随机变量的数字特征练习题(优.选)
第3章 随机变量的数字特征(答案)
第3章 随机变量的数字特征 一.填空题1.(90-1-2)已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布22{},0,1,2...!k P X k e k k −===则随机变量3Z X 2=−的数学期望E (Z)= (4)()()()()~(2),2,32323224X P E X E Z E X E X ==−=−=×−=解: 2.设随机变量X 的密度函数为 ⎩⎨⎧+=0)(B Ax x f 则且其它,127)(,10=≤≤X E x A =_____,B =______. (1,1/2)解:1()112f x dx A B +∞−∞=⇒+=∫, 7117()123212EX xf x dx A B +∞−∞==⇒+∫=, 11,2A B ∴==3.(95-1-3)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2x 的数学期望 ()2E X= (18.4)解:()()()()()()222~(10,0.4), 100.44,(1)100.410.4 2.4, 2.4418.4X B E X D X np p E XD XE X =×==−=×−==+=+=4. (99-4-3)设~(),X P λ已知,则[(1)(2)]1E X X −−=λ= (1) 解:()()()()()22~(),,,X P E X D X E XD XE X 2λλλλ===+=λ+−0,222[(1)(2)][132)]()3()2211E X X E X X E X E X λλλ−−=−+=+=−+=⇒= 5. (95-4-3)设X 是随机变量，其概率密度为1, 1()1, 010,x x f x x x +−≤≤⎧⎪=−<≤⎨⎪⎩,则方差为 DX (1/6)解:()()011123231100101111(1)(1)02323E X xf x dx x x dx x x dx x x x x +∞−−−∞−==⋅++⋅−=++−∫∫∫=()()0111222234341100101111(1)(1)3434E X x f x dx x x dx x x dx x x x x +∞−−−∞−==⋅++⋅−=++−∫∫∫16=()()()221/601/6D X E X E X =−=−=6.(90-4-3)设随机变量X 和Y 独立,,则~(3,1),~(2,1)X N Y N −27, Z ~Z X Y =−+ (0,5)N 解:()()2()732270,()()4()145~(0,5)E Z E X E Y D Z D X D Y Z N =−+=−−×+==+=+=∴7.设两个相互独立的随机变量和Ｙ均服从,若随机变量X (1,1/5)N X aY −满足条件， 2()[(D X aY E X aY −=−)]则a = . (1) 解:()0,()()0110E X aY E X aE Y a a ⇒−=⇒−=⇒−⋅=⇒=18.(03-3-4) 随机变量 X 与Y 的相关系数为0.9,若0.4Z X =−则Y 与Z 的相关系数为 (0.9)解:()()0.4,,cov(,)cov(,0.4)cov()cov(),Z X D Z D X Y Z Y X Y X X Y =−==−==,,0.9YZ ρ===9.(03-4-4)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，2202EX EY EX EY ===，=2，试求E X Y +（）= (6) 解: 2202EX EY EX EY ====∵，，()()()222,D X E X E X ∴=−= ()()()222D Y E Y E Y =−=0.5,0 ()0.51XY XY EX EY E XY ρρ====⇒===26222222)2()()22E X Y E X XY Y E X E XY E Y +=++=++=++=（）（）（二.选择题1.(91-3-3)若随机变量X 与Y 的协方差()()()E XY E X E Y =，则下列结论必正确的是( ). 解B (A ) ; (B ) ; (C ) X 与Y 独立; (D ) X 与Y 不独立 ()()(D XY D X D Y =))()D X Y DX DY +=+2.若随机变量X 与Y 的协方差，则下列结论必正确的是( ). 解C (,)0Cov x y =(A ) X 与Y 独立; (B ); (C )()()(D XY D X D Y =()D X Y DX DY +=+; (D ). ()D X Y DX DY −=−3.(90-4-3)已知()()~(,), 2.4, 1.44X B n p E X D X ==则的值( ). 解B ,n p (A ); (B ) ; (C ) 4,0.6n p ==6,0.4n p ==8,0.3n p ==; (D ) . 24,0.1n p ==解:()()1.44, 2.4,1 1.44/2.40.60.4,6D X npq E X np q p p n =====−==⇒==4.(97-1-3)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差为4和2,则随机变量32X Y −的方差是( ) 解D (A) 8; (B)16; (C)28; (D)44 分析:()329()4()944244D X Y D X D Y −=+=×+×=5.(95-3-3)设随机变量X,Y 独立同分布,记,则U 和V 必然( ) 解D ,U X Y V X Y =−=+(A )独立; (B)不独立; (C ) 相关系数不为0; (D )相关系数为0. 分析: X,Y 独立同分布,()(),D X D Y =cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)()()00U V X Y X Y X X X Y Y X Y Y D X D Y ρ=−+=+−−=−=⇒=6.(08-1,3,4-4) (0,1),(1,4),1XY X N Y N ρ=∼∼，则（ ）. 解D (A). (B). (C)(21)P Y X =−−=111(21)P Y X =−=(21)P Y X =−+=. (D).(21)P Y X =+=10分析:,1,XY Y aX b a ρ=+=∴>,排除A,C,()0,()1,()101E X E Y EY aE X b a b b ===+⇒=⋅+⇒=∵,选D三.计算题 1. 设随机变量X 的分布函数()0, 10.2, 100.5, 011, 1x x F x x x <−−≤<=≤<≥⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求EX ， （0.3，0.61）DX X -1 0 1解：分析，由()F x 是离散型的分布函数，先求分布律1/3 0.2 0.3 0.5（直接计算分段点的跳跃度（值差）即可）()10.210.50.3EX =−×+×=，，()22210.210.50.7EX =−×+×=2220.70.30.61DX EX E X =−=−=2. 若已知是分布函数，求()0, 10, 011, 1x F x x x x −≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩EX ， （1/2，1/12）DX (思考：如何判别分布函数()F x 是离散型还是连续型？)解：分析，由()F x 是连续型的分布函数，先求导数，，()1, 01'()0, x F x f x ≤<⎧==⎨⎩其他1120 011122EX x dx x =⋅==∫， 112230 011133EX x dx x =⋅==∫，222111321DX EX E X ⎛⎞=−=−=⎜⎟⎝⎠23.