】D 【解析】【详解】由集合1(,)|()()0A x y y x y x ⎧⎫=--≥⎨⎬⎩⎭可得其表示的区域为010y x y x -≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩和010y x y x -≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩所对应的平面区域，集合{}22(,)|(1)(1)1B x y x y =-+-≤表示的区域为圆22(1)(1)1x y -+-=内和圆上的点对应的区域；作出对应图像，则I ，III 对应的区域，即为所求平面区域； 因为函数1y x=的图像，与圆22(1)(1)1x y -+-=均关于y x =对称， 所以I ，III 区域的面积恰好为圆的一半，故所求平面区域的面积为：2π. 故选：D.15．数列{}n a 的通项222ππcossin 33n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则30S 为（ ） A ．470 B ．490C ．495D ．510【答案】A【解析】分析：利用二倍角的余弦公式化简得22πcos 3n n a n =，根据周期公式求出周期为3，从而可得结果.详解：首先对{}n a 进行化简得22πcosn n a n =，又由2πcos n 关于n 的取值表：可得2πcos3n 的周期为3，则可得22222222230124528293630222S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，设()()()222323153922kk k b k k -+-=-+=-， 则()305912 (10104702)S =+++-⨯=，故选A ． 点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误.二、填空题16．已知,,a b c 为直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点(,)M m n 在直线:20l ax by c ++=上，则22m n +的最小值为__________．【答案】4【解析】∵a ，b ，c 为直角三角形中的三边长，c 为斜边长，∴， 又∵点M （m ，n ）在直线l ：ax+by+2c=0上， ∴m 2+n 2表示直线l 上的点到原点距离的平方， ∴m 2+n 2的最小值为原点到直线l 距离的平方， 由点到直线的距离公式可得=2，∴m 2+n 2的最小值为d 2=4， 故答案为4.17．已知函数2()()f x x ax b a b R =++∈，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ．【答案】9．【解析】∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b －24a ＝0，∴f(x)＝x 2＋ax ＋14a 2＝12x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2. 又∵f(x)＜c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋24a －c ＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得()226{64m aa m m c +=-+=-解得c ＝9.18．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点,则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为__________.【答案】34【解析】根据三棱柱的性质可知，11//C C A A ，异面直线AB 与1CC 所成的角就是1A AB ∠，连接1A B ，利用余弦定理即可求解．【详解】作出草图，如下：由三棱柱的性质可知，11//C C A A ，异面直线AB 与1CC 所成的角就是1A AB ∠， 连接1A B ，又三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，所以1A D BC ⊥， ∴三角形1A DB 是直角三角形，设1DB =，则12AB A A ==．又AD BC ⊥131AD A D ∴==， 所以12AB在1A AB ∆中，由余弦定理可知：22211114423cos 22224A A AB A B A AB A A AB +-+-∠===⋅⨯⨯． 故答案为：34． 【点睛】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．已知0,0x y >>，且1x y +=，若19a x y ≤+恒成立，则实数a 的最大值为__________．【答案】16【解析】不等式19a x y ≤+恒成立⇔（19x y+）min ≥a ．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【详解】∵0,0x y >>，且1x y += ∴()1919x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭10910y x x y ++≥+=16，当且仅当y ＝3x ＝34时取等号．∵不等式19a x y ≤+恒成立⇔（19x y+）min ≥a ． ∴a ∈（﹣∞，16]，即实数a 的最大值为16故答案为16．【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．20．已知a ，b ，c 分别为ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边，2a =且(2)(sin sin )b A B +-()sin c b C =-，则ABC △面积的最大值为__．