新东方线性代数笔记--第五讲_特征值与特征向量--李永乐
线性代数第五、六章 特征值与特征向量
特征值即为其主对角线元素。
2 1 1
【例
2】求
A
0 4
2 1
0 3
的特征值和特征向量.
2 1 1 【解】 f ( ) A E 0 2 0
4 1 3 (2 ) 2 1 (1 )(2 )2，
4 3 令 f ( ) 0，解得 A的特征值为
1 1, 2 3 2
1 0
0 4
0 1
0 1
x2 x3
0 0
,得非零解为
x
k2
0 4
k3
11,
即为 A的属于特征值2 3 2的所有特征向量,其中k2 , k3
为不全为零的常数。
1 1 0
【例
3】求
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和特征向量.
【简解】⑴ A的特征值为1 2,2 3 1。
0
⑵对于1 =2,
⑴ 特征多项式 f ( ) | A E |； ⑵ 求特征方程 f ( ) | A E | 0的解1,2 , ,n， 则1,2 , ,n为 A的特征值（也称特征根）； ⑶ 对于每个i (i 1,2, , n)，求齐次线性方程组
（A i E）x 0 的（所有）非零解 x，即得 A的属于特征值i的（所有）
【定理 5.7】 设 A为n阶实对称阵，则必有正交阵 P ，使得
1
P 1 AP
，其中
1
,
n
,n为 A的特征值。
（一定要记住定理 5.7 的结论）
定理 5.7 表明n阶实对称阵一定有n个线性无关的特征向量。
求正交阵P的方法与步骤（一定要掌握）
①求出A的特征值与特征值对应线性无关的特征向量。
②如果特征值是单根,对应线性无关的特征向量只有 一个，将它单位化;
线性代数专业知识讲座
例设 计算
1 0 2
A
0
1
1
0 1 0
g(A) 2A8 3A5 A4 A2 4E
25
§5.3 特征值与特征向量
解:
1 0 2
f () E A 0 1 1
0 1
3 2 1
令
g() 28 35 4 2 4
g() f ()(25 43 52 9 14)
将特征值 3 5 代入特征方程组 (E A)X 0
得特征向量
1 X 3 1
1
13
§5.3 特征值与特征向量
T 旳属于特征值 1 2 1 旳线性无关旳特征向量
1
1
(1,2 ,3 ) X1
(1
,
2
,
3
)
0
1
3
1
0
2
(1, 2 ,3 ) X 2
(1
,
2
,
3
)
1
2
3
1
T 旳属于特征值 1 2 1 旳全部特征向量
7
§5.3 特征值与特征向量
求矩阵旳特征值与特征向量旳环节： (1) 计算矩阵 A 旳特征多项式
En A (1 )(2 )
(2) 由
En A 0
(n )
得全部根 1 , 2 ,, n 即为矩阵A旳特征值
(3) 对 A 旳不同特征值 i , 分别求解方程组
(i E A) X 0
得基础解系 1, 2 , , r
20
§5.3 特征值与特征向量
(1) 特征多项式 f () 是有关 项旳 n 次多项式 (2) n 次项( n 项)旳系数为 1 (3) n-1 次项(n-1 项)旳系数为 – (a11+ a22+…+ ann)
线性代数第5章 特征值及特征向量
k1 p1 ( k1 0 常数)是对应于1 2 的全部特征向量.
18
回答问题
(1) 向量 0 满足 A ,
0 是 A 的特征向量吗？
(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗? (3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值______.
E A 0 或
④
23
二、填空题
１．已知三阶方阵Ａ的三个特征值为１，－２，３．则
|A|＝（
－６
），
Ａ－１的特征值为（ ＡＴ的特征值为（
１，-1/2, 1/3
１，－２，３．
）， ）， ）．
Ａ２＋２Ａ＋Ｅ的特征值为（
4, 1, 16 0
２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ ３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（
）．
当
齐次线性方程组为 ( A 2E ) X O 2 3 2 时，
4 1 1 4 1 1 A 2E 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 1 得基础解系 P2 1 , P3 0 . 1 4
( ) a0 a1 a22 am m
是
( A) a0 E a1 A a2 A2 am Am
的特征值。如果 A 可逆，则
( ) a k k a11 a0 a1 am m
是
( A) a k A k a1 A1 a0 E a1 A am Am
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
1
一、特征值与特征向量的定义 定义1 设 A 是 n 阶方阵，
特征值与特征向量
例1 设有4阶方阵A满足条件 2EA? ? 0, AAT ? 2E, A ? 0, 其中E 为4阶单位矩阵，求A的伴随矩阵 A? 的一个特征值。
分析 A?的特征值为 A ，其中 ? 是A的特征值。因
?