(89-4-3)设随机变量2123~(0,6),~(0,2),~(3)X U X N X P 相互独立，令32132X X X X +−=,求EX , (12, 46) DX 解:12306()()2()3()2033122E X E X E X E X +=−+=−×+×= 22123(60)()()4()9()42934612D X D X D X D X −=++=+×+×=4、设[]~2,6X U ，对进行20次独立观测，Y 表示20次观测值中事件X {}5X >发生的次数，求()2Y E （115/4）.解：[]~2,6X U ，()1, [2,6]40, x f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他，{} 6 511544P X dx >==∫.，据题意 ，(,)Y B n p ∼120,4n p ==13154205,544EY np DY npq ==×===×=()，222153528E Y DY E Y =+=+=5.(02-4-3) 已知随机向量(X ,Y )的联合分布律为,求,,(,),EX DX Cov X Y xy ρ (0.6,0.24,0,0)解:0.6,EX =20.6,EX =220.60.360.24DX EX E X =−=−=,()10.1510.350.2EY =−×+×=(1,1)(1,1)()0.080.20.12E XY xy xy −=×+×=, (,)0,0xy Cov X Y ρ=∴=6、已知随机变量服从区域),(Y X ()}{,01,D x y x x y x =<<−<<上的均匀分布，求(),,,EX DX Cov X Y .解：依题意，()11, (,),0, x y Df x y d ⎧=∈⎪=⎨⎪⎩其他（注意，函数区间利用二重积分计算）2222(,((,EX xf x EX x f DX EX E X EY yf x y +∞+∞−∞−∞+∞+∞−∞−∞+∞−−∞===−==∫∫∫∫∫()(,EXY xyf Cov X Y EXY +∞∞+∞+∞−∞−∞==−∫∫∫7. (05-1,3,4-9)设二维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()1,01,02,0,x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其他1)求边缘概率密度()X f x ,()Y f y . 2)判断X,Y 的独立性(补). 3)判断X,Y 的相关性(补解: 1) 01x <<，()()20,12xX f x f x y dy dy x +∞−∞==∫∫=2, 01()0, Xx x f x <<⎧∴=⎨⎩其他 02y <<,()()1/2,112Y y y f y f x y dx dx +∞−∞===−∫∫,1, 02()20, Y yy f y ⎧−<<⎪∴=⎨⎪⎩其他2) 显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅,X Y ∴，不独立.3) 121122002()(,)23xxE X xf x y dxdy xdxdy x y dx x dx +∞+∞−∞−∞====∫∫∫∫∫∫=, 1211222000012()(,)223xx E Y yf x y dxdy ydxdy y dx x dx +∞+∞−∞−∞====∫∫∫∫∫∫=1211223000011()(,)222xx E XY xyf x y dxdy xydxdy x y dx x dx +∞+∞−∞−∞====∫∫∫∫∫∫=1显然相关.(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−≠∴Y X ,8. (07-1,3,4-11)设二维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()2,01,0,0,x y x y f x y −−<<<⎧=⎨⎩其他<}1) 求, 2)判断X,Y 的独立性(补), 3)判断X,Y 的相关性(补) (7/24, 不独立.相关) {2P X Y >解1) ()1/21/220001{2}2(2)2x x P X Y x y dxdy y xy y dx >=−−=−−∫∫∫120515()822424x x dx =−=−=∫7112001301()(,)(2)(2)22X x f x f x y dy x y dy y xy y x +∞−∞≤≤==−−=−−=−∫∫，3/2, 01()0, X x x f x −≤⎧≤2),∴=⎨⎩其他112001301,()(,)(2)(2)22Y y f y f x y dx x y dx x x xy y +∞−∞≤≤==−−=−−=−∫∫3/2, 01()Y y y f y −≤⎧≤∴=⎨显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠⋅, X Y ∴，不独立3)112300331()()()()243X E X xf x dx x x dx x x +∞−∞==−=−∫∫512=,112300331()()()()2435Y E Y yf y dy y y dy y y +∞−∞==−=−=∫∫121111122232000001121()(,)(2)()()2332E XY xyf x y dxdy xy x y dxdy xy x y xy dx x x dx +∞+∞−∞−∞==−−=−−=−∫∫∫∫∫∫16= (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−≠X Y ∴，相关. 9.(94-1-6)设且22~(1,3),~(0,4)X N Y N ,1,2XY ρ=−设32X YZ =+， 1)求(),().E Z D Z 2)求XZ ρ,(1/3,3, 0)解:1) 22~(1,3),~(0,4),X N Y N 1,2XY ρ=−32X Y Z =+11()()()32E Z E X E Y ⇒=+=13 1(,)3462XY Cov X Y ρ==−××=−,111111()(,)916(6)3943943D Z DX DY Cov X Y ∴=++=×+×+−=2)111111(,)(,)(,)()(,)9(6)032323232X Y Cov X Cov X X Cov X Y D X Cov X Y +=+=+=⋅+−=cov ,0XZ X Z ρ∴==。
随机变量的数字特征练习题(优.选)
