考研高等数学复习:微分方程与无穷级数解析

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考研数学复习教程答案详解高数部分

考研数学复习教程答案详解高数部分

第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练(一)一、选择题1.2.提示:参照“例1.1.5”求解。

3.4.解因选项(D)中的 不能保证任意小,故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示:由2cos 12sin 2xx =-可得。

12.13.提示:由1 未定式结果可得。

14.提示:分子有理化,再同除以n即可。

15.提示:分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。

16.17.提示:先指数对数化,再利用洛必达法则。

18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==, 而()0f a =,故由()f x 在 0x =处连续可知,1a =-。

20.提示:先求极限(1∞型)得到()f x 的表达式,再求函数的连续区间。

三、 解答题 21.(1)(2)提示:利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。

(3)(4)(5)提示:先指数对数化,再用洛必达法则。

(6)提示:请参照“例1.2.14(3)”求解。

22.23.解 由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=, 即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=, 利用等价无穷小代换,得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=,即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=, 故 30()3lim 2x f x x →=。

24.提示:先指数对数化,再由导数定义可得。

25.26.28.提示:利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。

无穷级数知识点总结考研

无穷级数知识点总结考研

无穷级数知识点总结考研一、无穷级数的概念无穷级数是由无穷多个数的和组成,通常用符号∑表示。

其一般形式为:S = a_1 + a_2 + a_3 + ...... + a_n + ......其中a_n是一个数列,称为级数的通项。

无穷级数是由级数的部分和组成的序列,即S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n,所以求无穷级数的和,就是求该序列的极限,即lim⁡(S_n)。

在实际运用中,我们通常是通过研究级数的部分和的性质,来求级数的和或证明级数的敛散性。

二、无穷级数的敛散性1. 收敛与发散的定义级数的和S = ∑a_n,如果级数的部分和S_n = a_1 + a_2 + ...... + a_n存在极限L,即lim⁡(S_n) = L,那么称级数收敛,其和为L,记作∑a_n = L。

如果级数的部分和S_n的极限不存在,或者极限为无穷大,即lim⁡(S_n) = ±∞,那么称级数发散。

2. 收敛级数的判定(1)正项级数收敛判定对于正项级数∑a_n,即a_n≥0,根据级数的部分和单调递增有界的结论,若存在常数M,使得对一切n始终成立S_n ≤ M,那么级数收敛;如果对于任意的M > 0,总存在n_0,使得对一切n > n_0有S_n > M,那么级数发散。

(2)比较判别法若对于所有的n,总有0 ≤ a_n ≤ b_n,且∑b_n收敛,那么∑a_n也收敛;若对于所有的n,总有a_n ≥ b_n ≥ 0,且∑b_n发散,那么∑a_n也发散;若∑b_n发散,且对于足够大的n,总有a_n>b_n,则∑a_n发散。

(3)比值判别法若存在常数0 < q < 1及整数n_0,使得当n > n_0时,有a_n_+1/a_n ≤ q,那么级数收敛;若a_n_+1/a_n≥1,那么级数发散;若a_n_+1/a_n不满足以上两个条件,那么比值判别法无法判断级数的敛散性。