此，本题的关键在于计算 A 以及A的一个特征值，而这 由已知条件均很容易得到。
解 由 2E ? A ? ? 2E ? A ? 0 ，得A的一个特征值
对应于特征值3的全部特征向量为
k3 P? 1? 3
（ k3 是不全为零的任意常数）
二、求抽象矩阵的特征值与特征向量
对于元素没有具体给出的抽象矩阵，要根据题设条 件，利用特征值与特征向量的定义，即满足 A? ? ?? ，? ? o 的 ? 和 ? 为A的特征值和相应的特征向量；或利用特征 方程? E ? A ? 0 ，满足特征方程的? 即为A的特征值；或 利用特征值的有关性质和结论推导出特征值的取值。
? ? 设 A ?
aij
的
n? n
n
个特征值为
?1, ?2 ,
, ?n ，则
? ? ? ?? ? 1 ? 2 ? ? n ? a11 ? a22 ? ? ann , 1 2 t ? A
?3 2 2? ?0 1 0?
例1
设矩阵
A
?
? ?
2
3
2,?? P ? ??1
0
1 ??, B ? P?1 A? P,
第二步 求解齐次线性方程组 ??i E ? AO?? ?i ? 1, 2, ,t ?，
其基础解系
? ?? i12, i ,, isi ?1 ? si ? ri, i ? 1, 2,, t ?
就是A对应特征值 ? i的线性无关特征向量，而A对应特
李永乐.线性代数
线性代数李永乐辅导笔记【例题1】B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡50030021a ，A 2－2AB ＝ E ，r(AB －2BA ＋3A ) ＝（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）与a 有关 【解】 ∵ A (A －2B ) ＝ E ∴ A 可逆，且A －1＝ A －2B⇒ A (A －2B ) ＝ (A －2B ) A (A A－1＝ A －1A )⇒ AB ＝ BA那么，AB －2BA ＋3A ＝ 3A －AB ＝ A (3E －B )又，A 可逆，知r(AB －2BA ＋3A ) ＝ r(A (3E －B )) ＝ r(3E －B )∀a 有|3E －B |＝0，又3E －B 有二阶子式不得零，从而r(3E －B ) ＝ 2.【例题2】A m ×n ，ε1，ε2，…，εt 是Ax ＝ 0的基础解系，α是Ax ＝ b 的一个解. (I)证明α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关.(II)证明Ax ＝ b 的任意一个解都可以由α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性表出.【分析】ε1，ε2，…，εt 是Ax ＝0的基础解系，那么ε1，ε2，…，εt 必定线性无关，从而证明α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关可以用定义法。
【证】(I)（用定义，重组，同乘）设 k 0α＋k 1 (α＋ε1)＋k 2(α＋ε2)＋…＋ k T (α＋εt )＝0 (1) 即 （k 0＋k 1＋k 2＋…＋k T ）α＋k 1ε1＋k 2ε2＋…＋k T εt ＝0(2)由A α＝b ， A εi ＝0（i ＝1，…，t ），用A 左乘（2），有(k 0＋k 1＋k 2＋…＋k t )A α＋k 1A ε1＋k 2A ε2＋…＋k t A εt ＝0即 (k 0 ＋k 1＋k 2 ＋…＋k t )b ＝0 又b ≠0，有k 0＋k 1＋k 2＋…＋k T ＝0(3)带入(2)有 k 1ε1＋k 2ε2＋…＋k t εt ＝0，而ε1，ε2，…，εt 是Ax ＝0的基础解系，那么ε1，ε2，…，εt 必定线性无关， 从而k 1 ＝k 2 ＝…＝k t ＝0，带入(3)有k 0＝0.所以 k 0＝k 1＝k 2＝…＝k t ＝0⇒α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关. （或用秩）∵ε1，ε2，…，εt 线性无关，α是Ax ＝b 的解⇒α不能由ε1，ε2，…，εt 线性表出.⇒x 1ε1＋x 2ε2＋…＋x t εt ＝α无解⇒r(ε1，ε2，…，εt )≠r(ε1，ε2，…，εt ，α)∵r(ε1，ε2，…，εt ) ＝t ⇒r(ε1，ε2，…，εT ，α)＝t ＋1⇒r(α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt )＝t ＋1⇒α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关.(II)设β是Ax ＝b 的任意一个解，则β－α是Ax ＝0的解. 从而 β－α＝l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l t εt .⇒β＝α＋l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l t εt⇒β＝(1－l1－l 2 －…－l t )α＋l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l t εt即β可由α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 表出.【评注】本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法.设矩阵A －n 阶，B －n 阶，若AB ＝ BA ＝E ，则称矩阵A 可逆，且B 为A 的逆矩阵.