1.设随机变量X的概率分布为X 1234p1/81/41/21/8求E(X),E(X2),E(X+2)2. 解.由离散型随机变量的数学期望公式可知E(X)=1×1/8+2×1/4+3×1/2+4×1/8=21/8;E(X2)= 12×1/8+22×1/4+32×1/2+42×1/8=61/8;E(X+2)2=E(X2+4X+4) =E(X2)+4E(X)+4=61/8+4×21/8+4=177/8.2.某种产品共有10件,其中有次品3件.现从中任取3件,求取出的3件产品中次品数X 的数学期望和方差. 解.由题意可知,随机变量X的取值范围是0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为;;;.因此E(X)=0×7/24+1×21/40+2×7/40+3×1/120=9/10;E(X2)=02×7/24+12×21/40+22×7/40+32×1/120=13/10;∴D (X )=E (X 2)-(E (X ))2=13/10-(9/10)2=49/100.3.一批零件中有9个合格品与3个废品,在安装机器时,从这批零件中任取1个,如果取出的是废品就不再放回.求在取得合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差.解. 随机变量X 表示在取得合格品之前,已经取出的废品数.所以 X 的所有可能取值为0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为P (X =0)=9/12=3/4 ;;;.所以由数学期望公式得到E (X )=0×3/4+1×9/44+2×9/220+3×1/220=0.3 ;E (X 2)= 02×3/4+12×9/44+22×9/220+32×1/220=9/22 ;∴D (X )=E (X 2)-(E (X ))2=9/22-0.32=0.319.4.射击比赛,每人射四次(每次一发),约定全部不中得0分,只中一弹的得20分,中两弹得40分,中三弹得70分,中解. 随机变量X 表示此人的得分. 根据题意,可得四弹得100分.某人每次射击的命中率均为3/5,求他得分的数学期望.,,,,.所以=54.05.5.设随机变量X的概率分布密度函数为,求X的数学期望和方差. 解.根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知; 又因为;∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=π2/12-1/2 .6.设随机变量X的概率分布密度函数为.求X的数学期望和方差. 解.根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知, 又根据密度函数的性质得到∴A=15/16 即E(X)=1.又∵;∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=8/7-1=1/7.7.设随机变量X的概率分布密度函数为,且已知方差D(X)=1, 求常数a和b. 解.显然常数a＞0.由密度函数的性质可知①根据数学期望公式得到;;∴由已知D(X)=E(X2)-(E(X))2=a3b/6=1②解方程①②得到 .解.根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知8.设随机变量X的概率分布密度函数为,求X的方差.∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=1/6-0=1/6.最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成word文本--------------------- 方便更改。
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征第3章随机变量的数字特征1，在下列句⼦中随机地取⼀单词，以X 表⽰取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .“They found Peking greatly changed ”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意⼀个。
它们的字母数分别为4，5，6，7，7。
所以分布律为5/29)77654(51)(=++++=X E .2，在上述句⼦的29个字母中随机地取⼀个字母，以Y 表⽰取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。
解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。
这时，字母数更多的单词更有可能被取到。
分布律为29/175)147665544(291)(=?+?+?+?=Y E .3，在⼀批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。
解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221312110222==C C C p 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台=?+?+?=E 。
4，抛⼀颗骰⼦，若得6点则可抛第⼆次，此时得分为6+（第⼆次所抛的点数），否则得分就是第⼀次所抛的点数，不能再抛。
求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。
解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，⽽且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第⼀次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分⼩于6。
分布律为得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点=++++++++++=E 。
5，（1）已知)(~X λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。
（2）设随机变量X 的分布律为Λ,4,3,2,1,6}{22--===k k k X P π，问X 的数学期望是否存在？解：（1）根据)(~X λπ，可得}6{!6!5}5{65=====--X P e e X P λλλλ，因此计算得到6=λ，即)6(~X π。
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=22Y X -=，则34） A C 5A 6、)1=（C ） A ．34?B ．37C ．323?D ．326 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ．-13?B ．15C ．19?D ．238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）A ．6?B ．22C ．30?D ．469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ．31?B ．1C ．310?D ．1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A.E （X ）=1?B.D （X ）=3?C.P （X=1）=0?D.P （X<1）=0.511A ．C ．12、XY ρ=（D 13x =(B)A ．14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ）A ．91-?B ．0 C ．91?D ．3117、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}22εσεμn n X P ≥<-?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ．{}221εσεμn X P -≤≥-?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91?B ．31C ．98?D ．124、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A25A 1234且5x =710 67、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ- 10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2,则E?(?Y?)=-0.5 121314、3=，则cov(X 1516大于1724}=0.6826 附：18、-0.5，19的期望E?(Y)=4,D?(Y?)=9,又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P XP ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y。
