偏最小二乘回归方法-PPT
偏最小二乘回归
在多元线性回归模型中，设有一组自变 量 X x1 , x2 , , x p 和一组因变量
Y y1 , y2 , , yq
当 数据满足高斯—马尔科夫假定时，根据 最小二乘法，有
ˆ (X Y X )1 X Y
怎样确定所应提取的成分个数
在偏最小二乘回归建模中，可通过考察增加一个 新的成分后，能否对预测功能有明显的改进来考 虑。把所有的n个样本点分成两部分：第一部分是 除去某个样本点i 的所有样本点的集合（共含n 1个 样本点），用这部分样本点并使用h个成分拟合一 ˆ hj 个回归方程，得到y j 在样本点i, n, 重复上述测试，则可定义 y j的预测误差平方和为：
2 ˆ hj PRESShj ( yij y ) （-i ) i 1 n
定义Y的预测误差平方和为： PRESSh PRESShj
j 1 p
如果回归方程的稳健性不好，误差很大，它对样本 点的变动就会十分敏感，这种扰动误差的作用，就 会加大PRESSh值。
比较PRESS h 和SS h -1. SSh -1是用样本点拟合的具有h-1个成分的拟合 误差；PRESS h 增加了一个成分th ,但却含有样 本点的扰动误差。如果h个成分的回归方程的 含扰动误差能在一定程度上小于h-1个成分回 归方程的拟合误差，则认为增加一个成分th， 会使预测的精度明显提高。因此我们希望 PRESS h与SS h -1的比值能越小越好. 若 PRESS h / SS h -1 0.952 就认为增加成分是 有益的，反之，则认为新增加的成分对减少 方程的预测误差无明显的改善作用。
4. 变量 x j 与 xk的相关系数 rjk r(x j , xk ) s jk s j sk
偏最小二乘回归方法(PLS)
偏最小二乘回归方法1 偏最小二乘回归方法(PLS)背景介绍在经济管理、教育学、农业、社会科学、工程技术、医学和生物学中，多元线性回归分析是一种普遍应用的统计分析与预测技术。
多元线性回归中，一般采用最小二乘方法(Ordinary Least Squares :OLS)估计回归系数，以使残差平方和达到最小，但当自变量之间存在多重相关性时，最小二乘估计方法往往失效。
而这种变量之间多重相关性问题在多元线性回归分析中危害非常严重，但又普遍存在。
为消除这种影响，常采用主成分分析(principal Components Analysis :PCA)的方法，但采用主成分分析提取的主成分，虽然能较好地概括自变量系统中的信息，却带进了许多无用的噪声，从而对因变量缺乏解释能力。
最小偏二乘回归方法(Partial Least Squares Regression：PLS)就是应这种实际需要而产生和发展的一种有广泛适用性的多元统计分析方法。
它于1983年由S.Wold和C.Albano等人首次提出并成功地应用在化学领域。
近十年来，偏最小二乘回归方法在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展，己经广泛地应用在许多领域，如生物信息学、机器学习和文本分类等领域。
偏最小二乘回归方法主要的研究焦点是多因变量对多自变量的回归建模，它与普通多元回归方法在思路上的主要区别是它在回归建模过程中采用了信息综合与筛选技术。
它不再是直接考虑因变量集合与自变量集合的回归建模，而是在变量系统中提取若干对系统具有最佳解释能力的新综合变量(又称成分)，然后对它们进行回归建模。
偏最小二乘回归可以将建模类型的预测分析方法与非模型式的数据内涵分析方法有机地结合起来，可以同时实现回归建模、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量间的相关性分析(典型性关分析)，即集多元线性回归分析、典型相关分析和主成分分析的基本功能为一体。
下面将简单地叙述偏最小二乘回归的基本原理。
一元线性回归模型及参数的最小二乘估计课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
§8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
1 一元线性回归模型 2 最小二乘法和
经验回归方程
3 利用经验回归方程
进行预测
01 一元线性回归模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线__性__回__归_
8
∑i＝1xiyi－8 x b^ ＝ 8
∑i＝1x2i －8 x
y
2
＝132245－6－8×8×52×25982＝14，
所以a^ ＝ y －b^ x ＝98－14×52＝12，故经验回归方程为y^＝14x＋12.
(2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结 论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.
n
(xi－ x )2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
由题意可得 x ＝15×(1＋1.5＋2＋2.5＋3)＝2， y ＝15×(0.9＋0.7＋0.5＋0.3＋0.2)＝0.52.
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－1×0.38－0.5×0.18＋0.5×(－0.22)＋1×(－0.32)
i＝1
(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.