由此有A A －1＝ A －1A .【例题3】A m ×n ，r(A )＝n ，α1，α2，…，αs 是n 维列向量.证明：α1，α2，…，αs 线性无关的充分必要条件是A α1，A α2，…，A αs 线性无关.【证】必要性（用定义）设k 1A α1＋k 2A α2＋…＋k s A αs ＝0，即A (k 1α1＋k 2α2＋… ＋k s αs )＝0. 由A m ×n ，r(A )＝n ⇒Ax ＝0只有零解.故k 1α1＋k 2α2＋…＋k s αs ＝0，又α1，α2，…，αs 线性无关⇒k 0＝k 1＝k 2＝…＝k s ＝0. 从而A α1，A α2，…，A αs 线性无关. 充分性（用秩）因为A α1，A α2，…，A αs ＝A (α1，α2，…，αs )，所以r(A α1，A α2，…，A αs )＝r(A (α1，α2，…，αs ))≤r(α1，α2，…，αs )由A α1，A α2，…，A αs 线性无关知r(A α1，A α2，…，A αs )＝s.而r(α1，α2，…，αs )≤s ，从而r(α1，α2，…，αs )＝s ⇒α1，α2，…，αs 线性无关.【例题4】设A ＝[α1，α2，α3，α4]，Ax ＝β的通解是[1，－2，1，－1] T＋k[1，3，2，0]T，B ＝[α3，α2，α1，β＋α4]，γ＝α1－3α2＋5α3，(I) α1能否由α2，α3线性表出？ (II) α4能否由α1，α2，α3线性表出？ (III) Bx ＝γ求的通解.【分析】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构.并且由于系数矩阵没有明确给出，所以要从解的结构抽象地求解方程组.用观察法得到基础解系，注意基础解系是线性无关的. 【证】(I) Ax ＝β解的结构知r(A )＝3.由A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0231＝0 ⇒α1＋3α2＋2α3＝0⇒α1能由α2，α3线性表出.(II) 设x 1α1＋x 2α2＋x 3α 3 ＝α4由(I)知r(α1，α2，α3)＜3，而r(α1，α2，α3，α4)＝4，知方程组无解，故α4不能由α1，α2，α3线性表出.(III)由A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1121＝β⇒α 1－2α 2 ＋α3－α4＝β，那么B ＝[α3，α2，α1，β＋α4]＝[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4]⇒ r(B )＝4.从而n －r(B )＝2.【评注】本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明.考查了方程组基础解系的概念：设有向量小组η1，η2，…，ηt 满足： (1) A ηi ＝ 0（i =1，…，t ），即ηi 是Ax ＝ 0的解. (2) Ax ＝ 0的任意一个解都可以由η1，η2，…，ηt 表出. (3) η1，η2，…，ηt 线性无关.那么称η1，η2，…，ηt 为Ax ＝ 0的基础解系.也就是说若η1，η2，…，ηt 是Ax ＝ 0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt 必满足上述3条。
线性代数中的特征值与特征向量
线性代数中的特征值与特征向量线性代数是高等数学的一个分支，是研究线性方程组、向量空间、矩阵与线性变换等方面的数学学科。
其中，特征值与特征向量是线性代数的重要概念之一，本文将深入探讨它们的性质及应用。
一、特征值与特征向量的定义在矩阵理论中，给定一个n阶矩阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量x，使得下式成立：Ax = λx则称λ为矩阵A的特征值，x为A对应于特征值λ的特征向量。
其中，λ是一个实数或复数，x是一个n维向量。
二、特征值与特征向量的求法对于一个n阶矩阵A，求解其特征值和特征向量的方法是通过求解方程组(A-λI)x = 0，其中I是n阶单位矩阵，x是一个非零向量，λ是未知标量。
然后根据解得向量x的非零性质，可以得到矩阵A的特征向量。
三、特征值与特征向量的性质1. 特征值不唯一性：对于一个矩阵A，它的不同特征向量所对应的特征值可能是相同的。
2. 特征向量的线性组合仍为特征向量：如果x1和x2为矩阵A的两个特征向量，对应的特征值为λ，则c1x1+c2x2也是A的一个特征向量，其中c1和c2是任意常数。
3. 特征向量构成向量空间：矩阵A特征向量所构成的向量空间，被称作矩阵A的特征空间。
4. 特征值与行列式的关系：如果A是一个n阶方阵，它的特征值λ可以通过求解方程|A-λI| = 0来得到。
该关系式被称作矩阵A的特征方程式。
四、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在许多领域应用广泛，其中一些重要的应用如下：1. 特征值分解：矩阵A可以通过特征值分解表示为A = PDP^-1，其中P是n阶可逆矩阵，D是对角矩阵，其对角线上的元素均为特征值。
特征值分解可用于求解矩阵乘法、矩阵指数等问题。
2. 矩阵对角化：如果一个矩阵A可以表示为A = PDP^-1，那么可以将矩阵A对角化为对角矩阵D，其对角线上的元素为特征值。
3. 矩阵的稳定性：矩阵A的特征值可以用于判断矩阵A的稳定性。
如果所有特征值的实部都小于零，则矩阵A是稳定的。
线代：特征值与特征向量讲义
例14. 构造一个3阶实对称矩阵A, 使其特征值为1,1,1, 并且对应特征值1的特征向量为k (1,1,1) l (2,2,1) .
