雕琢分而治之最近点对算法-SpringerStaticContentServer
分而治之算法
if(l >= r)r e t u r n 替换为 if (r-1<nBreak) InsertionSort(a,l,r); return;{} 这里 I n s e r t i o n S o r t ( a , l , r 用来对 a [ 1 : r ]进行插入排序。测量修改后的快速排 序算法的性能留作练习（练习2 0） 。用更小的值替换 n B r e a k 有可能使性能进一步提高（见练习2 0）。 大多数实验表明，当 n＞c 时（c 为某一常数） ，在最坏情况下归并排序的性能也是最佳的。而当 n≤c 时 ， 在最坏情况下插入排序的性能最佳。通过将插入排序与归并排序混合使用，可以提高归并排序的性能（练 习2 1） 。
ห้องสมุดไป่ตู้
两次就可以找到伪币。这样，1 6硬币的问题就被分为两个8硬币（A 组和 B 组）的问题。通过比较这两组 硬币的重量，可以判断伪币是否存在。如果没有伪币，则算法终止。否则，继续划分这两组硬币来寻找伪 币。假设 B 是轻的那一组，因此再把它分成两组，每组有4个硬币。称其中一组为 B1，另一组为 B2。比较 这两组，肯定有一组轻一些。如果 B1轻，则伪币在 B1中，再将 B1又分成两组，每组有两个硬币，称其中 一组为 B1a，另一组为 B1b。比较这两组，可以得到一个较轻的组。由于这个组只有两个硬币，因此不必再 细分。比较组中两个硬币的重量，可以立即知道哪一个硬币轻一些。较轻的硬币就是所要找的伪币。
-------------------------------------------------------------------------------无双 回复于：2003-04-28 14:52:03 [color=blue:07a3c08ca5] 例2-1 [/color:07a3c08ca5] [找出伪币] 给你一个装有1 6个硬币的袋子。1 6个硬币中有一个是伪造的，并且那 个伪造的硬币比真的硬币要轻一些。你的任务是找出这个伪造的硬币。为了帮助你完成这一任务，将提供 一台可用来比较两组硬币重量的仪器，利用这台仪器，可以知道两组硬币的重量是否相同。比较硬币1与硬 币2的重量。假如硬币1比硬币2轻，则硬币1是伪造的；假如硬币2比硬币1轻，则硬币2是伪造的。这样就完 成了任务。假如两硬币重量相等，则比较硬币3和硬币4。同样，假如有一个硬币轻一些，则寻找伪币的任 务完成。假如两硬币重量相等，则继续比较硬币5和硬币6。按照这种方式，可以最多通过8次比较来判断伪 币的存在并找出这一伪币。 另外一种方法就是利用分而治之方法。假如把1 6硬币的例子看成一个大的问题。第一步，把这一问题分成 两个小问题。随机选择8个硬币作为第一组称为 A 组，剩下的8个硬币作为第二组称为 B 组。这样，就把1 6 个硬币的问题分成两个8硬币的问题来解决。第二步，判断 A 和 B 组中是否有伪币。可以利用仪器来比较 A 组硬币和 B 组硬币的重量。假如两组硬币重量相等，则可以判断伪币不存在。假如两组硬币重量不相等， 则存在伪币，并且可以判断它位于较轻的那一组硬币中。最后，在第三步中，用第二步的结果得出原先1 6 个硬币问题的答案。若仅仅判断硬币是否存在，则第三步非常简单。无论 A 组还是 B 组中有伪币，都可以 推断这1 6个硬币中存在伪币。因此，仅仅通过一次重量的比较，就可以判断伪币是否存在。 现在假设需要识别出这一伪币。把两个或三个硬币的情况作为不可再分的小问题。注意如果只有一个硬币， 那么不能判断出它是否就是伪币。在一个小问题中，通过将一个硬币分别与其他两个硬币比较，最多比较
分而治之算法---快速排序
快速排序分而治之方法还可以用于实现另一种完全不同的排序方法，这种排序法称为快速排序（quick sort）。
在这种方法中， n 个元素被分成三段（组）：左段l e f t，右段r i g h t和中段m i d d l e。
中段仅包含一个元素。
左段中各元素都小于等于中段元素，右段中各元素都大于等于中段元素。
因此l e f t和r i g h t中的元素可以独立排序，并且不必对l e f t 和r i g h t的排序结果进行合并。
m i d d l e中的元素被称为支点( p i v o t )。
图1 4 - 9中给出了快速排序的伪代码。
/ /使用快速排序方法对a[ 0 :n- 1 ]排序从a[ 0 :n- 1 ]中选择一个元素作为m i d d l e，该元素为支点把余下的元素分割为两段left 和r i g h t，使得l e f t中的元素都小于等于支点，而right 中的元素都大于等于支点递归地使用快速排序方法对left 进行排序递归地使用快速排序方法对right 进行排序所得结果为l e f t + m i d d l e + r i g h t图14-9 快速排序的伪代码考察元素序列[ 4 , 8 , 3 , 7 , 1 , 5 , 6 , 2 ]。
假设选择元素6作为支点，则6位于m i d d l e；4，3，1，5，2位于l e f t；8，7位于r i g h t。
当left 排好序后，所得结果为1，2，3，4，5；当r i g h t排好序后，所得结果为7，8。
把right 中的元素放在支点元素之后， l e f t中的元素放在支点元素之前，即可得到最终的结果[ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ]。
把元素序列划分为l e f t、m i d d l e和r i g h t可以就地进行（见程序1 4 - 6）。
在程序1 4 - 6中，支点总是取位置1中的元素。
无监督学习人工智能算法培训试题
无监督学习人工智能算法培训试题以下哪个领域不属于有监督学习? [单选题]图像分类无标签数据生成(正确答案)图像检测语音识别聚类算法试图将数据集中的样本划分为若干个不相交的子集，该算法数据哪类学习方法? [单选题]有监督学习半监督学习无监督学习(正确答案)强化学习K近邻算法是在给定测试样本条件下，基于一种距离度量找出训练样本中与其最靠近的K个训练样本，然后基于这K个“邻居”的信息来进行预测，所以K近邻算法是无监督学习方法。
[判断题]正确（是）错误（否）(正确答案)下列选项中，哪种算法属于无监督学习算法? [单选题]K近邻K均值(正确答案)决策树逻辑回归神经机器翻译是通过___网络实现的？ [单选题]递归神经网络RNN(正确答案)卷积神经网络CNN残差神经网络ResNet统计学方法通过带有标签的数据生成一个函数（模型），将输入映射到合适的输出，例如分类等。
该过程属于哪类学习方法? [单选题]有监督学习(正确答案)半监督学习无监督学习强化学习在使用K-means算法对数据集进行聚类操作时，数据集中的一个点（5,6）到中心点（2,2）的欧式距离是多少? [单选题]345(正确答案)6人工智能（AI）就是让机器具有这种能力的科学，也就是说让机器像我们人一样能思会想，其中“人工智能”的英文单词是什么? [单选题]Intelligence MachineArtificial BiologicalArtificial lntellectArtificial lntelligence(正确答案)某种聚类算法是将问题空间量化为有限数目的单元，形成一个空间网格结构，随后在这些网格之间进行聚类，最终由临近的高密度单元组成一个类，此种聚类算法是? [单选题]基于划分的聚类基于层次的聚类基于网格的聚类(正确答案)基于密度的聚类自然语言处理中，能够记忆序列输入的历史信息，从而能够较好的对整个序列进行语义建模是哪一种算法？ [单选题]CNNRNN(正确答案)TextCNNBMES如下选项中，哪一项不属于K-means算法的优点? [单选题]原理简单、容易理解、容易实现k值选择对聚类结果没有影响(正确答案)聚类结果容易解释聚类结果相对较好在机器学习的建模过程中，针对没有标签信息的数据一般选用哪类方法进行建模分析? [单选题]有监督学习分类模型无监督学习(正确答案)回归模型请选择符合指定描述的选项，描述信息为:“应用场景为关联和聚类，数据类型为无标签数据，常用的算法为K均值和C均值”（） [单选题]无监督学习(正确答案)有监督学习增强学习半监督学习K近邻算法是在给定测试样本条件下，基于一种距离度量找出训练样本中与其最靠近的K个训练样本，然后基于这K个“邻居”的信息来进行预测，所以K近邻算法是无监督学习方法。
工业机器人的路径规划算法考核试卷
A. A*算法
B. D*算法
C. Floyd算法
D. Bresenham算法
16.在路径规划中，以下哪种数据结构用于存储已访问的节点？（）
A.开放列表
B.关闭列表
C.路径列表
D.邻接矩阵
17.关于工业机器人的路径规划，以下哪个描述是错误的？（）
B. Dijkstra算法
C. D*算法
D. RRT算法
13.关于路径规划中的碰撞检测，以下哪种方法计算量相对较小？（）
A.精确碰撞检测
B.粗略碰撞检测
C.迭代最近点法（ICP）
D.点到线段距离计算
14.以下哪项不是路径平滑处理的目的？（）
A.降低路径长度
B.减少运动时间
C.减少能量消耗
D.增加路径上的拐点
3.用于评估路径规划算法性能的指标通常包括路径长度、规划时间和______。
4.在路径规划中，为了减少计算量，常用的空间划分技术有四叉树和______。