考研数学三(随机变量的数字特征)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学三（随机变量的数字特征）模拟试卷5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若随机变量X与Y满足且D(X)=2，则cob(X，Y)=( )A．1．B．2．C．－1．D．-2．正确答案：C解析：由于注意到cov(X，X)=DX，cov(X，1)=0，从而知识模块：随机变量的数字特征2．设随机变量X和Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)，则E(UV)=( )A．EU·EVB．EX·EYC．EU·EY．D．EX·EV正确答案：B解析：【解法1】应选(B)．如果X>Y，则U=X，V=Y；如果X≤Y，则U=Y，V=X，从而E(UV)=E(XY)．由于X和Y相互独立，所以E(UV)=E(XY)=XE·EY 【解法2】所以知识模块：随机变量的数字特征3．设(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与η=X－Y不相关的充分必要条件是( )A．E(X)=E(Y)．B．E(X2)－[E(X)]2=E(Y2)－[E(Y)]2．C．E(X2)=E(Y2)．D．E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2．正确答案：B解析：ξ=X+Y与η=X－Y不相关的充分必要条件是cov(ξ，η)=0，即cov(X+Y，X—Y)=cov(X，X)－cov(X、Y)+cov(Y，X)－cov(Y，Y)=DX—DY=0，从而DX=DY，又DX=E(X2)－(EX)2，DY=E(Y2)－(EY)2，从而应选(B)．知识模块：随机变量的数字特征填空题4．设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0．5，则根据切比雪夫不等式，有P{|X—Y|≥6}≤____________．正确答案：解析：由已知，E(X)=E(Y)=2，D(X)=1，D(Y)=4，ρXY=0．5，从而由切比雪夫不等式，知识模块：随机变量的数字特征5．在每次试验中，事件A发生的可能性是0．5，则1 000次独立试验中，事件A发生的次数在400次到600次之间的概率≥__________．正确答案：0．975．解析：设X表示事件A发生的次数，则X服从B(1 000，0．5)，E(X)=500，D(X)=250．P{400＜X＜600}=P{－100<X－500＜100} =P{|X－500|＜100}．由切比雪夫不等式，有[*] 知识模块：随机变量的数字特征解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高三数学选修2-3(B版)_《随机变量的数字特征》同步练习2
2.3.2 离散型随机变量的方差一、选择题1．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则D (X )的值为（ ）A ．2B ．1 C.12 D.14[答案] B[解析] ∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴D (X )＝4×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝1，故选B 。
2．若X 的分布列为X 0 1 Ppq 其中p ∈(0，1)，则（ A ．D (X )＝p 3 B ．D (X )＝p 2 C ．D (X )＝p －p 2 D ．D (X )＝pq 2 [答案] C[解析] 由两点分布的方差公式D (X )＝p (1－p )＝p －p 2，故选C 。
3．下列说法正确的是（ ）A ．离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ的取值的平均水平C ．离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平D ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值 [答案] C[解析] 由离散型随机变量的期望与方差的定义可知，C 正确，故选C 。
4．已知随机变量ξ的分布列为ξ1234则Dξ的值为（ A.2912 B ．121144 C.179144 D ．1712[答案] C[解析] ∵Eξ＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，∴Dξ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17122×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5122×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7122×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19122×14＝179144，故选C 。
5．已知随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝13，k ＝1、2、3，则D (3ξ＋5)＝（ ） A ．6 B ．9 C ．3 D ．4[答案] A[解析] E (ξ)＝(1＋2＋3)×13＝2， D (ξ)＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×13＝23， ∴D (3ξ＋5)＝9D (ξ)＝6，故选A 。
常微分 练习题
一、填空题
1.若随机变量 X 服从区间[a,b]的均匀分布，则 EX=______, DX=_____
2.若随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，且已知 E[(X-1)( X-2)]=1,则 λ =___
3.设随机变量X服从正态分布N (μ,σ2)，k,b为常数，则有E(kX+b)=_______ D(kX+b)=__________
11*.设A,B为随机事件,且 P( A) = 1 , P(B | A) = 1 , P( A | B) = 1 , 令
4
3
2
X
=
⎧1, A发生， ⎨⎩0, A不发生，
Y
=
⎧1, B发生， ⎨⎩0, B不发生，
求 (1) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; (2) X与Y的相关系数ρXY; (3) Z=X2+Y2的概率分布.
f
(x,
y)
=
⎧2, ⎨ ⎩0
x
>
0, y > 其它
0,
x
+
y
<
1,则
ρ
XY
=【
】
A −1 2
B1
C −1
D
1
3
6*. 将一枚硬币重复掷n次，已X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相