考研数学一-高等数学无穷级数、常微分方程

考研数学一-高等数学无穷级数、常微分方程

考研数学一-高等数学无穷级数、常微分方程(总分:100.00,做题时间:90分钟)一、选择题(总题数:22,分数:22.00)1.设级数收敛,则必收敛的级数为______A.. B..C.. D.(分数:1.00)A.B.C.D. √解析:[解析] 方法一:令s n=u1+u2+…+u n,因为收敛,所以且存在.设=s,令s'n=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(u n+u n+1)=2s n-u1+u n+1.因为=2s-u1,所以级数(u n+u n+1)收敛,应选D.方法二:取,级数收敛,而发散,A不对;取,级数发散,B不对;取,级数发散,C不对,故应选D.2.若级数收敛,则级数______A.收敛. B.收敛.C.收敛. D收敛.(分数:1.00)A.B.C.D. √解析:[解析] 令s n=a1+a2+…+a n,因为收敛,所以且存在.设,令.故极限存在,所以收敛,应选D.3.设有两个数列a n,b n,若=0,则______A.当收敛时,收敛. B.当发散时,发散.C.当收敛时,收敛. D.当发散时,发散.(分数:1.00)A.B.C. √D.解析:[解析] 方法一:因为=0,所以存在一实数M>0,对一切的n有|a n|≤M.同理,若收敛,则=0,取M0=1,存在正整数N,当n>N时,|b n|<1,于是≤|b n|,由正项级数的比较审敛法得收敛.由及收敛,得收敛,应选C.方法二:取,显然收敛,但发散,A不对;取,显然且发散,但收敛,B不对;取,显然且发散,但收敛,D不对.故选C.4.设a n>0(n=1,2,3,…)且收敛,常数λ∈(0,)A.绝对收敛. B.条件收敛.C.发散. D.敛散性与A有关.(分数:1.00)A. √B.C.D.解析:[解析] 由于为正项级数且收敛,则级数收敛,而,且.则由比较判别法知收敛,故绝对收敛.故选A.5.设为正项级数,下列结论中正确的是______A.若=0,则级数收敛.B.若存在非零常数λ,使得,则级数发散.C.若级数收敛,则=0.D.若级数发散,则存在非零常数λ.(分数:1.00)A.B. √C.D.解析:[解析] 方法一:取,则有,但级数发散,A不对;取,级数收敛,,C不对;取,级数发散,但,D不对.故应选B.方法二:设,取,因为,所以存在正整数N,当n>N时,,于是有或.而发散,由正项级数的比较审敛法得发散,故选B.6.α>0,β>0)的敛散性______A.仅与β取值有关. B.仅与α取值有关.C.与α和β的取值有关. D.与α和β的取值无关(分数:1.00)A.B.C. √D.解析:[解析] 由于.(1)当0<β<1时,级数发散.(2)当β>1时,级数收敛.(3)当β=1,此时,当α>1时收敛,当α≤1时发散,故应选C.7.下列级数中属于条件收敛的是______A. B.C. D(分数:1.00)A.B.C.D. √解析:[解析] 方法一:由,其中收敛,发散.故A发散;由,其中均收敛.故B绝对收敛;由,收敛.故C绝对收敛.由排除法,因此应选D.方法二:直接证明选项D中的级数条件收敛.单调下降趋于零(n→∞)交错级数收敛.又,且发散,可知发散,从而D条件收敛,故应选D.8.设a>0______A.绝对收敛. B.条件发散.C.发散. D.收敛性与a有关.(分数:1.00)A. √B.C.D.解析:[解析] 由于,且.而为p=2的p级数,因此收敛,故收敛,根据绝对收绝对收敛.因此应选A.9.x=-1处收敛,则此级数在x=2处______A.条件收敛. B.绝对收敛.C.发散. D.收敛性不确定.(分数:1.00)A.B. √C.D.解析:[解析] 因x=-1为级数的收敛点,知级数在|x-1|<|-1-1|=2内收敛,即当-1<x<3时绝对收敛,x=2在区间(-1,3)内,故应选B.10.下列四个级数中发散的是______A.. B..C.. D.(分数:1.00)A.B. √C.D.解析:[解析] 对于A,因为,由比值审敛法知,级数收敛.对于B,因为,而级数发散,由比较审敛法的极限形式知级数发散.应选B.对于C,这是一个交错级数,而且.令f(x)=,则f'(x)=,因此当x>e2时,f'x(x)<0,f(x)单调减少,所以当n>[e2][e2]表示不大于e2的最大整数)时,,由交错级数的莱布尼茨判别法知,级数收敛.对于D,因为,而收敛,所以绝对收敛.11.若级数收敛,发散,则______A.必发散. B.必收敛.C.必发散. D必发散.(分数:1.00)A.C.D. √解析:[解析] 方法一:由发散,知一定发散,而收敛,则有一定发散,故应选D.方法二:取,则收敛,发散,但绝对收敛,排除A;发散,排除B收敛,排除C.故应选D.12.为常数)______A.绝对收敛. B.条件收敛.C.发散. D.敛散性与a有关.(分数:1.00)A.B.C.D. √解析:[解析] 当a=0时,为交错级数,且当n≥3时满足莱布尼茨定理,所以收敛.当a=1时,不趋于零,发散.所以,敛散性与a有关.故选D.13.设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解,则当x→0时,函的极限______A.不存在. B.等于1.C.等于2. D.等于3.(分数:1.00)A.B.C. √D.解析:[解析] 因y(0)=y'(0)=0,ln(1+0)=0,故利用洛必达法则,.由y"+py'+qy=e3x知y"(x)连续且)y"(0)=e0=1,故所求极限等于2.14.微分方程y"-4y=x+2的通解为______A.. B..C.. D.(分数:1.00)A.B.D. √解析:[解析] 对应齐次微分方程y"-4y=0的特征方程为λ2-4=0,特征值为λ1=-2,λ2=2,则齐次方程y"-4y=0的通解为C1e-2x+C2e2x,根据选项进行验证知,方程y"-4y=x+2有特解,故选D为正确答案.15.设a,b,c为待定常数,则微分方程y"-3y'+2y=3x-2e x的特解形式为______A.(ax+b)e x. B.(ax+b)xe x.C.(ax+b)+ce x. D.(ax+b)+cxe x.(分数:1.00)A.B.C.D. √解析:[解析] 微分方程对应的齐次微分方程是y"-3y'+2y=0,其特征方程为λ2-3λ+2=0,其特征根为λ1=1,λ2=2.因此微分方程y"-3y'+2y=-2e x有形如=cxe x的特解,又微分方程y"-3y'+2y=3x有形如=ax+b的特解.所以,由叠加原理可知,原方程y"-3y'+2y=3x-2e x有形如y*==cxe x+(ax+b)的特解,应选D.16.微分方程①=(x-y)(x+y),③y2dx-(y2+2xy-y)dy=0中,属于一阶线性微分方程的是______A.①. B.②.C.③. D.①②③均不是.(分数:1.00)A.B.C. √D.解析:[解析] 可直接观察出方程①②不是一阶线性微分方程.对于方程③,将其变形为,将x看成未知函数,y为自变量,则该方程就是一阶线性微分方程.故应选C.17.已知微分方程y"-4y'+4y=0,函数C1C2xe2x(C1,C2为任意常数)为______A.方程的通解. B.方程的特解.C.非方程的解. D.是解,但不是通解也不是特解.(分数:1.00)A.B.C.D. √解析:[解析] 令f(x)=C1C2xe2x,C1、C2为任意常数,将f(x),f'(x)及f"(x)代入已知微分方程,经计算,满足方程y"-4y'+4y=0,故C1C2xe2x是方程的解,因为含有任意常数,所以不是特解,又因为C1C2实质上是一个任意常数,而方程是二阶微分方程,由通解的结构知应含有两个任意常数,故C1C2xe2x不是通解,故选D.18.设φ1(x),φ2(x),φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三个线性无关的解,则该方程的通解为______A.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x).B.C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x).C.C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)].D.C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x),其中C1+C2+C3=1.(分数:1.00)A.B.C.D. √解析:[解析] 因为φ1(x),φ2(x),φ3(x)为方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解,所以φ1(x)-φ3(x),φ2(x)-φ3(x)为所对应齐次方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=0的两个线性无关解.根据非齐次线性方程通解的结构,方程y"+a1(x)y'+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ1(x),即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x),其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1,故选D.19.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=e-x,y2=2xe-x,y3=3e x,则该微分方程为______A.y"'-y"-y'+y=0. B.y"'+y"-y'-y=0.C.y"'-6y"+11y'-6y=0. D.y"'-2y"-y'+2y=0.(分数:1.00)A.B. √C.D.解析:[解析] 由三个特解的形式知λ1,2,3=-1,-1,1为所求齐次线性微分方程对应特征方程的3个根,即(λ+1)2(λ-1)=λ3+λ2-λ-1.因此微分方程形式为y"'+y"-y'-y=0,应选B.20.如果y=cos2x是微分方程y'+P(x)y=0的一个特解,则该方程满足初始条件y(0)=2的特解为______ A.y=cos2x+2. B.y=cos2x+1.C.y=2cosx. D.y=2cos2x.(分数:1.00)A.B.C.D. √解析:[解析] 因为y=cos2x是微分方程y'+P(x)y=0的一个特解.将其代入微分方程,得-2sin2x+P(x)cos2x=0,所以得P(x)=2tan2x.则原微分方程为y'+2tan2x·y=0,这是一个变量可分离的微分方程,分离变量得,等式两边积分,得.即ln|y|=ln|cos2x|+ln|C|.于是得y=Ccos2x.由y(0)=2,得C=2.故所求特解为y=2cos2x.21.设y=y(x)是二阶线性常系数非齐次微分方程y"+Py'+Qy=3e2x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解,则极限=______A.. B..C.. D.(分数:1.00)A.B. √C.D.解析:[解析] 在微分方程y"+Py'+Qy=3e2x中,取x=0得y"(0)+Py'(0)+Qy(0)=3,由已知条件y(0)=y'(0)=0,得y"(0)=3.则由等价无穷小代换及洛必达法则.故选B.22.方程y"'+2y"=x2+xe-2x的特解形式为______.A.y=ax2+bx+c+x(dx+e)e-2x.B.y=x2(ax2+bx+c)+x2e-2x.C.y=(ax2+bx+c)+(dx+e)e-2x.D.y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x.(分数:1.00)A.B.C.D. √解析:[解析] 原方程对应的齐次微分方程y"'+2y"=0的特征方程为λ3+2λ2=0.其特征根为λ1=λ2=0,λ3=-2,因此方程y"'+2y"=x2特解的形式为x2(ax2+bx+c),方程y"'+2y"=xe-2x特解的形式为xe-2x(dx+e),由叠加原理可知方程y"'+2y"=x2+xe-2x的特解形式为y=x2(ax2+bx+c)+x(dx+e)e-2x,故选D.二、填空题(总题数:20,分数:20.00)23.若级数(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n.(分数:1.00)填空项1:__________________ (正确答案:发散)解析:[解析](a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…收敛,与题设矛盾.24..(分数:1.00)填空项1:__________________ (正确答案:e2-1)解析:[解析] 由于,则,n=0时,,故25.2π为周期的傅里叶级数在点x=π处收敛于 1.(分数:1.00)填空项1:__________________ (正确答案:[*])解析:[解析] 由狄利克雷收敛定理知,f(x)在x=π26.______.(分数:1.00)填空项1:__________________解析:[解析] 幂级数的绝对级数为.由根值判别法,知该幂级数的收敛半径.27.设函数f(x)=x2,0≤x,-∞<x<+∞,其中b n=,n=1,2,3,…,则.(分数:1.00)填空项1:__________________解析:[解析] 正弦级数s(x)是对f(x)在(-1,0)上作奇延拓后函数的傅里叶级数,故.28.设f(x)=πx+x2,-π≤x≤π,且f(x)在[-π,π]b3=______.(分数:1.00)填空项1:__________________解析:[解析] 根据傅里叶系数的计算公式可得.29.设,则.(分数:1.00)填空项1:__________________ (正确答案:e-1)解析:[解析] 由于函数在x=1处的泰勒级数展开式唯一,所以f(x)=,对照比较已知表达式得,则,于是有.30.______.(分数:1.00)填空项1:__________________ (正确答案:ln2-ln(3-x),x∈[-1,3))解析:[解析] 令s(x)=,则s(1)=0,对等式两边求导得其中,即-1<x<3.再在等式两边从1到x积分,得,所以s(x)=ln2-ln(3-x),x∈(-1,3).当x=-1时,s(x)连续,收敛;当x=3时,s(x)无意义,发散,故幂级数的和函数为s(x)=ln2-ln(3-x),x∈[-1,3).31.设有以下命题①若收敛,则收敛.②若收敛,则收敛.③若,则发散.④若收敛,则都收敛.则以上命题正确的序号是______.(分数:1.00)填空项1:__________________ (正确答案:②③)解析:[解析] 级数加括号收敛,原级数不一定收敛,如,则①不正确;是级数去掉了前100项,则由收敛可知收敛,则②正确;由于>1,则有,则当n充分大时|u n+1|>|u n|>0,从而,故级数发散,③正确.设,有收敛,而和均发散,④不正确.32.x>0时发散,且在x=0时收敛,则a的取值是______.(分数:1.00)填空项1:__________________ (正确答案:-1)解析:[解析] 由,则该幂级数的收敛半径为1,从而得其收敛区间为|x-a|<1,即a-1<x<a+1。

