三角函数与平面向量经典练习题

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高考数学《三角函数与平面向量》专项训练及答案解析

高考数学《三角函数与平面向量》专项训练一、单选题1．已知()1,2a =r ，()1,0b =r ，则2a b +=r r （） A ．5 B ．7 C ．5 D ．25 2．若3sin 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．12 B ．12-C ．32D ．3- 3．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==r r ，则向量a r 与b r 的夹角的余弦值为（） A ．35 B ．45 C ．35- D ．45- 4．若4sin 3cos 0αα-=，则2sin 22cos αα+=（）A ．4825B ．5625C ．85D ．43 5．将函数()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图象．若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，则12x x -的最大值为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 6．已知042a ππβ<<<<，且5sin cos 5αα-=，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（） A ．31010- B ．155- C ．155 D ．310 7．如图，已知ABC ∆中，D 为AB 的中点，13AE AC =uu u r uuu r ，若DE AB BC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（）A ．56-B ．16-C ．16D ．568．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A =，则ABC ∆形状是（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 9．如图，在ABC V 中，1cos 4BAC ∠=，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，15AD =，则ABC V 的面积的最大值为（）A ．32B ．4C 15D ．2310．在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知25c =2sin cos sin sin a C B a A b B =-+5sin C ，点O 满足0OA OB OC ++=uu v uu u v uuu v ，3cos 8CAO ∠=，则ABC △的面积为（）A 55B ．35C ．52D 55二、填空题11．sin 613cos1063tan 30︒︒︒++的值为________.12．函数()21sin f x x =+的最小正周期是__________． 13．如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形上的动点，则131A A A P⋅u u u u r u u u r 的取值范围________.14．将函数()3)13f x x π=+-的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质__________．（填入所有正确性质的序号） 33x π=-对称； ②图象关于y 轴对称；③最小正周期为π； ④图象关于点(,0)4π对称； ⑤在(0,)3π上单调递减三、解答题15．若向量(3,0)(cos ,sin )(0)m x n x x ωωωω==->r r ，在函数()()f x m m n t =⋅++r r r 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为,4π且当[0,],()3x f x π∈时的最大值为1．（I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()f x 的单调递增区间．16．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin 32B m ⎛= ⎝u r ，cos ,cos 2B n B ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，且m n ⊥u r r .（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）如果1a =，3b =，求ABC ∆的面积.17．如图所示，在ABC V 中，,A ∠,B ∠C ∠的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos sin 0,b A B a B +=1a =，2c =.（1）求b 和sin C ；（2）如图，设D 为AC 边上一点，37BD CD =ABD △的面积.参考答案1．C【解析】【分析】求出向量2a b +r r 的坐标，然后利用向量模的坐标表示可求出2a b +r r 的值.【详解】()()()221,21,03,4a b +=+=r r Q，因此，25a b +==r r .故选：C.【点睛】本题考查向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.2．A【解析】【分析】根据条件和二倍角公式，先计算出cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再将所要求的2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据诱导公式进行化简，得到答案.【详解】因为sin 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2cos 21262πα⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12=- 2sin 2sin 2362πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ cos 26πα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 12=.【点睛】本题考查三角函数中的给值求值，二倍角公式，诱导公式化简，属于中档题.3．B【解析】【分析】由向量的模的坐标计算公式求出,a b r r ，利用数量积的坐标表示求出a b ⋅r r ，再根据向量的夹角公式即可求出．【详解】由()()2,1,2,4a b ==r r，得a b ==r r .设向量a r 与b r 的夹角为θ，则84105cos θ===．故选：B ．【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．4．B【解析】【分析】由4sin 3cos 0αα-=，求得3tan 4α=，再由222tan 2sin 22cos tan 1αααα++=+，即可求出．【详解】由4sin 3cos 0αα-=，求得sin 3tan cos 4ααα==，而222222sin cos 2cos 2tan 2sin 22cos sin cos tan 1ααααααααα+++==++，所以22322564sin 22cos 25314αα⨯++==⎛⎫+ ⎪⎝⎭．故选：B ．【点睛】本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于5．C【解析】【分析】首先利用函数图象的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果．【详解】解：函数()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，得到226y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向上平移1个单位，得到()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，由于若()()129g x g x ⋅=，且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以函数在1x x =和2x 时，函数()2216g x sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭都取得最大值．所以()12262x k k Z πππ+=+∈，解得16x k ππ=+，由于且1x ，[]22,2x ππ∈-，所以176x π=，同理2116x π=-，所以711366πππ+=．故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题．6．D【解析】【分析】首先根据sin cos 5αα-=，求得sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合角的范围，利用平方关系，求得cos 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用题的条件，求得3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，之后将角进行配凑，使得()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用正弦的和角公式求得结果. 【详解】因为sin cos αα-=sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为42a ππ<<，所以cos 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 因为04πβ<<，4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()sin sin 44a ππβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3455=+= 故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.7．C【解析】【分析】利用向量的线性运算将DE u u u r 用,AB AC u u u r u u u r表示，由此即可得到,λμ的值，从而可求λμ+的值.【详解】因为1123DE DA AE BA AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()111111236363BA BC BA BA BC AB BC =+-=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以16λ=-，13μ=.故16λμ+=. 故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.8．D【解析】【分析】由cos cos a B b A=，利用正弦定理化简可得sin2A ＝sin2B ，由此可得结论．【详解】∵cos cos a B b A=， ∴由正弦定理可得sin cos sin cos A B B A =， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∴2A ＝2B 或2A +2B ＝π，∴A ＝B 或A +B ＝2π， ∴△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形故选：D ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.9．C【解析】【分析】设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠，根据三角形的面积公式求出AC ，AB ，然后由1sin 2ABC S AB AC BAC ∆=⋅∠()4213sin θϕ⎡⎤=+-⎣⎦，根据三角函数的性质求出面积的最大值．【详解】解：设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠．3BD DC =Q ，AD =，34ABD ABC S S ∴=V V ，131242AB ADsin AB ACsin BAC θ∴⋅=⋅⋅∠， 83AC sin θ∴=，同理()8AB sin BAC θ=∠-，()1124ABC S AB ACsin BAC sin BAC sin θθθθθ⎫∴=⋅∠=∠-=-⎪⎪⎝⎭V()421(sin θϕ⎤=+-⎦其中tan ϕ=，0BAC θ<<∠Q ，∴当22πθϕ+=时，sin(2)1max θϕ+=，()ABC max S ∴=V故选：C ．【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．10．D【解析】【分析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.【详解】由2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-+，可得2222222a c b ac a b ac +-⨯=-+，即c =.又c =，所以4b =．因为0OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v ，所以点O 为ABC △的重心，所以3AB AC AO +=u u u v u u u v u u u v ，所以3AB AO AC =-u u u v u u u v u u u v，两边平方得22|9|6cos AB AO AO AC CAO =-∠u u u v u u u v u u u v u u u v 2||AC +u u u v ．因为3cos 8CAO ∠=，所以2223|9|6||8AB AO AO AC AC =-⨯+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，于是29||AO -u u u v 940AO -=u u u v ，所以43AO =u u u v ，AOC △的面积为114sin 4223AO AC CAO ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯u u u v u u u v =.因为ABC △的面积是AOC △面积的3倍.故ABC △【点睛】本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.11【解析】【分析】根据诱导公式，进行化简，从而得到答案.【详解】sin 613cos1063tan 30︒︒︒++()sin 253cos 17tan30︒︒︒=+-+()sin 73cos 17tan30︒︒︒=-+-+=cos17cos17tan 30︒︒︒-++=故答案为：3【点睛】本题考查诱导公式化简，特殊角三角函数值，属于简单题.12．π【解析】【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用余弦型函数的周期公式，即可求得函数的最小正周期．【详解】因为()21cos 2311sin 1cos 2222x f x x x -=+=+=-，所以函数的最小正周期为22T ππ==．故答案为：π．【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用以及余弦型函数的周期公式的应用，属于基础题．13．⎡-+⎣【解析】【分析】由题意可知，当P 与8A 重合时，131A A A P ⋅u u u u r u u u r 最小，当P 与4A 重合时，131A A A P⋅u u u u r u u u r 最大，求出即可. 【详解】由题意，正八边形12345678A A A A A A A A 的每一个内角均为135o ，且边长12182A A A A ==u u u u r u u u u r ，1317A A A A ==u u u u r u u u u r ，由正弦函数的单调性及值域可知，当P 与8A 重合时，131A A A P ⋅u u u u r u u u r最小，且最小值为2cos112.5⎛⨯==-⎝⎭o当P与4A重合时，1318A A A P⋅==+u u u u r u u u r因此，131A A A P⋅u u u u r u u u r的取值范围是⎡-+⎣.故答案为：⎡-+⎣.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算以及数形结合思想的应用，解题的关键就是找出临界位置进行分析，考查计算能力，属于中等题.14．②③④【解析】将函数()213f x xπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到2133y xππ⎡⎤⎛⎫=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()211x xπ=+-=-的图象向上平移1个单位长度，得到函数()g x x=的图象，对于函数()g x，由于当3xπ=-时，()g x=故()g x图象不关于直线3xπ=-对称，故排除①；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故②正确；它的最小周期为22ππ=，故③正确；当4xπ=时，()0g x=，故函数的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故正④确；在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上，()220,,3x g xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不是单调函数，故排除⑤，故答案为②③④.【方法点晴】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的周期性及奇偶性，属于难题．三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．15．3()),32[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时55222,2612125()[,]()121212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈L L L L 函数的单调递增区为分【解析】解：（I ）由题意得()()f x m m n t =⋅++r r r 2m m n =+⋅r r r23sin cos 33cos 222223)432x x x tx x t x t ωωωωωπω=⋅+=-++=-++L L L L 分 ∵对称中心到对称轴的最小距离为4π ()f x ∴的最小正周期为T π=2,12ππωω∴=∴=………………6分3()),32[0,],2[,]3333f x x t x x πππππ∴=-++∈-∈-当时 2,()333x x f x πππ∴-==即时取得最大值3t +)max (1,31,21()).832x f t t f x x π=∴+=∴=-∴=--n Q L L L L L L 分（II ）222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈………………10分55222,2612125()[,]()121212k x k k x k f x k k k Z ππππππππππππ-≤≤+-≤≤+∴-+∈L L L L 函数的单调递增区为分16．（Ⅰ）23π；. 【解析】【分析】（Ⅰ）由m n ⊥u r r 得出0m n ⋅=u r r ，利用平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式以及同角商数关系可求得tan B =，结合B 的范围可得出角B 的值；（Ⅱ）利用余弦定理求出c 的值，然后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积.【详解】（Ⅰ）m n ⊥u r r Q ，2sin cos sin 022B B m n B B B ∴⋅==+=u r r .化简得：tan B =，又0B Q π<<，23B π∴=；（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得，2221122c c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，整理得220c c +-=，解之得：1c =，11sin 1122ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积的计算，涉及平面向量垂直的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.17．(1)b =7；【解析】【分析】（1）通过正弦定理边化角，整理化简得到cos B 的值，再利用余弦定理，求出b ，根据正弦定理，求出sin C ；（2）根据正弦定理得到sin 1CBD ∠=，即2CBD π∠=，根据勾股定理得到BD =，根据三角形面积公式，求出ABD △的面积.【详解】（1）因为2sin cos sin 0b A B a B +=，所以在ABC V 中，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得2sin sin cos sin sin 0B A B A B +=，因为sin sin 0A B ≠，所以2cos 10B +=，所以1cos 2B =-，又0B π<<，所以23B π=，由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-1142122⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭7=，所以b =，在ABC V 中，由正弦定理sin sin c b C B =，所以sin sin c BC b=22sin π=7=；（2）在ABD △中，由正弦定理得，sin sin BD C CD CBD =∠，因为BD CD =sin sin C CBD =∠因为sin 7C =，所以sin 1CBD ∠=，而()0,CBD π∠∈ 所以2CBD π∠=，由BD CD =,BD=CD =，所以222)1)+=，所以12t =，所以2BD =，因为ABD ABC DBC ∠=∠-∠232ππ=-6π=，所以1sin 2ABD S AB BD ABD =⨯⨯∠V 11222=⨯4=. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，属于简单题.。