练1习1 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单
位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿
元，年支出预计不会超过
A.9亿元 C.10亿元
偏最小二乘回归分析
x y xy 101.8389 b 2 2 , x x a y b x -28.6883
y
2 [ y ( a bx )] i i
n2
0.931912
利用肖维涅舍弃判据来剔除测量值中带有粗差的数 据，列表如下（n=16时,Cu=2.15)：
递推关系:
P0(x)=1, P1(x)=x,
2 P2 ( x) 1 ( 3 x 1) 2
则： a 28.7 0.4 b 101.8 0.1
即回归方程为：
y 28.7 101.8 x
附：临界相关系数 R表
N-2 a
0.05 0.01
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.997 0.950 0.878 0.811 0.754 0.707 0.666 0.632 0.602 0.576 1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.707
1.3 相关关系
相关关系的描述 相关关系最直观的描述方式——坐标图（散点图）
非线性相关
零相关
正相关
负相关
相关系数 — 相关程度的度量
X和Y的总体 相关系数： •
Cov( X , Y ) Var ( X )Var (Y )
其中： Var(X)-----X 的方差 Var(Y)-----Y的方差 Cov（X，Y）-----X和Y的协方差
解： 1.列表
n x
y x2 y2 xy
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.11
82.5 1.2321 6806.25 91.575
偏最小二乘课件
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算法流程
每次舍去第 i 个观测数据（ i 1,2, ，对余下 , n）
的 n 1个观测数据用偏最小二乘回归方法建模，并考 虑抽取 h （ h r ）个成分后拟合的回归式，然后把舍 去的自变量组第 i 个观测数据代入所拟合的回归方程 式，得到 y j ( j 1,2, ˆ ( h) 。 b
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简介
偏最小二乘回归分析在建模过程中集成了主成分分 析、典型相关分析和线性回归分析方法的特点，因此在 分析结果中， 除了可以提供一个更为合理的回归模型外， 还可以同时完成一些类似于主成分分析和典型相关分析 的研究内容，提供一些更丰富、深入的信息。
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简介
（6）
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算法流程
（3）用残差阵 A1 和 B1 代替 A和 B 重复以上步骤。 ˆ u ˆ， ˆ u ˆ1 (1)T ， B ˆ1 (1)T ，则残差阵 E1 A A 记A ˆ 。如果残差阵 B 中元素的绝对值近似为 0， B1 B B 1 则认为用第一个成分建立的回归式精度已满足需要 了， 可以停止抽取成分。 否则用残差阵 A1 和 B1 代替 A和 B 重复以上步骤即得
4. 否则继续对第二成分的提取，直到能达到满意的精度 为止。 5. 若最终对自变量集提取 r 个成分 u1 , u2 , 二乘回归将建立 y1 , 6. 最后表示为 y1 ,
, ur ，偏最小
, y p 与 u1 , u2 ,
, ur 的回归方程。
, y p 与原自变量的回归方程，即偏
最小二乘回归方程式。
分别为 X ,Y 的第二对成分的负荷量。这时有 (1)T ( 2)T ˆ ˆ A u u A2 , 1 2 (1)T ( 2)T ˆ ˆ B u u B2 . 1 2
专题6偏最小二乘回归ppt课件
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一、偏最小二乘回归概述——偏最小二乘回归方法的产生背景(续)
在国内,最早对此进行系统研究的学者 是北京航空航天大学的王惠文教授。
4
一、偏最小二乘回归概述
偏最小二乘回归的基本思想
2 T
。一般地,若有ˆT2
ˆ
2 B
,
则回归方程会有更好的预测效果;若
ˆT2
ˆ
2 B
,
则回归方程不宜用于预测。
22
二、偏最小二乘回归的建模步骤
在PLS建模中,究竟该选取多少个成分为宜,这 可通过考察增加一个新的成分后,能否对模型的预 测功能有明显改进来考虑。
采用类似于抽样测试法的工作方式,把所有n 个样本点分成2部分:第1部分除去某个样本点i的 所有样本点集合(共含n-1个样本点),用这部分样本 点并使用h个成分拟合一个回归方程;第二部分是 把刚才被排除的样本点i代入前面拟合的回归方程, 得到 y j 在样本点i上的拟合值 yˆ hj(i)。
显提高。
26
三、偏最小二乘回归的辅助分析技术
与典型相关分析对应的研究内容 与主成分分析对应的研究内容
27
三、偏最小二乘回归的辅助分析技术
与典型相关分析对应的研究内容
1.精度分析