考研数学高数公式:微分方程

考研数学高数公式:微分方程

考研数学高数公式:微分方程考研数学高数公式:微分方程第七章:微分方程考研要求1.了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2.掌握可分离变量的微分方程,会用简单变量代换,解某些微分方程3.会解奇次微分方程,会用简单变量代换解某些微分方程4.掌握一阶线性微分方程的解法,会解伯努利方程5.会用降阶法解下列微分方程 y"=f(x,y')6.y"=f(y,y')7.掌握二阶常系数齐次微分方程的解法,并会解某些高于二阶的常系数齐次微分方程8.会解自由项为多项式,指数函数,正弦函数,余弦函数,以及他们和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程。

9.会解欧拉方程。

微分方程的基本公式和定理1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时,函数都无限接近于A,如果P(x,y)以某一特殊方式,例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0,y0)时,即使函数无限接近某一确定值,我们还不能由此断定函数极限存在。

反过来,如果当P(x,y)以不同方式趋于P0(x0,y0)时,函数趋于不同的值,那么就可以断定这函数的极限不存在。

例如函数:f(x,y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠02、多元函数的连续性定义设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0∈D,如果lim(x→x0,y→y0)f(x,y)=f(x0,y0)则称f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。

性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上一定有最大值和最小值。

性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续。

高等数学考研复习-级数与方程讲义

高等数学考研复习-级数与方程讲义

(I)Leabharlann 二阶线性非齐次方程 a( x) y b( x) y c( x) y (f )x
(II)
定理 1. 设 y1(x), y2 (x) 都是齐次方程 (I) 的两个特解, 则对于任意的常数 C1, C2 , y C1y1(x) C2 y2 (x) 也是方程 (I) 的解; 如果 y1(x)与y2 (x) 线性无关,则 y C1y1(x) C2 y2 (x) 就是方程 (I) 的通解。
n1
n1
(3)比值法:设
un
n1
为正项级数,且 lim un1 u n
n
存在,则
当 1时,级数 un 收敛; 当 1 时,级数 un 发散;
n1
n1
当 1 时,级数 un 可能收敛,也可能发散。(一般改用比较法) n1
(4)根值法:设 un n1
为正项级数,且 lim n
n
un
1、直接展开
Taylor 级数(即在 x0 处展开): f (x)
n0
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n,
x 收敛域
Maclorin 级数(即在 x0 =0 处展开):
f (x) f (n) (0) xn f (0) f (0)x f (0) x2
n0 n!
2!
2、间接展开 常用的几个展开公式:
n1
性质 1:若 k 0 ,则级数 un 与 kun 敛散性相同。
n1
n1
性质 2:若级数 un 与 vn 都收敛 (un vn ) 也收敛。
n1
n1
n1
推论:若级数 un 收敛,而 vn 发散 (un vn ) 必发散。
n1

考研数学高数知识点归纳

考研数学高数知识点归纳

考研数学高数知识点归纳考研数学是众多考研科目中的重要一环,高等数学作为数学基础课程,其知识点广泛且深入。

以下是对考研数学高数知识点的归纳:一、函数、极限与连续性- 函数的概念、性质和分类- 极限的定义、性质和求法- 无穷小的比较和等价无穷小替换- 函数的连续性、间断点及其分类- 连续函数的性质和应用二、导数与微分- 导数的定义、几何意义和物理意义- 基本初等函数的导数公式- 高阶导数和隐函数的求导法则- 微分的概念、几何意义和应用- 导数的四则运算和复合函数的求导法则三、微分中值定理与导数的应用- 罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理- 泰勒公式和麦克劳林公式- 导数在几何上的应用,如曲线的切线、法线和弧长- 导数在物理上的应用,如速度、加速度和变力做功四、不定积分与定积分- 不定积分的定义和基本计算方法- 定积分的定义、性质和计算- 牛顿-莱布尼茨公式- 定积分在几何和物理上的应用,如面积、体积和功五、多元函数微分学- 多元函数的概念和极限- 偏导数和全微分- 多元函数的极值问题- 多元函数的泰勒展开六、重积分与曲线积分、曲面积分- 二重积分和三重积分的定义和计算方法- 曲线积分和曲面积分的计算- 格林公式、高斯公式和斯托克斯定理七、无穷级数- 常数项级数的收敛性判别- 幂级数和函数的泰勒级数展开- 函数项级数的一致收敛性- 傅里叶级数和傅里叶变换八、常微分方程- 一阶微分方程的求解方法,如分离变量法、变量替换法等- 高阶微分方程的求解,如常系数线性微分方程- 微分方程的物理背景和应用结束语:考研数学高数部分要求考生不仅要掌握基础概念和计算方法,还要能够灵活运用这些知识解决实际问题。

