保守力做功与势能ppt课件
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3-2 保守力做功与势能
3.2.1 保守力与耗散力
B
★ 万有引力作功
rb
F
G
Mm
rˆ
r2
r
A rb G Mm rˆ dr
Mo
ra
r
ra
r2
A
rˆ dr rˆ dr cos dr
F dr
C
D
A rbG Mm dr
ra
r2
G
Mm rb
G
Mm ra
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
mgr
r mgk
,
drr
r dxi
r dzk
则来自百度文库
rrr dA mgk (dxi dzk) mgdz
可得物体沿acd路径从a点移动到b点时重力做的总功
A mgr drr acb
mg
z2 z1
dz
mgz1
mgz2
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例2 设一劲度系数为k的轻弹簧放在光滑水平桌面上， 一端固定，另一端连接到质量为m的质点上。计算当 质点由a点运动到b点的过程中弹性力所做的功。
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
3.2.3 由势能函数确定保守力场
1. 积分关系
2. 微分关系
dA
v F
drv
Fxdx
Fy
dy
Fzdz
dEp
E p x
dx
E p y
dy
E p z
dz
第3章 机械能和功
作功只与质点的初、末位置有关。 ——称为保守力
质点沿BDA从B回到A点，引力作功为:
B
ABDA
GMm ra
GMm rb
rb
质点沿ACBDA封闭路径
一周，引力作功为：
AACBDA F dr
r Mo r
ra
F dr
C
D
ACBDA
r F
drr
r F
drr
ACB
BDA
0 AACB ABDA
A
AACBDA F dr 0
AAB
B
ur F
drr
EkB
EkA
A
GmM GmM rB rA EkB EkA
或
GmM
GmM
( rB ) EkB ( rA ) EkA
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
结论：
B ur r
AAB F dr EkB EkA A
1. 质点在引力场中运动时，引力场作功（或正负）， 质点动能有相应变化（或增大或减小）。
按照势能定义式：势能还可以有一个常量的差！
引力势能：
Ep
GmM r
Const.
常量可任意选择！
对引力情况，通常取无
GmM Ep r
限远为势能零点。
弹性势能：
Ep
1 kx2 2
x = 0处为势能零点
重力势能： Ep mgz z = 0处为势能零点
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
ACBDA
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
结 论 ： AACBDA F dr 0
ACBDA
1. 保守力沿任意闭合路径的积分为零！
2. 可以证明：弹性力、万有引力、静电场力等均为保守力。
3. 若某种力作功与具体路径有关，该种作用力称为耗散 力。 如摩擦力、爆炸力等。
AACBDA
解
r
r
F kxi
按照功的定义，得
Aab
br r
b rr
F dr kxi (idx)
a
a
x2 kxdx
x1
则
Aab
1 2
kx12
1 2
kx22
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
3.2.2 势能
引力场
AAB
B ur F
A
drr
GmM rB
GmM rA
按照动能定理： 若质点在引力场中运动（只受引力作用）
x0 m
O
xO
P
x
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
解：(1) 以弹簧原长点O 为坐标原点，系统总势能：
(2) 若以重力与弹性力合力 的平衡位置为原点，则有：
任意位置 x 处的系统总势能：
x0 m
O
xO
P
x
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例4 已知地球半径 R，物体质量 m，处在地面 2R 处。 求势能: （1）地面为零势能点； （2）无限远处为零势能点。 解：
说 明
1.势能是相互作用有保守力的系统的属性。 2.势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。 势能零点可以任意选取。
设的空势间能为rr0：点为势能零点，则空间任意一点 rr
空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势 能零点时保守力作的功。
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例3 轻弹簧原长l0，劲度系数为k，下端悬挂质量为m的 重物。已知弹簧挂重物后在O点达到平衡，此时弹簧伸 长了x0 ，现取x 轴向下为正，原点位于：(1)弹簧原长位 置，(2)力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势 能的势能零点，分别计算重物在任一位置 P 时系统的总 势能。
2应. ！有使一其个与与动空能间的位和置保相持关不的变量！(我G们mrM把)它称与为动（能引相力对） 势能 ，通常用Ep表示
EkA EpA EkB EpB
(
GmM rB
)
EkB
(
GmM rA
)
EkA
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
AAB (EpB EpA )
定义了势能的差值
势能增量的负值
F
dr
F
dr
F
dr
0
ACBDA
ACB
BDA
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例1 讨论重力做功特点。设质量为m的物体从a点沿任一 曲线acb移动到b点，计算在这一过程中重力做的功。
解 在acb路径上的元位移 drr 中，重力做的元功为
dA
r mg
r dr
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