关系数等于【 】
A −1
B0
1
C
2
D1
7*. 设随机变量X和Y的方差存在且不等于 0,则D(X − Y)=D(X)+D(Y)是X和Y的【 】
X
的概率密度函数为
f
(x)
=
⎧ ⎪
x
考研数学三随机变量的数字特征-试卷1_真题-无答案
考研数学三（随机变量的数字特征）-试卷1(总分60,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1. 设随机变量X～E(1)，记Y=max(X，1)，则E(Y)=A. 1．B. 1+e-1．C. 1-e-1．D. e-1．2. 已知随机变量X与Y均服从0-1分布，且EXY=，则P{X+Y≤1}=A. B.C. D.3. 设随机变量X与Y独立同分布，记U=X-Y，V=X+Y，则随机变量U与YA. 不独立．B. 独立．C. 相关系数不为零．D. 相关系数为零．4. 设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则A. P{Y=-2X-1}=1．B. P{Y=2X-1}=1．C. P{Y=-2X+1}=1．D. P{Y=2X+1}=1．5. 已知随机变量X与Y有相同的不为零的方差，则X与Y相关系数ρ=1的充要条件是A. Cov(X+Y，X)=0．B. Cov(X+Y，Y)=0．C. Cov(X+Y，X-Y)=0．D. Cov(X-Y，X)=0．2. 填空题1. 已知随机变量X在(1，2)上服从均匀分布，在X=x条件下Y服从参数为戈的指数分布，则E(XY)=_________．2. 已知某零件的横截面是一个圆，对横截面的直径进行测量，其值在区间(1，2)上服从均匀分布，则横截面面积的数学期望为_______，方差为_________.3. 设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(-3，4)，则随机变量Z=-2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_________．4. 将一颗骰子连续重复掷4次，以X表示4次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P{10＜X＜18}≥_________．5. 设随机变量X的概率密度为则随机变量X的二阶原点矩为________．6. 设试验成功的概率为，现独立重复地试验直到成功两次为止，则所需进行的试验次数的数学期望为_________．7. 已知随机变量X1与X2相互独立且分别服从参数为λ1，λ2的泊松分布，P{X1+X2＞0}=1-e-1，则E(X1+X2)2=_______．8. 已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察，观察值X+Y不超过1出现的次数为Z，则EZ2=________．9. 设盒子中装有m个颜色各异的球，有放回地抽取n次，每次1个球．设X表示n次中抽到的球的颜色种数，则EX=________．10. 设随机变量X1，…，Xn相互独立同分布，EXi=μ，DXi=8(i=1，2，…，n)，则概率11. 已知随机变量X与Y的相关系数，则根据切比雪夫不等式有估计式P{｜X-Y｜≥}≤________．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
随机变量的数字特征历年真题数学
随机变量的数字特征历年真题数学一：1（87，2分）已知连续型随机变量X 的概率密度为1221)(-+-=x xe xf π则EX = ，DX = 。
2（89，6分） 设随机变量X 与Y 独立，且X~N （1，2），Y~N （0，1），试求随机变量Z =2X -Y +3的概率密度函数。
3（90，2分） 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且胡机变量Z =3X -2，则EZ = 。
4（90，6分） 设二维随机变量（X ，Y ）在区域D ：0<X <1, |y |<x 内服从均匀分布，求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量Z =2X +1的方差DZ 。
5（91，3分）设随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布，且=<=<<}0{,3.0}42{X P X P 则。
6（92，3分） 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则=+-)(2xe X E。
7（93，6分）设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞=-x e x f x ,21)(|| （1） 求EX 和DX ；（2） 求X 与|X |的协方差，并问X 与|X |是否不相关？ （3） 问X 与|X |是否相互独立？为什么？ 8（94，6分）已知随机变量的相关系数与且，Y X N Y N X ),4,0(~)3,1(~2223,21Y X Z XY +=-=设ρ。
（1） 求EZ 和DZ ；（2） 求X 与Z 的相关系数;XZ ρ（3） 问X 与Z 是否相互独立？为什么？9（95，3分） 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则)(2X E =。
10（96，3分） 设和ξη是两个相互独立且均服从正态分布N （0，21）的随机变量，则=-|)(|ηξE。
11（96，6分） 设和ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为).,min(),,max(3,2,1,31)(ηξηξξ=====Y X i i P 又设 （1） 写出二维随机变量（X ，Y ）的分布律； （2） 求EX 。
随机变量的数字特征
第三章、随机变量的数字特征一、选择题：1．设随机变量X 的分布函数为40,1(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，则EX= （ C ）A ．140x dx ⎰ B ．15014x dx ⎰ C ．1404x dx ⎰ D ．1401x dx xdx +∞+⎰⎰2．设X 是随机变量，0x 是任意实数，EX 是X 的数学期望，则 （ B ）A ．220()()E X x E X EX -=-B ．220()()E X x E X EX -≥-C ．220()()E X x E X EX -<-D ．20()0E X x -=3．已知~(,)X B n p ，且EX=2.4，EX=1.44，则参数,n p 的值为 （ B ）A ．n = 4，p = 0.6B ．n = 6，p = 0.4C ．n = 8，p = 0.3D ．n = 24，p = 0.14．设X 是随机变量，且EX a =，2EX b =，c 为常数，则D （CX ）=（ C ）A ．2()c a b -B ．2()c b a -C ．22()c a b -D ．22()c b a -5．设随机变量X 在[a ，b ]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a ，b 的值为 （ B ）A ．a = 0，b = 6B ．a = 1，b = 5C ．a = 2，b = 4D ．a = -3，b = 36．设ξ服从指数分布()e λ，且D ξ=0.25，则λ的值为 （ A ）A ．2B ．1/2C ．4D ．1/47．设随机变量ξ~N （0，1），η=2ξ+1 ，则 η~ （ A ）A ．N （1，4）B ．