高中数学三角函数知识点与题型总结

三角函数典型考题归类

1．根据解析式研究函数性质

例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，上的最小值和最大值．

【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛

⎫⎛⎫⎛⎫=-+

+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭

． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ⎛

⎫=+

⎪⎝

⎭，1

()1sin 22

g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．

2．根据函数性质确定函数解析式

例2（江西）如图，函数π

2cos()(00)2

y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y

轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；

（2）已知点π02A ⎛⎫

⎪⎝⎭

，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，

当02y =

，0ππ2x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛

⎫⎛⎫=+

+--∈ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域； （II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为

π

2

，求函数()y f x =的单调增区间．

（理）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间． 【相关高考2】（全国Ⅱ）在ABC △中，已知内角A π

=

3

，边BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的最大值． 3．三角函数求值 例3（四川）已知cos α=

71,cos(α-β)＝14

13，且0<β<α<2π

,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β.

【相关高考1】（重庆文）已知函数f (x )=)

2

sin(42cos 2ππ+⎪

⎭⎫ ⎝⎛

-x x .（Ⅰ）求f (x )的定义域；（Ⅱ）若角a 在第一象限，且）。

（求a f a ,5

3

cos = 【相关高考2】(重庆理)设f (x ) = x x 2sin 3cos 62

-（1）求f(x )的最大值及最小正周期；（2）若锐角α满足

323)(-=αf ，求tan α5

4

的值.

4．三角形中的函数求值

例4（全国Ⅰ）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．

（Ⅰ）求B

的大小；（文）（Ⅱ）若a =，5c =，求b ．（理）（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 【相关高考1】（天津文）在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5

A =-． （Ⅰ）求sin

B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫

+

⎪⎝⎭

的值． 【相关高考2】（福建）在ABC △中，1tan 4A =

，3

tan 5

B =．（Ⅰ）求角

C 的大小；文（Ⅱ）若AB

，求BC 边的长．理（Ⅱ）若ABC △

，求最小边的边长． 5．三角与平面向量

例5（湖北理）已知ABC △的面积为3，且满足0≤AC AB •≤6，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；

（II

）求函数2

()2sin 24f θθθ⎛⎫

=+

⎪⎝⎭

π的最大值与最小值． 【相关高考1】（陕西）设函数()b a x f ⋅=，

其中向量R x x b x m a ∈+==),1,2sin 1(),2cos ,(，且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭

⎫

⎝⎛2,4π，

（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合.

【相关高考2】（广东）已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)．

（文）(1)若0=•AC AB ，求c 的值；（理）若∠A 为钝角，求c 的取值范围；(2)若5c =，求sin ∠A 的值．

6三角函数中的实际应用

例6

（山东理）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B

处，此时两船相距

【相关高考】（宁夏）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测

2

A

120