三角函数和平面向量专题练习2

26 π 且与点 A 相距10 13 海里 45° + θ , sin , 0 θ = < θ < 26 2
北
B
的位置 C 处 (1) 求该船的行驶速度.
西
A
45° θ
C D
东
(2) 若该船不改变航行方向,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.
P E Q
20 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长, R 表示 ∆ABC 的外接圆半径 (1)如图在 O 以为圆心,半径为 2 的 O 中, BC , BA 分别是 O 的弦,其中 BC = 2, ∠ABC = 45° ,求弦 AB 的长 (2)在 ∆ABC 中,若 ∠C 为钝角,求证: a 2 + b 2 ≤ 4 R 2 (3)给定三个正实数 a, b, R ,其中 a ≥ b ,问 a, b, R 满足怎样的关系是时,以 a, b 为边长,以 R 为外接圆半径的 ∆ABC 不存在,存在一个,或存在两个(全等的三角形算作同一个 ), 在 ∆ABC 存在的情况下 ,用 a, b, R 表示c
uuu r uuur
1 2
16. 在三角形 ABC 中, 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长,已知
∠B = 45° , b = 10, cos C = 2 5 5
(1)求边长 BC 的值 (2 若 AB 的中点为 D ,求中线 CD 的值.
2/8
π π 17. 已知函数 f ( x ) = 2 sin x + − 2 cos x, x ∈ , π 6 2
2 n 为偶数时, ○
f n (θ ) = sin n θ + cos n θ ,∴ f n′ (θ ) = n sin n −1 θ ⋅ cos θ − n cos n −1 θ sin θ = n sin θ cos θ ( sin n − 2 θ − cos n − 2 θ )

三角函数平面向量优秀数学复习题目精选(适合复习用)

D. ��
C【解析】 a 3b
2
a 3b
2
2
a 9 b 2 a 3b

1 9 213 1
13
2
4. 已知 �� (�� + ��) = ��，那么 �� = ( )
D. �� + �� = ��
C【解析】因为 ��，��，�� 三点共线，所以 ��⃗⃗⃗��⃗��⃗⃗�� = ��⃗⃗��⃗⃗��⃗��(�� ≠ ��)，即 ��⃗�� + ��⃗�� = ��(��⃗�� + ��⃗��) = ��⃗�� + ��⃗��(�� ≠ ��)．又因为 ��⃗��，��⃗�� 不共线，所以 {��==��,��. 所以 �� = ��． 7. 函数 ��(��) = �� + √�� 的最大值和周期分别为 ( )
��
3. 已知 ��⃗��，��⃗�� 均为单位向量，它们的夹角为 ��∘，那么 ∣ ��⃗�� + ��⃗�� ∣ 等于 ( )

三角函数及平面向量测试题

姓名________ 成绩________三角函数和平面向量综合测试题160分公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±令βα=得αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1．设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=，则(2)a b c +⋅=________.2．已知两点(2,0),(2,0)M N -，点P 为坐标平面内的动点，满足0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为_____.3．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2,a i j b i j λ=-=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.4．若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+= ． 5．设向量(1,0),(cos ,sin ),a b θθ==其中0θπ≤≤，则a b +的最大值是．6．设,i j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且42,34AB i j AC i j =+=+，则ABC ∆面积的值等于．7．已知向量a 与b 的夹角为0120，1,3a b ==，则5a b -= ． 8．向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是_______. 9．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________. 10．向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值是． 11．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是________.12、定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度|*|||||sin ,a b a b θθ=⋅⋅其中为向量a 和b的夹角，若(2,0),(1,3),|*()|u u v u u v =-=-+则= .13 在______,02=∠=+⋅∆A AB ABC 则中，若.14.在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线交直线AB,AC 于不同两点M,N ，若有,,n m ==则m+n=______二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15. （本小题满分14分）（1）已知向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,求向量a 的模。

必修四三角函数与平面向量高考类型经典题及答案

高考类型经典题及答案一、选择题1 ．若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,sin 2θ,则sin θ= （）A ．35 B ．45C．4D ．342 ．已知,(0,π),则=（）A ． 1B ．C ．D ．13．若tan +=4,则sin2= （）A ．B ．C ．D ．4．已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos 2α= （）A．B．CD5．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152 6．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．57．[2014·广东韶关一模] 已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A.37 B ．13 C ．6 D.1278．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y .设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2sin cos αα-=α∈tan α-2-2θ1tan θθ151413129．如图X191所示，在三角形ABC 中，BD ＝2CD .若AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )图X191A.13a ＋23b B.23a ＋13b C.23a －13b D.23a －23b10．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是=（）．A. 7 ＋1B. 7 -1C. 7D. 2711．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.71212．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( ) A ．2 B ．3 C.1728D.10二、填空题13．设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为____. 14．函数f(x)=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示,其中,P 为图像与y 轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,B 为图像的最低点.若6πϕ=,点P 的坐标为(0,2),则ω=______ ; 15．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．16．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．三、解答题17． (本小题满分13分(Ⅰ)小问8分(Ⅱ)小问5分)设()4cos()sin cos(2)6f x x x x πωωωπ=--+,其中.0>ω(Ⅰ)求函数()y f x = 的值域(Ⅱ)若()f x 在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值.18．函数2()6cos3(0)2xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. (Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域;(Ⅱ)若0()5f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.19．函数()sin()16f x A x πω=-+(0,0A ω>>)的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2π, (1)求函数()f x 的解析式; (2)设(0,)2πα∈,则()22f α=,求α的值.20．在中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求的值.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；ABC ∆cos B sin sin A C(2)当k ＝－115时，求(AB →－kOC →)·OC →的值．22．已知△ABC 中，角A 为锐角，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .设向量m ＝(cos A ，sin A )，n ＝(cos A ，－sin A )，且m 与n 的夹角为π3.(1)计算m ·n 的值并求角A 的大小；(2)若a ＝7，c ＝3，求△ABC 的面积S .答案一、选择1. 【解析】因为]2,4[ππθ∈,所以],2[2ππθ∈,02cos <θ,所以812s i n 12c o s 2-=--=θθ,又81sin 212cos 2-=-=θθ,所以169sin 2=θ,43sin =θ,选D.2. 【答案】A【解析一】,故选A【解析二】,故选A【点评】本题主要考查三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质以及转化思想和运算求解能力,难度适中.3. D 【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想.因为221sin cos sin cos 1tan 41tan cos sin sin cos sin 22θθθθθθθθθθθ++=+===,所以.1sin 22θ=. 【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式sin tan cos θθθ=转化;另外,22sin cos θθ+在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 4. 答案A【解析】sin cos αα+=, 两边平方可得121sin 2sin 233αα+=⇒=- sin cos )sin()144ππαααα-=-=∴-=3(0),,tan 14παπαα∈∴=∴=-，2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα-∴-=∴=-33(0,),2(0,2),2,,tan 124ππαπαπααα∈∴∈∴=∴=∴=-α是第二象限角,因此sin 0,cos 0αα><,所以cos sin αα-===22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )3ααααααα∴=-=+-=-法二:单位圆中函数线+估算,因为α是第二象限的角,又1sin cos2αα+所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故2cos α的“余弦线”应选A .5． [解析] ∵2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)，又(2a －3b )⊥c ，∴(2k －3)×2＋(－6)＝0，解得k ＝3.6．A [解析] 由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1.7．D [解析] 由AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λ(AB →)2＋(AC →)2－AC →·AB →＝0，得－3λ－4λ＋9＋3＝0，解得λ＝127.8．D [解析] 对于A ，当a ＝0，b ≠0时，不等式不成立；对于B ，当a ＝b ≠0时，不等式不成立；对于C ，D ，设OA →＝a ，OB →＝b ，构造平行四边形OACB ，根据平行四边形法则，∠AOB 与∠OBC 至少有一个大于或等于90°，根据余弦定理，max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2成立，故选D.9．A [解析] ∵BC →＝AC →－AB →＝b －a ，∴BD →＝23BC →＝23b －23a ，∴AD →＝AB →＋BD →＝a ＋23b －23a ＝13a＋23b . 10．A [解析] 由|CD →|＝1，得动点D 在以C 为圆心，半径为1的圆上，故可设D(3＋cos α，sin α)，所以OA ＋OB ＋OD ＝(2＋cos α，3＋sin α)，所以|OA ＋OB ＋OD|2＝(2＋cos α)2＋(3＋sin α)2＝8＋4cos α＋23sin α＝8＋27sin (α＋φ)，所以(|OA →＋OB →＋OD →|2)max＝8＋27，即|OA →＋OB →＋OD →|max ＝7 ＋1.11．C [解析] 建立如图所示的坐标系，则A (－1，0)，B (0，－3)，C (1，0)，D (0，3)．设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由BE ＝λBC 得(x 1，y 1＋3)＝λ(1，3)，解得⎩⎨⎧x 1＝λ，y 1＝3（λ－1），即点E (λ，3(λ－1))．由DF →＝μDC →得(x 2，y 2－3)＝μ(1，－3)，解得⎩⎨⎧x 2＝μ，y 2＝3（1－μ），即点F (μ，3(1－μ))．又∵AE ·AF ＝(λ＋1，3(λ－1))·(μ＋1，3(1－μ))＝1，①CE →·CF →＝(λ－1, 3(λ－1))·(μ－1,3(1－μ))＝－23.②①－②得λ＋μ＝56.12．B [解析] 由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝ 1y 1＋y 2(x －y 21)，令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝18(9|y 1|＋8|y 2|)≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 22时，取y 1＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B. 二、填空13 【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数. 【解析】∵α为锐角,即02<<πα,∴2=66263<<πππππα++.∵4cos 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴3sin 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭.∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2427217==2252550-14. 【答案】(1)3;(2)4π 【解析】(1)()y f x '=cos()x ωωϕ=+,当6πϕ=,点P 的坐标为时 cos36πωω=∴=; (2)由图知222T AC ππωω===,122ABCS AC πω=⋅=,设,A B 的横坐标分别为,a b . 设曲线段ABC 与x 轴所围成的区域的面积为S则()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰,由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABCSP Sππ===. 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等,(1)利用点P 在图像上求ω, (2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得.15．90° [解析] 由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC 与AB 的夹角为90°.16 . 12 [解析] 因为向量a ∥b ，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故tan θ＝12.三、解答题17. 【考点定位】本题以三角函数的化简求值为主线,三角函数的性质为考查目的的一道综合题,考查学生分析问题解决问题的能力,由正弦函数的单调性结合条件可列32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,从而解得ω的取值范围,即可得ω的最在值. 解:(1)()14sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎫=++⎪⎪⎝⎭222cos 2sin cos sin x x x xx ωωωωω=++- 21x ω=+因1sin 21x ω-≤≤,所以函数()y f x =的值域为1⎡⎣(2)因sin y x =在每个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数,故()21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间(),44k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上为增函数. 依题意知3,22ππ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,44k k ππππωωωω⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦对某个k Z ∈成立,此时必有0k =,于是32424ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩,解得16ω≤,故ω的最大值为16. 18. [解析](Ⅰ)由已知可得:2()6cos3(0)2xf x x ωωω=->=3cos ωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以,函数]32,32[)(-的值域为x f(Ⅱ)因为，由538)(0=x f (Ⅰ)有，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin 320⨯+⨯=+++=ππππππx x567= [点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.19.解析:(1)∵函数()f x 的最大值为3,∴13,A +=即2A =∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π,∴最小正周期为T π= ∴2ω=,故函数()f x 的解析式为sin(2)16y x π=-+(2)∵()2sin()1226f απα=-+=即1sin()62πα-=∵02πα<<,∴663πππα-<-<∴66ππα-=,故3πα=20. 【答案及解析】(1)由已知 (2)解法一:,由正弦定理得解法二:,,由此得得所以, 【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系,再来求最后的结果.21．解：(1)由题意，得AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)．故所求两条对角线的长分别为4 2，2 10. (2)∵OC →＝(－2，－1)，AB →－kOC →＝(3＋2k ，5＋k )，12=+,++=,=,cos =32B AC A B C B B ππ∴2=b ac 23sin sin =sin =4A CB 2=b ac 222221+-+-=cos ==222a c b a c ac B ac ac22+-=,a c ac ac =a c ===3A B C π3sin sin =4A C∴(AB →－kOC →)·OC →＝(3＋2k ，5＋k )·(－2，－1)＝－11－5k .∵k ＝－115，∴(AB →－kOC →)·OC →＝－11－5k ＝0. 22．解：(1)∵|m |＝cos 2A ＋sin 2A ＝1，|n |＝cos 2A ＋（－sin A ）2＝1，∴＝||·cos π3＝12. ∵m ·n ＝cos 2A －sin 2A ＝cos 2A ，∴cos 2A ＝12. ∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝π3，∴A ＝π6. (2)方法一：∵a ＝7，c ＝3，A ＝π6，且a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴7＝b 2＋3－3b ，解得b ＝－1(舍去)或b ＝4，故S ＝12bc sin A ＝ 3. 方法二：∵a ＝7，c ＝3，A ＝π6，且a sin A ＝c sin C， ∴sin C ＝c sin A a ＝32 7. ∵a >c ， ∴0<C <π6，∴cos C ＝1－sin 2C ＝52 7. ∵sin B ＝sin(π－A －C )＝sin π6＋C ＝12cos C ＋32sin C ＝27， ∴b ＝a sin B sin A ＝4，故S ＝12bc sin A ＝ 3.。