5.机器人路径规划中的碰撞检测可以通过______和基于几何的碰撞检测两种方法实现。
6.路径平滑处理的目的是为了减少路径的拐点，提高路径的______和可执行性。
A. A*算法
B. Dijkstra算法
C. Floyd算法
D. Bresenham算法
2.下列哪种算法不属于路径规划中的启发式搜索算法？（）
A. A*算法
B. D*算法
C. IDA*算法
D. Breadth First Search算法
3.在A*算法中，H(n)代表什么？（）
A.从起始点到当前点的代价
4.在工业机器人路径规划中，如何处理动态障碍物？请提出一种算法或策略，并解释其工作原理和有效性。
小学上册第十四次英语第4单元期末试卷
小学上册英语第4单元期末试卷英语试题一、综合题(本题有50小题，每小题1分，共100分.每小题不选、错误，均不给分)1 What is the primary purpose of a compass?A. Measure distanceB. Show directionC. Indicate speedD. Calculate area答案:B2 The _______ (United Nations) was founded to promote peace and cooperation.3 A frog can live on land and in ______.4 What is the name of the famous scientist known for his work on gravity?A. Isaac NewtonB. Albert EinsteinC. Galileo GalileiD. Johannes Kepler答案: A5 How many continents are there in the world?A. FiveB. SixC. SevenD. Eight答案:C6 A solution that has a low concentration of solute is called a _______ solution.7 What is the name of the popular card game played with a standard deck of cards?A. PokerB. BridgeC. RummyD. Solitaire答案: A8 A compound is formed when two or more different ______ combine.9 The _____ (spaghetti) is delicious.10 Wall is one of the most famous ________ (地标). The Grea11 What do you call the act of letting someone know how you feel?A. CommunicatingB. ExpressingC. SharingD. Talking答案: B12 The Earth's surface is shaped by both natural and ______ factors.13 We can _____ (landscape) our garden beautifully.14 A _______ (小蝙蝠) uses echolocation to find food.15 古代的________ (religions) 影响了人们的生活和信仰。
服务机器人的智能路径规划考核试卷
D. d(x)
18.以下哪种方法不适用于服务机器人路径规划的初始地图构建？（）
A.激光雷达
B.摄像头
C.超声波传感器
D.电阻应变片
19.在服务机器人路径规划中，哪种传感器可以提供较精确的地图信息？（）
A.激光雷达
B.摄像头
C.超声波传感器
D.红外传感器
20.以下哪种技术不常用于提高服务机器人路径规划的实时性？（）
2. ABCD
3. ABC
4. ABCD
5. ABCD
6. ABCD
7. ABC
8. ABCD
9. ABC
10. ABCD
11. AB
12. ABCD
13. ABC
14. CD
15. ABCD16. ABC Nhomakorabea17. ABCD
18. ABC
19. ABCD
20. ABC
三、填空题
1.欧几里得距离或曼哈顿距离
A. A*算法
B. Dijkstra算法
C.蚁群算法
D.多智能体路径规划算法
16.以下哪种算法不适用于多机器人路径规划？（）
A. A*算法
B. Dijkstra算法
C.合同算法
D.基于行为的路径规划算法
17.在服务机器人路径规划中，以下哪个概念表示从起点到当前点的实际代价？（）
A. g(x)
B. h(x)
2.单源最短路径
3.搜索方向
4.路径
5.领航者-跟随者
6. SLAM
7. GPU加速
8.基于行为的路径规划
9.预测性避障
10. SLAM
四、判断题
1. ×
2. √
分而治之算法原理及应用
分而治之算法原理及应用在计算机领域中，分而治之算法是一种十分常见的算法，它的基本原理是将一个复杂的问题分解成多个相似的子问题，然后逐一解决，最后合并各子问题的解得到最终解。
这种算法在计算机领域中有着广泛的应用，比如在排序、查找和图形渲染等方面都有着很好的应用效果。
一、算法原理分而治之算法的基本原理是将一个复杂的问题分解成若干个相似的子问题，然后逐一解决，最终将所有子问题的解结合起来得到最终解。
这个算法可以分为三个基本步骤：1、分：将原问题分成若干个小问题。
2、治：分别解决各个小问题。
3、合：将小问题的解合并成原问题的解。
这个算法的核心理念就是将大问题划分成小问题来解决，这样可以使得复杂的问题变得简单化。
二、算法应用1、排序排序是计算机领域中一个十分常见的问题，而分而治之算法就是很好的解决方式之一。
比如归并排序、快速排序等就是采用分而治之算法来实现。
其中，归并排序将一个排序问题划分成多个子问题，对每个子问题排序后再将所有子问题的结果合并成最终的排序结果。
而快速排序则是选择一个基准数，将序列分为比基准数大和比基准数小的两个部分，再分别对这两个部分进行排序。
2、查找分而治之算法在查找问题中也有很好的应用效果。
比如在一个长度为n的有序数组中找到目标元素，可以将这个数组分为两个相等长度的子数组，然后分别在左右两个子数组中寻找目标元素。
这种算法的时间复杂度是O(logn)，可以说是非常的优秀，在大数据量的情况下，分而治之算法的时间效率比较高。
3、图形渲染在图形学领域中，分而治之算法主要用来实现分形图像的渲染，也就是递归地生成图像。
在这个过程中，每个小图形的形状和大图形的形状都是非常相似的。
因此，可以采用分而治之算法将大图形分解成很多小的图形，然后逐一进行绘制。
最后，将所有小的图形合并起来就得到了最终的渲染图像。
四、总结分而治之算法是计算机领域中最常见的算法之一，它的基本原理是将复杂的问题分解成若干个相似的子问题，然后逐一解决，最终将所有子问题的解合并成最终解。
分而治之算法---距离最近的点对
例2-8 考察图14-14a 中从a到n的1 4个点。这些点标绘在图14-14b 中。中点xi = 1，垂线x = 1如图14-14b 中的虚线所示。虚线左边的点(如b, c, h, n, i)属于A，右边的点(如a, e, f, j, k, l) 属于B。d, g, m 落在垂线上，可将其中两个加入A, 另一个加入B，以便A、B中包含相同的点数。假设d ,m加入A，g加入B。
p u b l i c :
int operator<=(Point1 a) const
{return (x <= a.x);}
p r i v a t e :
int ID; // 点的编号
float x, y; // 点坐标
} ;
class Point2 {
friend float dist(const Point2&, const Point2&);
// 删除数组并返回
delete [] Y;
delete [] Z;
return true;
}
程序1 4 - 11 计算最近点对
void close(Point1 X[], Point2 Y[], Point2 Z[], int l, int r, Point1& a, Point1& b, float& d)
float d1 = dist(X[l], X[l+1]);
float d2 = dist(X[l+1], X[r]);
float d3 = dist(X[l], X[r]);
// 寻找最近点对
if (d1 <= d2 && d1 <= d3) {
《人工智能基础与应用》第4章 分门别类：帮你分而治之课后习题参考答案
第4章分门别类：帮你分而治之课后习题答案一、考考你1.关于正负样本的说法正确是 D 。
A.样本数量多的那一类是正样本B.样本数量少的那一类是负样本C.正负样本没有明确的定义D.想要正确识别的那一类为正样本2.分类器实质为一个 A ，把样本的特征集X映射到一个预先定义的类标号y。
A.模式B.函数C.映射D.转换3.用计算概率来解决分类问题是哪种分类器 C 。
A.决策树B.最近邻C.贝叶斯D.支持向量机4.识别手写数字过程中，对图片进行灰度化处理的主要原因是 C 。
