初中数学函数压轴题：将军饮马问题---- 最短路径最小值问题专题训练

--------- 最短路径最小值问题专题训练
“将军饮马”这个问题早在古罗马时代就有了，传说古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。

有一天，有位罗马将军前来向他求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 地出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有很多走法。

问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思考，便作了完善的回答。

这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题广为流传。

事实上，不仅将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，
包括人们每天走路都要遇到这样的问题。

古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路。

我们把这类求近道的问题统称“最短路线问题”。

另外，从某种意义上说，一笔画问题也属于这类问题。

看来最短路线问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛。

这个问题在我们中考中也是常考的热点问题，因此，我们要掌握其分析解决的方法。

下面我就几个例题来具体分析解决。

【典例探究】
（•梧州）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；
（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先判断出周长最小时BE⊥AC，即作点B关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点E，联立方程组即可；
（3）三角形BDE是直角三角形时，由于BD＞BG，因此只有∠DBE=90°或∠BDE=90°，两种情况，利用直线垂直求出点E坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4，
（2）如图1，
作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，由（1）得，抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4①，
∴D（0，﹣4），
∵点C是直线y=﹣x+4②与抛物线的交点，
∴联立①②解得，（舍）或，
∴C（﹣2，6），
∵A（4，0），
∴直线AC解析式为y=﹣x+4，
∵直线BF⊥AC，且B（﹣1，0），
∴直线BF解析式为y=x+1，
设点F（m，m+1），
∴G（，），
∵点G在直线AC上，
∴﹣，
∴m=4，
∴F（4，5），
∵D（0，﹣4），
∴直线DF解析式为y=x﹣4，
∵直线AC解析式为y=﹣x+4，
∴直线DF和直线AC的交点E（，），
（3）∵BD=，
由（2）有，点B到线段AC的距离为BG=BF=×5=＞BD，∴∠BED不可能是直角，
∵B（﹣1，0），D（0，﹣4），
∴直线BD解析式为y=﹣4x+4，
∵△BDE为直角三角形，
∴①∠BDE=90°，
∴BE⊥BD交AC于B，
∴直线BE解析式为y=x+，
∵点E在直线AC：y=﹣x+4的图象上，
∴E（3，1），
②∠BDE=90°，
∴BE⊥BD交AC于D，
∴直线BE的解析式为y=x﹣4，
∵点E在抛物线y=x2﹣3x﹣4上，
∴直线BE与抛物线的交点为（0，﹣4）和（，﹣），
∴E（，﹣），
即：满足条件的点E的坐标为E（3，1）或（，﹣）．
【学以致用】
1.如图,正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点,点P在对角线BD上移动,则PE+PC 的最小值是________.
2.如图,牧童在A处放牛,他的家在B处,l为河流所在直线,晚上回家时要到河边让牛饮一饮水,饮水的地点选在何处,牧童所走的路程最短?
3.如图,点P为马厩,AB为草地边缘(下方为草地),CD为一河流.牧人欲从马厩牵马先去草地吃草,然后到河边饮水,最后回到马厩.请帮他确定一条最短行走路线.
4.（•贺州）如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线
y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求AD的长；
（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．
【分析】（1）利用矩形的性质和B点的坐标可求出A点的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）设AD=x，利用折叠的性质可知DE=AD，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到关于x 的方程，可求得AD的长；
（3）由于O、A两点关于对称轴对称，所以连接OD，与对称轴的交点即为满足条件的点P，利用待定系数法可求得直线OD的解析式，再由抛物线解析式可求得对称轴方程，从而可求得P点坐标．
【解答】解：
（1）∵四边形ABCD是矩形，B（10，8），
∴A（10，0），
又抛物线经过A、E、O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得
，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；
（2）由题意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8，
设AD=x，则ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5，
∴AD=5；
（3）∵y=﹣x2+x，
∴其对称轴为x=5，
∵A、O两点关于对称轴对称，
∴PA=PO，
当P、O、D三点在一条直线上时，PA+PD=PO+PD=OD，此时△PAD的周长最小，
如图，连接OD交对称轴于点P，则该点即为满足条件的点P，
由（2）可知D点的坐标为（10，5），
设直线OD解析式为y=kx，把D点坐标代入可得5=10k，解得k=，
∴直线OD解析式为y=x，
令x=5，可得y=，
∴P点坐标为（5，）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质及方程思想．在（2）中注意方程思想的应用，在（3）中确定出满足条件的P点的位置是解题的关键．本题考查知识点虽然较多，但题目属于基础性的题目，难度不大．
5.如图，在矩形OABC中，已知A，C两点的坐标分别为A（4，0），C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，求P的坐标；
（3）已知E（1，﹣1），当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长．
【分析】（1）由A（4，0），C（0，2），D为OA的中点，得到D点坐标为（2，0），则OC=OD，而点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合），根据角平分线的性质有∠COP=∠DOP=45°，再根据三角形全等的判定方法易得△POC≌△POD，则PC=PD；
（2）过B作BP垂直∠AOC的平分线于P点，过P点作PN⊥x轴于N，交BC于M点，OP 交BC于H点，易得△PHM、△COH和△PON都是等腰直角三角形，△PHB是也等腰直角三角形，得到PM垂直平分BH，而CH=CO=2，则BH=2，得到PM=BH=1，于是有
ON=PN=1+2=3，根据坐标的表示方法即可得到P点坐标；
（3）连CE交∠AOC的平分线于P点，连PD、CD，ED，由OC=OD，OP平分直角AOC得到OP垂直平分CD，则PC=PD，得到PD+PE=PC+PE=CE，根据两点之间线段确定此时△PDE的周长最小，然后利用待定系数法求出直线CE的解析式为y=﹣3x+2，根据P点的横纵坐标相等即可得到P点坐标为（，），再利用勾股定理分别计算出CE==，DE==，即可得到此时△PDE的周长．
【解答】（1）证明：∵A（4，0），C（0，2），D为OA的中点，
∴D点坐标为（2，0），
∴OC=OD，
又∵点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合），
∴∠COP=∠DOP=45°，
∴△POC≌△POD，
∴PC=PD，
即无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）解：过B作BP垂直∠AOC的平分线于P点，过P点作PN⊥x轴于N，交BC于M 点，OP交BC于H点，如图，
∵OP平分∠AOC，
∴∠COP=∠NOP=45°，
∴△PHM、△COH和△PON都是等腰直角三角形，
∴△PHB是等腰直角三角形，
∴PM垂直平分BH，
∴CH=CO=2，
∴BH=4﹣2=2，
∴PM=BH=1，
∴ON=PN=1+2=3，
∴P点坐标为（3，3）；
（3）解：连CE交∠AOC的平分线于P点，连PD、CD，ED，如图，
∵OC=OD，OP平分直角AOC，
∴OP垂直平分CD，
∴PC=PD，
∴PD+PE=PC+PE=CE，
此时△PDE的周长最小，
设直线CE的解析式为y=kx+b（k≠0），
把C（0，2）、E（1，﹣1）分别代入得，b=2，k+b=﹣1，解得k=﹣3，b=2，
∴直线CE的解析式为y=﹣3x+2，
而P点的横纵坐标相等，设P（a，a），把P点坐标代入y=﹣3x+2得，a=﹣3a+2，解得a=，
∴P点坐标为（，），
∵CE==，DE==，
∴此时△PDE的周长=+．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了垂线段最短、勾股定理、矩形的性质和坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．。