三角函数与平面向量综合题(合编打印)

三角函数与平面向量题型归类解析1.考查三角函数的化简或求值2.考查三角函数中的求角问题3. 考查三角形的边长或角的运算4. 考查三角函数的最值与向量运算5. 考查三角函数解析式的求法一、结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例1】（2007年高考安徽卷）已知04πα<<，β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=⋅=，求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．【解答】因为β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，故βπ=．因为a b m ⋅=，又cos tan()24a b βαα⋅=⋅+-，故cos tan()24m βαα⋅+=+．由于04πα<<，所以22cos sin 2()cos sin ααβαα++=-22cos sin(22)cos sin ααπαα++-22cos sin 2cos sin αααα+=-2cos (cos sin )cos sin ααααα+=-1tan 2cos 1tan ααα+=⋅-cos tan()24m βαα=⋅+=+．【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。

题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题【例2】（2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。

（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角。

【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)，所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ= 因为02πϕ≤≤，所以6πϕ=.（II ）由函数2sin()6y x ππ=+及其图像，得115(,0),(,2),(,0),636M P N -- 所以11(,2),(,2),22PM PN =-=-从而cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅1517=，故,PM PN <>=15arccos 17.【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：cos ,a b a b a b⋅=⋅求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。

三角函数与平面向量

周考卷一.选择题（每小题3分，共48分）1. 与-4630角终边相同的角为（） A ． K ∙ 3600+4630， K ∈Z B. K ∙ 3600+1030， K ∈Z C . K ∙ 3600+2570， K ∈Z D. K ∙ 3600-2570， K ∈Z2. sin(-631π)的值是（）A.21 B. - 21 C. 23 D. - 23 3. 下列函数中属于奇函数（）A.y = sinx + 1B. y = cos(x +2π) C. y = sin(x - 2π) D. y = cosx - 1 4. 函数y = 2sin (2x +6π)的一条对称轴是（）A. x =3π B. x = 6π C. x = 2π D. x = 4π5. 函数y = 2sin (32π-x )的单调递增区间是（）A. [1252,122ππππ--k k ] （k ∈Z ）B. [12,127ππππ--k k ] （k ∈Z ） C . [122,1272ππππ--k k ] （k ∈Z ） D. [125,12ππππ+-k k ] （k ∈Z ） 6.当α为第二象限角时，ααααcos cos sin sin -的值是（）A. 1B. 0C. 2D. -27.已知sin αcos 81=α,且)2,0(πα∈，则sin α+cos α的值为（）A.25 B. -25 C. ±25 D. 238.已知角α的终边经过点(,9)m ，且3tan 4α=，则sin α的值（） A 、45 B 、45- C 、35 D 、35-9．要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象（）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移8π个单位 D ．向右平移8π个单位10．函数x x y cos sin 3+=，]2,2[ππ-∈x 的最大值为（）A ．1 B. 2 C. 3 D.2311．下列命题正确的是（）A ．向量与是两平行向量B ．若a 、b 都是单位向量,则a =bC ．若=,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同12．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（） A ．与共线 B ．与共线 C ．与相等 D ．与相等13. 已知a = b =,a ⋅b =-3，则a 与b 的夹角是（） A ．150︒ B ．120︒ C ．60︒ D ．30︒ 14. 设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为（） A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 15．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于（） A ．3 B ．－3 C ．0 D ．216．已知a 3= ，b 4=，且（a +k b ）⊥（a -k b ），则k 等于（）A ．34±B ．43± C ．53±D ．54±二 .填空题（每小题4分，共16分）17.已知 tan α=2,则sin 2α+sin αcos α= 18．关于函数f(x)＝4sin(2x ＋3π), (x ∈R)有下列命题：①y ＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；② y ＝f(x)可改写为y ＝4cos(2x －6π)；③y ＝f(x)的图象关于(－6π，0)对称；④ y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－6π对称；其中正确的序号为。

三角函数与平面向量练习题

三角函数与平面向量练习题编号：11 编制：许小红审核：孙丽君时间：2011-9-30一、选择题1、设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A 、),2()2,21(+∞⋃- B 、(2，+∞)C 、(21-，+∞)D 、(－∞，21-) 2、ΔABC 中，若⋅=⋅，则ΔABC 必为（）A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、锐角三角形D 、等腰三角形3、已知ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足=++，则点P 与ΔABC 的关系是（）A 、P 在ΔABC 内部B 、P 在ΔABC 外部C 、P 在直线AB 上D 、P 在ΔABC 的AC 边的一个三等分点4．在平行四边形ABCD 中，M 为AB 上任一点，则AM DM DB -+等于 ( )(A )BC (B )AB (C )AC (D )AD5．设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为（）A ．-9B ．-6C ．9D ．66．己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为( )A ．(－2,11)B ．()3,34C ．(32,3) D ．(2,－7) 7．下面给出四个命题：① 对于实数m 和向量a 、b ，恒有()m a b ma mb -=-；② 对于实数m 、n 和向量a ，恒有()m n a ma na -=-；③ 若(,0)ma mb m R m =∈≠，则a b =；④ 若(0)ma na a =≠，则m n =.其中正确的命题个数是 ( )(A ) 1 (B ) 2 (C )3 (D )48．已知123()AB e e =+，12CB e e =-，122CD e e =+，则下列关系一定成立( )(A )A ，B ，C 三点共线 (B )A ，B ，D 三点共线(C )A ，C ，D 三点共线 (D )B ，C ，D 三点共线9．已知53)sin(=+απ且α是第三象限的角，则)2cos(πα-的值是（） A ．54- B ．54 C ．54± D ．53 10．若函数)cos(3)(ϕω+=x x f 对任意x 都有)6()6(x f x f +=-ππ，则)6(πf 的（） A ．3 B ．3- C ．3± D ．0 11．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形12．设α、β、γ∈R ，且βγαs i n s i n s i n =+，βγαcos cos cos =+，则βα-（）A ．3π-B ．6πC ．33ππ-或D ． 3π 二、填空题( 每小题5分，共20分 )13．把函数)42sin(π+=x y 的图象向右平移8π，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的21，则所得图象的函数是 . 14．若α满足sin α－2cos αsin α＋3cos α＝2，则sin α·cos α的值等于______________. 15．已知若（k 2),3,(),1,2(+==∥），（b a -2则k 的___________. 16. 函数)3cos(π+-=x y 的增区间_________________。

平面向量及三角函数测试题

平面向量及三角函数测试题一、单选题1．如图，点是平行四边形两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．2．已知的边上有一点满足，则可表示为（） A ．B ．C ．D ．3．化简后等于 A ．B ．C ．D ．4．有下列四个命题：①互为相反向量的两个向量模相等；②若向量AB 与CD 是共线的向量，则点A B C D ，，，必在同一条直线上； ③若=a b ，则=a b 或=-a b ④若=0a b ，则=0a 或=0b ；其中正确结论的个数是（） A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形中，是两条对角线的交点，则（）A ．B ．C ．D ．6．已知中，，，为边上的中点，则 ( ) A ．0B ．25C ．50D ．1007．在中，，若，，则（）A ．B ．C．D．8．已知向量，，.若，则实数的值为（）A．B．C．D．9．已知向量，且，则实数（）A．B．C．D．10．已知向量，，，则A．A、B、C三点共线B．A、B、D三点共线C．A、C、D三点共线D．B、C、D三点共线11．设，向量，，且，则( )A．0 B．1 C．2 D．-212．已知向量，满足，，且向量，的夹角为，若与垂直，则实数的值为（）A．B．C．D．13．若两个非零向量满足，则向量与的夹角的余弦值是（）A．B．C．D．14．设向量满足,则( )A．6B．C．10D．15．已知向量，，且，则m=( )A．−8B．−6C．6 D．816．向量,若，则（）A．B．C．D．17．若，则的值为A．B．C．D．18．已知三角形内角A满足，则的值为（）A．B．C．D．19．已知，且，则（）A．B．C．D．20．已知，则=A．B．C．D．21．等于（）A．B．C．D．22．函数的最大值为A．2B．C．D．1 23．已知，，则（）A．B．C．D．24．已知，那么的值为（）A．B．C．D．25．已知，，则A．B．C．D．26．(2015新课标全国Ⅰ理科)=A．B．C．D．27．（2018年全国卷Ⅲ文）若，则A．B．C．D．28．若，则（）A．B．C．D．029．的值为（）A．B．C．D．1二、填空题30．已知，，，则向量与向量的夹角为_______________.31．已知平面向量与的夹角为，且，若，则 __________．32．已知，则 __________． 33．（2018年全国卷II 文）已知，则 __________． 34．已知为第二象限角，，则 ________三、解答题35．已知两个非零向量和不共线， = ， = ， = ．（1）若2= ，求k 的值；（2）若A 、B 、C 三点共线，求k 的值． 36．已知，求：（1）．（2）4sin 2a ﹣3sinacosa ﹣5cos 2a ．37．已知函数 . （1）求的值；（2）将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的最大值和最小值.38．已知，为锐角，，． Ⅰ 求的值； Ⅱ 的值．39．已知，且为第二象限角.（1）求的值；（2）求的值.40．已知函数()2cos cos f x x x x +．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）求()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.参考答案1．C【解析】中，中，中，故选2．A【解析】【分析】利用相加加法和减法的运算，将向量转化到两个方向上，化简后得出正确的结论. 【详解】画出图像如下图所示，故，故选A.【点睛】本小题主要考查平面向量加法运算，考查平面向量减法运算，属于基础题.3．B【解析】【分析】利用向量的三角形法则即可得出．【详解】，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