(1)th对某自变量xj的解释能力为
Rd (xj ;th ) r2 (xj ,th )
(2)th对X的解释能力为
1 p
m
Rd (xj ;t1,t2, ,tm ) Rd (xj ;th ) h1
(5)th对某因变量yk的解释能力为 Rd ( yk ;th ) r2 ( yk ;th )
偏最小二乘回归方法(PLS)
偏最小二乘回归方法1 偏最小二乘回归方法(PLS)背景介绍在经济管理、教育学、农业、社会科学、工程技术、医学和生物学中，多元线性回归分析是一种普遍应用的统计分析与预测技术。
多元线性回归中，一般采用最小二乘方法(Ordinary Least Squares :OLS)估计回归系数，以使残差平方和达到最小，但当自变量之间存在多重相关性时，最小二乘估计方法往往失效。
而这种变量之间多重相关性问题在多元线性回归分析中危害非常严重，但又普遍存在。
为消除这种影响，常采用主成分分析(principal Components Analysis :PCA)的方法，但采用主成分分析提取的主成分，虽然能较好地概括自变量系统中的信息，却带进了许多无用的噪声，从而对因变量缺乏解释能力。
最小偏二乘回归方法(Partial Least Squares Regression：PLS)就是应这种实际需要而产生和发展的一种有广泛适用性的多元统计分析方法。
它于1983年由S.Wold和C.Albano等人首次提出并成功地应用在化学领域。
近十年来，偏最小二乘回归方法在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展，己经广泛地应用在许多领域，如生物信息学、机器学习和文本分类等领域。
偏最小二乘回归方法主要的研究焦点是多因变量对多自变量的回归建模，它与普通多元回归方法在思路上的主要区别是它在回归建模过程中采用了信息综合与筛选技术。
它不再是直接考虑因变量集合与自变量集合的回归建模，而是在变量系统中提取若干对系统具有最佳解释能力的新综合变量(又称成分)，然后对它们进行回归建模。
偏最小二乘回归可以将建模类型的预测分析方法与非模型式的数据内涵分析方法有机地结合起来，可以同时实现回归建模、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量间的相关性分析(典型性关分析)，即集多元线性回归分析、典型相关分析和主成分分析的基本功能为一体。
下面将简单地叙述偏最小二乘回归的基本原理。
偏最小二乘回归分析
偏最小二乘回归分析偏最小二乘回归分析（PartialLeastSquaresRegression，简称PLSR）是一种统计分析方法，它通过最小二乘法拟合变量间的关系来预测数据。
它可以在没有任何变量相关性、异方差假设和线性回归假设的情况下，推断出解释变量与被解释变量之间的关系。
PLSR的实质是利用原始变量的变量组合作为自变量，利用原始被解释变量的变量组合作为因变量，采用最小二乘法拟合变量之间的关系，进而推断出解释变量与被解释变量之间的关系，以及变量组合之间的关系。
PLSR能够有效地把来自大量解释变量的信息汇总到有限的因变量中，从而减少计算时间，并得到更好的预测结果。
尤其是当解释变量之间存在多重共线性时，PLSR能解决多重共线性的问题，也能够更好地拟合变量间的关系，从而获得更好的预测结果。
PLSR的应用在各种数据分析中都有一定的价值，如财务预测、市场调研及消费者行为研究等应用中都有所体现。
同样，PLSR也可以用于研究生物学遗传现象，帮助探索生物学相关变量之间的关系，从而为深入分析提供有价值的参考数据。
PLSR所涉及到的数学模型具有一定的复杂性，数据分析者在使用PLSR方法时，要注意解释变量和被解释变量之间是否存在强关联。
如果是强关联，PLSR分析可能会陷入过拟合，出现拟合不令人满意的预测结果。
同时，还要注意解释变量之间的关联性，以防止多重共线性的影响，否则PLSR的结果也可能不太理想。
因此，在使用PLSR进行数据分析之前，数据分析者应该首先分析出解释变量和被解释变量之间大致的关系，以及它们之间是否存在强关联或多重共线性；其次，数据分析者还要注意选择正确的变量组合，以保证PLSR结果的准确性。
总的来说，偏最小二乘回归分析是一种统计分析方法，它可以有效地减少计算时间，并能得到更好的预测结果，将被广泛用于各种数据分析中，但是必须注意变量的选择以及变量间的关系，以保证PLSR 结果的准确性。
偏最小二乘法PLS和PLS回归的介绍及其实现方法
偏最小二乘法PLS和PLS回归的介绍及其实现方法偏最小二乘法（Partial Least Squares，简称PLS）是一种多元统计学方法，常用于建立回归模型和处理多重共线性问题。
它是对线性回归和主成分分析（PCA）的扩展，可以在高维数据集中处理变量之间的关联性，提取重要特征并建立回归模型。
PLS回归可以分为两个主要步骤：PLS分解和回归。
1.PLS分解：PLS分解是将原始的预测变量X和响应变量Y分解为一系列的主成分。
在每个主成分中，PLS根据两者之间的协方差最大化方向来寻找最佳线性组合。
PLS根据以下步骤来获得主成分：1)建立初始权重向量w，通常是随机初始化的；2) 计算X和Y之间的协方差cov(X,Y)；3)将w与X与Y的乘积进行中心化，得到新的X'和Y'；4)标准化X'和Y'，使得它们的标准差为1；5)多次迭代上述步骤，直到达到设定的主成分数目。
2.回归：在PLS分解之后，我们得到了一组主成分，接下来可以使用这些主成分来建立回归模型。