N （0，1）C ．N （1，1）D ．N （1，2）8．设随机变量X 的方 差DX =2σ，则()D aX b += （ D ）A ．2a b σ+B ．22a b σ+C ．2a σD ．22a σ9．若随机变量X 的数学期望EX 存在，则[()]E E EX = （ B ）A ．0B ．EXC ．2()EXD ．3()EX10．若随机变量X 的方差DX 存在，则[()]D D DX = （ A ）A ．0B ．DXC ．2()DXD ．3()DX11．设随机变量X 满足D （10X ）=10，则DX= （ A ）A ．0.1B ．1C ．10D ．10012．已知1X ，2X ，3X 都在[0，2]上服从均匀分布，则123(32)E X X X -+= （ D ）A ．1B ．2C ．3D ．413．若1X 与2X 都服从参数为1泊松分布P （1），则12()E X X += （ B ）A ．1B ．2C ．3D ．414．若随机变量X 的数学期望与方差均存在，则 ( B )A ．0EX ≥B ．0DX ≥C ．2()EX DX ≤D ．2()EX DX ≥15．若随机变量2~(2,2)X N ，则1()2D X = （ A ）A ．1B ．2C ．1/2D ．316．若X 与Y 独立，且DX=6，DY=3，则D(2X-Y ）= （ D ）A ．9B ．15C ．21D ．2717．设DX = 4，DY = 1，XY ρ= 0.6，则D(2X-2Y) = （ C ）A ．40B ．34C ．25.6D ．17.618．设X 与Y 分别表示抛掷一枚硬币n 次时，出现正面与出现反面的次数，则XY ρ为（ B ）A ．1B ．-1C ．0D ．无法确定19．如果X 与Y 满足D(X+Y) = D(X-Y), 则 （ B ）A ．X 与Y 独立B ．XY ρ= 0C ．DX-DY = 0D ．D X DY=020．若随机变量X 与Y 的相关数XY ρ=0，则下列选项错误的是 （ A ）A ．X 与Y 必独立B ．X 与Y 必不相关C ．E (XY ) = E(X) EYD ．D (X+Y ) = DX+DY二、填空题：1. 设X 表示10次独立重复射击命中的次数，每次射击命中目标的概率为0.4，则2EX = 18.4 .2. 若随机变量X ~ B （n, p ），已知EX = 1.6，DX = 1.28，则参数n = 8 ，P = 0.2 .3. 若随机变量X 服从参数为p 的“0—1”分布，且DX = 2/9，21,92DX EX =<，则EX = 1/3 .4. 若随机变量X 在区间 [a , b]服从均匀分布，EX = 3，DX = 1/3，则a = 2 ,b = 4 .5. 若随机变量X 的数学期望与方差分别为EX = 2，DX = 4，则2EX = 8 .6. 若随机变量X 服从参数为λ泊松分布 ~()X P λ，且EX = 1，则DX = 1 .7. 若随机变量X 服从参数为λ指数分布~()X e λ，且EX = 1，则DX = 1 .8. 若随机变量X 服从参数为2与2σ的正态分布2~(2,)X N σ，且P{2 < X < 4} = 0.3, 则P{X<0} = 0.2 .9. 若X 是一随机变量，EX = 1，DX = 1，则D （2X - 3）= 4 .10. 若X 是一随机变量，D （10X ）= 10，则DX = 0.1 .11. 若X 是一随机变量，2(1)2X E -= 2，1(1)22X D -=，则EX = 2或—2 . 12. 若随机变量X 服从参数为n 与p 的二项分布X ~ B （n, p ），EX = 2.4，DX = 1.44，则{1}p X < = .13. 若随机变量X 服从参数为2与22的正态分布X ~ 2(2,2)N ，则1()2D X = . 14. 若随机变量X 服从参数为2指数分布X ~e （2），则2()E X X += 1 .15. 若随机变量X 的概率密度为 2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，则EX = 2/3 ，DX = 1/18 . 16. 若随机变量X 的分布函数为300(),011,1y F x y y y <⎧⎪=<<⎨⎪>⎩， ，则EX = 3/4 .17. 若随机变量1X 与2X 都在区间 [0 ，2]上服从均匀分布，则12()E X X += 2 .18. 人的体重是随机变量X ，EX = a, DX = b, 10个人的平均重量记为Y ，则EY = a .19. 若X 与Y 独立，且DX = 6，DY = 3，则D （2X-Y ）= 21 .20. 若随机变量X 与Y 独立，则X 与Y 的相关系数为R （X ，Y ）= 0 。
【高等数学】概率论与数理统计-随机变量的数字特征专项试卷及答案解析
CA)P{Y=-2X-1} = 1.
+ (C)P{Y =-ZX 1} = 1.
(B)P{Y = 2X-1} = 1. (D)P{Y = 2X+l} = 1.
(5）将长度为lm的木棒随机地截成两段，则两；段长度的相关系数为
CA)l.
ω÷
(C） 一 ÷
CD) -1.
ω 已知随机变量 X,Y 均服从分布BCl,f），且仰 ＝ ÷，则P{X+Y ζl｝等于
P(B) + P(AB)
= 4P(AB) -2P(A) -2P(B）十1.
因此 E(XY) - EXEY = 4P(AB) -2P(A) - 2PCB) + 1 一 ［2P(A) -1][2PCB) - l]
= 4P(AB) - 4P(A)P(B),
所以X与Y不相关等价子 P(AB) = P(A)P(B） ，即 A,B 相互独立．
专 =1-d＝
（旧，Y均服从B(2，÷）分布
Cov(X,Y) E(XY)-EX • EY
ρXl' = ft5X" ./f5V =
� ./f5V
。XY
1
试验只重复2次， XY 的分布为 p
7 9
2 9
f f EX= EY= ,DX=DY= t,E(XY)= ,1.!iJ.pxy ＝ 一 ÷
【 i平注】 本题也可用对称性求解：
I I (3)£Y =
E[max(I
X
1,1)]
=
J IXl>l
Ix I
f(x)dx+ J
1
IXI运l
•
f(x)dx
＞. 士 = 2f
dx+
[1 1
第三章 随机变量的数字特征作业布置
第三章 随机变量的数字特征一、选择题√1． X 为随机变量，()1,()3E X D X =-=，则2[3()20]E X +=（ ）.A. 18B.9C.30D. 32 √2. 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩其它，则()E XY =( ). A. 0 B.1/2 C.2 D. 13. (X,Y )是二维随机向量,与0),(=Y X Cov 不等价的是( ).A. EY EX XY E ⋅=)(B. DY DX Y X D +=+)(C. DY DX Y X D +=-)(D. X 与Y 独立√4. X,Y 独立,且方差均存在,则=-)32(Y X D ( ).A.DY DX 32-B. DY DX 94-C. DY DX 94+D. DY DX 32+ √5. 若X,Y 独立,则( ).A. DY DX Y X D 9)3(-=-B. DY DX XY D ⋅=)(C. 0]}][{[=--EY Y EX X ED. 1}{=+=b aX Y P6.若0),(=Y X Cov ,则下列结论中正确的是( ).A. X,Y 独立B. ()D XY DX DY =⋅C. DY DX Y X D +=+)(D. DY DX Y X D -=-)(7.X,Y 为两个随机变量,且,0)])([(=--EY Y EX X E 则X,Y( ).A. 独立B. 不独立C. 相关D. 不相关8.