关于一个数论函数及其均值的计算

作 者 简介 ：杨 倩 丽 （ ９ ４ ） 女 ， 西 大 荔 人 ， 南 师 范 学 院 教 授 ， 要 从 事 数 论 研 究 ， － ｉ ｙ ｎ ｑ＠ ｗｎｃｅ ｕ ｃ． １６一 ， 陕 渭 主 Ｅ ｍａｌ ａ ｇ ｌ ： ｔ． ｄ ．ｎ
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４ ３８ ・
内蒙 古 师 范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 汉 文 版 ）
定理 ２ 设 Ｐ（ ｐ≥ ２ ）为一 个素 数 ， 为一个 确定 的正 整 数． 定 Ｎ 在 Ｐ进 制 中可表 示 为 Ｎ — ａ Ｐ＋ Ｎ 假
口 Ｐ ＋… ＋口Ｐ （ ２。 Ｏ≤ 口 ＜ Ｐ 一１ ２ … ，） 则 ｆ ；ｉ ， ， ｓ ，
刚 一 ， （ａＰ （ （卜 Ｐ （） Ｎ （ Ｎ蓍［ ［］． ２ｎ－ － ， ｌ ｆｐ Ｎ 一 ） ）
［ ］ ，ｒ ＾ｒ １ ｒ ［ｏ ｐ １ 州 ｇ
第 ４ 卷 Ｏ
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证 明
因 为
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（ １≤ ｉ ｓ ， ≤ ）
［Ｈ ［ ＝ 寿］［
所 以
在 的标准分解式中的指数函 它的值为Ｐ 的标准分解式中的 数， 在 指数； ： ，） 忌 １２ 为函数 称 卢（ 户 （一 ，）
ｌ ， ）的一 次 均值 和二 次均值 ． ｆ ｎｐ （
本 文 以 ［ ］表 示不 超过 ｚ 的最大 整数 ． ｚ
定 理 １ 在 的标 准分 解式 中， 因数 Ｐ（ ≥ ２ 质 ）的指 数
［ｏ Ｉ ．］
一
薹 （
ｃ ？１ － ， ｌ ａ － ９
” ，
其 中 （ ， ） 示 ｍ 在 Ｐ进 制表示 中的数 字之 和． 乡 表
［ｏ ｐ １ｇ ］
推论 ，＝ Ｐ ‘ ｚ＝ 蚤 Ｈ 一Ⅱ户 １ ＝Ⅱ 由ｃ
；
其 中 Ｉ 表示展布在不超过 ，的一切质因数上的积式． ｌ ｚ
题． 本文定义了整数标准分解式的数论函数卢扎户 及其均值 ∑ ｆｎ ）给出整数 （，） ｌ ，， （ 的标准分解式中的指
数函数卢 夕 的 （，） 计算公式， 以及其均值 ∑ 卢（，） 忌 ，） ‘扎夕 （一ｌ２ 的精确计算公式．
定义 设 Ｐ （ ≥ ２ 为 给定 的一 个素 数 ， 为任 意正 整数 ， —ｐ ｌ…砖 （ ） ， ｉ户ｚ ｚ ｐ 为素 数） 称 ｆ ｎ ）为 Ｐ ， ｌ ， （
Ｆ Ｓ ｒｎ ａｈ在文献 ［］ ． ｍａａ ｄｃ 】 的第 ６ 个 问题中， ８ 建议人们研究数列 ｋ ， ， —ｅ（）其中 Ｐ为一个素数 ， 为ｎ的 ｚ ｋ
标 准分 解 式 中的指数 ． 献 ［ ］ 究 了次 数列 的积 分表 达 式 ， 献 ［ — ］研究 了数 列 的数 字 和 的均值 计 算 问 文 ２研 文 ３５
定理 ３ 设 Ｐ（ 乡≥ ２ ）为 一个 素 数 ， 为 一 个 确定 的 正 整 数． 定 Ｎ 在 Ｐ进 制 中表 示 为 Ｎ 一日 Ｐ＋ Ｎ 假
ｎＰ ＋… ＋ ａＰ （ ２ Ｏ≤ 口 ＜ Ｐ； ＝ｌ ２ ，） 则 ，… ｓ ，
收 稿 日期 ： ０ １０—０ ２ １ －４２ 基 金 项 目：陕 西 省 科 技 厅 自然 科 学 基 金 项 目 （Ｏ ＯＭ ｌ Ｏ ） 陕 西 省 教 育 厅 自然 科 学 基 金 项 目 （Ｏ Ｏ Ｋ ４ ） ２ｌＪ Ｏ ９ ； ２ ＬＪ ５ Ｏ
第 ４ Ｏ卷 第 ５期
２１ ０ １年 ９月
内蒙 古 师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学 汉文 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＩ ｎ ｒ Ｍｏ ｇ ｌ ｒ ｌ ｎ ｖ ｒ ｉｙ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄ ｔｏ ） ｏ ｒ ａ ｎ ｅ ｎ ｏ ｉ Ｎｏ ｍａ ｉ ｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ Ｅ ｉ ｎ ｏ ａ Ｕ Ｓ ｉ
＾ Ｎ ≤
关 键 词 ：整数 标 准 分 解 式 ；数 论 函 数 ；均值 ； 算 公 式 计
中 图 分 类 号 ： ５ ． Ｏ１６４ 文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１０ － ７５ ２ １） ５ ０ ３ — ４ ０ １ ８ ３ （ ０ １ ０－ ４ ７ ０
１ 主 要结 果
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ ５ １４ ．
Ｓｅ ｔ ２ ｐ ． ０ｌｌ
关 于 一个 数 论 函数 及 其 均 值 的计 算
杨 倩 丽
（ 南师 范 学 院 数 学 与信 息科 学 学 院 ， 西 渭 南 ７ ４ ０ ） 渭 陕 １０ ０
摘 ： 义了 数 准 解 数 函 ｌ ， 及其 值∑ ｆｎ ）采用 等 的 标 分 要 定 整 标 分 式的 论 数ｆ 户 均 （ ） ｎ ｌ ． ， 初 数论 ！ 准 解式 （户
、 ≤ Ｎ
方 法 和解 析 数 论 的 和 均 值 方 法 。 究 了 函 数 ｆ ｎ 户 及 其 均 值 的 计 算 问 题 ， 出整 数 ，的 标 准 分 解 式 中 的 指 数 函 研 ｌ ，） （ 给
数卢 ， 的 算 式， 及 均 （ 户 计 公 以 其 值∑ Ｊ（ ｐ （ ＝１ ） 精 计 公 ． ） ９ ）女 ， 的 确 算 式 ， ２
。
∑
２ 定 理 的证 明
、 ］Ｊ ●．纠Ｄ ＜ 一 ¨ 一 ，
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引理 １ 设 正整数 的 Ｐ进制 为 ＝口 ＋ 口 ＋ … ＋ 口Ｐ （ ≤ 口 ＜ Ｐ， 正整 数 ， ｔ Ｏ ｎ为 ０≤ ≤ 志 则 ）
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［卜［ 声
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