回归模型可以通过以下步骤来构建：1)将X和Y分别表示为主成分的线性组合；2)根据主成分得分对回归系数进行估计；3)使用估计的回归系数将新的X预测为Y。
PLS的实现可以通过以下几种方法：1.标准PLS（NIPALS算法）：它是最常见的PLS算法。
它通过递归地估计每个主成分和权重向量来实现PLS分解。
该算法根据数据的方差最大化原则得到主成分。
2.中心化PLS：数据在进行PLS分解之前进行中心化。
中心化可以确保主成分能够捕捉到变量之间的相关性。
3. PLS-DA：PLS-Discriminant Analysis，是PLS在分类问题中的应用。
它通过利用PLS分解找到最佳线性组合，以区分两个或多个不同的分类。
4. PLS-SVC：PLS-Support Vector Classification，是PLS在支持向量机分类中的应用。
它通过PLS寻找最优线性组合，同时最小化分类误差。
偏最小二乘回归方法
偏最小二乘回归方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊偏最小二乘回归方法。
这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开好多数据背后隐藏的秘密大门呢！你想想看，我们生活中有那么多的数据，就像一堆乱麻。
而偏最小二乘回归方法呢，就像一个超级厉害的理线小能手，能把这些乱麻给理顺咯！它能从那些看似杂乱无章的数据中找出规律来，是不是很神奇呀！比如说，你想知道气温和冰淇淋销量之间的关系。
如果光靠眼睛看，那可真是两眼一抹黑，啥也看不出来。
但用了偏最小二乘回归方法，嘿，它就能帮你找到其中的关联啦！它能把那些复杂的数据关系变得清晰明了，就好像在黑暗中给你点亮了一盏明灯。
它可不只是能处理简单的问题哦！不管是多么复杂的数据情况，它都能迎刃而解。
这就好比一个经验丰富的老船长，不管是风平浪静的海面，还是波涛汹涌的大海，都能稳稳地驾驶着船只前进。
你再想想，如果没有这种方法，我们得在数据的海洋里迷失多久啊！那可真是像没头苍蝇一样乱撞。
但有了偏最小二乘回归方法，我们就有了方向，就可以朝着正确的目标前进啦！而且哦，它还特别灵活。
就像一个变形金刚一样，可以根据不同的情况变换自己的形态，去适应各种需求。
它能处理不同类型的数据，不同规模的数据，这多厉害呀！咱再打个比方，它就像是一个厨艺高超的大厨。
不管你给它什么食材，它都能变出美味的菜肴来。
是不是很牛？很多时候，我们面对那些密密麻麻的数据，会觉得头疼，不知道该怎么下手。
但有了偏最小二乘回归方法，就不用担心啦！它能帮我们把难题都解决掉。
它就像是我们在数据世界里的好伙伴，一直陪着我们，帮我们解决一个又一个的难题。
它让我们能更好地理解这个世界，更好地利用数据。
所以啊，朋友们，可千万别小瞧了偏最小二乘回归方法。
它可是我们探索数据世界的得力助手呢！让我们一起好好利用它，去发现更多的数据奥秘吧！。
27第二十七章 偏最小二乘回归分析
线性组合： t1 = w11 x1 + L + w1m xm = w1 X ， u1 是因变量集 Y = ( y1 ,L , y p ) 的线性组
T
T
合： u1 = v11 y1 + L + v1 p y p = v1 Y 。为了回归分析的需要，要求：
T
① t1 和 u1 各自尽可能多地提取所在变量组的变异信息； ② t1 和 u1 的相关程度达到最大。 由两组变量集的标准化观测数据阵 E0 和 F0 ，可以计算第一对成分的得分向量，记
2 ⎧α = E T tˆ t ˆ1 0 1 ⎪ 1 ， ⎨ 2 T ˆ ˆ ⎪ ⎩β1 = F0 t1 t1
称 α1 , β1 为模型效应负荷量。
（3）用残差阵 E1 和 F1 代替 E0 和 F0 重复以上步骤。
ˆ = tˆ α ， F ˆ = tˆ β ，则残差阵 E = E − E ˆ ，F = F − F ˆ 。如果残差阵 F 记E 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0
-674-
ˆ1 和 u ˆ1 ： 为t
⎡ x11 tˆ1 = E0 w1 = ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣ xn1 ⎡ y11 ⎢ ˆ1 = F0 v1 = ⎢ M u ⎢ yn1 ⎣ L x1m ⎤ ⎡ w11 ⎤ ⎡t11 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ M ⎥ ⎥⎢ M ⎥ = ⎢ M ⎥ L xnm ⎥ ⎦⎢ ⎣ w1m ⎥ ⎦ ⎢ ⎣t n1 ⎥ ⎦
⎡ y11 L y1 p ⎤ ⎡ x11 L x1m ⎤ ⎢ ⎥ F0 = ⎢ M M ⎥ ， E0 = ⎢ M ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ yn1 L ynp ⎥ ⎢ ⎥ x x L nm ⎦ ⎣ n1 ⎣ ⎦
偏最小二乘回归分析建模的具体步骤如下： （1）分别提取两变量组的第一对成分，并使之相关性达最大。 假设从两组变量分别提出第一对成分为 t1 和 u1 ，t1 是自变量集 X = ( x1 ,L , xm ) 的
偏最小二乘(PPT课件)
§11.1 偏最小二乘回归分析
在PLS过程中称α1=(α11,…,α1m)′为模型效应负 荷量(Model Effect Loadings).
