初中数学函数压轴题：将军饮马问题---- 最短路径最小值问题专题训练

--------- 最短路径最小值问题专题训练

“将军饮马”这个问题早在古罗马时代就有了，传说古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，有位罗马将军前来向他求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 地出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有很多走法。问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思考，便作了完善的回答。这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题广为流传。

事实上，不仅将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，

包括人们每天走路都要遇到这样的问题。古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉路。我们把这类求近道的问题统称“最短路线问题”。另外，从某种意义上说，一笔画问题也属于这类问题。看来最短路线问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛。这个问题在我们中考中也是常考的热点问题，因此，我们要掌握其分析解决的方法。下面我就几个例题来具体分析解决。

【典例探究】

（•梧州）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，过点A的直线y=﹣x+4交抛物线于点C．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）在直线AC上有一动点E，当点E在某个位置时，使△BDE的周长最小，求此时E点坐标；

（3）当动点E在直线AC与抛物线围成的封闭线A→C→B→D→A上运动时，是否存在使△BDE为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先判断出周长最小时BE⊥AC，即作点B关于直线AC的对称点F，连接DF，交AC于点E，联立方程组即可；

（3）三角形BDE是直角三角形时，由于BD＞BG，因此只有∠DBE=90°或∠BDE=90°，两种情况，利用直线垂直求出点E坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣1，0）两点，

∴，

∴，

∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4，

（2）如图1，

作点B关于直线AC的对称点F，连接DF交AC于点E，由（1）得，抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4①，

∴D（0，﹣4），

∵点C是直线y=﹣x+4②与抛物线的交点，

∴联立①②解得，（舍）或，

∴C（﹣2，6），

∵A（4，0），

∴直线AC解析式为y=﹣x+4，

∵直线BF⊥AC，且B（﹣1，0），

∴直线BF解析式为y=x+1，

设点F（m，m+1），

∴G（，），

∵点G在直线AC上，

∴﹣，

∴m=4，

∴F（4，5），

∵D（0，﹣4），

∴直线DF解析式为y=x﹣4，

∵直线AC解析式为y=﹣x+4，

∴直线DF和直线AC的交点E（，），

（3）∵BD=，

由（2）有，点B到线段AC的距离为BG=BF=×5=＞BD，∴∠BED不可能是直角，

∵B（﹣1，0），D（0，﹣4），

∴直线BD解析式为y=﹣4x+4，

∵△BDE为直角三角形，

∴①∠BDE=90°，

∴BE⊥BD交AC于B，

∴直线BE解析式为y=x+，

∵点E在直线AC：y=﹣x+4的图象上，

∴E（3，1），

②∠BDE=90°，

∴BE⊥BD交AC于D，

∴直线BE的解析式为y=x﹣4，

∵点E在抛物线y=x2﹣3x﹣4上，

∴直线BE与抛物线的交点为（0，﹣4）和（，﹣），

∴E（，﹣），

即：满足条件的点E的坐标为E（3，1）或（，﹣）．

【学以致用】

1.如图,正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点,点P在对角线BD上移动,则PE+PC 的最小值是________.

2.如图,牧童在A处放牛,他的家在B处,l为河流所在直线,晚上回家时要到河边让牛饮一饮水,饮水的地点选在何处,牧童所走的路程最短?

3.如图,点P为马厩,AB为草地边缘(下方为草地),CD为一河流.牧人欲从马厩牵马先去草地吃草,然后到河边饮水,最后回到马厩.请帮他确定一条最短行走路线.

4.（•贺州）如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线

y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求AD的长；

（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．

【分析】（1）利用矩形的性质和B点的坐标可求出A点的坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；

（2）设AD=x，利用折叠的性质可知DE=AD，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得到关于x 的方程，可求得AD的长；

（3）由于O、A两点关于对称轴对称，所以连接OD，与对称轴的交点即为满足条件的点P，利用待定系数法可求得直线OD的解析式，再由抛物线解析式可求得对称轴方程，从而可求得P点坐标．

【解答】解：

（1）∵四边形ABCD是矩形，B（10，8），

∴A（10，0），

又抛物线经过A、E、O三点，把点的坐标代入抛物线解析式可得

，解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；

（2）由题意可知：AD=DE，BE=10﹣6=4，AB=8，

设AD=x，则ED=x，BD=AB﹣AD=8﹣x，

在Rt△BDE中，由勾股定理可知ED2=EB2+BD2，即x2=42+（8﹣x）2，解得x=5，

∴AD=5；