A.方便转为文本格式B.尽可能保存全部图片信息C.较少计算量，同时尽可能保存图片信息D.有利于提高分类效果5.SVM的最优分界面是由 A 决定的。
A.支持向量B.所有样本C.多数样本D少数样本二、亮一亮1.最近邻分类器与支持向量机各自分类的基本思想是什么？参考答案：最近邻分类器的基本思想：找到与待分类的样本最相似的k个邻居，这k个邻居中多数邻居属于哪一类，那么就指定该样本属于哪一类。
即我们把每个具有n个特征的样本看作n 维空间的一个点，对于给定的新样本，先计算该点与其它样本点的距离(相似度)，然后将新样本指派为周围k个最近邻的多数类。
该分类思想源于这样的常识：判别一个人是好人还是坏人，可以从跟他走得最近的k个人来判断，如果k个人中多数是好人，那么可以指派他为好人，否则他是坏人。
支持向量机分类器的基本思想：通过非线性映射，把无法在低维样本空间分类的问题映射到一个高维的特征空间，在高维空间通过一个线性超平面而非低维空间的直线将样本完全划分开。
2.在案例1的手写数字识别过程中，个别样本出现错分的现象，主要原因是什么？参考答案：个别样本出现错分主要原因有：（1）因训练样本数据规模不够造成分类模型学习不够，导致不能有效应对各种样本的分类；（2）样本质量不高时也会影响模型识别的正确率。
三、帮帮我1.尝试改用SVM方法来识别手写数字，建议核函数使用rbf，其它模型参数自己设定，对比SVM模型的识别效果与案例1的差异，并分析原因。
空间点去重复算法 -回复
空间点去重复算法-回复空间点去重复算法是在空间数据处理和分析领域中常用的技术之一。
随着空间数据的不断增长，往往会出现大量的重复数据点，这些重复数据点会影响到数据分析的准确性和效率。
因此，空间点去重复算法的研究和应用具有重要意义。
一、问题定义空间点去重复算法的目标是识别和消除空间数据中的重复数据点。
在空间数据中，一个数据点通常由坐标信息以及其他属性信息组成。
因此，空间点去重复算法需要综合考虑数据点的位置信息和属性信息的差异性。
二、算法流程1. 数据预处理：提取空间数据中的坐标信息和属性信息，并将其进行标准化处理。
标准化处理可以保证不同的坐标和属性尺度不会影响到重复数据点的判断。
2. 空间点距离计算：根据空间数据的坐标信息，计算数据点之间的距离。
常用的距离计算方法有欧氏距离、曼哈顿距离和切比雪夫距离等。
根据实际需求，选择合适的距离计算方法。
3. 相似度计算：根据数据点的属性信息，计算数据点之间的相似度。
相似度计算方法可以根据实际需求选择，常见的有余弦相似度、皮尔逊相关系数等。
相似度计算可以综合考虑属性信息的相似程度，从而对重复数据点进行筛选。
4. 重复数据点判断：将距离计算和相似度计算的结果综合考虑，对数据点进行重复性判断。
根据实际需求，可以设定阈值，通过比较数据点之间的距离和相似度与阈值的大小关系，判断是否为重复数据点。
5. 重复数据点消除：对重复数据点进行消除或合并操作。
常用的处理方式包括删除重复数据点、合并重复数据点的属性信息等。
三、算法优化1. 索引优化：对于大规模空间数据集，可以采用空间索引结构进行优化，加速距离计算和相似度计算的过程。
常用的空间索引结构有R树、k-d树、四叉树等。
2. 增量计算优化：对于流式数据或实时更新的空间数据，可以采用增量计算的方式进行优化，减少数据处理的时间和计算资源的消耗。
3. 布尔运算优化：在空间数据处理过程中，常常需要进行布尔运算，例如交集、并集、差集等。
合理选择和使用布尔运算算法，可以提高算法的准确性和效率。
中考英语科技创新的人才需求单选题40题
中考英语科技创新的人才需求单选题40题1. In the field of artificial intelligence, ____ is used to analyze a large amount of data quickly.A. algorithmB. batteryC. buttonD. bridge答案解析：A。
本题考查词汇在人工智能领域中的含义。
“algorithm”（算法）在人工智能领域用于快速分析大量数据，这是科技创新人才需要了解的基本概念。
“battery”（电池）、“button”（按钮）、“bridge”（桥）与分析大量数据无关。
从语法角度看，这里需要一个名词作主语，四个选项都是名词，但只有A符合语境。
2. Big data can help companies ____ their customers' needs better.A. understandB. forgetC. ignoreD. lose答案解析：A。
本题考查动词在大数据语境下的用法。
“understand”（理解）符合大数据帮助公司更好地了解客户需求这一概念，这是科技创新中利用大数据的一个重要方面。
“forget”（（忘记）、“ignore”（（忽视）、“lose”（（失去）都不符合语境。
语法上，“help sb. do sth.”是固定用法，这里需要一个动词原形，A选项正确。
3. Many smart phones are now equipped with AI assistants, which can ____ voice commands.A. receiveB. refuseC. rewriteD. reduce答案解析：A。
本题考查动词在智能手机人工智能助手语境下的含义。
“receive”（接收）语音指令是人工智能助手的一个常见功能，科技创新人才需要掌握这类表达。
“refuse”（（拒绝）、“rewrite”（（重写）、“reduce”（（减少）不符合这个语境。
等距曲线的圆域Bézier逼近
V ol.16, No.4©2005 Journal of Software 软 件 学 报 1000-9825/2005/16(04)0616 等距曲线的圆域Bézier 逼近∗陈 笑1,2, 王国瑾1,2+1(浙江大学 计算机图像图形研究所,浙江 杭州 310027) 2(浙江大学 CAD&CG 国家重点实验室,浙江 杭州 310027)Disk Bézier Curve Approximation of the Offset CurveCHEN Xiao 1,2, WANG Guo-Jin 1,2+1(Institute of Computer Graphics and Image Processing, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China) 2(State Key Laboratory of CAD&CG, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)+ Corresponding author: E-mail: amawgj@Received 2004-09-01; Accepted 2004-11-15Chen X, Wang GJ. Disk Bézier curve approximation of the offset curve. Journal of Software , 2005,16(4): 616−624. DOI: 10.1360/jos160616Abstract : To some extent, using a plane curve to approximate an offset curve of the plane Bézier curve is restricted. In this paper, a region approximation idea that means using a “fat curve” with a width to approximate the offset curve is proposed, and a complete set of algorithms to approximate offset curve using disk Bézier curve are given and implemented. In the algorithms, the optimal and uniform approximate curve of the offset curve as the central curve of the Disk Bézier curve is found by using Remez method, and then the upper optimal and uniform approximation principle is proposed to compute the error radius function of the Disk Bézier curve. Thus, the whole Disk Bézier curve can be obtained. In the end of this paper, the approximate effect of the Disk Bézier curve is not only analyzed and assessed, but also some specific examples are provided. Key words :offset curve; disk Bézier curve; error; upper; optimal and uniform approximating polynomial摘 要: 用一条平面曲线来逼近平面Bézier 曲线的等距曲线具有一定的局限性.