设,)(DY DX Y X D +=+则以下结论正确的是( ).A. X,Y 不相关B. X,Y 独立C. 1xy ρ=D. 1xy ρ=-9.下式中恒成立的是( ).A. EY EX XY E ⋅=)(B. DY DX Y X D +=-)(C. (,)Cov X aX b aDX +=D. 1)1(+=+DX X D10.下式中错误的是( ).A. ),(2)(Y X Cov DY DX Y X D ++=+B. (,)()Cov X Y E XY EX EY =-⋅C. ])([21),(DY DX Y X D Y X Cov --+=D. ),(694)32(Y X Cov DY DX Y X D -+=-√11.下式中错误的是( ).A. 22)(EX DX EX +=B. DX X D 2)32(=+C. b EY b Y E +=+3)3(D. 0)(=EX D12.设X 服从二项分布, 2.4, 1.44EX DX ==,则二项分布的参数为( ).A. 4.0,6==p nB. 1.0,6==p nC. 3.0,8==p nD. 1.0,24==p n13. 设X 是一随机变量,0,,2>==σσμDX EX ,则对任何常数c,必有( ).A. 222)(C EX c X E -=-B. 22)()(μ-=-X E c X EC. DX c X E <-2)(D. 22)(σ≥-c X E14.()~(,),()D X X B n pE X =则( ). A. n B. p -1 C. p D.p -11 √15.随机变量X 的概率分布律为1{},1,2,,,P X k k n n ===()D X 则=( ). A. )1(1212+n B. )1(1212-n C. 2)1(12+n D. 2)1(121-n √16. 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,101)(~10x x e x f X x ,则)12(+X E =( ). A. 1104+ B. 41014⨯+ C. 21 D. 20 17.设X 与Y 相互独立，均服从同一正态分布，数学期望为0，方 差为1，则（X ，Y ）的概率密度为（ ）. A. 22()21(,)2x y f x y e π+-=B. 22()2(,)x y f x y +-=C. 2()2(,)x y f x y +-=D. 2241(,)2x y f x y e π+-=√18.X 服从]2,0[上的均匀分布,则DX=( ). A. 21 B. 31 C.61 D. 121 19.,),1,0(~3X Y N X =则EY=( ).A. 2B. n 43C. 0D. n 32 20. 若12,~(0,1),1,2,i Y X X X N i =+=则( ).A. EY=0B. DY=2C.~(0,1)Y ND.~(0,2)Y N21. 设2~(,),~(,)X b n p Y N μσ，则( ).A.2()(1)D X Y np p σ+=-+B.()E X Y np μ+=+C.22222()E X Y n p μ+=+D.2()(1)D XY np p σ=-√22.将n 只球放入到M 只盒子中去,设每只球落在各个盒中是等可能的,设X 表示有球的盒子数,则EX 值为( ). A. ])11(1[n M M -- B. M n B. ])1(1[n M M - D. n Mn ! 23. 已知X 服从参数为`λ的泊松分布,且[(1)(2)]1E X X --=,则λ为( ).A. 1B.-2C.21D.4124. 设1X ，2X ，3X 相互独立,其中1X 服从]6,0[上的均匀分布,2X 服从正态分布)2,0(2N ,3X 服从参数为3的泊松分布,记12323Y X X X =-+,则DY=( ).A. 14B.46C.20D. 925. 设X 服从参数为1的指数分布,则2()X E X e -+=( ).A. 1B.0C.13 D. 4326. 设X 为随机变量,}3|{|,,2σμσμ≥-==X P DX EX 则满足( ). A. 91≤ B. 31≤ C. 91≥ D. 31≥27. 设X,Y 独立同分布,记,,Y X V Y X U +=-=则U 与V 满足( ).A. 不独立B. 独立C.相关系数不为0D. 相关系数为028. 设随机变量1210,,X X X 相互独立,且1,2(1,2,,10)i i EX DX i ===，则下列不等式正确的是（ ）. A. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X P B. 21011}1{-=-≥<-∑εεi i X P C. 2101201}10{-=-≥<-∑εεi i X P D. 2101201}10{-=-≤<-∑εεi i X P 29. 利用正态分布有关结论,⎰∞+∞---+-dx e x x x 2)2(22)44(21π=( ).A. 1B.0C.2D. -1 √30.设(X,Y )服从区域},0:),{(a y x y x D ≤≤=上的均匀分布,则||Y X E -的值为( ).A. 0B.a 21C. a 31D.a 41 31. 下列叙述中正确的是( ). A. 1)(=-DX EX X DB. ~(0,1)NC. 22)(EX EX =D. 22)(EX DX EX +=√32.某班有n 名同学,班长将领来的学生证随机地发给每个人,设X 表示恰好领到自己学生证的人数,则EX 为( ).A. 1B.2nC.2)1(+n n D. nn 1-√33.设X 服从区间]2,1[-上的均匀分布,1,00,()0,1,0X X DY Y X -<⎧⎪===⎨⎪>⎩则. A.32 B. 31 C. 98 D. 134.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布,平均每件上有1个疵点,若规定疵点数不超过1的为一等品,价值10元;疵点数大于1不多于3的为二等品,价值8元;3个以上者为废品,则产品的废品率为( ). A. e 38 B. e 381- C. e 251- D. e25 35. 接上题,任取一件产品,设其价值为X, 则EX 为( ). A. e 376 B. e316 C. 9 D. 6 √36. 设⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(~x x x f X ,以Y 表示对X 的三次独立重复观察中“21≤X ”出现的次数，则DY=（ ）.A ． 169 B. 916 C. 43 D. 34 37. 设(X,Y)为连续型随机向量,其联合密度为),(y x f ,两个边缘概 率密度分别为()X f x 与()Y f y ,则下式中错误的是( ).A. ()X EX xf x dx +∞-∞=⎰B. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x xf EX ),(C. ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y EY ),(22D. ()()()X Y E XY xyf x f y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰二、填空题1．随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且2)(=X D ，则{}==1X p . √2．已知离散型随机变量X 可能取到的值为：-1，0，1，且2()0.1,()0.9E X E X ==，则X 的概率函数是 . 3．设随机变量2~(,)X N μσ，则X 的概率密度()f x = EX = ；DX = .若σμ-=X Y ，则Y 的概率密度()f y =EY = ；DY = .4.随机变量~(,4)X N μ，且5)(2=X E ，则X 的概率密度函数(24)0.3p X <<=为 .5.若随机变量X 服从均值为3，方差为2σ的正态分布，且(24)0.3,P X <<=则(2)P X <= .√6．已知随机变量X 的分布律为：则()E X = ，()D X = ，(21)E X -+= .7．设4,9,0.5,(23)_____________XY DX DY D X Y ρ===-=则.√8．抛掷n 颗骰子，骰子的每一面出现是等可能的，则出现的点数之和的方差为 .9．设随机变量X 和Y 独立，并分别服从正态分布(2,25)N 和(3,49)N ，求随机变量435Z X Y =-+的概率密度函数为 .√10.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望E （2X ）= .11.已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z=3X-2的数学期望E （Z ）=。