通过对上述知识点的系统学习和深入理解,考生可以为考研数学的高数部分打下坚实的基础。

希望每位考生都能在考研数学的征途上取得优异的成绩。

第六讲:无穷级数与微分方程

第六讲:无穷级数与微分方程

第四讲:无穷级数与微分方程一,单项选择题(本大题共6小题,每 小题4分,满分24分)1111,()n n n n n u s u u ∞∞+===+=∑∑。

若则( B ).2A s 1.2B s u - 1.2C s u + .D s111111111()()2nn nn nn n n n n n uu uuuu u s u ∞∞∞∞∞++=====+=+=+-=-∑∑∑∑∑12.(1)(1cos)(0)..,,nn a a nA B C D a ∞=-->∑是 ( A )绝对收敛,条件收敛,发散敛散性与取值有关因为21coslim11()2n an a n→∞-=,所以级数1(1cos)n a n∞=-∑与级数2221111()22n n a a n n∞∞===∑∑有相同的敛散性;又211n n∞=∑是收敛的,即22112n an∞=∑也收敛,所以1(1c o s )n an ∞=-∑也收敛;而11(1)(1cos)(1cos)nn n a a nn∞∞==--=-∑∑,所以1(1)(1cos)nn a n∞=--∑满足绝对收敛。

()20-13.3nnnn x R ∞==∑幂级数的收敛半径( D )3A , 0B , 9C ,D 此题是缺项级数,标准的解法是利用正项级数的判别法:令()()12(1)122-131lim13-13n n n nn nnxx x+++→∞=<,则x <当然这种题目熟练了之后,可以当成普通的幂级数收敛半径的求解过程,即利用系数模比值法,但是记得最后求出来的半径要开方就可以了。

6033664cos 30333333y x x x B ==。

在幂级数展开式中的系数是 ( C )A ,-, C ,- D!!6!6!由公式20(1)cos ()(2)!nnn x xx n ∞=-=-∞<<+∞∑可知,对于co s 3x 的幂级数展开式中若出现6x ,则3n =,即该项为3666(1)3(3)6!6!x x -=-,所以系数为636!-()121122225.(),(),).x y x c c A B C D 若y 是二阶线性齐次方程的两个不同的特解,则y=c y (x)+c y (x)任意常数 ( B 必是方程的通解必是方程的解必是方程的特解不一定是方程的解只有当12(),()x y x y 是线性无关的两个特解时,1122c y (x)+c y (x)才是原方程的通解,否则只能是解而已'''2222226.1.(),.,.(),.()y y x y A x Ax B B Ax Bx c C x Ax Bx c D x Ax Bx c +=+*=+++++++的待定特解( C )原方程对应的齐次方程为'''0y y +=,其特征方程为20r r +=,解得特征根为121,0r r =-=;又原方程右边函数为2201(1)xx x e⋅+=+,即0xe⋅前面函数的次数是二次的,并且有0λ=恰好是其中的一个特征根,所以待定特解的一般形式为*122()()x y x A x B x C e xA xB x C⋅=++=++ 二 填空题 (本大题共六小题,每小题4分,满分24分)1nn ∞=∑(7 幂级数收敛区间为 [)1,3对于此类题,我们是先计算1nn ∞=∑的收敛半径,令limlimlim1n n n ρ→∞→∞→∞====,所以11R ρ==所以21x -<,得13x <<;对于端点1,3x x ==需单独讨论当1x =时,原级数为1nn ∞=∑(-1,由莱布尼茨定理可知是收敛的;当3x =时,原级数为1n ∞=∑,由P-级数可知是发散的;综上,原级数的收敛区间为[)1,31(3)x x-8 f(x)=展开成的幂级数为1()(3)(06)3nnn x x ∞=--<<∑13此题用到公式:1(1),(11)1nnn x x x ∞==--<<+∑111111(1)(1)()(3)3333333331nnnnn n n x xx x x ∞∞+==--==⋅=-=-+-+-∑∑一般这样题目都还要写出收敛区间,本题是把33x -带入到公式中的,而原公式的收敛区间是(1,1)-,所以有3113x --<<,即06x <<1(1)111(1)9.,(11)1 (123)41nnn n xx n n ∞+=---<≤-+-+++=++∑若ln(1+x)=则 l n 223411(1)(1)12341nn n nn xxxxxx n n +∞+=-=-+-++-+++∑,这里当x 取1时就是要求的和式,所以结果就是ln(11)ln 2+='''10.6130y y y ++=的通解为 12(cos 2sin 2)C x C x +-3xe特征方程为26130r r ++=,显然该方程没有实数根,其复数根为1,2643222i r i -±===-±由公式1,2r i αβ=±,则通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+得 此题通解为312(cos 2sin 2)x y e C x C x -=+1()21211.(cos sin )x y ec x c x =+若为二阶线性常系数齐次微分方程的通解,则该方程为0y '''=5y -y +4该题用的是逆向思维,即反推原来的微分方程由1()212(cos sin )x y e c x c x =+,再结合上题中提到的公式可知,原来微分方程的特征根一定是1,212r i =±,再由韦达定理得原特征方程一定是11[()][()]022r i r i -+--=,这里在化简的时候要进行一次变形,目的是快速地消除虚数单位i ,11[())][())]022r i r i ---+=,由平方差公式继续得221()02r i --=,由规定21i =-,得21()102r -+=,即2504r r -+=,那么只有方程0y '''=5y -y +4才能得到上述特征方程22012.()ln 2._ln 2_____2x xt f dt e +=⎰设f(x)连续,且满足f(x)=则f(x) 出现了“变上限积分”,我们就想到了求导,于是对上述方程两边关于x 求导得2()()(2)2x f x f x ''=⋅,即有()2()f x f x '=,这样就得到了一个微分方程,大家也许不习惯这种表达方式,我们不妨令()y f x =,则微分方程就是2y y '=,这是一个可分离变量的微分方程,即有2dy y dx=,分量变量得2dy dx y=,两边取积分得2dy dx y=⎰⎰,解得ln 2ln y x C =+,即2ln ln 22x CC xxy eee Ce +===,注意,这里我们没有取“绝对值”,并且把C 写成了LnC ,这样做都是为了方便而已。

