(课件)：高三数学第10章第三节
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颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面
积约为__________．
解析：根据几何概型的概率公式得黄豆落在 S椭圆 300－96 椭圆内的概率 P＝ ， P＝ 而 ＝0.68， 300 S矩形 S 矩形＝24， S 椭圆＝P· 矩形＝0.68× 故 S 24＝16.32.
答案：16.32
3．(2011年南通调研)在500 mL的水中有一个草 履虫，现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下 观察，则发现草履虫的概率是__________．
解：设甲到达汽车站的时刻为 x，乙到达汽车 站的时刻为 y，则 7≤x≤8,7≤y≤8，即甲、乙 两人到达汽车站的时刻(x，y)所对应的区域在 平面直角坐标系中画出(如图所示)是大(单位) 正方形．将三班车到站的时刻在图形中画出，
则甲、乙两人要想乘同一班车，必须满足 1 2 7≤x≤71 7 ≤x≤72 7 ≤x≤8 3 3 3 3 或 或 ， 1 2 1 2 7≤y≤73 73≤y≤73 73≤y≤8 即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方 形内， 12 ( ) ×3 3 1 所以由几何概型的计算公式得， P＝ ＝ . 12 3 1 即甲、乙同乘一车的概率为 . 3
【思路分析】 两人不论谁先到都要等迟到 2 者 40 分钟，即 小时．设两人分别于 x 时和 3 y 时到达约见地点，要使两人在约定的时间 2 2 范围内相见，当且仅当－ ≤x－y≤ ，因此 3 3 转化成面积问题，利用几何概型求解．
【解】 设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地 点，要使两人能在约定时间范围内相见， 2 2 当且仅当－ ≤x－y≤ . 3 3
假设橡皮泥中混入了一颗很小的砂粒，求这个砂
粒距离球心不小于1 cm的概率．
解：设“砂粒距离球心不小于1 cm”为事件A，球心
为O，砂粒位置为M，则事件A发生，即OM≥1
cm.
设R＝3，r＝1，
4 3 4 3 πR － πr d的测度 3 3 r 3 则 P(A)＝ ＝ ＝1－( ) ＝ R 4 3 D的测度 πR 3 26 . 27 26 故砂粒距离球心不小于 1 cm 的概率为 . 27
π 【答案】 16
【名师点评】 对于几何概型问题，根据题
意列出条件，找出试验的全部结果构成的长
度、面积等及所求事件构成的长度、面积是
解题的关键．
名师预测 1．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的 距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意 抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平 行线相碰的概率是________．
特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的
个数可以是无限的；等可能性是指每一个基本
事件发生的可能性是均等的．
考向瞭望·把脉高考
考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，各地对几何概 型考查较少，属中档题，主要考查基础知识． 预测2012年江苏高考，各地将加大对几何概型
的考查力度，应重点关注几何概型与线性规划
第三节
几何概型
双基研习·面对高考
第 三 节 几 何 概 型
考点探究·挑战高考
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理 1．几何概型的定义 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为 从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域 中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件 的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定 线段 区域中的点．这里的区域可以是______、 平面图形 立体图形 _________、_________等．用这种方法处理随机 试验，称为几何概型．
解析：如图，
当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何 1 一条平行线相碰，故所求概率为 P＝ . 3
1 答案： 3
2．如图，向面积为 S 的△ABC 内任投一 S 点 P，则△PBC 的面积小于 的概率为 2 ________．
1 解析：∵S△PBC< S△ABC， 2 h ∴h′< (其中 h′为△PBC 中 BC 边上的高，h 为 2 △ABC 中 BC 边上的高)， 设 DE 为△ABC 的中位线， 则点 P 应在梯形 BCED 内(如图阴影部分)， S梯形BCED 3 ∴P＝ ＝ . S△ABC 4 3 答案： 4
方法感悟
方法技巧
1．几何概型也是一种概率模型，它与古典概 型的区别是试验的可能结果不是有限个．它的 特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以 随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形
状位置无关，只与该区域的大小有关．
2．几何概型的“约会问题”是程序化的方法与 技巧，必须熟练掌握．
失误防范 几何概型必须同时具有无限性和等可能性两个
2．几何概型的概率公式
一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件 “该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事
d的测度 D的测度 件A发生的概率P(A)＝___________.