三角函数、解三角形和平面向量专题训练

三角函数、解三角形和平面向量专题训练1. 已知函数22()2sin ()23cos 3.4f x x x π=--+（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）求()f x 2[0,]6m x π<+∈在上恒成立，求实数m 的取值范围.2. 如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P ,是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ .（1）若⎪⎭⎫⎝⎛54,53Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()αf =OP ·OQ ，求()αf 的值域．3. 已知函数)2cos()2cos(2)(x x x f --=ππ.（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）当]2,0[π∈x 时，求函数x x f x g 2cos )()(+=的最大值和最小值.4. 在△ABC 中，已知角A 为锐角，且()212cos 2sin 2cos 2sin 12cos )(22++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=A A A AA A f . （1）将()A f 化简成()()N wA M A f ++=φsin 的形式；（2）若2,1)(,127===+BC A f B A π，求边AC 的长.5. 在ABC ∆中，已知54cos ,450==B A . （1）求C cos 的值；（2）若10=BC ，D 为AB 的中点，求CD 的长.6. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，2=+c b ，ABC ∆的面积为43. （1）求A 的最大值;（2）当角A 最大时，求a .7. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，58222bc b c a -=-，a =3，△ABC 的面积为6.（1）求角A 的正弦值；（2）求边b ，c.8. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足5sin25A =，10是b ，c 的等比中项．（1）求ABC ∆的面积；（2）若2c =，求a 的值．9. 在ABC ∆中，已知内角3π=A ,边32=BC .设内角,x B =面积为.y （1）求函数)(x f y =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值.10. 锐角ABC △中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知22sin 3A =．（1）求22tansin 22B C A ++的值；（2）若2a =，2ABC S =△，求b 的值．11. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，向量⎪⎭⎫ ⎝⎛-=712,sin 1A p ，()A A q sin 2,2cos =，且//p q .（1）求sin A 的值；（2）若2,b =ABC ∆的面积为3，求a ．12. 已知向量()()()0,1,cos ,cos ,sin ,cos -=-==c x x b x x a .（1）若6π=x ，球向量c a ,的夹角；（2）当]89,2[ππ∈x 时，求函数12)(+⋅=b a x f 的最大值.13. 已知点()()a x N x M ++2sin 3,1,1,2cos 1（a R a R x ,,∈∈是常数），设ON OM y ⋅=（O 为坐标原点）.（1）求y 关于x 的函数关系式()x f y =，并求()x f 的最小正周期；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，()x f 的最大值为4，求a 的值，并求()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值.。

三角函数与平面向量 (1)

第23练关于平面向量数量积运算的三类经典题型题型一平面向量数量积的基本运算例1 已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A ．－4＋ 2 B ．－3＋ 2 C ．－4＋2 2 D ．－3＋2 2破题切入点对于四边形OAPB 中变化的量，可以是切线的长度、也可以是∠APB ，这两个变化的量都可以独立地控制四边形OAPB .因此可以用这两个量中的一个来表示P A →·PB →；还可以建立平面直角坐标系，使问题数量化．答案 D解析方法一设|P A →|＝|PB →|＝x ，∠APB ＝θ，则tan θ2＝1x，从而cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2＝x 2－1x 2＋1.P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos θ ＝x 2·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1＝(x 2＋1)2－3(x 2＋1)＋2x 2＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1－3≥22－3，当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时取等号，故P A →·PB →的最小值为22－3. 方法二设∠APB ＝θ，0<θ<π，则|P A →|＝|PB →|＝1tanθ2.P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos θ ＝(1tanθ2)2cos θ＝cos 2θ2sin 2θ2·(1－2sin 2θ2)＝(1－sin 2θ2)(1－2sin 2θ2)sin 2θ2.令x ＝sin 2θ2，0<x ≤1，则P A →·PB →＝(1－x )(1－2x )x＝2x ＋1x－3≥22－3，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号．故P A →·PB →的最小值为22－3.方法三以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，P (x 0,0)，则P A →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21. 由OA ⊥P A ⇒OA →·P A →＝(x 1，y 1)·(x 1－x 0，y 1)＝0⇒x 21－x 1x 0＋y 21＝0，又x 21＋y 21＝1，所以x 1x 0＝1.从而P A →·PB →＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21＝x 21－2＋x 20－(1－x 21) ＝2x 21＋x 20－3≥22－3.故P A →·PB →的最小值为22－3.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2 若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量b 与a ＋b 的夹角为( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3破题切入点先把向量模之间的关系平方之后转化为向量数量积之间的关系，然后分别求出所求向量的数量积与模，代入公式求解即可；也可利用向量的几何意义转化为三角形中的问题求解．答案 A解析方法一由已知，得|a ＋b |＝|a －b |，将等式两边分别平方，整理可得a ·b ＝0.①由已知，得|a ＋b |＝2|a |，将等式两边分别平方，可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝4a 2.② 将①代入②，得b 2＝3a 2，即|b |＝3|a |.而b ·(a ＋b )＝a ·b ＋b 2＝b 2，故cos 〈b ，a ＋b 〉＝b ·(a ＋b )|b |·|a ＋b |＝b 23|a |·2|a |＝3a 23|a |·2|a |＝32.又〈b ，a ＋b 〉∈[0，π]，所以〈b ，a ＋b 〉＝π6.故选A.方法二如图，作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b . 由|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，可得|OC →|＝|BA →|＝2|OA →|，所以平行四边形OACB 是矩形， BC →＝OA →＝a . 从而|OC →|＝2|BC →|. 在Rt △BOC 中，|OB →|＝|OC →|2－|BC →|2＝3|BC →|，故cos ∠BOC ＝|OB →||OC →|＝32，所以∠BOC ＝π6.从而〈b ，a ＋b 〉＝∠BOC ＝π6，故选A.题型三利用数量积求向量的模例3 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．破题切入点建立平面直角坐标系，利用点坐标表示出各向量，或用向量的关系一一代换得出最简式，从而求出最小值．答案 5解析方法一以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25， ∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 方法二设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →， P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.总结提高 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择，注意两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”．(2)求向量的夹角时要注意：①向量的数量积不满足结合律，②数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角．1．(2014·课标全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A解析 |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， |a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a ·b ＝4， ∴a ·b ＝1.2．(2014·四川)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 D解析因为a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m,2m )＋(4,2)＝(m ＋4,2m ＋2)．根据题意可得c ·a |c ||a |＝c ·b |c ||b |，所以5m ＋85＝8m ＋2020，解得m ＝2.3．(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2 D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2 答案 D解析由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错．当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2；当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D. 4.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( ) A ．－12 B.12C ．－32 D.32答案 A 解析以OA ，OB 所在直线分别作为x 轴，y 轴， O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (1,0)，B (0,1)，C (34，14)，直线l 的方程为y －14＝x －34，即x －y －12＝0.设P (x ，x －12)，则p ＝(x ，x －12)，而b －a ＝(－1,1)，所以p ·(b －a )＝－x ＋(x －12)＝－12.5．在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A ．(0，52]B ．(52，72] C ．(52，2] D ．(72，2] 答案 D解析由题意，知B 1，B 2在以O 为圆心的单位圆上，点P 在以O 为圆心，12为半径的圆的内部．又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→，所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上，当P 与O 点重合时，|OA →|取得最大值2，当P 在半径为12的圆周上时，|OA →|取得最小值72，故选D.6．(2014·成都模拟)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 2 D ．4 3 答案 D解析方法一 (坐标法)由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得∠AOB ＝π3.又A ，B 是定点，可设A (3，1)，B (0,2)，P (x ，y )．由OP →＝λOA →＋μOB →，可得⎩⎨⎧x ＝3λ，y ＝λ＋2μ⇒⎩⎨⎧λ＝33x ，μ＝y 2－36x .因为|λ|＋|μ|≤1，所以|33x |＋|y 2－36x |≤1. 整理，得2|x |＋|3y －x |≤2 3.当x ≥0，且3y －x ≥0时，不等式为x ＋3y ≤23；当x ≥0，且3y －x <0时，不等式为3x －y ≤2；当x <0，且3y －x ≥0时，不等式为3x －y ≥－2；当x <0，且3y －x <0时，不等式为x ＋3y ≥－2 3. 画出不等式所表示的可行域，如图中的阴影部分所示．求得E (0,2)，F (－3，－1)，C (0，－2)，D (3，1)．显然该平面区域是一个矩形，边长EF ＝23，ED ＝2，故该平面区域的面积S ＝EF ×ED ＝4 3.方法二 (向量法)由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，知〈OA →，OB →〉＝π3.当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，在△OAB 中，取OC →＝λOA →，过点C 作CD ∥OB 交AB 于点D ，作OE ∥AB 交OB 于点E ，显然OD →＝λOA →＋CD →. 由于|CD ||OB |＝|AC ||AO |＝1－λ，所以CD →＝(1－λ)OB →.于是OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋μOB →＝OP →.故当λ＋μ＝1时，点P 在线段AB 上．所以λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P 必在△OAB 内(包括边界)．考虑|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R 的其他情形，点P 构成的集合恰好是以AB 为一边，以OA ，OB 为对角线一半的矩形，其面积S ＝4S △OAB ＝4×12×2×2sin π3＝4 3.7．(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．答案 22解析由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.8．(2014·湖北)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________. 答案 ±3解析由题意得，(a ＋λb )·(a －λb )＝0，即a 2－λ2b 2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.9．设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________．答案 π2解析由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32，故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e 2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝(32e 1－12e 2)·(12e 1－32e 2)＝32－e 1·e 2＝0，所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1)．故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.10．(2014·安徽)已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4，x 5和y 1，y 2，y 3，y 4，y 5均由2个a 和3个b 排列而成，记S ＝x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4＋x 5·y 5，S min 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①S 有5个不同的值； ②若a ⊥b ，则S min 与|a |无关； ③若a ∥b ，则S min 与|b |无关； ④若|b |>4|a |，则S min >0；⑤若|b |＝2|a |，S min ＝8|a |2，则a 与b 的夹角为π4.答案 ②④解析 ∵x i ，y i (i ＝1,2,3,4,5)均由2个a 和3个b 排列而成， ∴S ＝ i ＝15x i y i ，可能情况有以下三种：(1)S ＝2a 2＋3b 2； (2)S ＝a 2＋2a ·b ＋2b 2； (3)S ＝4a ·b ＋b 2.∵2a 2＋3b 2－(a 2＋2a ·b ＋2b 2)＝a 2＋b 2－2a ·b ＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos θ≥0， a 2＋2a ·b ＋2b 2－4a ·b －b 2＝a 2＋b 2－2a ·b ≥0， ∴S 的最小值为S min ＝b 2＋4a ·b .因此S 最多有3个不同的值，故①不正确．当a ⊥b 时，S 的最小值为S min ＝b 2与|a |无关，故②正确．当a ∥b 时，S 的最小值为S min ＝b 2＋4|a ||b |或S min ＝b 2－4|a ||b |与|b |有关，故③不正确．当|b |>4|a |时，S min ＝b 2＋4|a ||b |cos θ≥b 2－4|a ||b |＝|b |(|b |－4|a |)>0，故④正确．当|b |＝2|a |时，由S min ＝b 2＋4a ·b ＝8|a |2知，4a ·b ＝4a 2，即a ·b ＝a 2，∴|a ||b |cos θ＝a 2，∴cos θ＝12，∴θ＝π3，故⑤不正确．因此正确命题的编号为②④.11．已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围．解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0.所以tan x ＝－34.故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85.(2)f (x )＝2(a ＋b )·b＝2(sin x ＋cos x ，－14)·(cos x ，－1)＝sin 2x ＋cos 2x ＋32＝2sin(2x ＋π4)＋32.由正弦定理，得a sin A ＝b sin B，所以sin A ＝a sin Bb ＝3×632＝22. 所以A ＝π4或A ＝3π4.因为b >a ，所以A ＝π4.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)＝2sin(2x ＋π4)－12.因为x ∈[0，π3]，所以2x ＋π4∈[π4，11π12]．所以32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12. 所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)的取值范围为[32－1，2－12]．12．在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值．解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt △ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75，在Rt △BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196，所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14.由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12. 由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，知k ＝x ·y ＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →)＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t ＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增，所以当t ＝1时，k 取得最小值516.。