数学类学科山东省考研高等数学复习重要知识点

数学类学科山东省考研高等数学复习重要知识点

数学类学科山东省考研高等数学复习重要知识点高等数学作为数学类学科中的一门重要课程,对于山东省考研的学生来说,掌握其重要知识点至关重要。

在本文中,我们将重点介绍一些山东省考研高等数学中的重要知识点,以帮助考生更好地复习备考。

一、极限与连续1. 函数极限函数极限是高等数学中的基础概念之一。

在考研中,常见的函数极限有以下几种情况:常量函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

掌握这些函数极限的性质和计算方法,对于解题非常有帮助。

2. 无穷级数无穷级数是高等数学中另一个重要的概念。

在考研中,常见的无穷级数包括等比级数、调和级数等。

计算这些无穷级数的和以及判断其收敛性是复习高等数学中的重点。

二、导数与微分1. 函数导数函数导数是高等数学中的重要概念之一。

在考研中,常见的函数导数有以下几种情况:多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等。

熟练掌握这些函数的导数性质和计算方法,对于解题非常有帮助。

2. 函数微分函数微分是导数的一种应用,通过微分可以求出函数在某一点的近似值。

在考研中,常见的函数微分包括一阶微分和高阶微分。

熟练运用微分的性质和计算方法,可以帮助考生更好地解决相关问题。

三、微分方程1. 一阶微分方程一阶微分方程是高等数学中的重要内容之一。

在考研中,常见的一阶微分方程有以下几种类型:可分离变量形式、齐次方程、一阶线性方程等。

掌握这些一阶微分方程的解法和求解步骤,对于解题非常有帮助。

2. 高阶微分方程高阶微分方程是一阶微分方程的拓展,其中最常见的是二阶微分方程。

在考研中,常见的二阶微分方程有以下几种类型:齐次线性方程、非齐次线性方程、常系数线性方程等。

熟练掌握这些高阶微分方程的解法和求解步骤,可以帮助考生更好地解决相关问题。

四、重积分与曲线积分1. 重积分重积分是高等数学中的重要内容之一,它可以求解平面区域和空间立体的面积、体积等问题。

在考研中,常见的重积分有二重积分和三重积分。

掌握这些重积分的计算方法和性质,对于解题非常有帮助。

无穷级数、微分方程

无穷级数、微分方程

都是偏微分方程. 本章只讨论常微分方程
二、微分方程的基本概念 常微分方程的一般形式为
F ( x, y, y, , y(n) ) 0 (1)
其中x为自变量, y y( x)为未知函数, 且方程中 一 定 含 有y(n) , 而其余变量可以不出现。
如果能从方程(1)中解出最高阶导数, 就得到
第八章 无穷级数
习题课
第九章 微分方程
第八章 无穷级数
概 级数、部分和、正项级数、交错级数、 任意项级数
数 念 收敛、发散、绝对收敛、 条件收敛
项 性 数乘性、可加性、有限项性、 加括号性、 级 质 必要条件

部分和有上界
收 正项级数 比较法、 比值法、 根值法

几何级数、P-级数、调和级数
判 交错级数
敛散性质与定义
第八章 无穷级数
例:判定下列交错级数的敛散性,当级数收敛时要确定
是绝对收敛,还是条件收敛.
( 1 )n1
(1)
n1
n2 1 ;
解: 因为 un
( 1 )n1 n2 1


(2) (1)n1
n2
11 n2 1 n2 ,
n. n1

n lim n
n
n 1 n n 1
即p

1 且k 2
1,
故原级数非绝对收敛.
令f (x) x , (x 2),
x1
f ( x) 2
x1 x ( x 1)2
0,
(x 2),

n n1
单调减少,

lim
n 0,
n n 1

由莱布尼茨判别法知, ( 1 )n1

考研数学复习高等数学第七章无穷级数

考研数学复习高等数学第七章无穷级数

第七章无穷级数【数学1要求,3傅里叶系数之前内容要求】2013考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数狄利克雷(Dirichlet)定理函数在[-l,l]上的傅里叶级数函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数2013考试要求1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2.掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。

3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法。

4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。

6.了觖函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7.理解幂级数收敛半径的概念,并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分),会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和。

9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10.一些简单函数间接展开为幂级数。

11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理,会将定义在[0,l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和的表达式。

一、三基层面及其拓展1.级数收敛。

2.形式上是用加法依次连成,但在意义上与有限项求和形式从有限到无限发生了本质的变化,如级数一般不满足结合律(可任意加括号)和交换律(可任意变换相加顺序),只有当级数收敛时才满足结合律,当级数绝对数收敛时才满足交换律。

所以,式上的记号而已。

考研数学一(无穷级数,常微分方程)历年真题试卷汇编1(题后含答

考研数学一(无穷级数,常微分方程)历年真题试卷汇编1(题后含答

考研数学一(无穷级数,常微分方程)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1.(2009年试题,一)设有两个数列{an},{bn},若则( ).A.当收敛时,anbn收敛B.当发散时,anbn发散C.当收敛时,an2bn2收敛D.当发散时,an2bn2发散正确答案:C解析:A选项的反例可取an=bn=;B,D选项的反例可取an=bn=故正确答案为C.解析二考察选项C.由知,{an}有界;由收敛知.即{|bn|}也有界.又0≤an2bn2=an|bn||bn|≤M|bn|(M为常数),根据比较敛法知,an2bn2收敛,正确答案为C.知识模块:无穷级数2.(2006年试题,二)若级数收敛,则级数( ).A.收敛B.收敛C.收敛D.收敛正确答案:D解析:由级数收敛推出收敛;再由线性性质推出收敛,即收敛.故选D.知识模块:无穷级数3.(2004年试题,二)设为正项级数.下列结论中正确的是( ).A.若,则级数收敛B.若存在非零常数λ,使得则级数发散C.若级数收敛,则D.若级数发散,则存在非零常数λ,使得正确答案:B解析:由题设,为正项级数,可通过举反例的方法一一排除干扰项.关于A,令则发散,但故A可排除;关于C,令则收敛,但,故C也可排除;关于D,令则发散,但.即D也排除;关于B,由于发散,则由正项级数的比较判别法知发散,综上,选B.知识模块:无穷级数4.(2002年试题,二)设un≠0(n=1,2,3,…),且则级数( ).A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.收敛性根据所给条件不能判定正确答案:C解析:由题设,令而由已知则根据比较判别法知发散,则原级数不是绝对收敛,排除B,考虑原级数的部分和,即由已知从而.因而所以即原级数条件收敛,选C.知识模块:无穷级数5.(2000年试题,二)设级数收敛,则必收敛的级数为( ).A.B.C.D.正确答案:D解析:观察四个选项,结合题设收敛,可知D中必然收敛,因为它是两个收敛级数和逐项相加所得,关于其余三个选项,可逐一举出反例予以排除.关于A,令不难验证是收敛的交错级数,而是发散级数;关于B,令同样有为收敛的交错级数,而是发散级数;关于C,令则是收敛的交错级数,而,当n→∞时,而级数发散,因此发散.综上,选D.一般通过举反例来排除错误选项时,常以P级数.级数(当P>1时,绝对收敛;0(当P>1时,收敛;P≤1时,发散)作为反例,其中P的取值根据具体情况而定.知识模块:无穷级数6.(2011年试题,一)设数列{an}单调减少,无界,则幂级数的收敛域为( ).A.(一1,1]B.[一1,1)C.[0,2)D.(0,2]正确答案:C解析:因为{an}单调减少所以an>0(n=1,2,…),由交错级数的莱布尼兹法则,收敛,因为无界,所以级数发散,则的收敛域为[一1,1),故原级数的收敛域为[0,2).故选C.知识模块:无穷级数7.(1999年试题,二)设其中则等于( ).A.B.C.D.正确答案:C解析:由题设,所给S(x)为余弦级数,周期为2,将f(x)作偶延拓,并由傅里叶级数收敛定理,知所求和函数值为选C。

高数考研试题解析无穷级数的收敛域与收敛半径

高数考研试题解析无穷级数的收敛域与收敛半径

高数考研试题解析无穷级数的收敛域与收敛半径无穷级数是数学分析中的一个重要概念,研究它的收敛域和收敛半径是高数考研试题中常见的一种题型。

在本文中,我们将从收敛域和收敛半径的定义入手,通过例题解析的方式来帮助读者更好地理解和应用这一概念。

无穷级数的收敛域是指使得无穷级数收敛的所有实数x的集合,也称为收敛区间。

而收敛半径则是收敛域的长度,记作R。

在解析无穷级数的收敛域和收敛半径时,常用的方法有根值判别法、比值判别法和积分判别法等。

根值判别法是通过计算无穷级数的通项的n次根的极限值来判断收敛域和收敛半径。

对于一个无穷级数∑(aₙxⁿ),通过计算lim┬(n→∞)⁡(|aₙ|⁄|aₙ₊₁|)的值,当该极限存在且大于0时,收敛半径R=1/lim┬(n→∞)⁡(|aₙ|⁄|aₙ₊₁|);当该极限不存在或为无穷大时,R=0;当该极限等于无穷时,R=+∞。