这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依
D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形 时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积．
例1
在半径为1的圆的一条直径上任取一点，
过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内
接等边三角形边长的概率是________．
【思路分析】
满足条件的弦有无数条，所以
不是古典概型，从几何概型角度考虑．
【解析】 记事件 A＝“弦长超过圆内接等边三 角形的边长”， 如图， 不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直 径的弦，当弦为 CD 时，就是等边三角形的边 长，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的 距离小于 OF，由几何概型的概率公式得 P(A) 1 × 2 2 1 ＝ ＝ . 2 2
相结合的题目．
真题透析
例
(2008年高考江苏卷)在平面直角坐标系
xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不
大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不
大于1的点构成的区域，向D中随机投一点， 则所投的点落在E中的概率是________．
【解析】 如图，区域 D 表示边长为 4 的正 方形 ABCD 的内部(含边界)，区域 E 表示单 π× 2 π 1 位圆及其内部，P＝ ＝ . 4× 16 4
3．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB 的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的 点到O的距离大于1的概率为________．
解析： 对应长方形的面积为 2× 1＝2， 而取到的 点到 O 的距离小于等于 1 时，其是以 O 为圆 1 心， 半径为 1 所作的半圆， 对应的面积为 × 12 π× 2 1 π 2 1 π ＝ π，那么满足条件的概率为：1－ ＝1－ . 2 2 4
π 答案：1－ 4
本部分内容讲解结束
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谢谢使用
会面问题中的概率
本类问题常涉及与面积有关的几何概型，难点
Baidu Nhomakorabea
在于怎样构造出面积，或者建立怎样的变量间
的联系．
例3
两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并
且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两 人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻 相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相 见的概率．
【名师点评】
会面的问题利用数形结合转化成
面积问题的几何概型．难点是把两个时间分别用 x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从 而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维 面积问题，转化成面积型几何概型问题．
变式训练 2
甲、乙两人约定上午 7∶00 至
8∶00 之间到某站乘公共汽车，在这段时间内 有 3 班公共汽车， 它们开车时刻分别为 7∶20， 7∶40，8∶00，如果他们约定，见车就乘，求 甲、乙同乘一车的概率．
例2 已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．
(1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的 概率； (2)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的 概率． 【思路分析】 (1)为几何概型，可采用数形结合 的思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式 求解； (2)为古典概型只需分别求出|x|≤2，|y|≤2内的点 以及(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的个数即可．
2 解析：由几何概型的知识知 P＝ ＝0.004. 500
答案：0.004
4.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在 30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线 OA落在∠yOT内的概率为________．
1 答案： 6
考点探究·挑战高考
考点突破
与长度有关的几何概型 如果一次试验中所有可能结果和某个事件A包含 的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、 时间区间、距离路程等，那么只需求出各自对 应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式 求事件A发生的概率．
【解】 (1)如图，点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部(含边界)， 满足(x－2)2＋(y－2)2≤4 的点的区域为以(2,2)为圆心， 为半径的圆面(含 2 边界)． 1 π×22 4 π ∴所求的概率 P1＝ ＝ . 4× 4 16
(2)满足 x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2 的点(x，y) 有 25 个， 满足 x， y∈Z， 且(x－2) ＋(y－2)≤4 的点(x，y)有 6 个， 6 ∴所求的概率 P2＝ . 25
2
【名师点评】 (1)本例中第(1)小题与第(2)小题分
别考查了几何概型与古典概型，故判断所求概率
模型的类型是关键，而判断的主要依据是试验结
果的有限性或无限性．
(2)对于几何概型问题，根据题意列出条件．找出
试验的全部结果构成的区域及所求事件构成的区 域是解题的关键．
变式训练1 用橡皮泥做成一个直径为6 cm的小球，
思考感悟
几何概型与古典概型的区别是什么？
提示：几何概型中的基本事件是无限多个，而
古典概型中的基本事件是有限个．
课前热身 1．(2010年高考湖南卷)在区间[－1,2]上随机取 一个数x，则|x|≤1的概率为________．
2 答案： 3
2．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机
地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96
两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结 果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表 示， 两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻 (x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括 边界)来表示． 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了 两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小， 也 就是所求的概率为 12 1-( ) S阴影 3 8 P＝ ＝ 2 ＝ . 1 9 S单位正方形
1 【答案】 2 【名师点评】 解决概率问题先判断概型，本 题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的 无限性和每个基本事件发生的等可能性， 需要 抓住它的本质特征，即与长度有关．因此，把 1 问题转化成为：直径上到圆心 O 的距离小于 2 的点构成的线段长与直径长之比．
与面积或体积有关的几何概型 当事件A可以用面积(或体积)来衡量时，我们 可以利用其与整体事件所对应的面积(或体积) 的比值来计算事件A发生的概率，也就是用“ 面积比”(或“体积比”)来计算概率．
积约为__________．
解析：根据几何概型的概率公式得黄豆落在 S椭圆 300－96 椭圆内的概率 P＝ ， P＝ 而 ＝0.68， 300 S矩形 S 矩形＝24， S 椭圆＝P· 矩形＝0.68× 故 S 24＝16.32.