【解析】【详解】由已知()()()a b a b c b c +-=-，即2221cos 2b c a bc A +-=⇒=得60A =︒， 222244b c bc b c bc bc ∴+-=∴=+-≥1sin 32ABC S bc A ∆∴=≤三、解答题21．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5．【解析】【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a ，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x ＝0.0075，所以直方图中x 的值是0.0075. ------------- 3分(2)月平均用电量的众数是2202402+＝230. ------------- 5分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内， 设中位数为a ，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a －220)＝0.5 得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户， 月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户， 月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分 抽取比例＝112515105+++＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．-- 12分【考点】频率分布直方图及分层抽样22．已知数列{}n a 为等差数列，0n a ≠，且满足231173232a a a +=，数列{}n b 满足120n n b b +-=，77b a =．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（I ）12n n b -=； （Ⅱ）(1)21n n S n =-•+.【解析】（I ）由等差数列的性质可得：23117732323220a a a a +==⨯≠，解得7a ．利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）1•2n n n c nb n -==，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．【详解】（I ）由等差数列的性质可得：23117732323220a a a a +==⨯≠，解得764a =．数列{}n b 满足120n n b b +-=，可得：数列{}n b 是等比数列，公比为2．∵7764b a ==．∴61•264b =，解得11b =．∴12n n b -=．（Ⅱ）若1•2n n n c nb n -==，∴数列{}n c 的前n 项和()221122321?2?2n n n S n n --=+⨯+⨯++-+L ，()2312222321?2?2n n n S n n -=+⨯+⨯++-+L ， ∴21211222?2?221n n n n n S n n L ---=++++-=--， 可得()1?21n n S n =-+．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式性质与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭r r ，记()f x m n =r r g ． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．【答案】（1）12；（2）3]2【解析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换可得()sin()26x f x π=+12+，由()1f x =可得1sin()262x π+=，根据二倍角公式可得cos()3x π+的值；（2）根据正弦定理消去(2)cos cos a c B b C -=中的边可得3B π=，所以23A C π=-，又02C <<π，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，根据三角函数值域的有界性即可求得(2)f A 的取值范围．【详解】（1）向量,1)4x m =r ，2(cos ,cos )44x x n =r ，记()f x m n =⋅r r ，则2()cos cos 4442x x x x f x =+=11cos 222x ++sin()26x π=+12+， 因为()1f x =，所以1sin()262x π+=，所以21cos()12sin ()3262x x ππ+=-+=． （2）因为(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以2sin cos sin()sin A B B C A =+=，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=， 则23AC π+=，即23A C π=-，又02C <<π， 则62A ππ<<，得2363A πππ<+<， 所以3sin()126A π<+≤，又1(2)sin()62f A A π=++， 所以(2)f A 的取值范围313(,]22+． 【考点】三角求值、正弦函数的值域及正弦定理解三角形.24．如图，已知正三棱柱ABC=A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合．（1）当CF=1时，求证：EF ⊥A 1C ；（2）设二面角C ﹣AF ﹣E 的大小为θ，求tanθ的最小值．