比值判别法是通过计算无穷级数的通项的绝对值的n+1项与n项的比值的极限值来判断收敛域和收敛半径。

对于一个无穷级数∑(aₙxⁿ),通过计算lim┬(n→∞)⁡(|aₙ₊₁|⁄|aₙ|)的值,当该极限存在且大于0时,收敛半径R=1/lim┬(n→∞)⁡(|aₙ₊₁|⁄|aₙ|);当该极限不存在或为无穷大时,R=0;当该极限等于无穷时,R=+∞。

积分判别法是通过求解无穷级数的通项对应的函数在收敛域上的不定积分的性质来判断收敛域和收敛半径。

对于一个无穷级数∑(aₙxⁿ),令f(x) = ∑(aₙxⁿ),如果f(x)在收敛域上连续,则收敛域包含收敛半径R。

为了更好地理解和应用这些方法,我们接下来通过解析一个具体的考研试题来探讨。

【解析示例】考虑无穷级数∑(n!)⁄(nⁿxⁿ),我们将通过根值判别法、比值判别法和积分判别法来求解它的收敛域和收敛半径。

首先,我们使用根值判别法。

计算通项的n次根的极限值,lim┬(n→∞)⁡(|(n!)⁄(nⁿxⁿ)|⁄|(n+1)!⁄((n+1)ⁿxⁿ₊₁)|)= lim┬(n→∞)⁡((n+1)ⁿ⁺¹⁄nⁿ₊₁) = (1+1/n)ⁿ → 1因此,根值判别法得到的收敛半径为R = 1。

考研微积分学习指导-无穷级数

考研微积分学习指导-无穷级数

1.14 无穷级数一、知识要点(一)常数项无穷级数1.设给定数列{}n u : ,,,,321n u u u u则 +++++n u u u u 321称为(常数项)无穷级数,简称级数,记为∑∞=1n nu,即1231nn n uu u u u ∞==+++++∑其中第n 项n u 称为级数(7.1)的通项或一般项; 2.级数的前n 项的和n n u u u u S ++++= 321称为级数的部分和;由部分和构成一个新的数列{}n S :11u S =,212u u S +=, ,3213u u u S ++=, ,321n n u u u u S ++++=称为级数∑∞=1n nu的部分和数列.3. 对于给定的级数∑∞=1n nu,如果其部分和数列{}n S 有极限S ,即S S n n =∞→lim ,则称级数∑∞=1n nu收敛,这时极限S 称为级数∑∞=1n nu的和,记为S un n=∑∞=1;如果其部分和数列{}n S 没有极限,则称级数∑∞=1n nu发散.(二)常数项级数的基本性质性质1 若级数11nnn n uv∞∞==∑∑与分别收敛于S W 和,则级数11221()()()()nn n n n uv u v u v u v ∞=±=±+±++±+∑也收敛,且其和为S W ±. 性质2 设k 为非零常数,若级数∑∞=1n nu收敛于S ,则级数∑∞=1n nku也收敛,且其和为k S .性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项,不改变级数的敛散性.性质4 如果一个级数收敛,则任意加括号后所成的级数也收敛,且收敛于原级数的和. 性质5 (级数收敛的必要条件)如果级数1nn u∞=∑收敛,则其一般项收敛于零,即lim 0n n u →∞=.(1)如果级数∑∞=1n nu的通项n u 不趋于零(∞→n 时),则此级数必发散.(2) 通项趋于零的级数,不一定收敛.(三)常数项级数敛散性判别法1.正项级数敛散性判别 (1)正项级数1nn u∞=∑收敛的充分必要条件是,它的部分和数列{}n S 有上界.2.(比较判别法)设级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv都是正项级数,且(1,2,3,)n n u v n ≤= (1)若级数∑∞=1n nv收敛时,则级数∑∞=1n nu也收敛;(2)若级数∑∞=1n nu发散时,则级数∑∞=1n nv也发散.3.推论 设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv均为正项级数,(1)若∑∞=1n nv收敛,且存在正整数N ,使得当N n ≥时有)0(>≤k kv u n n 成立,则级数。

考研高等数学重难点的解析

考研高等数学重难点的解析

考研高等数学重难点的解析考研高等数学重难点的解析我们在准备考研数学的复习时,需要把高等数学的重难点知识掌握好。

店铺为大家精心准备了考研高等数学重难点的分析,欢迎大家前来阅读。

考研高等数学知识点的总结高等数学:从科目上看,从数一到数三,分量最重的都是高等数学,它在数一、数三中占了56%,在数二中更是占了百分之78%,因此科目上的重头戏在高数。

通过对2013考研数学考纲以及历年真题的分析,新东方在线的老师对高数的重难点进行了梳理、总结:一、函数、极限、连续部分:极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则)、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类,还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理),这些知识点在历年真题中出现的概率比较高,属于重点内容,但是很基础,不是难点,因此这部分内容一定不要丢分。

二、微分学部分:主要是一元函数微分学和多元函数微分学,其中一元函数微分学是基础亦是重点。

一元函数微分学,主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系,另外要掌握各种函数求导的方法,尤其是复合函数、隐函数求导。

微分中值定理也是重点掌握的内容,这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明,包括等式和不等式的证明,这种类型题目的技巧性比较强,应多加练习。

函数的凹凸性、拐点及渐近线,也是一个重点内容,在近几年考研中常出现。

曲率部分,仅数一考生需要掌握,但是并不是重点,在考试中很少出现,记住相关公式即可。

多元函数微分学,掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系,重点掌握各种函数求偏导的方法。

多元函数的应用也是重点,主要是条件极值和最值问题。

方向导数、梯度,空间曲线、曲面的切平面和法线,仅数一考生需要掌握,但是不是重点,记忆相关公式即可。

三、积分学部分:一元函数积分学的一个重点是不定积分与定积分的计算。

这个对于有些来说可能不难,但是要想用简便的方法解答还是需要多花点时间的。

在计算过程中,会用到不定积分/定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法。

全国硕士研究生招生考试数学(一)知识点详解(高等数学-无穷级数)【圣才出品】

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n1
n
un vn
l
u ①如果 0 l ,且 vn 收敛,则
n 收敛;
n1
n1
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②如果 l 0 或 l ,且 vn 发散,则 un 发散.
n1
n1
3.比值判别法
设正项级数
un
n1
,如果 lim un1 u n
s u1 u2 ui
如果sn 没有极限,则称无穷级数 ui 发散. i1
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2.收敛级数的基本性质
(1)性质 1
①如果级数 un 收敛于和 s,则级数 kun 也收敛,且其和为 ks;
n1
n1
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全国硕士研究生招生考试数学(一)知识点详解 第 1 部分 高等数学
第 7 章 无穷级数
一、常数项级数与收敛级数
1.常数项级数
(1)定义
给定一个数列 u1, u2, u3, , un , , 由这数列构成的表达式
u1 u2 u3 un
(1)
u n1 n
满足:
n1
(1) un un1(n 1, 2, 3, ) ;
(2)
lim
n
un
0 ,则
(1)n1un 收敛.
n1
四、任意项级数
1.定义
各项是任意实数的级数称为任意项级数.
2.绝对收敛与条件收敛
| u | (1)绝对收敛:若
n 收敛,则 un 绝对收敛.
n1
n1
(2)条件收敛:若 un 收敛,而 | un | 发散,则 un 条件收敛.