T T
1 ,2 , ,n
4. 以1 , 2 , , n 为列向量构成正交矩阵 T (1 , 2 , , n ) 有 T AT
1
1 1 1 即 T AT r r
1
1
A 的特征向量.
特征值的性质
( 4)设 ( x)是多项式, 则 ( A)是矩阵多项式, 则 ( )是 矩阵 ( A)的特征值, 而x仍是属于 ( )的特征向量.
T A A 性质2： 矩阵 和 的特征值相同。
定理
设 n 阶方阵 A aij 的 n 个特征值为 1 , 2 , , n 则
3
. .
4 a 2 0 (5)设A 与B 相似, 则a 2 b 0 1
,b
例题-概念
例9. 选择题 (1)设A为n阶方阵, , 是A的特征值, , 是分属于 , 的
1 2 1 2 1 2
特征向量, 则 A.当 时, , 一定成比例;
矩阵可对角化的条件
定理
n 阶矩阵 A 可对角化（与对角阵相似）
A 有 n 个线性无关的特征向量. 推论：若 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值,
则 A 可对角化.（与对角阵相似）
(逆命题不成立)
例题
例4 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2 (1) A 2 2 4 2 4 2
特征向量的性质
(1)对于矩阵A, 属于不同特征值的特征向量线性无关; (2)若n阶矩阵A有n个不同的特征值, 则A有n个线性无 关的特征向量; (3)设是矩阵A的k重特征根, 则A的属于的线性无关 的特征向量个数至多有k个.
线性代数第5章特征值与特征向量(自考经管类)
3
1
0
1
0
解得 x1
x2,
所以对应的特征向量可取为p1
1. 1
所以k1 p1(k1 0)是对应于1 2的全部特征向量.
当 4时,由 2
x x 4 3
x x
1
解得x1
1
4
3
1 2
0 0
,即11
1
1
1 2
0 0
,
x2,所以对应的特征向量可取为p2
2x1 x2 x3
0
0
可
取特征向量
0
p3
1
1
33
1 0 0
这三个线性无关的特征向量可以拼成可逆矩阵
P
0
1
1
1
0 1 1
使得
P 1
AP
1
A
1
下面通过检验矩阵等式 AP P 验证上述矩阵等式是否正确
1 0 01 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0
0
1
0
1
1
0
可取解
1
p1
1
1
属于2 3=2的特征向量满足：
1 1 1 1 1 1
2
E3
A
1
1
1
0
0
0
1 1 1 0 0 0
1
0
可取两个线性无关的解
p2
0
,
p3
1
1
1
这三个列向量就是需要求出的线性无关的特征向量.
36
1 1 0
例3
求出
A
4
3
0
1 0 2
Ak
( PP 1 )k
2016李永乐线代冲刺班讲义
（A）1
（B）2
（C）3
（D）与 a 有关不确定
11. 已知 n 维向量 α1 , α2 , α3 线性无关，那么向量组 aα1 bα2 , aα2 bα3 , aα3 bα1 线性无关的充分必要条件是 （A） a 0, b 0 （B） a b 0 （C） a b （D） a b
17. 设 3 阶矩阵 A 有 3 个不同的特征值 1 , 2 , 3 ,对应的特征向量分别是 α1 , α2 , α3 ,记 β α1 α2 α3 . （I）证明： β 不是矩阵 A 的特征向量. （II）若 Aβ A β ，求 A 的特征值并求行列式 A 2 E 的值.