18
§11.1 偏最小二乘回归分析
(3) 用残差阵E1和F1代替X0和Y0重复以上步骤.
如果残差阵F1中元素的绝对值近似为0， 则认为用第一个成分建立的回归式精度已 满足需要了，可以停止抽取成分.否则用残 差阵E1和F1代替X0和Y0重复以上步骤即得：
以及
X0 ' Y0Y0'X0w1 12w1, Y0 ' X0X0 ' Y0v1 12v1.
可知w1是 X0 ' Y0Y0'X0 的最大特征值 12 ,
对应的特征向量。
v1是 Y0 ' X0X0'Y0 的最大特征值 12 ,
对应的特征向量。
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§11.1 偏最小二乘回归分析
问题的求解只须通过计算m×m矩阵
第一对成分T1和U1的协方差Cov(T1,U1)可 用第一对成分的得分向量t1和u1的内积来 计算。故而以上两个要求可化为数学上的 条件极值问题：
11
§11.1 偏最小二乘回归分析
同时最大化方差Var(T1)、Var(U1)和ρ(T1,U1):
Max
w1 ,v1
Var(T1)Var(U1)(T1, U1)
§11.1 偏最小二乘回归分析
n
PRESS j (k) ( yij yˆ j(i) (k))2 ( j 1,, p) i 1 Y=(Y1,…,Yp)′ 的预测残差平方和为
对抽取成分的个数k从1个至r个逐个计算Y的预 测残差平方和PRESS(k),然后选取使Y的预测残 差平方和达最小值的k,让l=k.
偏最小二乘回归分析
对因变量系统有很强的解释能力. 这两个要求表明，PLS方法主成分的提取同主成分分
析中主成份的提取既有相似之处（代表性要求），又有不 同（相关性要求）.
在第一个主成分 t1 和 u1 被提取后，分别实施
①各自变量对自变量系统第一主成分的回归（即用
t1 表示X ）.
②各因变量对自变量系统第一主成分的回归（即用
th Eh1wh ,
⑺
uh Fh1ch ,
⑻
Eh Eh1 th phT ,
⑼
Fh Fh1 thrrT ,
⑽
式⑺至⑽中，h 1,2,, m, m rankE0,
t1 E0w1.
⑶
求矩阵 F0T E0E0T F0 的最大特征值所对应单位特征向量 c1, 得因变量的第1个主成分
u1 F0c1.
⑷
求残差矩阵
E1 E0 t1 p1T ,
⑸
F1 F0 t1r1T ,
⑹
式⑸中
p1
E0T t1 t1 2
,
式⑹中
r1
F0T t1
t1
2
.
在PLS方法中称 w1 为模型效应权重（Model Effect
常见的方法是用逐步回归法来进行变量的筛选，去掉 不太重要的相关性变量.然而，逐步回归法存在下列问题：
Ⅰ.缺乏对变量间多重相关性进行判定的十分可靠的检验 方法.
Ⅱ.删除部分多重相关变量的做法常导致增大模型的解释 误差，将本应保留的系统信息舍弃，使得接受错误结论的可 能以及做出错误决策的风险不断增长.
在克服变量多重相关性对系统回归建模干扰的努力中，
1983年瑞典伍德(S.Wold)、阿巴诺(C.Albano)等人提出了 偏最小二乘回归分析(Partial Least squares Regression
(真正的好东西)偏最小二乘回归=多元线性回归分析+典型相关分析+主成分分析
偏最小二乘回归是一种新型的多元统计数据分析方法，它与1983年由伍德和阿巴诺等人首次提出。
近十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。
密西根大学的弗耐尔教授称偏最小二乘回归为第二代回归分析方法。
偏最小二乘回归方法在统计应用中的重要性主要的有以下几个方面：（1）偏最小二乘回归是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。
（2）偏最小二乘回归可以较好地解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。
在普通多元线形回归的应用中，我们常受到许多限制。
最典型的问题就是自变量之间的多重相关性。
如果采用普通的最小二乘方法，这种变量多重相关性就会严重危害参数估计，扩大模型误差，并破坏模型的稳定性。
变量多重相关问题十分复杂，长期以来在理论和方法上都未给出满意的答案，这一直困扰着从事实际系统分析的工作人员。
在偏最小二乘回归中开辟了一种有效的技术途径，它利用对系统中的数据信息进行分解和筛选的方式，提取对因变量的解释性最强的综合变量，辨识系统中的信息与噪声，从而更好地克服变量多重相关性在系统建模中的不良作用。
（3）偏最小二乘回归之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。
由于偏最小二乘回归在建模的同时实现了数据结构的简化，因此，可以在二维平面图上对多维数据的特性进行观察，这使得偏最小二乘回归分析的图形功能十分强大。
在一次偏最小二乘回归分析计算后，不但可以得到多因变量对多自变量的回归模型，而且可以在平面图上直接观察两组变量之间的相关关系，以及观察样本点间的相似性结构。
这种高维数据多个层面的可视见性，可以使数据系统的分析内容更加丰富，同时又可以对所建立的回归模型给予许多更详细深入的实际解释。
一、偏最小二乘回归的建模策略\原理\方法1.1建模原理设有 q 个因变量{q y y ,...,1}和p 自变量{p x x ,...,1}。
为了研究因变量和自变量的统计关系,我们观测了n 个样本点,由此构成了自变量与因变量的数据表X={p x x ,...,1}和.Y={q y y ,...,1}。
第8章 主成分回归与偏最小二乘 《应用回归分析》 PPT课件
主成分回归的思想是把自变量的信息分解成互不相关的成 分，常规做法是选取前几个最主要的成分与因变量Y做回归，这 种做法适用于绝大多数情况。但其实并不排除用后面的几个成 分与因变量Y做回归。实际上，如果Y与全部自变量的回归拟合 优度很好，但是主成分回归的效果很差，这时自然会考虑这个 数据中是不是后面几个没引入回归方程的“次要”的成分反而 对因变量Y最重要。
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8.2 偏最小二乘法
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关于主成分回归的质疑
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甚至有人认为没有必要给人们推荐主成分回归了,过时了,“难 道所有的老问题都要500年不变传给后人么”?