答案：16.32
3．(2011年南通调研)在500 mL的水中有一个草 履虫，现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下 观察，则发现草履虫的概率是__________．
解：设甲到达汽车站的时刻为 x，乙到达汽车 站的时刻为 y，则 7≤x≤8,7≤y≤8，即甲、乙 两人到达汽车站的时刻(x，y)所对应的区域在 平面直角坐标系中画出(如图所示)是大(单位) 正方形．将三班车到站的时刻在图形中画出，
则甲、乙两人要想乘同一班车，必须满足 1 2 7≤x≤71 7 ≤x≤72 7 ≤x≤8 3 3 3 3 或 或 ， 1 2 1 2 7≤y≤73 73≤y≤73 73≤y≤8 即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方 形内， 12 ( ) ×3 3 1 所以由几何概型的计算公式得， P＝ ＝ . 12 3 1 即甲、乙同乘一车的概率为 . 3
【思路分析】 两人不论谁先到都要等迟到 2 者 40 分钟，即 小时．设两人分别于 x 时和 3 y 时到达约见地点，要使两人在约定的时间 2 2 范围内相见，当且仅当－ ≤x－y≤ ，因此 3 3 转化成面积问题，利用几何概型求解．
【解】 设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地 点，要使两人能在约定时间范围内相见， 2 2 当且仅当－ ≤x－y≤ . 3 3
假设橡皮泥中混入了一颗很小的砂粒，求这个砂
粒距离球心不小于1 cm的概率．
解：设“砂粒距离球心不小于1 cm”为事件A，球心
为O，砂粒位置为M，则事件A发生，即OM≥1
cm.
设R＝3，r＝1，
4 3 4 3 πR － πr d的测度 3 3 r 3 则 P(A)＝ ＝ ＝1－( ) ＝ R 4 3 D的测度 πR 3 26 . 27 26 故砂粒距离球心不小于 1 cm 的概率为 . 27
π 【答案】 16
【名师点评】 对于几何概型问题，根据题
意列出条件，找出试验的全部结果构成的长
度、面积等及所求事件构成的长度、面积是
解题的关键．
名师预测 1．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的 距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意 抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平 行线相碰的概率是________．
特点，无限性是指在一次试验中，基本事件的
个数可以是无限的；等可能性是指每一个基本
事件发生的可能性是均等的．
考向瞭望·把脉高考
考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，各地对几何概 型考查较少，属中档题，主要考查基础知识． 预测2012年江苏高考，各地将加大对几何概型
的考查力度，应重点关注几何概型与线性规划
第三节
几何概型
双基研习·面对高考
第 三 节 几 何 概 型
考点探究·挑战高考
考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理 1．几何概型的定义 对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为 从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域 中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件 的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定 线段 区域中的点．这里的区域可以是______、 平面图形 立体图形 _________、_________等．用这种方法处理随机 试验，称为几何概型．
解析：如图，
当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何 1 一条平行线相碰，故所求概率为 P＝ . 3
1 答案： 3
2．如图，向面积为 S 的△ABC 内任投一 S 点 P，则△PBC 的面积小于 的概率为 2 ________．
1 解析：∵S△PBC< S△ABC， 2 h ∴h′< (其中 h′为△PBC 中 BC 边上的高，h 为 2 △ABC 中 BC 边上的高)， 设 DE 为△ABC 的中位线， 则点 P 应在梯形 BCED 内(如图阴影部分)， S梯形BCED 3 ∴P＝ ＝ . S△ABC 4 3 答案： 4
方法感悟
方法技巧
1．几何概型也是一种概率模型，它与古典概 型的区别是试验的可能结果不是有限个．它的 特点是试验结果在一个区域内均匀分布，所以 随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形
状位置无关，只与该区域的大小有关．
2．几何概型的“约会问题”是程序化的方法与 技巧，必须熟练掌握．
失误防范 几何概型必须同时具有无限性和等可能性两个
2．几何概型的概率公式
一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件 “该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事
d的测度 D的测度 件A发生的概率P(A)＝___________.