【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）过E 作EN ⊥AC 于N ，连接EF ，NF ，AC 1，由直棱柱的性质可知，底面ABC ⊥侧面A 1C∴EN ⊥侧面A 1CNF 为EF 在侧面A 1C 内的射影在直角三角形CNF 中，CN=1则由，得NF ∥AC 1，又AC 1⊥A 1C ，故NF ⊥A 1C由三垂线定理可知EF ⊥A 1C（2）连接AF ，过N 作NM ⊥AF 与M ，连接ME由（1）可知EN ⊥侧面A 1C ，根据三垂线定理得EM ⊥AF∴∠EMN 是二面角C ﹣AF ﹣E 的平面角即∠EMN=θ设∠FAC=α则0°＜α≤45°，在直角三角形CNE 中，NE=，在直角三角形AMN 中，MN=3sinα 故tanθ=，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤故当α=45°时，tanθ达到最小值，tanθ=，此时F 与C 1重合25．已知圆C ：x 2+y 2+x -6y +m =0与直线l ：x +2y -3=0．（1）若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；（2）若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．【答案】（1）37(8,)4（2）m ＝3 【解析】(1)将圆的方程配方，得1()2x +2＋(y －3)2＝3744m -， 故有3744m -＞0，解得m ＜374. 将直线l 的方程与圆C 的方程组成方程组，得22230{60x y x y x y m +-=++-+= 消去y ，得x 2＋32x -⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋x －6×32x -＋m ＝0， 整理，得5x 2＋10x ＋4m －27＝0， ①∵直线l 与圆C 没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5(4m －27)＜0，解得m ＞8.∴m 的取值范围是37(8,)4. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由OP ⊥OQ ，得OP OQ ⋅u u u r u u u r ＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， ②由①及根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝4275m -， ③ 又∵P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上，∴y 1·y 2＝132x -·232x -＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1·x 2]，将③代入上式，得y1·y2＝125m+，④将③④代入②得x1·x2＋y1·y2＝4275m-＋125m+＝0，解得m＝3.代入方程①检验得Δ＞0成立，∴m＝3.。
2019年秋季长郡中学高二入学考试试卷-数学试卷含答案
Ａ．３４π
Ｂ．３５π
Ｃ．４７π
Ｄ．２π
（ ） １５．数列｛犪狀｝的通项犪狀＝狀２
ｃｏｓ２
狀３π－ｓｉｎ２
狀π ３
，其 前狀 项 和 为犛狀，则 犛３０为
（ ）
Ａ．４７０
Ｂ．４９０
Ｃ．４９５
Ｄ．５１０
选择题答题卡
题号 １ 答案 题号 ９ 答案
２
３
４
５
６
７
８
１０ １１ １２ １３ １４ １５ 得分
犳（狓）＝犿（犿≠０）有两个不同的实根狓３，狓４，若 把 这 四 个 数 按 从 小 到 大 排
列构成等差数列，则实数 犿＝
（ ）
Ａ．１ ２
Ｂ．－
１ ２
Ｃ．槡２３
Ｄ．－槡２３
１３．已知直线犾：狓－狔－１＝０，犾１：２狓－狔－２＝０，若 直 线犾２ 和犾１ 关 于 直 线犾对
称 ，则犾２ 的 方 程 是
★１９．已
知 狓＞０，狔＞０，且 狓＋狔＝１，若犪≤ 狓１
＋
９ 狔
恒
成
立
，则
实
数犪
的
最
大
值
为 ．
２０．已知犪，犫，犮分别 为 △犃犅犆 三 个 内 角 犃，犅，犆 的 对 边，犪＝２，且 （２＋犫）·
（ｓｉｎ犃－ｓｉｎ犅）＝（犮－犫）ｓｉｎ犆，则△犃犅犆 面积的最大值为 ．
则 犅＝
（ ）
Ａ．６π
Ｂ．４π
Ｃ．３π
Ｄ．３４π
１１．过点（槡２，０）引 直 线犾与 曲 线狔＝ 槡１－狓２ 相 交 于 犃、犅 两 点，犗 为 坐 标 原
点，当△犃犗犅 的面积取最大值时，直线犾的斜率等于
（ ）
【20套试卷合集】长沙市长郡中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案注意事项：1）本试卷满分150分．考试时间120分钟．2）考生务必将答题内容答在答题卷上，答在试题卷上无效．一、选择题（本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．把正确答案的代号填在答题卷上或涂在答题卡上）1. 三条直线经过同一点，过每两条直线作一个平面，最多可以作（ ）个不同的平面. A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 圆1)1(22=+-y x 和圆05622=+-+y y x 的位置关系是( ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 内含 3. 下列四个命题① 垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ② 垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ③ 垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ④ 垂直于同一个平面的两个平面互相平行. 