高数(一)——无穷级数、常微分方程

高数(一)——无穷级数、常微分方程

无穷级数1.定理:设)(x f 在),(0δx U 内具有任意阶导数,且0)(lim =∞→x R n n ,10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ;则在),(0δx U 内nn n x x n x f x f )!)()(000)(-=∑∞=称上式为)(x f 在点0x 的泰勒级数。

或称上式为将)(x f 展开为0x x =的幂级数。

2.几个常用的标准展开式①nn x x ∑∞==-011②nn n x x )1(110-=+∑∞=③!0n x e nn x∑∞==④)!12()1(sin 120+-=+∞=∑n x x n nn ⑤)!2()1(cos 20n x x nnn -=∑∞=⑥n x x nnn )1()1ln(0-=+∑∞=⑦nx x n n ∑-∞==-0)1ln(常微分方程1.一阶微分方程(1)可分离变量的微分方程若一阶微分方程0),,(='y y x F 通过变形后可写成dx x f dy y g )()(=或)()(y g x f y =';则称方程0),,(='y y x F 为可分离变量的微分方程.2.可分离变量微分方程的解方程dx x f dy y g )()(=必存在隐式通解C x F y G +=)()(。

其中:⎰=dy y g y G )()(,⎰=dx x f x F )()(.即两边取积分。

3.一阶线性微分方程定义方程)()(x Q y x P y =+'称为一阶线性微分方程.(1)非齐次方程——0)(≠x Q ;(2)齐次方程——0)(=+'y x P y .4.求解一阶线性微分方程(1)先求齐次方程0)(=+'y x P y 的通解:⎰=-dxx P Ce y )(,其中C 为任意常数。

(2)将齐次通解的C 换成)(x u 。

即⎰=-dxx P e x u y )()((3)代入非齐次方程)()(x Q y x P y =+',得⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-C dx e x q e y dx x P dxx P )()()(可降阶的二阶微分方程1.)(x f y =''型的微分方程例:求方程x e y xsin 212-=''的通解.分析:12cos 41C x e dx y y x++=''='⎰;212sin 81C x C x e dx y y x +++='=⎰.2.),(y x f y '=''型的微分方程解法:(1)令y p '=,方程化为),(p x f p =';(2)解此方程得通解),(1C x p ϕ=;(3)再解方程),(1C x y ϕ='得原方程的通解21),(C dx C x y +=⎰ϕ.3.),(y y f y '=''型的微分方程解法:(1)令y p '=,并视p 为y 的函数,那么dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='',(2)代入原方程,得),(p y f dy dpp =(3)解此方程得通解),(1C y p ϕ=;(4)再解方程),(1C y y ϕ='得原方程的通解21),(C x C y dy+=⎰ϕ.例:求方程02='-''y y y 的通解.解:(1)令y p '=,并视p 为y 的函数,那么dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='',(2)代入原方程,得02=-p dydp yp 或ydy p dp =(3)解以上方程,得C y p ln ||ln ||ln +=⇒y C p 1=,(C C ±=1).(4)再解方程yC y 1='⇒1C yy ='⇒21||ln C x C y '+=.(5)于是原方程的通解为xC e C y 12=,(22Ce C '±=)常系数线性微分方程1.二阶常系数齐次线性方程0=+'+''qy y p y 的解。

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凯程考研历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员!考研高等数学复习:微分方程与无穷级数解析在考研初期复习阶段开始就用心揣摩其规律、总结其方法,才能是考研取得满意成绩。

建议运用适合自己的学习方法能够经常总结方法、关注重点。

下面为大家总结分享了高数微分方程与无穷级数解析,希望能够帮助大家提高考研高数的成绩,顺利考上研究生。

一、微分方程微分方程可视为一元函数微积分学的应用与推广。

该部分在考试中以大题与小题的形式交替出现,平均每年所占分值在8分左右。

常考的题型包括各种类型微分方程的求解,线性微分方程解的性质,综合应用。

对于该部分内容的复习,考生首先要能识别各种方程类型(一阶:可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一);高阶:线性方程、欧拉方程(数一)、高阶可降阶的方程(数一、二)),熟悉其求解步骤,并通过足量练习以求熟练掌握;在此基础上还要具备数学建模的能力——能根据几何或物理背景,建立微分方程。

另外,有几点需提醒考生:1. 解微分方程主要考查考生计算积分的能力,而实际应用则对考生的综合能力提出较高要求,考生需结合练习把“解方程”和“列方程”的能力练好。

2. 非基本类型的方程一般都可通过变量替换化为基本类型。

3. 考生需弄清常见的物理量、几何量与微分、积分的关系。

二、无穷级数级数可视为微积分的综合应用。

该部分是数一、数三的必考内容,分值约占10%。

常考的题型有:常数项级数的收敛性,幂级数的收敛半径和收敛域,幂级数展开,幂级数求和,常数项级数求和以及傅里叶级数。

其中幂级数是重点。

结合考试分析,建议考生从以下方面把握该部分内容:1. 常数项级数理解其收敛的相关概念并掌握各种收敛性判别法。

凯程考研历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员!2. 幂级数考试有三方面的要求:幂级数收敛域的计算,幂级数求和,幂级数展开。

考生应通过一定量训练使自己具备这三方面的能力——给定幂级数,准确计算其收敛半径进而得到收敛域,能求其和函数,能将一个简单函数在指定点展开成幂级数。

3.傅里叶级数考试出现频率和考试要求均较低,掌握傅里叶系数的求法,再了解狄利克雷定理的内容即可。

如何有效地复习考研数学? 如果我们也视其为一道数学题,我想我们应该明白:我们要做微分运算——拿着放大镜把每个考点弄清,也要做积分运算——持续地投入,积跬步以至千里;我们要有严谨的态度——一张数表里有一个数不同结果就变了,还要有灵活的思维——于点、线、面,数、表、空间,常量、变量、随机变量间自由游弋;面对逝去的光阴不要悔恨——函数都可以不单调,人却要让过去决定未来吗,面对不如意的现状要接纳——作为考生,我们无权更改微分方程的初始条件,我们能做的是接受它,把题漂亮地解出来。

最后,预祝广大考生考试顺利。

凯程考研:凯程考研成立于2005年,具有悠久的考研辅导历史,国内首家全日制集训机构考研,一直从事高端全日制辅导,由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成,为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。

凯程考研的宗旨:让学习成为一种习惯;凯程考研的价值观:凯旋归来,前程万里;信念:让每个学员都有好最好的归宿;使命:完善全新的教育模式,做中国最专业的考研辅导机构;激情:永不言弃,乐观向上;敬业:以专业的态度做非凡的事业;服务:以学员的前途为已任,为学员提供高效、专业的服务,团队合作,为学员服务,为学凯程考研历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员!员引路。