(人教版)必修四三角函数和平面向量测试题含答案

三角函数及平面向量综合测试题命题人：伍文一.选择题：(满分50分，每题5分)1.下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（） A ．→1e = (0,0), →2e =(1,－2) ; B ．→1e = (-1,2), →2e = (5,7); C ．→1e = (3,5), →2e =(6,10); D ．→1e = (2,-3) , →2e = )43,21(- 2.在平行四边形ABCD 中，若||||BC BA BC AB +=+，则必有（）A ．四边形ABCD 为菱形B ．四边形ABCD 为矩形C ．四边形ABCD 为正方形 D ．以上皆错3.已知向量→1e ，→2e 不共线，实数(3x －4y) →1e ＋(2x －3y) →2e =6→1e +3→2e ，则x －y 的值等于（）A ．3B ．-3C ．0D ．24.已知正方形ABCD 边长为1， AB =→a ，BC =→b ，AC =→c ，则|→a +→b +→c |等于（） A ．0 B ．3 C ．22 D ．2 5.设()()AB CD BC DA +++=→a ，而→b 是一非零向量，则下列个结论：(1) →a 与→b 共线；（2）→a +→b = →a ；(3) →a +→b = →b ；(4) |→a +→b |<|→a |+|→b |中正确的是（） A ．(1) (2) B ．(3) (4) C ．(2) (4) D ．(1) (3)6. 已知sin α=55则sin 4α- cos 4α的值是（） A ．-53 B ． -51 C ． 51 D ．53 7. 在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．48．函数y ＝－xcosx 的部分图象是（）9．已知△ABC 的两个顶点A(3,7)和B(-2,5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是 ( )A ．(－7,2)B ．(2,－7)C ．(－3,－5)D ．(5,3) 10．AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD =→a ,BE =→b ，那么BC 为（） A ．32→a －34→b B ．32→a －32→b C ．32→a ＋34→b D ．－32→a ＋34→b班级座号姓名二.填空题：(满分20分，每题5分)11．函数2cos()35y x π=-的最小正周期12．不等式（lg20)2cosx>1(x ∈(0，π))的解集为__________13．已知A(2，3)，B(1，4)且12AB =(sin α,cos β)，α、β∈(-2π,2π)，则α+β= 14．已知→a =(1,2) ，→b =(-3,2)，若k →a +→b 与→a -3→b 平行，则实数k 的值为三.解答题：(满分80分，第15、19、20题各14分，第16、17、18题各12分)15．（本题14分）函数)2||,0,0(),sin(π<ϕ>ω>ϕ+ω=A x A y 的最小值是-2，其图象最高点与最低点横坐标差是3π，又：图象过点(0,1)，求（1）函数解析式，并利用“五点法” 画出函数的图象（2）函数的最大值、以及达到最大值时x 的集合；（3）该函数图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩得到？（4）当x ∈（0，23π）时，函数的值域.16．（本题12分）已知:点Ｂ(1,0)是向量→a 的终点，向量→b , →c 均以原点Ｏ为起点，且→b =(－3,－4), →c =(1,1)与向量→a 的关系为→a =3→b －2→c ，求向量→a 的起点坐标．17．（本题12分）已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2）,11,,33AE AC BF BC ==求证：//EF AB18．（本题14分）设两个非零向量→a 与→b 不共线⑴若AB =→a ＋→b ,BC =2→a ＋8→b ,CD =3(→a －→b ) ,求证：A 、B 、D 三点共线; ⑵试确定实数k ，使k →a ＋→b 和→a ＋k →b 共线.19．（本题14分）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点()0,2x ，()003,202x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭上()f x 分别取得最大值和最小值．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()g x af x b =+的最大和最小值分别为6和2，求,a b 的值．20．（本题14分）设0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 的定义域为[]0,1且()00f =，()11f =当x y≥时有()()()sin 1sin 2x y f f x f y αα+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（1）求11,24f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）求α的值；（3）求函数()()sin 2g x x α=-的单调区间．三角函数及平面向量综合测试题答案二.填空题：(满分20分，每题5分)11．5π 12．(0，2π) 13．6π或 -2π； 14．-31三.解答题：(满分80分，第15、19、20题各14分，第16、17、18题各12分) 15. 解：（1）易知：A = 2 半周期π=32T∴T = 6π 即πωπ62= （0>ω）从而：31=ω 设：)31sin(2ϕ+=x y 令x = 0 有1sin 2=ϕ又：2||π<ϕ ∴6π=ϕ ∴所求函数解析式为)631sin(2π+=x y 图略（2）当{x|x ＝6k π＋π，k∈Z }时，)631sin(2π+=x y 取最大值2 （3）略 (4) y∈(]2,116.解：设→a 的起点坐标为A(x,y) ,则AB =(1-x,-y)=(-11,-14),解得x=12, y=14.17.解：设E(x 1, y 1),F(x 2, y 2) ,∵AC 31AE =, ∴(x 1+1, y 1)=(22,33), ∴x 1=13-, y 1=23,又BC 31BF =,∴(x 2-3, y 2+1)=(-23,1), ∴x 2=73, y 2=0, 则82(,)33EF =-由于3823(4,1)(,)2332AB EF =-=-=,所以//EF AB18.解：⑴∵BD BC CD =+=5（a ＋b ）=52AB DC = ∴ AB 、BD 共线，又它们有公共点B ，所以A 、B 、C 三点共线⑵依题：存在实数λ，使k →a ＋→b =λ(→a ＋k →b ) 即(k-λ) →a =(λk -1) →b ∴k -λ=λk -1=0 ∴k=±119.解：（1）依题意，得 0033222T x x =+-=，223,3T ππωω∴==∴=最大值为2，最小值为－2，2A ∴= 22sin 3y x πϕ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭图象经过()0,1，2sin 1ϕ∴=，即1sin 2ϕ=又 2πϕ<6πϕ∴=，()22sin 36f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭ （2）()22sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()22f x ∴-≤≤ 2622a b a b -+=⎧∴⎨+=⎩或2226a b a b -+=⎧⎨+=⎩解得，14a b =-⎧⎨=⎩或14a b =⎧⎨=⎩．20.解：（1）()()()1101sin 1sin 0sin 22f f f f ααα+⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()210112sin 1sin 0sin 422f f f f ααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭（2）()()113121sin 1sin 422f f f f αα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭()2sin 1sin sin 2sin sin ααααα=+-=-()3113144sin 1sin 2244f f f f αα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭()()22232sin sin sin 1sin sin 3sin 2sin ααααααα=-+-=-2sin sin (3sin 2sin )αααα∴=⋅- sin 0α∴=或12或1 又 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，6πα∴=．（3）()sin 2sin 266g x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22,2622x k k πππππ⎛⎫⎡⎤∴-∈-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦时，()g x 单调递减，322,2622x k k πππππ⎛⎫⎡⎤-∈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦时，()g x 单调递增；解得：,63x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈时，()g x 单调递减，5,33x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈时，()g x 单调递增．。

平面向量与三角函数练习题

平面向量与三角函数练习题在本次练习题中，我们将探讨平面向量与三角函数的关系。

通过解答以下习题，我们可以更好地理解二者之间的联系，并锻炼自己的解题能力。

1. 问题描述：已知向量A = (-3, 4)和向量B = (5, 2)，求向量A与向量B的数量积和方向积。

解答：首先计算向量A与向量B的数量积（内积）：A ·B = (-3)(5) + (4)(2) = -15 + 8 = -7接下来计算向量A与向量B的方向积（叉积）：|A × B| = |(-3)(2) - (4)(5)| = |-6 - 20| = |-26| = 26因此，向量A与向量B的数量积为-7，方向积为26。

2. 问题描述：已知向量A = (4, 3)和向量B = (-2, 6)，求向量A与向量B的夹角。

解答：两个向量的夹角可以通过以下公式计算：cosθ = (A · B) / (|A| |B|)其中，A · B表示向量A与向量B的数量积，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模。

首先计算|A|和|B|的值：|A| = √(4^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5|B| = √((-2)^2 + 6^2) = √(4 + 36) = √40 = 2√10接下来计算A · B的值：A ·B = (4)(-2) + (3)(6) = -8 + 18 = 10代入公式得到：cosθ = 10 / (5 * 2√10) = 10 / (10√10) = 1 / √10 = √10 / 10因此，向量A与向量B的夹角θ为cos^(-1)(√10 / 10)。

3. 问题描述：已知一个角的弧度为π/4，求该角的正弦、余弦和正切值。

解答：根据三角函数的定义，可以得出以下结论：sin(π/4)= 1/√2cos(π/4) = 1/√2tan(π/4) = sin(π/4) / cos(π/4) = 1因此，该角的正弦值为1/√2，余弦值为1/√2，正切值为1。

13三角函数平面向量经典版测试题(含解析)