提出用一条带宽度的“胖曲线”来逼近上述等距曲线的区域逼近思想,并建立与实现了圆域Bézie r 曲线等距逼近的整套算法,包括应用Remez 方法求出等距曲线的最佳一致逼近曲线作为圆域Bézier 曲线的中心曲线,提出上控最佳一致逼近的原理求出圆域Bézier 曲线的误差半径函数,以及确定整条圆域Bézier 曲线,最后还对该圆域Bézier 逼近的效果做了分析和考核,并给出了一些具体实例.关键词: 等距曲线;圆域Bézier 曲线;误差;上控;最佳一致逼近多项式 中图法分类号: TP391 文献标识码: A∗ Supported by the National Natural Science Foundation of China under Grant Nos.60373033,60333010 (国家自然科学基金); theNational Grand Fundamental Research 973 Program of China under Grant No.2002CB312101 (国家重点基础研究发展规划(973))作者简介: 陈笑(1982－),男,浙江宁波人,硕士生,主要研究领域为计算机辅助几何设计,计算机图形学,应用数学;王国瑾(1944－),男,教授,博士生导师,主要研究领域为计算机辅助几何设计,计算机图形学,数字几何处理.陈笑 等:等距曲线的圆域Bézier 逼近617等距(offset)曲线也称为平行或位差曲线,是基曲线沿法向距离为常数的点的轨迹,在计算机辅助设计及加工(CAD/CAM)中有广泛应用.由于平面Bézier 曲线的单位法矢包含平方根项,其等距曲线一般无法表示为有理Bézier 的形式,所以多年来国际上用等距移动控制网格或基于插值和拟合的方法来对其进行逼近,收到了很好的成效.但随着CAD/CAM 研究的深入,把平面Bézier 曲线的等距曲线用一条平面曲线来逼近的算法也呈现出一些局限性:第1,人们常常需要从几何逼近的角度寻求用某种方式来严格描述一个带状平面区域,使得落在此区域内的任意一条曲线都可选用为相应于已知平面Bézier 曲线的在可控误差条件下的近似等距曲线,以便在机器人行走路径规划、加工刀具轨迹设计及等距曲线表示形式转换等方面有更大的选择余地;第2,在产品检查中,人们常常需要确定一个可控制的误差带,来实际度量或考核同一批产品表面某部位的曲线,与一条已知曲线的等距误差是否小于一个公差ε,作为产品合格的标准之一;第3,在平面曲线的等距逼近中,人们需要用上述带着误差的区域作为判别多种多样等距逼近曲线的好坏标准.总之,必须寻求用一个带宽度的“胖曲线”来逼近已知Bézier 曲线的等距线.为了实现这一目标,区间Bézier 曲线[1]不失为一个行之有效的工具,然而通过进一步的研究可以发现:1998年,Lin 和Rokne 提出的圆域(disk)Bézier 曲线[2]是一个更为理想的工具.这是因为,它同样是一条带宽度的“胖曲线”,但其边界能用更简单的显式表示,且其圆域控制顶点仅由3个(而区间控制顶点是4个)独立参数决定,圆域控制顶点的旋转又对圆域B ézier 曲线没有影响.本文的中心内容就是为圆域Bézier 曲线对已知平面Bézier 曲线的等距曲线提供一套逼近算法,算法的关键包括用Remez 方法求出等距曲线的最佳一致逼近曲线作为圆域Bézier 曲线的中心曲线;用一条尽量狭窄的误差半径为一个连续的参数函数刻画的圆域曲线包围已知Bézier 曲线的等距曲线;再提出上控最佳一致逼近的原理求出圆域Bézier 曲线来包围上述圆域曲线.文中在公差预先给定的情况下,以及公差没有预先给定但圆域Bézier 曲线的次数预先给定的情况下,对圆域Bézier 逼近给出了应用方法和一些具体实例.结果表明,本文对等距曲线的圆域Bézier 逼近是成功、有效的.1 预备知识1.1 平面圆域Bézier 曲线[2]定义1. 有界闭集}0,,|{];[202020≥∈≤−∈==r R r R r x x x x x α称为以点0x 为中心,r 为半径的圆域.定义2. 两个圆域];[],;[2)2(01)1(0r r x βx α==及βα+定义为];[3)3(0r x γ=,)2(0)1(0)3(0x x x +=,213r r r +=;圆域];[1)1(0r x α=与实数k 的数乘定义为];[2)2(0r k x α=,)1(0)2(0x x k =,12||r k r =.定义3. 与1+n 个圆域];[][)(0i i i r x P =),...,1,0(n i =对应的圆域曲线∑==ni i n i t B t 0])[()]([P P ,10≤≤t ,称为n 次圆域Bézier 曲线,其中i i n n i t t i n t B −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=)1()(称为Bernstein 基函数,),...,1,0]([n i i =P 称为圆域控制顶点.由定义2易得圆域Bézier 曲线的中心表达形式:10,)(;)()]([00)(0≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==t r t B t B t ni i n i n i i n i x P .按照此形式,圆域Bézier 曲线)]([t P 可分成中心曲线部分)10()(0)(0≤≤∑=t t B ni i n i x 和误差半径部分)10(0)(0≤≤≥∑=t r t B ni i n i ,前者是以),...,1,0()(0n i i =x 为控制顶点的平面n 次Bézier 曲线,后者是以),...,1,0(n i r i =为Bézier 纵标的n 次Berstein 多项式.而平面圆域Bézier 曲线实质上是具有变半径∑=ni i n i r t B 0)(的一个圆域按中心沿618 Journal of Software 软件学报 2005,16(4)曲线∑=ni i n i t B 0)(0)(x 运动而生成的一个扫掠域.1.2 平面Bézier 曲线的等距曲线与已知平面Bézier 曲线10)),(),(()()(0≤≤==∑=t t y t x t B t ni i n i P P 相对应的距离为d 的等距曲线可表示为10,)()())()(()(),()())(),(()(22≤≤′+′′−′=⋅+==t t y t x t x t y t t d t t y t x t d d d n n P P .这里,)(t P 称为母线,)(t n 称为)(t P 的单位法向量,d 为带符号的偏离量.2 应用Remez 算法构造圆域B ézier 曲线的中心曲线为求得区间]1,0[上等距曲线)(t d P 的最佳逼近曲线,作为逼近)(t d P 的平面圆域Bézier 曲线的中心曲线,我们只须分别求出]1,0[上)(t d P 的两个分量函数)(t x d 与)(t y d 的最佳逼近多项式.对于最佳逼近多项式的计算,目前已经有一些很好的算法,在这些算法中,Remez 算法对于圆域Bézier 曲线的中心曲线计算有潜在的实用价值.Remez 算法最早见于1934年Remez 本人的论文,也可见于1957年的专题论文.Remez 算法是从插值多项式出发,逐步修改插值节点以接近预先要求的最佳逼近多项式.Remez 算法虽然需要一次次的迭代求解,但由于具有很快的收敛速度,因此算法效果十分显著.实际上,可以证明其收敛阶与Newton 法相同,还有人证明与Newton 法几乎等价.为应用方便,这里我们只引述Remez 算法在收敛性方面的重要定理[3].定义4. 记],[b a C 为闭区间],[b a 上的连续函数全体,],[0)}({b a n i i C x ∈=ϕ,它们的线性组合∑=ni i i x a 0)(ϕ称为n 次广义多项式.定义5. 函数组n i i x 0)}({=ϕ满足Haar 条件是指n 次不恒为0的广义多项式∑=ni i i x a 0)(ϕ在闭区间],[b a 上至多有n 个相异零点.定理1. 设函数组n i i x 0)}({=ϕ满足定义5中描述的Haar 条件,],[)},(),...,(),({10b a x x x x span H n n ∈=ϕϕϕ,又设∑==ni i i n x a x 0**)()(ϕΦ是函数f 在[,]a b 上的最佳一致逼近多项式,即|)()(|max min |)()(|max )(*x x f x x f n bx a H x n bx a n n ΦΦΦ−=−≤≤∈≤≤,而∑==ni i k i k n x a x 0)()()()(ϕΦ为由Remez 算法经过第k 次修正后确定的广义多项式,则],[),()(lim *)(b a x x x n k n k ∈=∞→ΦΦ成立.Remez 第1算法的具体步骤[4]可描述如下:第1步:在]1,0[上选取2+n 个相异点1,...,1,0,)0(+=n i x i ,1...0)0(1)0(1)0(0≤<<<≤+n x x x (通常取T n +2(x )= cos((n +1)arcos(2x −1))的极值点),再解一个具有2+n 个未知数)0()0(0,...,n a a 和)0(ρ的线性方程组:10,)()1()(0)0()0(1)0()0(+≤≤=−+∑=+n i x f x a nj i i i j j ρϕ.