特别说明:凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布,同学们和家长可以查看。

扎扎实实的辅导,真真实实的案例,凯程考研的价值观:凯旋归来,前程万里。

如何选择考研辅导班:在考研准备的过程中,会遇到不少困难,尤其对于跨专业考生的专业课来说,通过报辅导班来弥补自己复习的不足,可以大大提高复习效率,节省复习时间,大家可以通过以下几个方面来考察辅导班,或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量:师资力量是考察辅导班的首要因素,考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价,询问往届学长然后选择。

判断师资力量关键在于综合实力,因为任何一门课程,都不是由一、两个教师包到底的,是一批教师配合的结果。

还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。

凯程考研名师云集,李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。

而有的机构只是很普通的老师授课,对知识点把握和命题方向,欠缺火候。

对该专业有辅导历史:必须对该专业深刻理解,才能深入辅导学员考取该校。

在考研辅导班中,从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下2015五道口金融学院状元,考取五道口15人,清华经管金融硕士10人,人大金融硕士15个,中财和贸大金融硕士合计20人,北师大教育学7人,会计硕士保录班考取30人,翻译硕士接近20人,中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程,法学方面,凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元,更多专业成绩请查看凯程网站。

在凯程官方网站的光荣榜,成功学员经验谈视频特别多,都是凯程战绩的最好证明。

对于如此高的成绩,凯程集训营班主任邢老师说,凯程如此优异的成绩,是与我们凯程严格的管理,全方位的辅导是分不开的,很多学生本科都不是名校,某些学生来自二本三本甚至不知名的院校,还有很多是工作了多年才回来考的,大多数是跨专业考研,他们的难度大,竞争激烈,没有严格的训练和同学们的刻苦学习,是很难达到优异的成绩。

最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

凯程考研历年战绩辉煌,成就显著!在考研辅导班中,从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下国内最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人,占五道口金融学院录取总人数的约50%,五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如,2014年状元武玄宇,2013年状元李少华,2012年状元马佳伟,2011年状元陈玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连,总计达到150人以上,此外,还有考入北大清华人大法硕的凯程考研历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员!张博等10人,北大法学考研王少棠,北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院,另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。

北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人,创造了历年最高成绩。

会计硕士保录班考取30多人,中传郑家威勇夺中传新闻传播硕士状元,王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元,(他们的经验谈视频在凯程官方网站有公布,随时可以查看播放。

)对于如此优异的成绩,凯程辅导班班主任邢老师说,凯程如此优异的成绩,是与我们凯程严格的管理,全方位的辅导是分不开的,很多学生本科都不是名校,某些学生来自二本三本甚至不知名的院校,还有很多是工作了多年才回来考的,大多数是跨专业考研,他们的难度大,竞争激烈,没有严格的训练和同学们的刻苦学习,是很难达到优异的成绩。

考研路上,拼搏和坚持,是我们成功的必备要素。

王少棠本科学校:南开大学法学录取学校:北大法学国际经济法方向第一名总分:380+在来到凯程辅导之前,王少棠已经决定了要拼搏北大法学院,他有自己的理想,对法学的痴迷的追求,决定到最高学府北大进行深造,他的北大的梦想一直激励着他前进,在凯程辅导班的每一刻,他都认真听课、与老师沟通,每一个重点知识点都不放过,对于少棠来说,无疑是无比高兴的是,圆梦北大法学院。

在复试之后,王少棠与凯程老师进行了深入沟通,讲解了自己的考研经验,与广大考北大法学,人大法学、贸大法学等同学们进行了交流,录制为经验谈,在凯程官方网站能够看到。

王少棠参加的是凯程考研辅导班,回忆自己的辅导班的经历,他说:“这是我一辈子也许学习最投入、最踏实的地方,我有明确的复习目标,有老师制定的学习计划、有生活老师、班主任、授课老师的管理,每天6点半就起床了,然后是吃早餐,进教室里早读,8点开始单词与长难句测试,9点开始上课,中午半小时吃饭,然后又回到教室里学习了,夏天比较困了就在桌子上睡一会,下午接着上课,晚上自习、测试、答疑之类,晚上11点30熄灯睡觉。

”这样的生活,贯穿了我在辅导班的整个过程,王少棠对他的北大梦想是如此的坚持,无疑,让他忘记了在考研路上的辛苦,只有坚持的信念,只有对梦想的勇敢追求。

龚辉堂本科西北工业大学物理考入:五道口金融学院金融硕士(原中国人民银行研究生部)作为跨地区跨校跨专业的三凯程生,在凯程辅导班里经常遇到的,五道口金融学院本身公平的的传统,让他对五道口充满了向往,所以他来到了凯程辅导班,在这里严格的训练,近乎严苛的要求,使他一个跨专业的学生,成功考入金融界的黄埔军校,成为五道口金融学院一名优秀的学生,实现了人生的重大转折。

在凯程考研辅导班,虽然学习很辛苦,但是每天他都能感觉到自己在进步,改变了自己凯程考研历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员!以往在大学期间散漫的学习状态,进入了高强度学习状态。

在这里很多课程让他收获巨大,例如公司理财老师,推理演算,非常纯熟到位,也是每个学生学习的榜样,公司理财老师带过很多学生,考的非常好。

在学习过程中,拿下了这块知识,去食堂午餐时候加一块鸡翅,经常用小小的奖励激励自己,寻找学习的乐趣。

在辅导班里,学习成绩显著上升。

在暑期,辅导班的课程排得非常满,公共课、专业课、晚自习、答疑、测试,一天至少12个小时及以上。

但是他们仍然特别认真,在这个没有任何干扰的考研氛围里,充实地学习。

在经过暑期严格的训练之后,龚对自己考入五道口更有信心了。

在与老师沟通之后,最终确定了五道口金融学院作为自己最后的抉择,决定之后,让他更加发奋努力。

五道口成绩公布,龚辉堂成功了。

这个封闭的考研集训,优秀的学习氛围,让他感觉有质的飞跃,成功的喜悦四处飞扬。

另外,在去年,石继华,本科安徽大学,成功考入五道口金融学院,也就是说,我们只要努力,方向正确,就能取得优异的成绩。

师弟师妹们加油,五道口、人大、中财、贸大这些名校等着你来。

黄同学(女生)本科院校:中国青年政治学院报考院校:中国人民大学金融硕士总分:跨专业380+初试成绩非常理想,离不开老师的辛勤辅导,离不开班主任的鼓励,离不开她的努力,离不开所有关心她的人,圆梦人大金融硕士,实现了跨专业跨校的金融梦。

黄同学是一个非常腼腆的女孩子,英语基础算是中等,专业课是0基础开始复习,刚刚开始有点吃力,但是随着课程的展开,完全能够跟上了节奏。

初试成绩公布下来,虽然考的不错,班主任老师没有放松对复试的辅导,确保万无一失,拿到录取通知书才是最终的尘埃落地,开始了紧张的复试指导,反复的模拟训练,常见问题、礼仪训练,专业知识训练,每一个细节都训练好之后,班主任终于放心地让她去复试,果然,她以高分顺利通过复试,拿到了录取通知书。

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