T T T T
β2 能由 α1 , α 2 线性表出，则 a
.
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2016 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐
1 0 7. 已知 A 0 1
0 0 1 1 1 0 ，则齐次方程组 An x 0 的通解 1 1 0 0 0 1
.
3 1 2 * * 2 8. 设 A= 0 1 且秩 r(A)=2，A 是 A 的伴随矩阵，则齐次方程组 A x=0 的通解 1 a 4 a
共有 （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个
1 0 0 0 1 2 , 0 0 1
1 0 0 2 1 0 0 0 1
1 a x1 x2 x3 0 x1 1 a x2 x3 a . 14. 解方程组 x1 x2 1 a x3 a 2 当 a 为何值时，方程组无解？当 a 为何值时，方程组有解，并在有解时求其所有的解.
李永乐线代笔记定稿版
李永乐线代笔记HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】1、线代5~7道题行列式矩阵向量方程组特征值二次型2、微积分数一考的难3、数一线代多一个向量空间考点【行列式、矩阵、向量、方程组、特征值、二次型】4、说曲面名称，数一；三个平面5、方程组，有解、无解、唯一解、无穷解【相关、无关、帙、线性表述、研究方程组解的理论】===【研究解的过程提炼出矩阵、行列式】6、二次型是特征值的几何应用，为什么有各种不同的曲面，由特征值的正负等，7、二次型和特征值的关系8、方程组和特征值是重点，考解答题9、概念多，定理，运算法则多，符号多10、内容纵横交错，知识前后联系紧密代数的一题多解，用不同的定理公式做同一道题11、逻辑推理要求高，可能考证明题，要在证明题花点时间1.方程组，解的情况，有没有解，相关无关，帙2.怎么求解，什么叫方程组的解：x1.。
xn带进每个方程，则是解3.同解变形(1)将两个方程位置互换（2）将某个方程乘以一个非零常数（3）将某个方程的K倍加到某个方程上---------------矩阵的初等变换【解方程组只能做行变换，不能列变换】4.先正向消元---由上往下；然后反响求解-----由下往上5.系数变成a，b，求a，b取什么值有解、无解；面对参数怎么消元，讨论1.求其次方程解(1)初等行变换（2）阶梯型（3）行最简化t、u2.加减消元2分，求解过程没分，答案写出来给满分，看着行最简直接写答案3.A---mxn，有几个线性无关解，n-A的帙4.帙就是最简行矩阵的行数5.找到单位矩阵，其他的是变量，用100法则；找到1对应的数，写其相反数6.对矩阵A进行初等行变换；则方程组的一个基础解系为----------行最简1、矩阵基础知识，矩阵：mxn表格数叫矩阵【行列式一定是一个数，行列相等】2、矩阵描述一些事情、做运算3、矩阵乘法：A-MxN列,B-N行xS.AB-MxS，i行乘j列4、遇到AB=0，秩；解5、对角矩阵得对角矩阵，左右可以交换；对角矩阵的次方=对应元素的次方6、列前行后，的N阶矩阵，行前列后，的一个数7、Ab转置与ba转置互为转置矩阵8、主对角线元素的和叫做矩阵的“迹”9、Ab转置的主对角线等于b转置a10、方程组可以写成矩阵乘法11、A-n，A各行元素之和都为0，【1，1，1，1，1，。
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特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在很多实际问题中具有广泛的应用。
本文将从定义、性质、求解方法以及应用等几个方面介绍特征值和特征向量。
特征值（eigenvalue）是一个方阵在一些线性变换下的伸缩因子，而特征向量（eigenvector）则是特征值对应的非零向量。
对于一个给定的方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax=λx，其中λ是一个标量，那么λ就是矩阵A的特征值，而x就是对应的特征向量。
特征值和特征向量具有以下几个重要性质：
1.特征值是矩阵的本质性质，不依赖于矩阵的表示方式。
2.每个特征值都有对应的特征向量，但一个特征向量可能对应多个特征值。
3.特征值和特征向量可以是复数，不一定是实数。
要求解特征值和特征向量，可以通过以下步骤进行：
1. 求解矩阵的特征方程：det(A-λI)=0，其中det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵。
2.解特征方程得到特征值。
3.将特征值代回到特征方程，解得对应的特征向量。
特征值和特征向量在很多应用中具有重要的意义，如以下几个方面：
1.特征值和特征向量可以用于矩阵的对角化，简化复杂计算。
2.特征值和特征向量在数据降维中有广泛应用，如主成分分析（PCA）。
3.特征值和特征向量可用于解决线性方程组、求解线性变换等问题。
4.特征值和特征向量在机器学习算法中有很多应用，如图像处理、聚类算法等。
综上所述，特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
掌握特征值和特征向量的求解方法和性质，有助于理解和应用线性代数的相关知识。
李永乐线性代数冲刺笔记(打印版)
1
(III)由 A 2 ＝β α1 －2α2 ＋α3－α4＝β， 1
1
那么 B＝[α3，α2，α1，β＋α4]＝[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4] r(B)＝4.