此后,记∑==ni i i nx a x 0)0()0()()(ϕΦ,及|)()(||)()(|max )0(*)0()0(*)0(10)0(*x x f x x f n n x ΦΦ−=−=≤≤ρ,则有)0(*)0(||ρρ≤.若)0(*)0(||ρρ=,则算法到此结束,)()0(x n Φ就是欲求的逼近多项式,否则若)0(*)0(||ρρ<,则算法转第2步.第2步:在第1步的基础上选取{}10)1(+=n j j x ,分以下两种情形考虑:若)0(0)0(*0x x <≤或1)0(*)0(1≤<+x x n ,则当)()()0()0()0(∗∗−x x f n Φ与)()()0(0)0()0(0x x f n Φ−同号时,就取)0(*)1(0x x =, )0()1(j j x x =,1,...,2,1+=n j ;否则,取)0(*)1(0x x =,1,...,2,1,)0(1)1(+==−n j x x j j ;若)0(1)0(*)0(+≤<j j x x x ,n j ≤≤0,则当)()()0(*)0()0(*x x f n Φ−与)()()0()0()0(j n j x x f Φ−同号时,就取)0(*)1(x x j =,)0()1(i ix x =,陈笑 等:等距曲线的圆域Bézier 逼近6191,...,1,0+=n i ,j i ≠,否则,取)0(*)1(1x x j =+,)0()1(i ix x =,1,...,1,0+=n i ,1+≠j i . 下面,利用{}1)1(+=n j j x ,按第1步的办法解得)1()1(0,...,n a a 和)1(ρ,再记∑==ni i i n x a x 0)1()1()()(ϕΦ以及 |)()(||)()(|max )1(*)1()1(*)1(10)1(*x x f x x f n nx ΦΦ−=−=≤≤ρ,则有)1(*)1(||ρρ≤.若)1(*)1(||ρρ=,则∑==ni i i nx a x 0)1()1()()(ϕΦ即欲求的逼近多项式,否则,若)1(*)1(||ρρ<,则以)1(*x ,{}10)1(+=n j j x 和)()1(x n Φ分别代替)0(*x ,{}1)0(+=n j j x和)()0(x n Φ,按第2步的办法继续进行下去,如此,直到第k 步,有)(*)(||k k ρρ=为止,此时,∑==ni i k i k nx a x 0)()()()(ϕΦ即欲求逼近多项式.在实际操作时,可先选定一个公差0ε,进行了k 步以后,若有0)()(*||0ερρ<−<k k 时,即可停止. 应用上述的Remez 第1算法,可求得]1,0[上对等距曲线)(t d P 的近似最佳一致逼近曲线:10,))(),(()(≤≤=t t y t x t a a a P .其中,10,)()(,)()(0)(0)(≤≤==∑∑==t y t B t y x t B t x ni a i n i a n i a i n i a .上述的Remez 第1算法,亦称单一交换法,即从点{}1)0(+=n j j x 到{}10)1(+=n j j x 时,其中仅变化了一点,该点为误差函数在整个大区间上的某个最大值点.我们也可以采用Remez 第2算法[5,6],亦称同时交换法,即从点{}10)0(+=n j j x 到{}10)1(+=n j j x 时,其中同时变化了多点,这些点为误差函数在每个函数值同号的小区间上的某个最大值点.因此,同时交换法有可能使得{}10)1(+=n j j x 中完全不含有{}10)0(+=n j j x 中的点.可以证明,在迭代次数k 较少以及逼近阶数n 较小的情况下,Remez 第1算法比Remez 第2算法具有更高的收敛效率;在迭代次数k 较多以及逼近阶数n 较大的情况下,Remez 第2算法比Remez 第1算法具有更高的收敛效率.3 上控最佳一致逼近原理构造圆域Bézier 曲线的误差半径函数为构造圆域Bézier 曲线,我们分两步进行:第1步:选取一条尽量狭窄的以连续函数r (t ),10≤≤t 为误差半径的圆域曲线,包围已知平面Bézier 曲线的等距曲线P d (t ).方法1:10,|))()(|,|)()(max(|)(≤≤−−=t t y t y t x t x t r d a d a .方法2: 22))()(())()(()(t y t y t x t x t r d a d a −+−=,10≤≤t .方法3:先作一条通过定点)(t a P ,方向为))(),((t x t y a a ′′−的直线,与等距线)(t d P 交于点))(),((00t y t x d d ,0t 可由如下表达式求出:0))()()(())()()((00=−′+−′t y t y t y t x t x t x a d a a d a, 再令2020))()(())()(()(t y t y t x t x t r d a d a −+−=,10≤≤t .容易看出,相应于任意时刻]1,0[0∈t ,一定存在某个时刻]1,0[∈t ,使得)]();([)(0t r t t a d P P ∈,即圆域}10,|)]();({[≤≤t t r t a P 是对点}10|)({00≤≤t t d P 的一个闭覆盖.换言之,我们求得了包围等距曲线)(t d P 的一条圆域曲线.以上确定误差半径的3种方法中,方法1和方法2计算简单,但误差较大;方法3采用变参数误差分析的方法,几何意义鲜明,虽然计算较繁,但误差较小.第2步:选取一条尽量狭窄的圆域Bézier 曲线,包围第1步中选取的圆域曲线.由Weierstrass 逼近定理可知,对已知平面Bézier 曲线的等距曲线))(),(()(t y t x t d d d =P ,10≤≤t 和任意给定的公差0>ε,一定同时存在次数n620Journal of Software 软件学报 2005,16(4)充分大的两个多项式)(*t x d 和)(*t y d ,使得对]1,0[∈t 一致地有22|)()(|max *10ε<−≤≤t x t x d d t ,22|)()(|max *10ε<−≤≤t y t y d d t .特别是取在)(*t x d 和)(*t y d 为)(t x d 和)(t y d 的最佳一致逼近多项式时,以上两式自然成立.再设)(t x a 和)(t y a 分别是对多项式)(*t x d 和)(*t y d 应用Remez 算法在第k 次迭代后最终确定的逼近多项式,取Bernstein 基函数)(t B n i 为定义4中的)(x i ϕ,根据定理1,又有22|)()(|max *10ε<−≤≤t x t x d a t ,22|)()(|max *10ε<−≤≤t y t y d a t .综合上述4式,我们就有2|)()(|max 10ε<−≤≤t x t x d a t ,2|)()(|max 10ε<−≤≤t y t y d a t .容易验证,对于上述第1步中3种选取方法的任何一种误差半径函数)(t r ,我们都有]1,0[,)(∈∀<t t r ε.由此得到如下定理.定理2. 对已知平面Bézier 曲线的等距曲线))(,)(()(t y t x t d d d =P 和任意给定的公差0>ε,当逼近的中心曲线次数n 充分大时,总存在一条平凡生成的n 次圆域Bézier 曲线,其中心表达形式中的中心曲线))(,)(()(t y t x t a a a =P 由Remez 算法构造得到,而误差半径函数为∑==ni a i n i a r t B t r 0)()()(,其中取)(max 10)(t r r t a i ≤≤≡,)(t r 为用上述第1步中3种方法的任何一种构造得到,使得该圆域Bézier 曲线能够将等距曲线)(t d P 包围在内,并且满足]1,0[,)(∈∀<t t r a ε.值得注意的是,一般的计算机辅助设计系统只能处理一定次数的多项式曲线.实质上,已知平面Bézier 曲线的等距曲线的最佳逼近曲线的次数是受到制约的.因此,我们转而考虑在半径函数)(t r 已经确定,且中心曲线次数n 固定的条件下,让圆域Bézier 逼近误差最小.即在所有满足不等式]1,0[,)()(∈≥t t r t p n 的n 次多项式函数)(t p n 中,寻找一个使得|)()(|max 10t r t p n t −≤≤最小的多项式,不妨称其为n 次上控最佳一致逼近多项式函数.这种函数的存在性由附录的定理A 给出.尽管存在性定理可以被证明,但是具体寻找出一个非线性约束条件下的n 次上控最佳一致逼近多项式函数却是逼近论的一个经典问题,又是一个难题[7].为此,下面给出上述问题的一个近似算法.第1步:设闭区间]1,0[上n 次多项式的全体为Πn ,)(t r 的n 次最佳一致逼近多项式为)(*t r n ,|)()(|max min |)()(|max ),(10)(*10t r t r t r t r r n t t r n t n n n −=−=≤≤∈≤≤ΠΠΔ.再设∑==ni n i k i k n t B r t r 0)()()()(为对连续函数)(t r 施行Remez 算法经过第k 次修正后确定的n 次多项式,用来逼近)(*t r n .