高一数学周末测试（十八周）一、选择题1. 若向量 a ⃗ =(x +1,2) 和向量 b ⃗ =(1,−1) 平行，则 ∣a ⃗ +b ⃗ ∣=( ) A. √10 B. √102 C. √2 D. √222. 已知点 A (1,3)，B (4,−1)，则与向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量是 ( ) A. (35,−45) B. (45,−35) C. (−35,45) D. (−45,35)3. 已知函数 f (x )=cos 4x −sin 4x ，下列结论中错误的是 ( ) A. f (x )=cos2x B. 函数 f (x ) 的图象关于直线 x =0 对称 C. f (x ) 的最小正周期为 π D. f (x ) 的值域为 [−√2,√2]4. 要得到函数 y =2sin (2x +π5) 的图象，应该把函数 y =cos (x −215π)−√3sin (x −2π15) 的图象做如下变换 ( )A. 将图象上的每一点横坐标缩短到原来的 12 而纵坐标不变B. 沿 x 轴向左平移 π2 个单位，再把得图象上的每一点横坐标伸长到原来的 2 倍而纵坐标不变C. 先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的 12 而纵坐标不变，再将所得图象沿 x 轴向右平移 π4 个单位D. 先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的 12 而纵坐标不变，再将所得图象沿 x 轴向左平移 π2 个单位5. 3−sin70∘2−cos 210∘= ( )A. 12 B. √22 C. 2 D. √326. cos10∘sin70∘−cos80∘sin20∘= ( ) A. 12B. √32C. −12D. −√327. 已知 sin ( π4−x)=35，则 cos ( π2−2x) 的值为 ( ) A. 1925 B. 1625 C. 1425 D. 7258. 设 α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，且 sinαcosα=cosβ1−sinβ，则 ( )A. 2α+β=π2 B. 2α−β=π2C. α+2β=π2D. α−2β=π29. 在 △ABC 中，AB =3，AC =2，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A. 52 B. −52 C. 54 D. −5410. △ABC 中， CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ， ∣a ⃗ ∣=2，∣∣b ⃗ ∣∣=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =−1，则 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣= ( ) A. 1 B. √2 C. √3 D. 211. 函数 f (x )=2cos 2x +sin2x −1，给出下列四个命题中正确的是 ( ) A 函数在区间 [π8,5π8] 上是减函数；B 直线 x =π8 是函数图象的一条对称轴；C 函数 f (x ) 的图象可由函数 y =√2sin2x 的图象向左平移 π4 而得到； D 若 x ∈[0,π2]，则 f (x ) 的值域是 [0,√2]； 12. 已知下列四个命题正确的是． A 对任意两向量 a ⃗ ，b ⃗ ，均有 ∣∣a ⃗ −b ⃗ ∣∣<∣a ⃗ ∣+∣∣b ⃗ ∣∣；B 若在 △ABC 中，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则 D 是线段 BC 的中点；C 在四边形中，若 (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ，则 ABCD 为平行四边形； D 若 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣，则 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣． 13.下列命题中错误的是（）．A 存在实数 α，β，使等式 sin (α+β)=sinα+sinβ 成立．( )B 在锐角 △ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小不确定．( ) C 若 α+β=45∘，则 tanα+tanβ=1−tanαtanβ．( )D y =3sinx +4cosx 的最大值是 7．( )E 对任意角 α 都有 1+sinα=(sin α2+cos α2)2．( )F 在非直角三角形中，tanA +tanB +tanC =tanAtanBtanC ．( )二、填空题14. 若单位向量 e 1⃗⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 π3，则向量 e 1⃗⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗⃗ 与向量 e 1⃗⃗⃗⃗ 的夹角为．15. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90∘，AD =2，BC =CD =1，P 是 AB 的中点，则 DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ．16. 定义运算 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc ，若 cosα=17，∣∣∣sinαsinβcosαcosβ∣∣∣=3√314，0<β<α<π2，则 β= ．17. 已知平面向量 a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为 π3，且满足 ∣a ⃗ ∣=2，∣∣b ⃗ ∣∣=1，则 a ⃗ ⋅b ⃗ = ， ∣∣a ⃗ +2b ⃗ ∣∣= ．三、解答题18. ∣a ⃗ ∣=4，∣b ⃗ ∣=3，(2a ⃗ −3b ⃗ )⋅(2a ⃗ +b ⃗ )=61．（1）求 a ⃗ 与 b ⃗ 的夹角 θ；（2）求 ∣a ⃗ +b⃗ ∣．19. 向量 a ⃗ =(cosα,sinα)，b⃗ =(cosx,sinx )，c ⃗ =(sinx +2sinα,cosx +2cosα)，其中 0<α<x <π．（1）若 α=π4，求函数 f (x )=b ⃗ ⋅c ⃗ 的最小值及相应 x 的值；（2）若 a ⃗ 与 b⃗ 的夹角为 π3，且 a ⃗ ⊥c ⃗ ，求 tan2α 的值．20. 函数 f (x )=2cos 2x +2√3sinxcosx +a ，且当 x ∈[0,π2] 时，f (x ) 的最小值为 2，（1）求 a 的值，并求 f (x ) 的单调递增区间；（2）先将函数 y =f (x ) 的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 12，再将所得的图象向右平移 π12 个单位，得到函数 y =g (x ) 的图象，求方程 g (x )=4 在区间 [0,π2] 上所有根之和．21. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (12,√32)，将向量 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕原点 O 按逆时针方向旋转 x 弧度得到向量 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．（1）若 x =π4，求点 Q 的坐标；（2）已知函数 f (x )=OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，令 g (x )=f (x )⋅f (x +π3)，求函数 g (x ) 的值域．22. 已知函数 f (x )=2sin 2x +cos (2x −π3)．（1）求 f (x ) 的最小正周期；（2）求 f (x ) 在 (0,π2) 上的单调递增区间．23. 如图，某市准备在道路 EF 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数 y =Asin (ωx +2π3)（A >0，ω>0），x ∈[−4,0] 的图象，且图象的最高点为 B (−1,2)；赛道的中间部分为直线跑道 CD ，且 CD =√3，CD ∥EF ；赛道的后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 DE ．（1）求 ω 的值和 ∠DOE 的大小；（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个矩形草坪，矩形的一边在道路OE 上，一个顶点在半径 OD 上，另外一个顶点 P 在圆弧 DE 上，且 ∠POE =θ，求当矩形草坪的面积取最大值时 θ 的值．参考答案（十八周）第一部分 1. C【解析】依题意得，−(x +1)−2×1=0，得 x =−3，又 a ⃗ +b ⃗ =(−2,2)+(1,−1)=(−1,1)，所以 ∣a ⃗ +b ⃗ ∣=√2． 2. A【解析】已知点 A (1,3)，B (4,−1)，则 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−4)，故与其同方向的单位向量为 15(3,−4)=(35,−45)．3. D4. C 【解析】函数y =cos (x −215π)−√3sin (x −2π15)=2cos [(x −2π15)+π3]=2cos (x +π5)=2sin (π2+x +π5)=2sin (x +7π10)轴的图象，先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的 12 而纵坐标不变，可得 y =2sin (2x +7π10) 的图象，再将所得图象沿 x 向右平移 π4 个单位，可得 y =2sin (2x −π2+7π10)=2sin (2x +π5) 的图象．5. C【解析】3−sin70∘2−cos 210∘=3−sin70∘2−1+cos20∘2=2(3−sin70∘)3−cos20∘=2 .6. B7. D【解析】因为 sin ( π4−x)=35，所以 cos (π2−2x)=cos2( π4−x)=1−2sin 2( π4−x)=725． 8. B【解析】由 sinαcosα=cosβ1−sinβ ，可得：sinα−sinαsinβ=cosαcosβ．所以 sinα=cosαcosβ+sinαsinβ=cos (α−β)，因为 α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，所以 cos (α−β)>0，所以 α+α−β=π2，即 2α−β=π2． 9. C 10. C 11. A B【解析】提示：f (x )=cos2x +sin2x =√2sin (2x +π4)，A B 对． 12. B C【解析】若两向量 a ⃗ ，b ⃗ 方向相反，则A 不对；由向量平行四边形法则可知B 对；C 中向量等式化简后为 CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，说明 CB ∥AD ，CB =AD ，所以C 对；由向量平行四边形法则可知D 不对． 13. B D第二部分 14. π2．【解析】因为 (e 1⃗⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗⃗ )⋅e 1⃗⃗⃗⃗ =e 1⃗⃗⃗⃗ 2−2e 1⃗⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗⃗ =1−2×12=0；所以 (e 1⃗⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗⃗ )⊥e 1⃗⃗⃗⃗ ；所以向量 e 1⃗⃗⃗⃗ −2e 2⃗⃗⃗⃗ 与向量 e 1⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 π2． 15. −1【解析】在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90∘，AD =2，BC =CD =1，可得 △BCD 为等腰直角三角形，则 BD =√2，且 P 是 AB 的中点，可得 DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−DA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=12[(√2)2−22]=−1.16. π3【解析】由 0<β<α<π2，cosα=17，得 sinα=4√37；又由 ∣∣∣sinαsinβcosαcosβ∣∣∣=3√314，得 sinαcosβ−cosαsinβ=sin (α−β)=3√314，cos (α−β)=1314，所以 cosβ=cos [(α−β)−α]=cos (α−β)cosα+sin (α−β)sinα=12，则 β=π3． 17. 1，2√3【解析】a ⃗ ⋅b ⃗ =∣a ⃗ ∣∣∣b ⃗ ∣∣cos⟨a ⃗ ,b ⃗ ⟩=2×1×12=1；∣∣a ⃗ +2b ⃗ ∣∣=√(a ⃗ +2b ⃗ )2=√∣a ⃗ ∣2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +4∣∣b ⃗ ∣∣2=√4+4×1+4×1=2√3.第三部分18. （1）由 (2a ⃗ −3b ⃗ )⋅(2a ⃗ +b ⃗ )=61，得 4∣a ⃗ ∣2−4a ⃗ ⋅b ⃗ −3∣b⃗ ∣2=61．因为 ∣a ⃗ ∣=4，∣b ⃗ ∣=3，所以 a ⃗ ⋅b ⃗ =−6，所以 cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ ∣a⃗ ∣∣b ⃗ ∣=−64×3=−12．又 θ∈[0,π]，所以 θ=23π．（2）因为 ∣a ⃗ +b ⃗ ∣2=(a ⃗ +b ⃗ )2=∣a ⃗ ∣2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +∣b ⃗ ∣2=42+2×(−6)+32=13，所以 ∣a ⃗ +b⃗ ∣=√13． 19. （1）因为 b⃗ =(cosx,sinx )，c ⃗ =(sinx +2sinα,cosx +2cosα)，α=π4，所以 f (x )=b ⃗ ⋅c ⃗ =cosxsinx +2cosxsinα+sinxcosx +2sinxcosα =2sinxcosx +√2(sinx +cosx )．令 t =sinx +cosx (0<x <π)，则 2sinxcosx =t 2−1，且 −1<t ≤√2．则 y =g (t )=t 2+√2t −1=(t +√22)2−32，−1<t ≤√2．所以 t =−√22时，y 取得最小值，且 y min =−32，此时 sinx +cosx =−√22．1)sin(x )442ππ+=∴+=-由于 0<x <π，5444x πππ<+< 746x ππ∴+= 故 x =11π12．所以函数 f (x ) 的最小值为 −32，相应 x 的值为 11π12．（2）因为 a ⃗ 与 b⃗ 的夹角为 π3，所以 cos π3=a ⃗ ⋅b ⃗ ∣a⃗ ∣⋅∣b ⃗ ∣=cosαcosx +sinαsinx =cos (x −α)．因为 0<α<x <π，所以 0<x −α<π．所以 x −α=π3．因为 a⃗ ⊥c ⃗ ，所以 cosα(sinx +2sinα)+sinα(cosx +2cosα)=0．所以 sin (x +α)+2sin2α=0，sin (2α+π3)+2sin2α=0．所以 52sin2α+√32cos2α=0．所以 tan2α=−√35． 20. （1）函数 f (x )=cos2x +1+√3sin2x +a =2sin (2x +π6)+a +1，因为 x ∈[0,π2]，所以 2x +π6∈[π6,7π6]，f (x )min =−1+a +1=2，得 a =2，即 f (x )=2sin (2x +π6)+3．令 2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2,k ∈Z ，得 kπ−π3≤x ≤kπ+π6,k ∈Z ，所以函数 f (x ) 的单调递增区间为 [kπ−π3,kπ+π6],k ∈Z ．（2）由（1）得 f (x )=2sin (2x +π6)+3，所以 g (x )=2sin (4(x −π12)+π6)+3=2sin (4x −π6)+3，又因为g(x)=4．所以sin(4x−π6)=12，解得4x−π6=2kπ+π6或2kπ+5π6，即x=kπ2+π12或kπ2+π4(k∈Z)．因为x∈[0,π2]，所以x=π12或π4，故所有根之和为π12+π4=π3．21. （1）由题意可得P(cosπ3,sinπ3)，cos(π3+π4)=12×√22−√32×√22=√2−√64，sin(π3+π4)=√32×√22+12×√22=√2+√64，所以点Q的坐标为(√2−√64,√2+√64)．（2）f(x)=12cos(π3+x)+√32sin(π3+x)=14cosx−√34sinx+34cosx+√34sinx =cosx,所以g(x)=cosx⋅cos(x+π3)=12cos2x−√32sinxcosx=1+cos2x4−√34sin2x=14−12sin(2x−π6).因−1≤sin(2x−π6)≤1，故g(x)的值域为[−14,34]．22. （1）因为cos2x=1−2sin2x，所以f(x)=2sin2x+cos(2x−π3)=1−cos2x+12cos2x+√32sin2x=1+sin(2x−π6).故f(x)的最小正周期为π．（2）由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z．故f(x)在(0,π2)上的单调递增区间为(0,π3)．23. （1）由条件得A=2，T4=3．∵T=2πω，∴ω=π6，∴曲线段FBC的解析式为y=2sin(π6x+2π3)(−4≤x≤0)．当x=0时，y=OC=√3．又CD=√3，∴∠COD=π4，∴∠DOE=π4．（2）由（1）可知OD=√6．又点P在圆弧DE上，OP=√6．又∠POE=θ，0<θ<π4，∴矩形草坪的面积为S=√6sinθ(√6cosθ−√6sinθ)=6(sinθcosθ−sin2θ)=6(12sin2θ+12cos2θ−12)=3√2sin(2θ+π)−3.∵0<θ<π4，∴π4<2θ+π4<3π4，∴当2θ+π4=π2，即θ=π8时，S取得最大值．。

