导数中常见零点问题解决方法

导数中的零点问题解决方法

解决零点问题，需要采用数形结合思想，根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可，因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。

一、能直接分离参数的零点题目

此类问题较为简单，分离之后函数无参数，则可作出函数的准确图像，然后上下移动参数的值，看直线与函数交点个数即可。

例1.已知函数(),()ln a f x x g x x x =+

=，若关于x 的方程2()()2g x f x e x =-只有一个实数根，求a 的值。 解析：22()ln ()22g x x f x e a x ex x x =-⇒=-+，令2ln ()2x h x x ex x

=-+，'21ln ()22x h x x e x

-=-+，令'()0h x =，则x e = 当0x e <<时，'()0h x >，()h x 单调递增；当x e >时，'()0h x <，()h x 单调递 减，2max 1()()h x h e e e

==+ 注意这里()h x 的单调性不是硬解出来的，因为你会发现'()h x 的式子很复杂，但是

如果把()h x 当成两个函数的和，即2ln (),()2x m x n x x ex x

=

=-+，此时(),()m x n x 的单调性和极值点均相同，因此可以整体判断出()h x 的单调性和极值点。 所以21a e e

=+（注意：有一个根转化为图像只有一个交点即可） 二、不能直接分离参数的零点问题（包括零点个数问题）

这里需要注意几个转化，以三次函数为例，若三次函数有三个不同的零点，则函数必定有两个极值点，且极大值和极小值之积为负数，例如()f x 在区间(0,1)上有零点，此时并不能确定零点的个数，只能说明至少有一个零点，若函数在区间上单调，只需要用零点存在性定理即可，但是若函数在区间上不单调，则意味着()f x 在区间(0,1)上存在极值点。

在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识，但必不可少的是求出函数的趋势图像，然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可，这里需要说明一下，参数影响零点的个数问题主要有两个方向，一是参数影响单调性和单调区间

的个数，二是参数影响函数的极值或最值，而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像，进而影响零点的个数，因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。 例2.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是

2()31f x x =-+有两个零点，不符合题意

当0a >时，'2()363(2)f x ax x x ax =-=-，若'()0f x >，则20x x a >

<或 若'()0f x <，则20x a <<，此时函数在(,0)-∞上单增，(1)20f a -=--< 此时在(,0)-∞上存在零点，不符合题意。

当0a <时，若'()0f x >，则20x a <<，若'()0f x <，则2x a

<或0x > 此时要保证函数存在唯一的正零点，则2()0f a >，解得(,2)a ∈-∞-

注意：如果不是的大题没必要分类讨论，做出符合题意的图像反推即可

例3.已知函数2()ln 2f x x x b x =

++--在区间1[,]e e

上有两个不同零点，求实数b 的取值范围。 解析：2'

222(2)(1)()x x x x f x x x +-+-==，可知函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上

递增，要保证函数()f x 在1

[,]e e

上有两个不同的零点，根据函数的趋势图像可 得必须满足1()0

2(1)011()0f e f b e e f e ⎧≥⎪⎪<⇒<≤+-⎨⎪≥⎪⎩

例4.已知函数32()f x x ax b =++

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若b c a =-，当函数()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是

33(,3)(1,)(,)22

-∞-⋃⋃+∞，求c 的值。 解析：（1）当0a =时，()f x 在R 上单调递增

当0a >时，()f x 在2(,),(0,)3a -∞-

+∞上单调递增，在2(,0)3a -上单调递减；

当0a <时，()f x 在2(,0),(,)3a -∞-

+∞上单调递增，在2(0,)3a -上单调递减；

（2）只有当0a ≠时才有可能满足()f x 有三个零点

因为()f x 有两个极值点324(0),()327a f b f a b =-

=+，要满足有三个零点必须满足2(0)()03

a f f ⋅-<，结合

b

c a =-可得330044002727

a a a a c a a c ><⎧⎧⎪⎪⎨⎨-+>-+<⎪⎪⎩⎩或，因为()f x 恰有三个零点时，a 的取值范围是3

3(,3)(1,)(,)22-∞-⋃⋃+∞

所以题目可以转化为34027a a c -+>在33(1,)(,)22

a ∈⋃+∞上恒成立，且34027

a a c -+<在(,3)a ∈-∞-上恒成立 设34()27h a a a c =-+，对其求导可得()h a 在33(,),(,)22

-∞-+∞递增，在33(,)22

-递减，因此()h a 图像必须满足以下趋势： 所以(3)0101311()02

f c c c f -≤⎧-≤⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-≥≥⎩⎪⎩

验证：当1c =时，322()1(1)[(1)1]f x x ax a x x a x a =++-=++-+-

函数有三个不等的实数根，所以2()(1)10h x x a x a =+-+-=有两个不相 等且不等于-1的实数根，所以必须满足

033(,3)(1,)(,)(1)0

22a h ∆>⎧⇒∈-∞-⋃⋃+∞⎨-≠⎩ 综上，1c =

第一问很简单，但是是解决第二问必要的前提，第二问题目中函数有三个不同的零点，但是题目中有两个参数，类似于双参数问题解决方法，最后将两个参数中已知的那个作为自变量，然后转化为恒成立问题即可，三个零点意味着两个极值的积为负值，然后再根据不同的a 的取值转化为函数恒成立问题，通过函数的趋势图像即可解出符合题意的条件。但是很多同学缺省最后检验的步骤，同时也不理解为什么需要验证，如果不验证，则即便满足有三个零点，此时的a 的取值范围也可以不是题目中给出的范围，注意这个恰字就说明了必须要进行最后的验证。

例6.已知函数2()1x f x e ax bx =---

（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值；

（2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围。

解析：（1）'()2,()2x x g x e ax b g x e a =--=-

当0a ≤时，'()0g x >，()g x 在[0,1]递增，min ()(0)1g x g b ==-

当0a >时，令'()0g x =，ln 2x a =，此时0,1,ln 2a 位置不确定因此需要 讨论

Case1:当ln21a ≥时，2

e a ≥，此时()g x 在[0,1]递减， min ()(1)2g x g e a b ==--

Case1:当ln 20a ≤时，12

a ≤，此时()g x 在[0,1]上递增， min ()(0)1g x g

b ==-

Case3:当0ln 21a <<时，即122

e a <<，此时 min ()(ln 2)22ln 2g x g a a a a b ==--