- 2 - / 11
从而 n－r(B)＝2.源自5因为[α3，α2，α1，α1 －2α2＋α3－α4] 3 ＝α1－3α2＋5α3 1
β＝α＋l1η1＋l2η2＋…＋lt ηt
β＝(1－l1 －l2 －…－lt)α＋l1η1＋l2η2＋…＋lt ηt
- 1 - / 10
即 β 可由 α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt 表出.
【评注】 本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明.考查了方程组基础解系的
概念：
设有向量小组 η1，η2，…，ηt 满足： (1) Aηi ＝ 0（i =1，…，t），即 ηi 是 Ax ＝ 0 的解. (2) Ax ＝ 0 的任意一个解都可以由 η1，η2，…，ηt 表出. (3) η1，η2，…，ηt 线性无关. 那么称 η1，η2，…，ηt 为 Ax ＝ 0 的基础解系. 也就是说若 η1，η2，…，ηt 是 Ax ＝ 0 的基础解系，那么 η1，η2，…，ηt 必满足上
设 k0α＋k1 (α＋η1)＋k2(α＋η2)＋…＋ kT(α＋ηt)＝0
(1)
即 （k0＋k1＋k2＋…＋kT）α＋k1η1＋k2η2＋…＋kT ηt＝0
(2)
由 Aα＝b， Aηi＝0（i＝1，…，t），用 A 左乘（2），有
(k0＋k1＋k2＋…＋kt)Aα＋k1Aη1＋k2Aη2＋…＋ktAηt＝0
即 (k0 ＋k1＋k2 ＋…＋kt)b＝0
又 b≠0，有 k0＋k1＋k2＋…＋kT＝0
线代第五章总结
3
二、例题说明
(一) 求具体矩阵的特征值和特征向量 对具体矩阵A = (aij )n×n , 求A的特征值与特征向量的步骤如下: step 1: 由特征方程|λE − A| = 0求得A的n个特征值, 设λ1 , λ2 , · · · , λt 是A的互异特征值, 其重数分别为r1 , r2 , · · · , rt . 则 r1 + r 2 + · · · + r t = n step 2: 求齐次线性方程组(λi E −A)X = O(i = 1, 2, · · · , t), 得基础解系ηi1 , ηi2 , · · · , ηisi (1 ≤ si ≤ ri , i = 1, 2, · · · , t). 则A的 对 应 特 征 值λi 的 全 部 特 征 向 量 为ki1 ηi1 + ki2 ηi2 + · · · + kisi ηisi (ki1 , ki2 , · · · , kisi 不全为零). 实例省略. (二) 求抽象矩阵的特征值 例1. 设方阵A满足A2 − 3A + 2E = O, 其中E 为单位矩阵. 求A的特征值. 解: 设A的特征值为λ, 则λ2 − 3λ + 2 = (λ − 1)(λ − 2) = 0. 所以, λ1 = 1, λ2 = 2. 即A的 特征值为1或2. 例2. λ为A的特征值, 则aA−1 + bA∗ 的特征值为(A可逆)? 1 |A| 1 解: a · + b · = (a + b|A|) λ λ λ 例3. 设4阶方阵A满足AAT = 3E, |A| < 0. 求方阵A的伴随矩阵A∗ 的两个特征值. 解: 今|A| < 0, |A| = 0, 所以A可逆. |A| λ为A的特征值时, A∗ 的特征值为 . λ T 1 1 1 1 T √ √ i) 由AA = 3E , 得 A A = E , 故 √ A正 交. √ A有 特 征 值1或−1. 3 3 3 3 √ √ 1 1 1 而|A| < 0 =⇒ √ A = |A| < 0. 说明 √ A有特征值1和−1, 故A有两个特征值 3和− 3. 9 3 3 T 2 ii) 由AA = 3E , 有|A| = |A||AT | = |AAT | = |3E | = 34 = 81. 所以, |A| = −9(∵ √ √ |A| < 0). 所以, A∗ 的的两个特征值为3 3, −3 3. 例4. 设4阶方阵A满足|3E + A| = 0, AAT = 2E, |A| < 0. 求方阵A的伴随矩阵A∗ 的所 有特征值.