有在美国留学的人说“在今天的美帝的统计课上,老爷子们 讲到多重共线性问题的时候还在推荐PCR,真是没办法!”
现在讲PCR的老师都那么傻吗？！谁能给出今天十全十美 的方法？我的回答是：
永远没有十全十美的方法！
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关于主成分回归的质疑
《偏最小二乘方法》课件
首先对数据进行预处理和特征选择，然后利用偏最小二乘方法提取 主成分，最后建立预测模型并进行模型评估。
预测建模效果
通过偏最小二乘方法建立的预测模型具有较好的稳定性和泛化能力 ，能够为实际应用提供可靠的预测结果。
04
偏最小二乘方法在机器学习中的 应用
分类问题
偏最小二乘方法在分类问题中可以用于特征提取和模型训练。通过提取数据中的潜在特征，偏最小二 乘方法能够降低数据维度，同时保留分类信息，提高分类准确率。
提高可解释性 为了更好地理解模型的内在机制 ，未来研究可以进一步探索如何 提高偏最小二乘方法的结果可解 释性。
扩展应用领域
随着大数据和人工智能技术的不 断发展，偏最小二乘方法可以进 一步扩展到更多领域，如自然语 言处理、图像处理等。
结合其他算法
未来研究可以将偏最小二乘方法 与其他算法结合，如深度学习、 强化学习等，以获得更好的性能 和更广泛的应用。
金融数据分析
总结词
偏最小二乘方法在金融数据分析中广 泛应用于预测股票价格、评估投资组 合风险和回报等方面。
详细描述
通过分析历史股票数据和市场信息， 偏最小二乘方法能够建立有效的预测 模型，帮助投资者做出更明智的决策 。
市场细分分析
总结词
偏最小二乘方法在市场细分分析中用于识别不同消费者群体的特征和行为模式，从而制定更有针对性的营销策略 。
线性回归（Linear Regression）
PLS和线性回归都是预测模型，但PLS更适合处理具有复杂相关性和非线性的数据集， 而线性回归假设数据服从正态分布且变量独立。
支持向量机（SVM）
PLS和SVM都是监督学习算法，但PLS更适用于高维度和多因多果的问题，而SVM主要 应用于分类问题。
偏最小二乘法回归(Partial Least Squares Regression)
������2
黑色线条表示原始坐标系，蓝色的点是原始的 4 个 2 维的样本点，做完 PCA 后，得到 两个正交的特征向量坐标������1 和������2 。绿色点是样本点在������1 上的投影（具有最大方差） ，红色点 是在������2 上的投影。������1 的每个分量是绿色点在������1 上的截距，������2 是红色点在������2 上的截距。������������ ������������������ 中 的每个分量都可以看做是方向为������������ ， 截距为������������ 相应分量大小的向量， 如那个������1����� ������������������ 就得到了 X 在������������ 的所有投影向量，由于������1 和������2 正交，因此������1 ������1 + ������2 ������2 就相当于每个点的 橘色箭头的加和，可想而知，得到了原始样本点。 ������ 如果舍弃了一些特征向量如������2 ，那么通过������1 ������1 只能还原出原始点的部分信息（得到的绿 色点， 丢失了蓝色点在另一维度上的信息） 。 另外， P 有个名字叫做 loading 矩阵， T 叫做 score 矩阵。
其实 T 的列向量也是正交的，不太严谨的证明如下： ������ ������ ������ = (������������)������ (������������) = ������������ ������ ������ ������������ = ������������ (������������������������ )������ = ������������ ������������������������ ������ = ������ 其中利用了������ ������ ������ = ������������������������ ，这是求 P 的过程，������是对角阵，对角线上元素就是特征值λ。 这里对 P 做了单位化，即������������ ������ = ������ 。这就说明了 T 也是正交的， P 是������ ������ ������的特征向量矩阵， 更进一步，T 是������������ ������ 的特征向量矩阵（������������ ������ ������ = ������������ ������ ������������ = ������������������������������ ������ = ������������)。 这样经过 PCA 以后，我们新的样本矩阵 T（m*r）是满秩的，而且列向量正交，因此直 接代入最小二乘法公式，就能得到回归系数θ。 