其中错误．．的命题有（ ）A. 1个B. 2个C. 3 个D. 4个 4. 一个几何体的主视、左视、俯视图分别如下，则该几何体的表面积为 （ ）A ．9612+πB ．8024+πC ．9624+πD ．8048+π5. 直线13+=x y 关于y 轴对称的直线方程为（ ）A. 13--=x yB. 13-=x yC. 13+-=x yD. 1+-=x y 6. 若l 为一条直线，γβα,,为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①γαγββα⊥⇒⊥⊥,；②βαγβγα⊥⇒⊥//,；③βαβα⊥⇒⊥l l ,//. 其中正确的命题有（ ）A. ①② B . ②③ C. ①③D. ①②③7. 三点A (m ,2)、B (5,1)、C (-4,2m )在同一条直线上，则m 的值为（ ）俯视图左视图主视图.A. 2B.27 C. -2或27 D. 2或27 8. 直线01=+-y ax （R a ∈）恒过的定点为（ ）A. （0，0）B.（1，0）C. （0，1）D. （0，-1）9. 若()21P -，为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A ． 30x y -+=B ．30x y --=C ．30x y ++=D ．30x y +-= 10. 棱长为a 的正方体的外接球的表面积为（ ） A ．29a πB ．26a πC ．24a πD ．23a π二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分.将答案填在答题卷的相应位置上） 11. 在空间直角坐标系中，已知点A (4,2,3），点B (6,-1,4)，则||AB =___________.12. 若P 是ABC ∆所在平面外一点，且PC PB PA ==，则P 点在平面ABC 内的射影是ABC ∆的__________.（外心、内心、重心、垂心）13. 已知两点1P （4，9），2P （6，3），则以1P 2P 为直径的圆的一般．．方程为_______________. 14. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是_________________. 15. 棱长都是a 的正三棱锥的高是_______________.三、解答题（本大题共6小题,共75分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. (本小题满分12分)已知A B C ∆的三个顶点A (-1,-2），B (2,0），C (1,3）.（1） 求AB 边上的高CD 所在直线的方程； （2） 求A B C ∆的面积.17. (本小题满分12分)如图，四边形11B BCC 是圆柱的轴截面. 1AA 是圆柱的一条母线，已知2=AB , 22=AC ，31=AA . （1）求证：AC ⊥1BA ； （2）求圆柱的侧面积.18. (本小题满分12分)如图，正方形ABCD 的边长为4，沿对角线BD 将BCD ∆折起，使二面角A BD C --为直二面角. （1）求证：BC AC =; （2）求三棱锥ABD C -的体积.1AC19. (本小题满分12分)已知方程028)12(2)3(2222=++--+++m y m x m y x （R m ∈）表示一个圆. （1）求m 的取值范围；（2）求该圆半径r 的取值范围.20. (本小题满分13分)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切． （1）求圆的方程；（2）试讨论直线50ax y -+=（R a ∈）与该圆的位置关系.21.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==， ,,E F G 分别是,,PC PD BC 的中点．（1）求证：平面//PAB 平面EFG ； （2）求证：平面EFG ⊥平面PAD ;（3）在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，并给出证明.一、选择题：（本大题共10小题．每小题5分，共50分）ABCD OABDEFP G C题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 CABBCBDCBD二、填空题：（本大题共5小题,每小题5分,共25分）11. 14 12. 外心 13. 051121022=+--+y x y x14. 0203=-=-+y x y x 或 15. a 36三、解答题：（本大题共6小题,共75分）16. 解：（1） 依题意：321220=++=AB k ； ………………………………（2分） 由CD AB ⊥得：1-=⋅CD AB k k ， ∴ 23-=CD k ； ……………（4分）直线CD 的方程为：)1(233--=-x y ，即：0923=-+y x .…………（6分）（2） 方法一：)2,3(= ，)5,2(=； …………………………（10分） 211|2253|21=⨯-⨯=∆ABC S . ………………………………（12分） 方法二：13)20()12(||22=+++=AB ，直线AB 的方程为：121202++=++x y ，即：0432=--y x ；…………（8分） 131311)3(2|43312|||22=-+-⨯-⨯=CD ； ………………………………（10分） 2111313111321||||21=⨯⨯==∆CD AB S ABC .……………………（12分） 17. 解：（1） 证明：依题意：AC AB ⊥ ;∵ ABC AA 平面⊥1，∴ AC AA ⊥1， ………………………（2分）又 ∵ A AA AB =1 ，∴ B B AA AC 11平面⊥, ………………（4分） ∵ 1BA B B AA 11平面，∴ 1BA AC ⊥. ……………………（6分） （2） 在ABC Rt ∆中，2=AB ，22=AC ，090=∠BAC∴ 32=BC , ππ36332=⨯=侧S . ……………………（12分） 18. 