专题一.三角函数与平面向量(练习卷1)解读

专题一.三角函数与平面向量（练习卷1）一．填空题：1．若cos 22sin 4θπθ=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin θθ+= 。

2．比较大小：522sin ,cos ,777a b c tan πππ===：。

3．已知函数()cos (0)f x x ωω=〉在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，且3()0,8f π=则ω= 。

4．i 是虚数单位，238238i i i i ++++= 。

（用a bi +的形式表示，,a R b R ∈∈）5．四边形ABCD 中，()()()1,2,4,1,5,3AB BC CD ==--=--则四边形ABCD 的形状是。

6．关于x 的方程22sin sin 0x x p -+=，在[]0,x π∈上有解，则实数p 的取值范围是。

7．已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，向量()()3,1,cos ,sin ,m n A A =-=若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则B = 。

8．函数sin ,cos y x y x ==与在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的交点为P ，它们在点P 处的两条切线与x 轴围成的三角形的面积是。

二．解答题9．已知函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域。

10．已知向量()cos ,sin m θθ=和()2sin ,cos n θθ=-[],2θππ∈ （1）求m n +的最大值；（2）当825m n +=时，求cos 28θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。

11．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos 23cos()20A B C +++=。

（1）求角A 的大小；（2）若2a =，当边长b 取得最大值时，求ABC ∆的面积。

三角函数、平面向量专题试题集

三角函数、平面向量专题试题集三角函数.平面向量专题试题集1. 函数的最小正周期为 ( A )A． B． C．8D．42. 已知函数的图象的一条对称轴方程为直线_=1,若将函数的图象向右平移b个单位后得到y=sin_的图象,则满足条件的b的值一定为( C )A．B． C．D．3. 在△ABC,为角A.B.C所对的三条边.(1)求时,t的取值范围;(2)化简(用(1)中t表示).(1)∵,∴△ABC为直角三角形,∴∠A+∠B= …………2分又…………4分∵ ∴, ∴…………6分(2)∵ ∴…………9分…………12分4. 已知向量a和b的夹角为60°,a = 3,b = 4,则(2a –b)·a等于 ( B )(A)15 (B)12 (C)6 (D)35. 已知．(Ⅰ)求cos的值;(Ⅱ)求满足sin(– _ ) – sin (+ _) + 2cos=的锐角_．解:(Ⅰ)因为,所以．(2分)所以=, (4分)由,所以．(6分)(Ⅱ)因为sin() – sin() + 2cos,所以, (8分)所以sin_=, (10分)因为_为锐角,所以．(12分)6. 下列函数中,最小正周期为,且图象关于直线对称的是( B )A． B．C． D．7. 若是纯虚数,则的值为 ( B )A．B．C．D．8. 已知向量上的一点(O为坐标原点),那么的最小值是( B )A．－16 B．－8 C．0 D．49. _年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为,大正方形的面积是1,小正方形的面积是的值等于( D )A．1 B．C．D．－10. 为锐角,为钝角,=.11. 已知a=1,b=,(1)若a//b,求a·b;(2)若a,b的夹角为135°,求a+b.解(1),①若,同向,则……3分②若,异向,则……3分(2)的夹角为135°,……2分……2分……2分12.已知函数(1)将的形式,并求其图象对称中心的横坐标;(2)如果△ABC的三边a.b.c成等比数列,且边b所对的角为_,试求_的范围及此时函数f(_)的值域.解:(1) ……3分由即对称中心的横坐标为……3分(2)由已知.……3分的值域为……2分综上所述, ……1分13. 设平面上的动向量a=(s,t),b=(－1,t2－k)其中s,t为不同时为0的两个实数,实数,满足a⊥b,(1)求函数关系式(2)若函数上是单调增函数,求证:;(3)对上述,存在正项数列,其中通项公式并证明.(1)解: ……3分(2)证明:成立, ……2分故; ……1分(3)故因为……4分事实上,……4分方法1:方法2:14. 如果函数的最小正周期是T,且当时取得最大值,那么( A )A． B． C． D．15. 在中,已知,那么一定是( B )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形16. 已知,那么的值为,的值为.17. 若 , 且()⊥ ,则与的夹角是 ( B )(A)(B)(C)(D)18. 把y = sin_的图象向左平移个单位,得到函数y = sin的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数的图象.19. 已知直线:_ – 2y + 3 = 0 ,那么直线的方向向量为(2,1)或等(注:只需写出一个正确答案即可);过点(1,1),并且的方向向量2与1满足1·= 0,则的方程为2_ + y – 3 = 0.20. 已知:tan= 2,求:(Ⅰ)tan的值;(Ⅱ)sin2的值．解:(Ⅰ)== 2,∴tan． (5分)(Ⅱ)解法一:sin2+sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2– sin2= 2sincos+ cos2 (8分)= (11分)=．(13分)(Ⅱ)解法二:sin2+ sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2– sin2= 2sincos+ cos2 (1)(8分)∵tan=,∴为第一象限或第三象限角．当为第一象限角时,sin=,cos=,代入(1)得2sincos+ cos2=; (10分)当为第三象限角时,sin=,cos=,代入(1)得2sincos+ cos2=． (12分)综上所述:sin2+ sin2+ cos2=．(13分)21. 已知常数a _gt; 0,向量,,经过定点A (0,–a )以+为方向向量的直线与经过定点B (0,a)以+ 2为方向向量的直线相交于点P,其中∈R．(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)若,过E (0,1)的直线l交曲线C于M.N两点,求的取值范围．解:(Ⅰ)设P点的坐标为(_,y),则,,又,故,．由题知向量与向量平行,故(y + a) = a_．又向量与向量平行,故y – a = 2．两方程联立消去参数,得点P (_,y)的轨迹方程是(y + a)(y – a)= 2a2_2,即y2 – a2 = 2a2_2．(6分)(Ⅱ)∵,故点P的轨迹方程为2y2 – 2_2= 1,此时点E (0,1)为双曲线的焦点．①若直线l的斜率不存在,其方程为_ = 0,l与双曲线交于.,此时． (8分)②若直线l的斜率存在,设其方程为y = k_ + 1,代入2y2 – 2_2= 1化简得2(k2 – 1) _2 + 4k_ + 1 = 0．∴直线l与双曲线交于两点,∴△=(4k)2 – 8 (k2 – 1) _gt; 0且k2 –1≠0．解得k≠±1．设两交点为M (_1,y1).N (_2,y2),则_1 + _2 =,_1_2 =． (10分)此时= _1_2 + k2_1_2= (k2 + 1) _1_2 =．当–1 _lt; k _lt; 1时,k2 – 1 _lt; 0,故≤;当k _gt; 1或k _lt; – 1时,k2 – 1 _gt; 0,故．综上所述,的取值范围是∪． (13分)22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32. 已知向量＝(8, _),＝(_,1),其中_＞0,若(－2)∥(2＋),则_的值为A.4B.8C.0D.2解:－2＝(8－2_,_－2),2＋＝(16＋_,_＋1)由(－2)∥(2＋),得(8－2_,_－2)＝λ(16＋_,_＋1)即_THORN; _＝4.选A33. 同时具有以下性质:〝①最小正周期实π;②图象关于直线_＝对称;③在[－]上是增函数〞的一个函数是A.y＝sin()B.y＝cos(2_＋)C.y＝sin(2_－)D.y＝cos(2_－)解:由性质①排除A,由性质②排除D,由性质③排除B,选C.34. 在△ABC中,已知sin2Asin2B＝,tanAtanB＝3,求角C.解:∵sin2Asin2B＝,∴sinAsinBcosAcosB＝……①……3’由A.B∈(0,π),知sinAsinB＞0,∴cosAcosB＞0又tanAtanB＝3,即＝3……②……6’由①②得:∴c osC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝而C∈(0,π),∴C＝.35. 如图,已知点P(3,0),点A.B分别在_轴负半轴和y轴上,且＝0,,当点B在y轴上移动时,记点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程;(2)已知向量＝(1,0),＝(0,1),过点Q(1,0)且以向量＋k(k∈R)为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点M.N,若D(－1,0),且＞0,求k的取值范围.解:(1)设A(a,0)(a＜0),B(0,b),C(_,y)则＝(_－a,y),＝(a,－b),＝(3,－b),∵＝0,,∴……3’消去a.b得:y2＝－4_∵a＜0,∴_＝3a＜0故曲线E的方程为y2＝－4_(_＜0)……5’(2)设R(_,y)为直线l上一点,由条件知)即(_－1,y)＝λ(1,k)∴,消去λ得l的方程为:y＝k(_－1) ……7’由_THORN;k2_2－2(k2－2)_＋k2＝0 ……(_)∵直线l交曲线E与不同的两点M.N∴△＞0 _THORN; －1＜k＜1……①……9’设M(_1,y1),N(_2,y2),则＝(_1＋1,y1),＝(_2＋1,y2)∵M.N在直线y＝k(_－1)上,∴y1＝k(_1－1),y2＝k(_2－1)又由(_),有_1＋_2＝,_1_2＝2∴＝(_1＋1)(_2＋1)＋y1y2＝(_1＋1)(_2＋1)＋k2(_1－1)(_2－1)＝(k2＋1)_1_2＋(1－k2)(_1＋_2)＋k2＋1＝由条件知:＞0 _THORN;k2＞……②……12’由①②知:－1＜k＜－或＜k＜1.……13’36. 设集合,集合,则( A )A．中有3个元素 B．中有1个元素C．中有2个元素 D．37. 在△中,〝是〝〞的( C )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件38. 函数在下面哪个区间内是增函数( C )A．B．C． D．39. 函数的最小正周期为．40. 在三角形ABC中,设,,点在线段上,且,则用表示为．41. 将圆按向量平移得到圆,则的坐标为(－1,2);将抛物线按的相反向量平移后的曲线方程为．42. 已知向量,,,其中．(Ⅰ)当时,求值的集合;(Ⅱ)求的最大值．解:(Ⅰ)由,得,即．…………4分则,得．…………………………………5分∴为所求．…………………………………6分(Ⅱ),……………10分所以有最大值为3． (12)分。