PCA 的另一种表示： ������ ������ ������ ������ ������ = ������1 + ������2 + ������3 + ⋯ + ������n = ������1 ������1 + ������2 ������2 + ������3 ������3 + ⋯ + ������������ ������������ = ������������������ （假设 X 秩为 n） 这个公式其实和上面的表示方式������ = ������������没什么区别。 ������ = ������������ → ������������������ = ������������������������ → ������ = ������������������ （当然我们认为 P 是 n*n 的，因此������������ = ������−1） 如果 P 是 n*r 的，也就是舍弃了特征值较小的特征向量，那么上面的加法式子就变成了 ������ ������ ������ ������ ������ = ������1 + ������2 + ������3 + ⋯ + ������������ + ������ = ������1 ������1 + ������2 ������2 + ������3 ������3 + ⋯ + ������������ ������������ + ������ = ������������������ + ������ 这里的 E 是残差矩阵。 其实这个式子有着很强的几何意义， ������������ 是������ ������ ������第������ 大特征值对应的 归一化后的特征向量，������������ 就是 X 在������������ 上的投影。������������ ������������������ 就是 X 先投影到������������ 上，还以原始坐标系 得到的 X’。下面这个图可以帮助理解：
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4
此方法的优点：
（4）偏最小二乘回归方法与其 他的建模方法相比，具有计算简单、 预测精度高，易于定性解释的优点。
5
多因变量偏最小二乘算法推导
首先将数据做标准化处理。
原自变量数据表 X(x1,x2,Lxp)np 经标准化后的数据矩阵记为
C o v t 1 ,u 1 V a r t 1 V a r u 1 r t 1 ,u 1 m a x
10
多因变量偏最小二乘算法推导
正规的数学表述应该是求解下 列优化问题，即
max
1,c1
E0
1,F0c1
s .t
T 1
c
T 1
1
c1
1 1
11
多因变量偏最小二乘算法推导
采用拉格朗日算法，记
第二步：用残差矩阵E 1 和F 1 取
代 E 0 和 F 0 。然后，求第二个轴 2 和 c 2 以及第二个成分 t 2 ，u 2 ，有
t2 E12
u2 F1c2
2t2,u2 2 TE1 TF 1c2
20
多因变量偏最小二乘算法推导
2 是对应于矩阵 E1T F1F1T E1 的最
大特征值
2 2
13
s
2
c1Tc1 1
0
（4）式
多因变量偏最小二乘算法推导
由上述四个式子可以推出
21 221 T E 0 T F 0 c 1E 01 ,F 0 c 1
记 12 12 2 1 TE 0 TF 0c1，所以 1 正是 优化问题的目标函数值。
14
多因变量偏最小二乘算法推导
把（1）和（2）式写成 E0TF0c1 11
E 0(E 0 1,L,E 0p)n p
原因变量数据表 Y(y1,y2,Lyq)n q 经标准化后的数据矩阵记
6
F 0(F 01,L,F 0q)n q
多因变量偏最小二乘算法推导
第一步：记 t 1是 E 0 的第一个成 分，t1 E01 ， 1是 E 0 的第一个轴，它 是一个单位向量,即有 1 1 。
的特征向量；
c
2
是对应
于矩阵
F1T E1E1T F1 的最大特征值
的 2
2
特征向量。
21
多因变量偏最小二乘算法推导
计算回归系数
p2
E
T 1
t
2
t2 2
r2
F
T 1
t
2
t2 2
因此，有回归方程
E1 t2p2T E2
F1 t2r2T F2
（8）式
22
多因变量偏最小二乘算法推导
如此计算下去，如果的 X 秩是 ， 则会m 有
多因变量偏最小二乘算法推导
另一方面，由于回归建模的需
要，又要求 t 1 对u 1 有最大的解释能
力，由典型相关分析的思路，t 1 与 u 1
的相关度应达到最大值，即
rt1,u1max
9
多因变量偏最小二乘算法推导
因此，综合起来，在偏最小二
乘回归中，我们要求 t 1 与 u 1 的协
方差达到最大，即
s 1 T E 0 T F 0 c 1 11 T 1 1 2 c 1 T c 1 1
对 s 分别求关于 1 ，c 1 ， 1 和 2 的偏导
数，并令之为零，有
12
多因变量偏最小二乘算法推导
s
1
E0TF0c12110
（1）式
s c1
F0TE0122c1
0（2）式
s
1
1T1