3.2.1 保守力与耗散力
B
★ 万有引力作功
rb
F
G
Mm
rˆ
r2
r
A rb G Mm rˆ dr
Mo
ra
r
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r2
A
rˆ dr rˆ dr cos dr
F dr
C
D
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r2
G
Mm rb
G
Mm ra
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
mgr
r mgk
,
drr
r dxi
r dzk
则来自百度文库
rrr dA mgk (dxi dzk) mgdz
可得物体沿acd路径从a点移动到b点时重力做的总功
A mgr drr acb
mg
z2 z1
dz
mgz1
mgz2
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例2 设一劲度系数为k的轻弹簧放在光滑水平桌面上， 一端固定，另一端连接到质量为m的质点上。计算当 质点由a点运动到b点的过程中弹性力所做的功。
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
3.2.3 由势能函数确定保守力场
1. 积分关系
2. 微分关系
dA
v F
drv
Fxdx
Fy
dy
Fzdz
dEp
E p x
dx
E p y
dy
E p z
dz
第3章 机械能和功
作功只与质点的初、末位置有关。 ——称为保守力
质点沿BDA从B回到A点，引力作功为:
B
ABDA
GMm ra
GMm rb
rb
质点沿ACBDA封闭路径
一周，引力作功为：
AACBDA F dr
r Mo r
ra
F dr
C
D
ACBDA
r F
drr
r F
drr
ACB
BDA
0 AACB ABDA
A
AACBDA F dr 0
AAB
B
ur F
drr
EkB
EkA
A
GmM GmM rB rA EkB EkA
或
GmM
GmM
( rB ) EkB ( rA ) EkA
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
结论：
B ur r
AAB F dr EkB EkA A
1. 质点在引力场中运动时，引力场作功（或正负）， 质点动能有相应变化（或增大或减小）。
按照势能定义式：势能还可以有一个常量的差！
引力势能：
Ep
GmM r
Const.
常量可任意选择！
对引力情况，通常取无
GmM Ep r
限远为势能零点。
弹性势能：
Ep
1 kx2 2
x = 0处为势能零点
重力势能： Ep mgz z = 0处为势能零点
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
ACBDA
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
结 论 ： AACBDA F dr 0
ACBDA
1. 保守力沿任意闭合路径的积分为零！
2. 可以证明：弹性力、万有引力、静电场力等均为保守力。
3. 若某种力作功与具体路径有关，该种作用力称为耗散 力。 如摩擦力、爆炸力等。
AACBDA
解
r
r
F kxi
按照功的定义，得
Aab
br r
b rr
F dr kxi (idx)
a
a
x2 kxdx
x1
则
Aab
1 2
kx12
1 2
kx22
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
3.2.2 势能
引力场
AAB
B ur F
A
drr
GmM rB
GmM rA
按照动能定理： 若质点在引力场中运动（只受引力作用）
x0 m
O
xO
P
x
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
解：(1) 以弹簧原长点O 为坐标原点，系统总势能：
(2) 若以重力与弹性力合力 的平衡位置为原点，则有：
任意位置 x 处的系统总势能：
x0 m
O
xO
P
x
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例4 已知地球半径 R，物体质量 m，处在地面 2R 处。 求势能: （1）地面为零势能点； （2）无限远处为零势能点。 解：
说 明
1.势能是相互作用有保守力的系统的属性。 2.势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。 势能零点可以任意选取。
设的空势间能为rr0：点为势能零点，则空间任意一点 rr
空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势 能零点时保守力作的功。
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例3 轻弹簧原长l0，劲度系数为k，下端悬挂质量为m的 重物。已知弹簧挂重物后在O点达到平衡，此时弹簧伸 长了x0 ，现取x 轴向下为正，原点位于：(1)弹簧原长位 置，(2)力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势 能的势能零点，分别计算重物在任一位置 P 时系统的总 势能。
2应. ！有使一其个与与动空能间的位和置保相持关不的变量！(我G们mrM把)它称与为动（能引相力对） 势能 ，通常用Ep表示
EkA EpA EkB EpB
(
GmM rB
)
EkB
(
GmM rA
)
EkA
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
AAB (EpB EpA )
定义了势能的差值
势能增量的负值
F
dr
F
dr
F
dr
0
ACBDA
ACB
BDA
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例1 讨论重力做功特点。设质量为m的物体从a点沿任一 曲线acb移动到b点，计算在这一过程中重力做的功。
解 在acb路径上的元位移 drr 中，重力做的元功为
dA
r mg
r dr
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能