新东方线性代数笔记--第五讲 特征值与特征向量--李永乐
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线性代数第5章特征值与特征向量
有 n 个根(重根按重数计算), 记为1, 2 , n ,
则特征方程可分解为 fA () ( 1)( 2 ) ( n ) 0.
因此，n 阶方阵在复数域上恰有 n 个特征值.
-9-
例1
求矩阵
0
A
1
1 0
的特征值与特征向量.
解： 求特征多项式
f () E A
1 2 1
1
解特征方程
4 1 3
解 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出A E 0 2 0 (2 ) 4 3
4 1 3
( 2)2 ( 1) 特征值为 1 1, 2 3 2.
第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组
A E x 0, 求非零解。
当 2 3 2 时，齐次线性方程组为 ( A 2E) X O
A
2
E
4 1
1 0
0 0
0 0
1 0
0 0
x1 x2
0 0
0
令 x3 1得基础解系:
p1
0 1
k1 p1(k1 0 常数)是对应于 1 2 的全部特征向量。
当 2 3 1 时，齐次线性方程组为 A E x 0
2 1 0 1 0 1
A
E
4 1
2 0
0 1
-34-
定理5.3 n 阶矩阵 A 可对角化的充要条件是 A 有 n 个线性无 关的特征向量。
证： 先证必要性. 设A可对角化，即存在可逆矩阵P使得
P1AP diag(1,2 , , n )
记 P [1,2, ,n ] ， 则 A[1,2 , ,n ] [1,2,
,n
]
1
2
n
于是
Ai ii (i 1, , n)
2013考研冲刺班线性代数辅导讲义-李永乐
1 2 0 11.已知 A, B 满足关系式 A 2 AB E ，若 B 0 3 a ，则秩 r AB 2 BA 3 A = 0 0 5
2
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D)与 a 有关不确定.
［
］
第2页
共4页
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14.已知 A 是 3 阶矩阵， α1 是矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量， α2 是齐次方程组 Ax 0 的解，向量 α3 满 足 Aα3 α1 α2 α3 . （Ⅰ）证明 α1 ， α2 ， α3 线性无关. （Ⅱ）求矩阵 A 所有的特征值和特征向量. （Ⅲ）判断 A 是否和对角矩阵相似，并说明理由.
1 1 1 0 (C) +k 2 0 3 1
［ ］
10.n 维向量 α1,α2,α3,β1,β2，其中 α1,α2,α3 线性无关，β1 可由 α1,α2,α3 线性表出，β2 不能由 α1,α2,α3 线性表出. (1)α1,α2,α3,β1,β2 必线性相关. (3)α1,α2,α3,β1－β2 必线性相关. 上述命题中，正确的是 (A)(1)(3) (B)(2)(4) (C)(1)(4) (D)(2)(3) ［ ］ (2)α1,α2,α3,β1,β2 必线性无关. (4)α1,α2,α3,β1－β2 必线性无关.