解：（1） 证明：∵ BD CO ⊥， ABD BCD 平面平面⊥，CO BCD 平面，BD ABD BCD =平面平面 ，∴ ABD CO 平面⊥; ……………………………………（3分）⊂≠⊂≠∵ 正方形ABCD 边长为4， ∴ 22==OA CO , 在COA Rt ∆中，4)22()22(2222=+=+=AO CO AC ，∴ BC AC = .（也可证COA ∆≌COB ∆） ……………………（6分）(2) 321622421312=⨯⨯⨯=-ABD C V . ………………………（12分） 19. 解：（1） 依题意： 0)28(4)12(4)3(4222>+--++m m m ………………（2分） 即：0328122>++-m m ， 解得：234<<-m ， ∴ m 的取值范围是（34-，2）. ……………………（6分） （2） )28(4)12(4)3(421222+--++=m m m r 325)31(382322+--=++-=m m m ……………………（9分）∵ ∈m （34-，2）， ∴ 3350≤<r ，∴ r 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛335,0. ………………………………（12分） 20. 解：（1） 设圆心a C (，0）， Z a ∈， 依题意：534|294|22=+-a ， ………………………………（2分）得：2271==a a 或（舍去）， ………………………………（4分） ∴ 圆C 的标准方程为：25)1(22=+-y x . ……………………（6分） （2） 设圆心C 到直线05=+-y ax 的距离为d ， 则 1|5|2++=a a d ，① 若51|5|2>++a a ， 即 1250<<a 时，r d >，直线与圆相离； ………（8分）② 若 51|5|2=++a a ， 即 1250==a a 或时，r d =，直线与圆相切；……（10分） ③ 若51|5|2<++a a ， 即 1250><a a 或时，r d <，直线与圆相交. ……（12分） ∴ 当1250<<a 时，直线与圆相离；当1250==a a 或时，直线与圆相切； 当1250><a a 或时，直线与圆相交. ……………………（13分）21. 解 （1）证明：∵ G E 、分别是BC PC 、的中点， ∴ EG ∥PB ，又 ∵ EG平面PAB ， PB 平面PAB ， ∴ EG ∥平面PAB ， ……………………………（2分） 同理可证：EF ∥平面PAB ，∵ E EF EG = ， ∴ 平面PAB ∥平面EFG . ……………（4分）（2）证明： ∵ ABCD PD 平面⊥， ∴ DC PD ⊥， 又 AD DC ⊥， D AD PD = ,∴ PAD DC 平面⊥, ……………………………（6分）∵ EF ∥CD ， ∴ PAD EF 平面⊥EF 平面EFG ， ∴ PAD EFG 平面平面⊥. ……………（8分）(3) Q 为PB 的中点. ………………………………（9分） 证明：连接QE DE AQ 、、， 平面ADQ 即为平面ADEQ ， ∵ ABCD PD 平面⊥， ∴ AD PD ⊥， 又 DC AD ⊥， D PD DC = ,∴ PCD AD 平面⊥, ∴ PC AD ⊥. ……………………（11分） ∵ CD PD =， ∴ PC DE ⊥， ………………………………（12分）∵ D DE AD = ， 且AD ，DE 平面ADQ ，∴ ⊥PC 平面ADQ . …………………………（14分）⊂≠⊂≠⊆⊂≠2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案醴陵二中，醴陵四中 （时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分） 1、已知椭圆的方程为，则此椭圆的长轴长为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 72 2、若a b >，则下列不等式中正确的是（ ）A ．22a b >B ．11a b< C ．a b < D ．22a b > 3、在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BC AB ⋅的值为( )A ．79B ．69C ．5D ．-54、等比数列{}n a 的前n 项和为{}n s ，已知9,105123=+=a a a s ，则1a =（ ） A ．19 B. 13- C. 13 D. 19- 5、由111,31nn n a a a a +==+给出的数列{}n a 的第54项为（ ）A ．16154 B ．1601 C ．160 D ．8027 6、在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3,3π==A a ，则c b +的最大值为（ ）A ．32B ．2C ．33D ．4 7、下列说法错误．．的是（ ） A ．命题“若则”的逆否命题为：“若,则”．B ．“”是“”的充分不必要条件．C ．若且为假命题，则、均为假命题．D ．命题：存在使得．则：任意， 均有．8、已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．32π 9、不等式03522<--x x 的一个充分不必要条件是( ) A ．－21<x<3 B ．－21<x<0 C ．－3<x<21D ．－1<x<610、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．54钱 B ．53钱 C ．43钱 D ．32钱 11、已知点P 为椭圆()0>>b a 上一点，21,F F 分别为其左、右焦点，且0212160,=∠⊥F PF PF PF 。