1
0
（3）式
t i 对某自变量 x j 的解释能力为
Rd(xj;ti)r2(xj,ti)
32
典型相关分析中的精度分析
t i 对某因变量y k 的解释能力为
Rd(yk;ti)r2(yk,ti)
t i 对X 的解释能力为
Rd(X;ti)1pkp1Rd(xk;ti)
33
t1,L ,th 对X 的解释能力为
h
Rd(X;t1,L,th) Rd(X;ti) i1
是使yˆ用h j i 全部样本点并取h
个
成分回归建模后，第 个i 样本点的
拟合值， yˆ h j是( i ) 在建模时删除样本 点 ，i
29
交叉有效性具体的步骤：
取 h 个成分回归建模后，再用此模
型计算的 y i j 的拟合值，记
p
pn
SSh SShj
(yij yˆhji)2
i1
j1i1
pn
35
谢谢！
讲演人：汤佳佳
36
同理，可得
16
F0TE0E0TF0c112c1
多因变量偏最小二乘算法推导
易知，c 1 是对应于矩阵 F0TE0E0TF0
的最大特征值 12 的单位特征向量。
求得轴 c 1 和 1 后，即可得到成
分 t1 E01，u1 F0c1 。然后，分别求
E
和
0
F
0
对 t 1 与 u 1 的三个回归方程
E 0t1p 1 T Ltm p m T
F 0 t1 r 1 T L tm r m T F m
由于 t1,L ,tm 均可以表示成 E01,L,E0p 的线性组合。
23
多因变量偏最小二乘算法推导
因此，（8）式还可以还原成
yk* F0k
关于
x
* j
E0
j
的回归方程形式，
即
y k *k 1 x 1 * L k p x * p F m k k1,2,L,q
t1,L ,th 对 x k 的解释能力为
h
Rd(xk;t1,L,th) Rd(xk;ti) i1
34
典型相关分析中的精度分析
t1,L ,th 对Y 的解释能力为
h
Rd(Y;t1,L,th) Rd(Y;ti) i1
t1,L ,th 对 y k 的解释能力为
h
Rd(yk;t1,L,th) Rd(yk;ti) i1
F m k 是残差矩阵 F m 的第k 列。
24
偏最小二乘回归的简化算法
（1）求矩阵 E0TF0F0TE0 最大特征值
所对应的单位特征向量 1 ，求成分 ，
得t1
t1 E01
E1 E0 t1p1T
其中
25
p1
E
T 0
t1
t1 2
偏最小二乘回归的简化算法
（2）求矩阵 E1TF0F0TE1 最大特征
F0TE01 1c1
将（6）代入（5），有
（5）式 （6）式
E0 TF0F0TE0 112 1 （7）式
15
多因变量偏最小二乘算法推导
易知， 1 是矩阵 E0TF0F0TE0的特征
向量，对应的特征值为
2 1
。
1
是目
标函数，它要求取最大值。
所以， 1 是对应于矩阵 E0TF0F0TE0 的最大特征值的单位特征向量。
17
多因变量偏最小二乘算法推导
E0 t1p1T E1 F0 u1q1T F1*
其中
F0 t1r1T F1
p1
E
T 0
t1
t1 2
r1
F
T 0
t1
t1 2
q1
F
T 0
u
1
u1 2
18
多因变量偏最小二乘算法推导
而 E 1 ，F 1 * ，F 1 分别是三个回归方程的 残差矩阵。
19
多因变量偏最小二乘算法推导
值所对应的单位特征向量 2 ，求成
分t 2 ，得
t2 E12
E2 E1t2p2T
26
其中
p2
E
简化算法
至第h步，求成分 ， th Eh1h h 是 EhT1F0F0TEh1 矩阵最大特征值所对应 的特征向量。
如果根据交叉有效性，确定共 抽取h个主成分 t1,L ,th 可以得到一 个满意的预测模型。
偏最小二乘回归方法
讲演人：
1
简言之
偏最小二乘回归是一种集多元 线性回归分析、典型相关分析和主 成分分析的基本功能为一体的新型 多元统计分析方法。
2
此方法的优点：
（1）能在自变量存在严重多重 相关性的条件下进行回归建模；
（2）允许在样本点个数少于自 变量个数的条件下进行回归建模；
3
此方法的优点：
记 u 1 是 F 0 的第一个成分 u1 F0c1 ， c 1 是 F 0 的第一个轴，它是一个单位 向量，即 c 1 1 。
7
多因变量偏最小二乘算法推导
如果要使 t 1 ，u 1 能很好的代表 X
与Y 中的数据变异信息，根据主成
分分析原理，应该有 Vart1max， Varu1max 。
8
27
偏最小二乘回归的简化算法
则求 F 0 在 t1,L ,th 上的普通最小二 乘回归方程为
F 0 t1 r 1 T t2 r 2 T L F m
其中
28
ri
F0Tti ti 2
,i
1,2,
h
交叉有效性具体的步骤：
记 y i j为原始数据，t1,t2,L tm 是在 偏最小二乘回归过程中提取的成分，
PRESSh
(yij yˆhj(i))2
j1 i1
30
Qh2
1
PRESSh SSh1
交叉有效性具体的步骤：
当 Qh2 0.0975即 时， PRESSh0.95SSh1 引进新的成分 会对t h 模型的预测能 力有明显的改善作用。