2020年澳大利亚奥林匹克竞赛数学试题

2020澳大利亚数学奥林匹克

比赛时间:2020年2月4日

第一天

1.求所有的非负整数a,b,使得1

2

a b

ab

+

-=.

2.神算子和智多星进行如下游戏.游戏开始时,有三堆石头,每堆各2020个.由神算子开始,双方轮流进行如下操作:

在每回合中,当前玩家任选一堆石头,将其余的石头移除,并将选中这堆石头分成2堆或3堆(每堆至少一个石头).若有玩家无法操作,则他输掉这局游戏.

证明:智多星有必胜策略.

3.△ABC中,∠ACB＝90°,过C作其外接圆的切线与直线AB交于点D.取CD中点E,过A作CD 平行线与直线EB交于点F.证明:AB⊥CF.

4.数列{a n}定义如下:

11

2

1,,1,2,3

1

n

n

n

a

a a n

a

+

+

===⋅⋅⋅

+

数列{b n}定义如下:

2

11

2

1,,1,2,3

2

n

n

n

b

b b n

b

+

+

===⋅⋅⋅

证明:对任意非负整数n,

12n

n

b a

+

=.

第二天

5.无穷数列{a n }的每一项均为0或1.对任意正整数n,已知(i)a n +a n+1≠a n+2+a n+3. (ii) a n +a n+1+a n+2≠a n+3+a n+4+a n+5.

证明:若a 1=0,则a 2020=1.

6.过正方形ABCD 内一点P,作两条互相垂直的直线12,l l ,我们将这两条直线称为一个十字.设1l 与AB,CD 分别交于点W,Y.2l 与BC,DA 分别交于点X,Z.若W,X,Y ,Z 共圆,则称12,l l 为圆十字. 求所有的P 点,使得任意一个过P 点的十字均为圆十字.

7.四格骨牌指所有由四个相邻的单元格组成的图形.对一个2×2n 的网格,设T n 表示用若干四格骨牌将其覆盖的办法.例如,T 2=4,因为我们有4种方法使用四格骨牌将2×4的网格覆盖,如下图所示.求证:对任意正整数n,T n 为完全平方数.

8.证明:对任意正整数k ∈[2,100],存在一组正整数b 2,b 3,…,b 101,使得

23121012312101.k k k k k k b b b b b b ++++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+