三角函数和平面向量综合测试题.doc

10.使y = sin亦(3 >0)在区间|0, 1 ］至少出现2次最大值，则3的最小值为(()A.* B t6.(l+tan25o)(l+tan2O o)的值是(7.a > 0 为锐角a二sin(a + "), b= sin tz + cos or ,则a、bZ间关系为A. a>hB. h>aC. a-bD.不确定8.同时具有性质“①最小正周期是龙，②图象关于直线x =-对称；③在3 6 3 是减函数”的一个函数是()X TT TT TT TT A. y - sin(— + —) B. y - cos(2x ------- ) C. y = sin(2x -------- ) D. y = cos(2x +—)2 6 6 63 9. /(x) = Asin((wc^(p) (A>0, 3>0)在x=l 处取最大值，则AD・BC=16.下面有五个命题：①函数3?=sin4x-cos4x的最小正周期是兀.②终边在y轴上的角的集合是｛a\a=^,k e Z |.J③在同一坐标系中，函数>,=sirL¥的图象和函数)=兀的图象有三个公共点.④把函数y = 3sin(2x + -)的图象向右平移匹得到y = 3sin 2x的图象.3 6⑤函数y = sin(x-^)在(0,兀)上是减函数.其中真命题的序号是_____________ ((写出所有真命题的编号))三•解答题=17.在ZXABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b, c.已知bsin A = 3csinB,一、选择题:1 •下列函数中，周期为彳的是()A. ”si吟B. y = sin 2xC. y = cos-一4D. y = cos 4x2.设P是ZkABC所在平面内的一点，BC + BA = 2BP,则A.PA+PB=O B PC+PA=0C.PB+PC"°PA+PB+PC=O)3.己知向量"HZ若a + ”与4b-2a平行，则实数兀的值是()A.-2 B. 0 C. 1 D. 24.已知O是△4BC所在平面内一点，D为BC边中点，且2Q4 + OB + OC = 0, 那么)A. AO = OD B.AO = 2OD C. AO = 3OD D. 2AO = OD5. 若函数fix)= V3 sin 1 ,函数/U)的最大值是5 5 3A. —71B. —71C.兀D・—712 4 211、在直角坐标系x0>冲，i,丿•分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角屮，AB = 2i + j, AC = 3i + kj ,则k的可能值有A、1个12.如图，h、仏、B、2个C、3个厶是同一平面内的三条平行直线，厶与b间的距离是的距离是2,正三角形ABC的三顶点分别在厶、H、厶上，贝'JAABC的边(A) 2^3 (B) —(C) (D)3 4 3二、填空题:13.设两个向量"5 ，满足I 5l=2,| e2\=l, e lf e2的夹角为60°，若向量2t e i+7 e2与向量e x+1 e2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为.714.若sin〃一cos0 = —, 0(0,兀)，则tan。

平面向量与三角函数的综合习题

平面向量与三角函数的综合习题三角函数与平面向量综合题题型一：三角函数与平面向量平行(共线) 的综合【例1】已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)→与向量q ＝(cosA－sinA ，1＋sinA) 是共线向量.C －3B 2（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin B ＋cos . 2题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合【例2】3π→→→→已知向量a ＝(3sinα,cosα)，b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(2π)，且a ⊥b ． 2απ（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值． 23题型三. 三角函数与平面向量的模的综合→→→→2【例3】已知向量a ＝(cosα,sinα)，b ＝(cosβ,sinβ)，|a －b |＝5.(Ⅰ) 求cos(α－β)的值；5ππ5(Ⅱ) 若－β＜0＜α＜sinβ＝－sinα的值. 2213题型四三角函数与平面向量数量积的综合【例3】π→→→→设函数f(x)＝a ·b . 其中向量a ＝(m，cosx) ，b ＝(1＋sinx ，1) ，x ∈R ，且f(2＝2. （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例5】（山东卷）在∆A B C 中，角A , B , C 的对边分别为a, b , c ，tan C =．5（1）求cos C ；（2）若C B ⋅C A =，且a +b =9，求c ． 2题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例6】（2019年高考陕西卷）f (x ) =a ⋅b ，其中向量a =(m , cos 2x ) ，πb =(1+sin 2x ,1) ，x ∈R ，且函数y =f (x ) 的图象经过点(, 2) ． 4（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数y =f (x ) 的最小值及此时x 值的集合。

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三角函数与平面向量
一、选择题:本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.将时钟的分针拨慢10分钟，那么此过程中分针经过的弧度数为（）
A ．3π
B . －3π
C .6π
D . －6
π 2．已知平行四边形ABCD ，O 是平行四边形ABCD 所在平面外任意一点，a OA =，b OB =，c OC =，则向量OD 等于（）
A ．a +b +c
B ．a +b -c
C ．a -b +c
D ．a -b -c
3. 已知：sin()sin (,0). cos = 32
ππαααα++=∈-则（）
A ．1-2
B ．12
C ．
D 4．若将函数tan()(0)4y x πωω=+>的图像向右平移6
π个单位长度后，与函数tan()6y x πω=+的图像重合，则ω的最小值为（） A ．16 B . 14 C . 13 D . 12 5.函数y =|sin x |－2sin x 的值域是（）
A .［－3，－1］
B .［－1，3］
C .［0，3］
D .［－3，0］
6．已知→a ＝(sin θ，1＋cosθ)，→b ＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，3π2
)，则一定有（） A ．→a ∥→b B ．→a ⊥→b C ．→a 与→b 夹角为45° D ．|→a |＝|→b |
7．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π12
x 的图象上,实数λ＝（） A ．52 B ．32 C ．－52 D ．－32
8．对于函数f （x ）=⎩
⎨⎧>≥,sin cos ,cos ,cos sin ,sin 时当时当x x x x x x 给出下列四个命题： ①该函数的值域为［－1，1］；②当且仅当x =2k π+2
π（k ∈Z ）时，该函数取得最大值1； ③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2k π+π<x <2k π+2
3π（k ∈Z ）时，f （x ）<0. 上述命题中正确的个数是（）
A .1
B .2
C .3
D .4
9. 已知∈Z k ，(,1),(2,4)==u u u r u u u r AB k AC ，若≤u u u u r AB ABC 是直角三角形的概率为（） A ．
17 B ．27 C ．37 D ．47
10. 的最大值为，则设βαβα2cos sin 3
1sin sin -=+ ( ) A .34 B . 1211- C . 94 D .32- 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分．把答案填在题中横线上．
11．设函数())
()cos 0f x ϕϕπ=+<<.若()()/f x f x +是奇函数，则ϕ=__________． 12.已知向量→m ＝(sin θ，2cos θ)，→n ＝(3,－12
).若→m ∥→n ，则sin2θ的值为____________．
13.设,a b r r 是两个不共线的向量，2,3,2AB a kb CB a b CD a b =+=+=-u u u r r r u u u r r r u u u r r r ，若,,A B D 三点共线，则k 的值为 ____________________. 14.已知a r =4, b r =3, (23)a b -r r g (2)a b +r r =61.在ABC V 中，AB u u u r =a r , CA u u u r =b r , 则ABC V 的内角A 的度数是 .
15．设→a =（1+cosα，sinα），→b =（1－cosβ，sinβ），c → =（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），→a 与c →的
夹角为θ1，→b 与c →的夹角为θ2，且θ1－θ2=π6，则sin α-β4
的值．三、解答题:本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤.
16．(本题满分12分)．已知向量)21,sin (--=→
θa m ，)cos ,2
1(θ=→n ．（1）当22=a ，且→→⊥n m 时，求θ2sin 的值；（2）当0=a ，且→m ∥→n 时，求θtan 的值．
17．(本题满分12分)在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量→m ＝(1，2sin A )，→n ＝(sin A ，1＋cos A )，满足→m ∥→n ，b ＋c ＝3a .
(1)求A 的大小； (2)求sin(B ＋π6
)的值．
18. (本题满分12分)已知→a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，→b ＝(cos x －sin x ，2cos x ).
（1）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行；
（2）若f (x )＝→a ·→b ，且x ∈[－π4,π4
]时，求函数f (x )的最大值及最小值．
19. (本题满分12分) 已知ΔABC 中，A 、B 、C 分别是三个内角，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知22（sin 2A -sin 2C ）=(a -b )sin B ,ΔABC 的外接圆的半径为2.
（1）求角C ;
（2）求ΔABC 面积S 的最大值.
20．（本小题满分13分）已知a r 、b r 是两个不共线的向量，且a r =（cos α，sin α）, b r =（cos β，sin β）. （1）求证：a r +b r 与a r －b r 垂直；
（2）若α∈（4,4ππ-），β=4π，且|a r +b r | = sin α.
21．(本题满分14分)已知向量,cos x x αωω=u r ）, cos ,cos )x x βωω=u r
（,记函数 ,)(⋅=x f 已知)(x f 的周期为π.
（1）求正数ω之值, 并求函数f (x )的的单调递增区间.
（2）试用“五点法”画出函数()f x 在一个周期内的简图，并指出该函数的图象可由sin (R)y x x =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（3）当x 表示△ABC 的内角B 的度数，且△ABC 三内角A 、B 、C 满足sin
2sin sin B A C =⋅,试求f (x )的值域.。