这里要求D的测度不为0，其中“测度”的意义依
D确定，当D分别是线段、平面图形和立体图形 时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积．
例1
在半径为1的圆的一条直径上任取一点，
过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内
接等边三角形边长的概率是________．
【思路分析】
满足条件的弦有无数条，所以
不是古典概型，从几何概型角度考虑．
【解析】 记事件 A＝“弦长超过圆内接等边三 角形的边长”， 如图， 不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直 径的弦，当弦为 CD 时，就是等边三角形的边 长，弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的 距离小于 OF，由几何概型的概率公式得 P(A) 1 × 2 2 1 ＝ ＝ . 2 2
相结合的题目．
真题透析
例
(2008年高考江苏卷)在平面直角坐标系
xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不
大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不
大于1的点构成的区域，向D中随机投一点， 则所投的点落在E中的概率是________．
【解析】 如图，区域 D 表示边长为 4 的正 方形 ABCD 的内部(含边界)，区域 E 表示单 π× 2 π 1 位圆及其内部，P＝ ＝ . 4× 16 4
3．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB 的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的 点到O的距离大于1的概率为________．
解析： 对应长方形的面积为 2× 1＝2， 而取到的 点到 O 的距离小于等于 1 时，其是以 O 为圆 1 心， 半径为 1 所作的半圆， 对应的面积为 × 12 π× 2 1 π 2 1 π ＝ π，那么满足条件的概率为：1－ ＝1－ . 2 2 4
π 答案：1－ 4
本部分内容讲解结束
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会面问题中的概率
本类问题常涉及与面积有关的几何概型，难点
Baidu Nhomakorabea
在于怎样构造出面积，或者建立怎样的变量间
的联系．
例3
两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并
且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两 人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻 相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相 见的概率．
【名师点评】
会面的问题利用数形结合转化成
面积问题的几何概型．难点是把两个时间分别用 x，y两个坐标表示，构成平面内的点(x，y)，从 而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维 面积问题，转化成面积型几何概型问题．
变式训练 2
甲、乙两人约定上午 7∶00 至
8∶00 之间到某站乘公共汽车，在这段时间内 有 3 班公共汽车， 它们开车时刻分别为 7∶20， 7∶40，8∶00，如果他们约定，见车就乘，求 甲、乙同乘一车的概率．
例2 已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．
(1)求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的 概率； (2)求当x，y∈Z时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的 概率． 【思路分析】 (1)为几何概型，可采用数形结合 的思想画出图形，然后利用几何概型的概率公式 求解； (2)为古典概型只需分别求出|x|≤2，|y|≤2内的点 以及(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的个数即可．
2 解析：由几何概型的知识知 P＝ ＝0.004. 500
答案：0.004
4.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在 30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线 OA落在∠yOT内的概率为________．
1 答案： 6
考点探究·挑战高考
考点突破
与长度有关的几何概型 如果一次试验中所有可能结果和某个事件A包含 的结果(基本事件)都对应一个长度，如线段长、 时间区间、距离路程等，那么只需求出各自对 应的长度，然后运用几何概型的概率计算公式 求事件A发生的概率．
【解】 (1)如图，点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部(含边界)， 满足(x－2)2＋(y－2)2≤4 的点的区域为以(2,2)为圆心， 为半径的圆面(含 2 边界)． 1 π×22 4 π ∴所求的概率 P1＝ ＝ . 4× 4 16
(2)满足 x，y∈Z，且|x|≤2，|y|≤2 的点(x，y) 有 25 个， 满足 x， y∈Z， 且(x－2) ＋(y－2)≤4 的点(x，y)有 6 个， 6 ∴所求的概率 P2＝ . 25
2
【名师点评】 (1)本例中第(1)小题与第(2)小题分
别考查了几何概型与古典概型，故判断所求概率
模型的类型是关键，而判断的主要依据是试验结
果的有限性或无限性．
(2)对于几何概型问题，根据题意列出条件．找出
试验的全部结果构成的区域及所求事件构成的区 域是解题的关键．
变式训练1 用橡皮泥做成一个直径为6 cm的小球，
思考感悟
几何概型与古典概型的区别是什么？
提示：几何概型中的基本事件是无限多个，而
古典概型中的基本事件是有限个．
课前热身 1．(2010年高考湖南卷)在区间[－1,2]上随机取 一个数x，则|x|≤1的概率为________．
2 答案： 3
2．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机
地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96
两人到达约见地点所有时刻(x，y)的各种可能结 果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表 示， 两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻 (x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括 边界)来表示． 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了 两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小， 也 就是所求的概率为 12 1-( ) S阴影 3 8 P＝ ＝ 2 ＝ . 1 9 S单位正方形
1 【答案】 2 【名师点评】 解决概率问题先判断概型，本 题属于几何概型，满足两个条件：基本事件的 无限性和每个基本事件发生的等可能性， 需要 抓住它的本质特征，即与长度有关．因此，把 1 问题转化成为：直径上到圆心 O 的距离小于 2 的点构成的线段长与直径长之比．
与面积或体积有关的几何概型 当事件A可以用面积(或体积)来衡量时，我们 可以利用其与整体事件所对应的面积(或体积) 的比值来计算事件A发生的概率，也就是用“ 面积比”(或“体积比”)来计算概率．