4.1力学量的平均值

，再 *对(r全, t)空
则坐标表象中动量的平均值可表为：
p p * (r ,t)p ˆ(r ,t)d r
pˆ x i
x
pˆLeabharlann Baiduy i
y
pˆ z i
z
动量平均值的分量形式为：
px*(r,t)(i
)(r,t)dr
x
* (r,t)p ˆx (r,t)d r
p y* (r,t)p ˆy(r,t)d r
综上所述，我们可以得出，在求平均值的意义下，力学量 可以用算符来代替。当我们用坐标表象中的波函数来计算动量 平均值，需要引进动量算符，除此之外，能量算符和角动量算 符也可依此引进：
pˆ i
2
Hˆ 2 V ( r ) 2m
Lˆ r ( i )
Lˆ x
ypz zp y
i
(y z
3.在坐标和动量表象中的力学量平均值
（1）坐标表象的力学量平均值。对以波函数 (描r,t写) 的状态，
按照波函数的统计解释， 表(r示,t)在2 dtr时刻在 子的几率，因此坐标 的平均值r显然是
中r 找r到dr粒
r r ( r ,t)2 r d r * ( r ,t)2 r d r
第四章 力学量用算符表达与表象变换
§ 4.1力学量的平均值 § 4.2 算符的运算规则 § 4.3 动量算符和角动量算符 § 4.4 厄米算符的本征值和本征函数 § 4.5 共同本征函数 § 4.6 连续谱本征函数的归一化 § 4.7 量子力学的矩阵形式与表象变换 § 4.8 Dirac符号
教学目的与要求
p z* (r ,t)p ˆz (r ,t)d r
利用数学归纳法不难证明，对于正整数n，有
p xn*(r,t)p ˆxn (r,t)d r
p p 对于 ， 也有同样的等式。
y
z
如果 G ( p是x )动量 的p 解x 析函数，且可以展成幂级数：
则有
G(px) Cnpxn
n
G ( p x ) G ( p x ) C n p x n C n * ( r , t ) p ˆ n x( r , t ) d r
• 掌握厄米算符的概念,力学量的算符表示,力学量算符 的本征值与本征函数及其三个基本性质: 实数性、正 交性、完备性。
• 理解和掌握任意态与力学量算符本征态之间的关系, 力学量的可能值、确定值和平均值。
• 掌握力学量算符的对易关系,共同本征态定理(包括逆 定理),不确定关系。
• 掌握力学量平均值随时间的变化,力学量守恒定理。 • 理解表象的概念，熟练掌握态与力学量在一般表象中
（2）动量算符的平均值
显然， 的p 平均值 不 p能 简单的写成
(r,t)2pdr
因为 (r,t)只2p表dr示在
中找到p 粒子p 的d几p率。
中r的 几r率d 而r不代表在
要计算 ，p就应该先找出在t时刻在 p 中p找d到p
粒子的几率
。C(而p,t)2dp由公式 C(p,t)
C (p,t)
p d p [
1
3
ip r
e
* ( r ,t) d r ] p [
1
3
ip r '
e
( r ',t) d r ']
( 2)2
( 2)2
d r* (r,t)d r(r,t)[(2 1)3
ip (r r)
p e d p ]
dr*(r,t)
dr(r,t)[ 1 (2
)3
i p(rr)
2. 归一化的|Ψ(x,t)|2和|C(p,t)|2的物理意义
与波函数相联系的粒子，一般不具有精确的位置， 又不具有精确的动量。一般地，对于Ψ表示的单个 粒子系统，要对该粒子的动力学变量中的这个或者 那个做测量，我们不能对测量结果做确定的预言。
但是对于N个大量数目，彼此独立的等价系统 （每个系统都由同一波函数描述），若我们对他们中 的每个做位置测量，则|Ψ|2 给出的就是其量子统计 系综成员数N趋于无穷大的极限下，N次测量结果的 分布。类似地，如果测量的是动量，则|C|2 给出动 量的几率分布。
r 坐标 的函数 F的(r平) 均值是
F ( r ) F ( r ) * ( r ,t) F ( r )( r ,t) d r
其物理意义和我们对 |Ψ(r,t)|2所做的解释一样：它是对N个大 量数目的、等价的、彼此独立的且由同一波函数表示的体系 （系统）做F(r) 测量的结果的平均值。
1
3
(2 )2
i(E tpr)
(r,t)e dr
给出。因此，动量的平均值可以表示为
p C ( p ,t ) 2 p d p C * ( p ,t ) p C ( p ,t ) d p
这里已经用了若 (r,归t) 一，则 C也(p归,t)一的条件。
下面我们由波函数出发，给出计算动量平均值的方法。
i e dp]
drdr*(r,t)(r,t)(i )3(r r)
dr*(r,t)(i )[dr(r,t)3(r r)]
dr*(r,t)(i )(r,t)
这样我们就找到了一个用波函数Ψ直接计算动量平均值的公式
即以微分算符 i 作用在 之(r上,t)，然后乘以
间积分就可以了。记动量算符为：
pˆ i
n
n
*(r,t) C np ˆn x(r,t)dr * (r ,t) G (p ˆx )(r ,t)d r n
*(r,t)G(ix)(r,t)dr
上面的结果立即可以推广到三维情形：
G ( p ) * ( r ,t ) G ( p )( r ,t ) d r *(r,t)G(i)(r,t)dr
（3）动能和角动量的平均值
动能的平均值：T T p2 *(2 2)dr
2m
2m
角动量平均值：L L r p * [ r ( i ) ]d r
表明：动量的平均值依赖于波函数的梯度 。按照德布 罗意关系，波长越短，动量越大。显然，若 越 大，则
λ 越短，因而动量平均值也越大。
的表示，量子力学公式的矩阵表述。 • 掌握表象与表象的变换─幺正变换，幺正变换的性质，
态矢与力学量的表象变换。 • 熟悉Dirac符号，掌握态矢的Dirac符号表示。
§ 4.1力学量的平均值
1.统计平均值的意义 2.再论（归一化的）|Ψ|2和|C|2的物理意义 3.在坐标和动量表象中的力学量平均值