由定理1得到+∞→→≤−≤≤k t r t r k k n k n t ,0,|)()(|max *)(10εε.于是,]1,0[,)()()(*)(*∈+≤≤−t t r t r t r k n k n k n εε (1)由)(*t r n 的性质得知]1,0[,),()()(),()(*∈+≤≤−t r t r t r r t r n n n ΠΔΠΔ. (2) 综合以上两式得到]1,0[,),()()()),(()(∈+≤−≤+−t r t r t r r n k k n n k ΠΔεΠΔε.所以,),(|)()(|max )(10n k k n t k r t r t r E ΠΔε+≤−=≤≤ (3)第2步:由上式易知]1,0[,2)()(0)(∈≤−+≤t E t r E t r k k k n .若记陈笑 等:等距曲线的圆域Bézier 逼近 621k k n a E t r t r +=)()()( (4)则有k a t E t r t r 2|)()(|max 10≤−≤≤,)()(t r t r a ≥,]1,0[∈t (5)由上式及式(2)可得),()()(*n n a r t r t r ΠΔ−≥−,]1,0[∈t .又由式(1),(3),(4)可得),(2)()(*n k n a r t r t r ΠΔε+≤−,]1,0[∈t .综合以上两式可得),(2|)()(|max *10n k n a t r t r t r ΠΔε+≤−≤≤ (6)由式(5)我们知道,由式(4)定义的n 次多项式函数)(t r a 上控)(t r .再由式(6)可知,函数)(t r a 与)(t r 的n 次最佳一致逼近多项式)(*t r n 之间最多只相差),(2n k r ΠΔε+.其中0→k ε,+∞→k ,|)()(|max min ),(10)(t r t r r n t t r n n n −=≤≤∈ΠΠΔ,所以)(t r a 可近似地看作是)(t r 的n 次上控最佳一致逼近多项式函数.关于)(t r a 的算法,可由)()(t r k n 的定义得出∑==ni n i a i a t B r t r 0)()()(,k k i a i E r r +=)()(,]1,0[∈t .由前面的分析知道,对任意一个时刻]1,0[0∈t ,一定存在某个时刻]1,0[∈t ,使得点)]();([)(0t r t t a d P P ∈,即)()()(20t r t t a d ≤−P P ,现在由式(5)可知)()(t r t r a ≤,于是又有)]();([)(0t r t t a a d P P ∈,其中)(t r a 是]1,0[上的n 次多项式函数.这就表明,我们已经选取出一条尽量狭窄的圆域Bézier 曲线)]();([t r t a a P ,包围已知平面Bézier 曲线的等距曲线)(t d P .这里我们指出,本文提出和用到的一整套逼近方法容易推广到对任意的连续曲线,而不仅局限于Bézier 曲线的等距曲线.4 圆域Bézier 曲线的等距逼近的应用及实例上一节中,我们已经在公差ε预先给定的情况下,以及公差没有预先给定但是圆域Bézier 曲线的次数n 预先给定的情况下,分别求出了一条尽量狭窄的圆域Bézier 曲线)]();([t r t a a P ,包围已知平面Bézier 曲线的等距曲线)(t d P .如果把上述圆域Bézier 曲线)]();([t r t a a P 形象地看成是一条“带子”,那么以这条带子为基准,我们就可以对用各种方法建立起来的对于已知平面Bézier 曲线的等距曲线)(t d P 的逼近Bézier 曲线作一个分类:完全落在此带子内部的逼近Bézier 曲线为第1类,而不完全落在此带子内部的逼近Bézier 曲线为第2类.显然:• 当公差ε预先给定时,第1类逼近Bézier 曲线满足预先的公差要求,第2类逼近Bézier 曲线不满足预先的公差要求.由于圆域Bézier 曲线包含了控制顶点n i i i ,...,1,0,][=∈P P 的所有n 次Bézier 曲线,所以这些n 次Bézier 曲线都是满足公差ε要求的对已知平面Bézier 曲线的等距曲线的一种合格的逼近曲线.• 当公差ε没有预先给定但是逼近Bézier 曲线的次数n 预先给定时,第1类逼近Bézier 曲线一定比第2类逼近Bézier 曲线的逼近效果要好.也就是说,利用圆域Bézier 曲线和公差ε的调节作用,可以把各种等距逼近曲线的逼近效果作一番比较.在产品外形检验中有类似的作用.例1:设已知的平面Bézier 曲线为))(),(()(t y t x t =P ,其6个控制顶点为:)100,220(0=P ,)140,80(1=P ,)180,140(2=P ,)230,280(3=P ,)290,140(4=P ,)330,220(5=P .它的距离20−=d 的负等距曲线为))(),(()(t y t x t d d d =P ,设公差ε没有预先给定,但是圆域Bézier 曲线的次数预先给定为5=n .那么使用Remez 第1算法,分别经过3次迭代和2次迭代就可以分别求出)(t x d 与)(t y d 的622Journal of Software 软件学报 2005,16(4)的5次近似最佳一致逼近多项式)(t x a ,)(t y a .即我们得到了圆域Bézier 曲线的中心曲线))(),(()(t y t x t a a a =P ,它的6个控点分别为)81,215(0=Q ,)141,26(1=Q ,)248,163(2=Q ,)145,232(3=Q ,)325,123(4=Q ,)348,211(5=Q . 并且满足:7101079.1)()()(max−≤≤×≤−t x t x t x d d a t ,7101018.1)()()(max −≤≤×≤−t y t y t y d d a t .下面,先用方法3求出表示误差半径的连续函数)(t r ,如图1所示的虚线.为求相应的5次近似上控最佳一致逼近多项式)(t r a ,首先应使用Remez 算法,按照算法的终止条件,经过6次迭代,求出)(t r 的5次近似最佳一致逼近多项式)()6(5t r ,其Bézier 纵标和相应的6E 值为65.0)6(0=r ,39.1)6(1=r ,36.2)6(2=r ,27.2)6(3=r ,26.3)6(4=r ,03.0)6(5=r ,20.1|)()(|max )6(5106=−=≤≤t r t r E t.Fig.1 The error radius function )(t r (dashed) and its upper optimal anduniform approximating polynomial )(t r a (real line)图1 误差半径函数)(t r (虚线)与其近似上控最佳一致逼近多项式)(t r a (实线)于是,进一步求得)(t r a 的Bézier 纵标为85.1)(0=a r ,59.2)(1=a r ,56.3)(2=a r ,47.3)(3=a r ,46.4)(4=a r ,88.1)(5=a r .由此得到误差函数)(t r 的5次近似上控最佳一致逼近多项式)(t r a ,如图1所示的实线.这样,把中心曲线及近似上控最佳一致逼近多项式函数结合起来,我们就选取出一条尽量狭窄的圆域Bézier 曲线)]();([t r t a a P ,包围已知平面Bézier 曲线等距曲线)(t d P ,如图2所示.Fig.2 The Disk Bézier curve of 5 degree (shadow area)图2 5次圆域Bézier 曲线(阴影区域)为了考核“带子”的选取是否得当,我们考察了Lengendre 最佳平方逼近法[8]所产生的平面Bézier 曲线的等距曲线在本文生成的带子内部摆动的情况.为此,分两种情形考察:情形1:基于控制顶点偏移的无端点约束5次Lengendre 最佳平方逼近法.设n k k t L 0)}({=,]1,0[∈t 为Lengendre基底,则逼近曲线的参数形式为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−∑∑==505)12(,)12(k k k k kk t L y t L x .曲线如图3(左)所示,其中控制顶点坐标为 ()()0136.1,6125.5,5996.0,9810.5,1949.3,7126.16,,,,,543210−−−=x x x x x x ,陈笑 等:等距曲线的圆域Bézier 逼近623()()8464.5,1664.10,1161.13,2640.10,1133.11,7952.1,,,,,543210−−=y y y y y y .情形2:基于单位法矢逼近的有端点约束17次Lengendre 最佳平方逼近法.逼近曲线的参数形式为)1()()12(,)12()1()0()(1717150150170d k k k k kk d t B t L y t L x t t t B n n +⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+∑∑==. 经计算易知,)230.19,494.5()0(−−=d n ,)888.17,944.8()1(−=d n .