1 1 1 15.已知矩阵 A= 1 a 1只有 2 个线性无关的特征向量.求矩阵 A 的特征值与特征向量. 3 1 3
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2 16.已知 α=(1,k,－2)T 是二次型 xTAx=a x12 +a x2 +k x32－2x1x3－2x2x3 矩阵 A 的特征向量.试用正交变换化二次型
《线性代数》学习指导 第五章 矩阵的特征值与特征向量(43P)
第五章 矩阵的特征值与特征向量一．内容提要1 . 特征值和特征向量定义1 设()ijn nA a ⨯=是数域P 上的n 阶矩阵，若对于数域P 中的数λ，存在数域P 上的非零n 维列向量X ，使得X AX λ=则称λ为矩阵A 的特征值，称X 为矩阵A 属于（或对应于）特征值λ的特征向量注意：1）()ijn nA a ⨯=是方阵；2）特征向量 X 是非零列向量； 3）方阵 ()ijn nA a ⨯= 与特征值 λ 对应的特征向量不唯一4）一个特征向量只能属于一个特征值.2．特征值和特征向量的计算计算矩阵A 的特征值与特征向量的步骤为： （1） 计算n 阶矩阵A 的特征多项式｜λE －A ｜；（2） 求出特征方程｜λE －A ｜＝０的全部根，它们就是矩阵A 的全部特征值； （3） 设λ1 ，λ2 ，… ，λs 是A 的全部互异特征值。
对于每一个λi ，解齐次线性方程组()i E A X λ-=0，求出它的一个基础解系，该基础解系的向量就是A 属于特征值λi的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A 属于特征值λi 的全体特征向量.3． 特征值和特征向量的性质性质1 （1）若X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则kX （0k ≠）也是A 属于λ的特征向量；（2）若12,,,s X X X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则它们的非零线性组合1122s s k X k X k X +++也是A 属于λ的特征向量；（3）若A 是可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则λ1是A—1的一个特征值，λ||A 是A *的一个特征值；（4）设λ是n 阶矩阵A 的一个特征值，f （x ）= a m x m + a m-1x m -1 + … + a 1x + a 0为一个多项式，则()f λ是f （A ）的一个特征值。
性质2（1）nn n a a a +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++221121λλλ （2）|| 21A n =⋅⋅⋅λλλ性质3 n 阶矩阵A 和它的转置矩阵TA 有相同的特征值 性质4 n 阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关4. 相似矩阵定义2 设A 、B 为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得Ｂ＝P ―1ＡP则称A 与B 相似。
李永乐线代笔记
第一章节 行列式基础知识：①算逆序的方法：从左到右一个一个看，前面有比此数大的就算一个逆序，最后加起来。
②代数余子式千万别忘记(−1)i+j③行列式两行（列）对换，行列式要变号！④克拉默法则：x n =D n D基本行列式的计算：①副对角行列式=(−1)n(n−1)2a 1n a 2,n−1···a n1②副对角拉普拉斯：|O A B ∗|=(−1)nm |A||B| ③范德蒙行列式（首行为1，每列从上往下是等比数列）=∏(x i −x j )1≤j<i≤n 即针对第二行，每个靠右的都减一次靠左的，然后乘起来。
④特征多项式（三阶）：|λE −A |=λ3−(a 11+a 22+a 33)λ2+s 2λ−|A|其中s 2=|a 11a 12a 21a 22|+|a 11a 13a 31a 33|+|a 22a 23a 32a 33| ⑤零多的，直接展开算。
⑥将第一行（列）的k 倍依次加至其余各行（列）。
⑦将每一行（列）都加到第一行。
⑧逐行（列）相加。
特殊行列式的计算：①∠型行列式，从角（或边）沿第三边方向扫过去，依次把前一行（列）乘上倍数加到后一行（列）上。
②爪型行列式，↖↘头朝主对角线的，化为上（下）三角行列式；↗↙头朝副对角线的，化为副对角线三角行列式。
③对称征子型（中间斜着三道）行列式，采用逐行相加（上一行乘倍数加到下一行上）的方式化为下三角行列式。
④对角线为a ，其余都为b 的行列式，每行都减第一行，再每列都加到第一列。
第二章节 矩阵主要公式：①伴随：AA ∗=A ∗A =|A |E ； A ∗=|A|A −1 ； (A ∗)−1=(A −1)∗=A |A|(A ∗)T =(A T )∗ ； (kA)∗=k n−1A ∗ ； (A ∗)∗=|A|n−2Ar (A ∗)={n ，如果r (A )=n1，如果r (A )=n −10，如果r (A )<n −1②可逆：A−1=A∗|A|；(kA)−1=1kA−1(A n)−1=(A−1)n；(A−1)T=(A T)−1[B O O C ]−1=[B−1OO C−1]；[O BC O]−1=[O C−1B−1O]③转置：(A T)T=A；(kA)T=kA T[A B C D ]T=[A T C TB T D T]④行列式：|A T|=|A|；|A−1|=|A|−1；|A∗|=|A|n−1|kA|=k n|A|；|AB|=|A|·|B|（行列式没有加减运算）⑤加与乘(A+B)T=A T+B T；(AB)T=B T A T(AB)−1=B−1A−1；(ABC)−1=C−1B−1A−1；(AB)∗=B∗A∗（求逆和伴随没有加法运算）[B O O C ]n=[Bn OO C n]（副对角线分块矩阵先平方，化为主对角线，再套公式）⑥秩r(A)=r(A T)；r(A T A)=r(A)（证明过程见下）：设(I)A T Ax=0,(II)Ax=0，若α是(II)的解，显然也是(I)的解；若α是(I)的解，则A T Aα=0→αT A T Aα=0→(Aα)T Aα=0→|Aα|2=0→Aα=0，则α也是(II)的解，故(I)、(II)同解。
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