曲线如图3(右)所示,其中控制顶点坐标为).6406.0,0942.2,7259.2,9999.1,1165.6,3019.3,7364.4,8100.1,7478.21,2166.0,5684.1,5695.27,2502.25,6801.31,4489.30,1750.92(),,,,,,,,,,,,,,,(1514131211109876543210−−−−−−−−−−=x x x x x x x x x x x x x x x x ).8971.2,2914.0,3138.0,5887.5,6937.4,6761.4,4182.5,9288.15,1842.6,1920.18,9312.6,8610.43,8926.68,1657.67,0942.8,3181.1(),,,,,,,,,,,,,,,(1514131211109876543210−−−−−−−−−=y y y y y y y y y y y y y y y yFig.3 The approximate offset curve using Lengendre approximation method: case1 (left), case2 (right)图3 用Lengendre 最佳平方逼近得到的等距逼近曲线:情形1(左),情形2(右)由图3可见,情形1中的等距逼近曲线几乎落在带子中,而情形2中的等距逼近曲线却部分留在带子之外.这是因为逼近曲线有严格端点约束所致.本文的圆域Bézier 曲线提供了一种判别等距曲线逼近效果的手段.最后,从计算所得的圆域控制顶点里,如果我们分别如此取两批点列:)349,211(),325,127(),148,232(),248,166(),143,26(),81216,(543210======Q Q Q Q Q Q (图4中左图); )348,210(),329,123(),145,229(),245,163(),141,24(),80,152(543210======Q Q Q Q Q Q (图4中右图)生成两条Bézier 曲线,如图4所示,再与图3中两条Lengendre 最佳平方逼近曲线进行比较,可知逼近程度更优.Fig.4 The specific application of disk Bézier curve in geometric design图4 圆域Bézier 曲线在几何设计中的具体应用这说明利用圆域Bézier 逼近可以很方便地得到对于已知Bézier 曲线的等距曲线的无数条逼近曲线,它们一般无法用以往的等距逼近方法得到,而精度却比Lengendre 最佳平方逼近曲线来得高,同时具有适合于CAD 系统应用的Bézier 形式,因而在几何设计中大有用武之地. References :[1] Sederberg TW, Farouki RT. Approximation by Interval Bezier curve. IEEE Computing Graphics and its Application,1992,12(5):87−95.624Journal of Software 软件学报 2005,16(4)[2] Lin Q, Rokne JG. Disk Bezier curve. Computer Aided Geometric Design, 1998,15(7):721−737.[3] Wang DR, Yang ZH. An Introduction to Numerical Approximation. Beijing: Higher Education Press, 1990.56−63 (in Chinese). [4] Xie TF, Zhou SP. Approximation Theory of Real Functions. Hangzhou: Hangzhou University Press, 1997. 49−52 (in Chinese). [5] Wang DR, Yang ZH. An Introduction to Numerical Approximation. Beijing: Higher Education Press, 1990. 51−56 (in Chinese). [6] Jiang EX, Zhao FG. Numerical Approximation. Shanghai: Fudan University Press, 1995. 117−118 (in Chinese).[7] Dzjadyk BK (written), Shen SC, Fang QQ, Lou YR, Xing FC (translated). Beijing: Beijing University Press,1982. 83−89 (inChinese).[8] Liu LG, Wang GJ. Optimal approximation to curve offset based on shifting control points. Journal of Software, 2002,13(3),398−403 (in Chinese with English abstract). /1000-9825/13/398.pdf附中文参考文献:[3] 王德人,杨忠华.数值逼近引论.北京:高等教育出版社,1990.56−63. [4] 谢庭藩,周颂平.实函数逼近论.杭州:杭州大学出版社,1997.49−52. [5] 王德人,杨忠华.数值逼近引论.北京:高等教育出版社,1990.51−56. [6] 蒋尔雄,赵风光.数值逼近.上海:复旦大学出版社,1995.117−118.[7] 嘉德克BK 著,沈燮昌,方企勤,娄元仁,刑富冲,译.多项式一致逼近函数导论.北京:北京大学出版社,1982.83−89.[8]刘利刚,王国瑾.基于控制顶点偏移的等距曲线最优逼近.软件学报,2002,13(3):398−403. /1000-9825/13/ 398.pdf附录定理A . 对于]1,0[上给定的一个非负连续函数)(t r ,以及固定的次数n ,一定存在一个满足]1,0[,)()(∈≥t t r t p n 的n 次多项式函数)(t p n ,使得它在所有满足此性质的n 次多项式函数中,)()(max 10t r t p n t −≤≤达到最小.特别是当)(t r 为多项式函数时,)(t p n 就取为)(t r .证明:设)(t r 和)(t f 为闭区间]1,0[上的连续函数,n Π为闭区间]1,0[上的n 次多项式全体,再记{}]1,0[,0)()(,)()()(∈≥−∈−=t t r t p t p t r t p A n n n n Π,)(max 10t f t ≤≤∞=⋅.容易证明,A 在∞⋅定义下是闭集.记{}A t r t p t r t p m n n∈−−=∞)()(,)()(inf,容易证明0≥m .考虑到)(t r 为闭区间]1,0[上的连续函数,取A t r t p n ∈−)()(0,R l ∈∃,]1,0[∈∀t ,有l t r t p n ≤−)()(0,从而有l m ≤≤0.接下来可以取到序列A t r t p k n ∈−)()()(,使得m t r t p k n →−∞)()()(,+∞→k .因此,+∈∃Z K 0,0K k ≥∀,有l t r t p k n ≤−∞)()()(.当然0K k ≥∀,]1,0[∈∀t ,有l t r t p k n ≤−≤)()(0)(.因此,)()()(t r t p k n −在]1,0[上一致有界.又因为有限维空间A 是局部紧的,因此{})()()(t r t p k n −有收敛子列{})()()(t r t p j k n −,)()()()()(t r t p t r t p n k n j −⎯→⎯−∞⋅,+∞→j .由A 是闭的可知,A t r t p n ∈−)()(.所以∞∞−→−)()()()()(t r t p t r t p n k n j ,其中A t r t p n ∈−)()(.再由m t r t p k n →−∞)()()(,+∞→k 以及∞−)()()(t r t p k n 和∞−)()()(t r t p j k n 极限的同一性可知:∞−=)()(t r t p m n ,A t r t p n ∈−)()(.□。
nearestpointonline实现原理
nearestpointonline实现原理1.引言在计算机图形学和计算几何学中，寻找离给定点最近的点是一个常见的问题。
ne ar es tp oi n to nl in e是一个用于实现这一功能的P yt ho n函数，本文将详细介绍n ea re st po in to nl i ne函数的实现原理。
2.算法介绍n e ar es tp oi nt on lin e函数的输入参数包括一个给定的点P和一组点集合Po in ts。
函数的目标是找到在P oin t s中距离点P最近的点。
下面是n ea re st po in to nl i ne函数的伪代码：n e ar es tp oi nt on lin e(P,P oi nt s)m i n_di st an ce=正无穷n e ar es t_po in t=Non ef o rp oi nt in Po in ts:d i st an ce=计算点P到点po in t的欧氏距离i f di st an ce<m in_di s ta nc e:m i n_di st an ce=d ist a nc en e ar es t_po in t=poi n tr e tu rn ne ar es t_poi n t3.算法原理解析n e ar es tp oi nt on lin e函数采用了简单但有效的暴力搜索算法。
它通过遍历P oi nt s中的每个点，计算该点与给定点P的距离，并不断更新最小距离和对应的最近点。
最后，返回最近点作为函数的输出结果。
4.算法实例演示为了更好地理解n ear e st po in to nl in e的实现原理，下面举一个简单的实例进行演示。
假设给定点P的坐标为(2,3)，并且有一个点集合Po in ts包含以下几个点：-A:(1,2)-B:(4,5)-C:(3,1)-D:(0,0)首先，我们初始化最小距离为正无穷，最近点为空。
第四章分治法——分而治之
成功检索情况共有n种：x恰好是A中的某个元素，A中共有n个元素，故有 n种可能的情况
不成功检索：所检索的x不出现在A中。
不成功检索情况共有n+1种：x<A(1),或A(i)<x<A(i+1),1≤i<n-1或x>A(n)
成功/不成功检索的最好情况：执行步数最少，计算时间最短
A ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ 元素 -15 -6 0 7 9 23 54 82 101 成功检索比较次数 3 2 3 4 1 3 2 3 4 不成功检索比较次数 3 3 3 4 4 3 3 3 4 4
2019/2/12
成功检索
最好：1次 最坏：4次 平均：（3+2+3+4+1+3+2+3+4）/9≈2.77次
定义问题的形式描述：I=(n, a1, a2, …,an,x) 问题分解：选取下标k，由此将I分解为3个子问题： I1=(k-1, a1, a2, …,ak-1,x) I2=(1, ak,x) I3=(n-k, ak+1, ak+2, …,an,x)
对于I2，若ak=x，则有解k，对I1、I3不用再求解；否则， 若x<ak，则只在I1中求解，对I3不用求解； 若x>ak，则只在I3中求解，对I1不用求解；
不成功检索
最好：3次 最坏：4次 平均：(3+3+3+4+4+3+3+3+4+4)/10 = 3.4次
2019/2/12
二元比较树
算法执行过程的主体是x与一 系列中间元素A(mid)比较。 可用一棵二元树描述这一过程， 并称之为二元比较树。 构造：比较树由称为内结点和 外结点的两种结点组成： 内结点：表示一次元素比较， 用圆形结点表示，存放一个 mid值；代表一次成功检索； 外结点：在二分检索算法中表 示一种不成功检索的情况，用 方形结点表示。 路 径：表示一个元素的比较 2019/2/12 序列。
空间点去重复算法 -回复
空间点去重复算法-回复空间点去重复算法是一种处理空间数据的重要方法，它可以通过一系列的步骤去除重复的空间点，提高数据的准确性和效率。
本文将通过一步一步的回答，详细介绍空间点去重复算法的原理和应用。
第一步：问题背景和定义空间点数据是指在二维或三维空间中的坐标位置数据，例如地理信息系统(GIS)中的地理坐标点或者室内定位系统中的信号强度采样点。
在实际应用中，由于数据采集和存储等原因，空间点数据中往往会包含大量的重复点，这些重复点会影响数据的准确性和可靠性。
因此，需要开发一种空间点去重复算法来解决这个问题。
第二步：算法思路空间点去重复算法的基本思路是在空间中找到相邻的点，并通过一些判定条件去除其中的重复点。
常见的判定条件包括点之间的欧氏距离和属性值的相似度等。
在实际应用中，根据需要可以选择合适的判定条件和算法策略。
第三步：算法流程1. 数据准备：首先，需要准备原始的空间点数据，该数据可能包含大量的重复点。
2. 数据预处理：对原始数据进行预处理，包括去除无效点、缺失点和异常点等，以保证数据的质量和完整性。
3. 点之间的距离判定：根据指定的欧氏距离阈值，对空间点进行距离判定，将相距较近的点进行进一步处理。
4. 属性值判定：对相距较近的点进行属性值的相似度判定，将属性值差异较小的点去除重复。
5. 点集更新：更新点集，去除重复点，并保留唯一的点集用于进一步分析和应用。
第四步：算法策略和优化为了提高算法的效率和准确性，可以在具体实现时选择合适的算法策略和优化方法。
例如，可以使用R-tree等空间索引结构来加速点之间的距离计算；可以使用哈希表或者树结构来快速查找相似的属性值等。
第五步：算法应用空间点去重复算法广泛应用于各个领域，例如地理信息系统、智能交通系统、物流管理等。
在这些应用中，通过使用空间点去重复算法，可以提高数据的准确性和可靠性，减少数据冗余，从而提高系统的效率和性能。
总结：空间点去重复算法是一种重要的空间数据处理方法，通过一系列的步骤和判定条件，可以有效地去除重复的空间点，提高数据的准确性和可靠性。
对分治法解决三维最近点对问题的优化
对分治法解决三维最近点对问题的优化
李俊杰;楼吉林
【期刊名称】《现代计算机（专业版）》
【年(卷),期】2018(000)003
【摘要】在经典算法中,采用分治法解决三维空间中的最近点对问题,针对该算法进行两点优化:当线段两端点分别处于二分的两个不同空间中时,通过切割长方体(dm*2dm*2dm)多余空间来减少计算次数;在两点进行距离运算时,通过简化距离公式提高两点间距离运算的速度.此优化算法的时间复杂度与经典算法同为
O(n*logn),在坐标点有序的情况下能达到O(n),但优化后的算法会使得实际运行速度在线性时间内快于经典算法.
【总页数】4页(P3-5,10)
【作者】李俊杰;楼吉林
【作者单位】浙江农林大学暨阳学院,诸暨 311800;浙江农林大学暨阳学院,诸暨311800
【正文语种】中文
【相关文献】
1.西藏民族区域自治法制建设面临的问题与解决对策 [J], 史云峰
2.分治法解决空间最接近点对问题 [J], 李筱魁;杜奕秋;赵志宏
3.分治法实现最接近点对问题的三维推广算法 [J], 张晓红;胡金初
4.违法行为矫治法应解决的若干问题 [J], 程品刚
5.贯彻《传染病防治法》亟待解决的几个问题 [J], 谢培跃
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
雕琢分而治之最近点对算法
我们改进著名的 Bentley 和 Shamos 的分而治之算法来求平面最近点对。
对于平面上的 n 个点，我们的最近点对算法保持最优的 O(n log n) 时间复杂度，并且，利用一个包装圆性质，计算不超过 7n/2 个距离。
这个结果改进了葛等人的(3n log n)/2 计算距离复杂度。
我们提供实验结果来比较分而治之平面最近点对算法的四种不同版本，并提出两个有效的启发式算法。
最近点对问题是计算几何中最古老的问题之一; 其基本版本是计算某平面点集中最小的两点距离。
Shamos 和 Hoey 于1975年首次提出了一个基于V oronoi 图的时间复杂度为O(n log n) 的算法来解决这个问题。
自此, 最近点对问题及其许多变种已经得到了广泛的研究, 有超过百篇的研究论文在此方向发表。
其中最有名的算法由 Bentley 和 Shamos 提出，其时间复杂度在任何维数为O(n log n)，这在代数运算树模型里是最优的。
在一个支持随机及间接寻址等功能的更强大的机器模型里, 更快的算法是可能的,然而他们通常较为复杂。
在实践中, Bentley 和 Shamos 的简洁的分而治之算法往往是解决最近点对问题的最佳选择。
的确, 许多计算几何和算法的标准教科书都选择 Bentley 和 Shamos 的算法作为范本来展示分而治之的算法设计思想。
对于解决计算机科学中的基本问题的算法，除了通常的对于运行时间的分析, 其各种计算资源的使用要求也时常被详细估计。
举例来说, Franceschini 和Geffert 设计的一个排序算法仅用O(n log n) 次比较, O(n) 次数据移动, O(1) 个辅助存储，和 O(n log n) 次算术运算。
最近点对问题是计算几何学中的一个重要问题，其算法分析很自然的也应包括更详细复杂的内容。
周等人观察到欧几里德距离的计算通常比其他的基本运算更花时间，于是提出了一个“计算距离复杂度”来测量最近点对算法中计算距离的次数。
他们为最近点对问题设计的一种改进型的分治算法具有计算距离复杂度2n log n。
最近,葛等人进一步改进了该算法,并把其计算距离复杂度降低到 (3n log n)/2。
这些改进型的分治最近点对算法仍然保留着其最坏情况下 O(n log n) 的时间复杂度。
在这篇文章里，我们提出一个更新版本的分治最近点对算法,并进一步降低其计算距离复杂度到 7n/2。
人们普遍认为一个理论上最佳的算法并不一定是实践中最有效的算法。
通过实验分析
方法,我们有时可以发现隐藏在计算复杂度背后的有趣事实。
为了更好的理解分治最近点对算法, 我们对其具有不同计算距离复杂度的四种不同版本进行了实证研究来比较它们的速度。
我们还提出两个启发式算法，并通过实验来研究它们对进一步提高算法速度的有效性。
我们从我们的实验研究中体会到，设计和实施一个有效的算法需要平衡严格的数学分析和仔细的工程雕琢。