人教B版(2019)选修第二册突围者第四章第二节课时4随机变量的数字特征
人教B 版（2019）选修第二册突围者第四章第二节课时4随机变量的数字特征学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一个口袋中有5个大小相同的球，编号为1，2，3，4，5，从中任取2个球，用X 表示取出球的较大号码，则EX 等于（ ） A ．4B ．5C ．3D ．4.52．随机变量X 的分布列如表，若E (X )=2，则D (X )=（ ）A ．65B ．43C ．54D ．323．小智参加投篮比赛，比赛规则为投中1次得1分，投不中扣1分．已知小智投篮的命中率为0.5，记小智投篮3次后的得分为ξ，则()D ξ=（ ） A ．0.375B ．0.75C ．1.5D ．34． “四书”是《大学》《中庸》《论语》《盂子》的合称，在中国思想史上产生过深远影响．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”诵读比赛活动，某班有4名同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4名同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的学生人数的数学期望为（ ） A ．12B ．1C ．23D ．25．设随机变量(),X B n p ，且X 的均值与方差分别是2.4和1.44，则（ ）A ．4n =，0.6p =B ．6n =，0.4p =C ．8n =，0.3p =D ．24n =，0.1p =6．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ7．利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是A ．A 1B ．A 2C ．A 3D ．A 48．有甲、乙两名学生，经统计，他们在参加同一智力竞赛时，各自的成绩为80分、90分、100分的概率如下表所示：则下列说法正确的是（ ）A ．甲、乙两名学生的成绩不相当，且甲的较稳定B ．甲、乙两名学生的成绩不相当，且乙的较稳定C ．甲、乙两名学生的成绩相当，但甲的较稳定D ．甲、乙两名学生的成绩相当，但乙的较稳定 9．若X 是离散型随机变量，()123P X x ==，()213P X x ==，且12x x <，若4()3E X =，2()9D X =，则12x x +的值为（ ） A ．53B ．73C ．3D ．11310．已知随机变量8ξη+=，若(10,0.4)B ξ，则()E η，()D η分别是( )A ．4和2.4B ．2和2.4C ．6和2.4D ．4和5.611．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有i （其中2,3,4i =）个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量i ξ（其中2,3,4i =），则有（ ）A ．()()()24323E E E ξξξ+<B ．()()()24323E E E ξξξ+>C ．()()()24323E E E ξξξ+<D ．()()()24323E E E ξξξ+>二、解答题12．已知在某公司年会上，甲、乙等6人分别要进行节目表演，若采用抽签的方式确定每个人的演出顺序（序号：为1，2，，6），求：（1）甲、乙两人的演出序号至少有一个为奇数的概率；（2）甲、乙两人之间的演出节目的个数ξ的分布列、数学期望与方差．13．袋中有20个除标号不同外其他完全相同的球，其中标号为0的有10个，标号为n 的有n （1n =，2，3，4）个．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号． （1）求ξ的分布列、数学期望和方差；（2）若a b ηξ=+，()1E η=，()11D η=，试求a ，b 的值．14．某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中男同学5名，女同学3名．为了活动的需要，要从这8名同学中随机选出3名去执行一项特殊任务，记其中男同学的人数为X ．（1）求去执行任务的同学中有男有女的概率； （2）求X 的分布列及数学期望和方差．15．某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到奖券1张，每张奖券的中奖概率为12，且每张奖券是否中奖是相互独立的，若中奖，则商场返回顾客现金100元某顾客现购买单价为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张． （1）设4张奖券中中奖的张数为ξ，求ξ的分布列；（2）设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（单位：元），用ξ表示η，并求η的数学期望和方差．16．已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a ，a ，0.1，乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，甲，乙射击结果互不影响．记甲，乙两名射手在一次射击中的环数分别为ξ，η． （1）求ξ，η的分布列；．（2）求ξ，η的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术．17．某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测：方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止，（1）求这两种方案检测次数相同的概率；（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由. 18．1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府将8月1日作为中国工农红军成立纪念日．中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节．为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛．该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A，B两名学生中产生，该班班委设计了一个测试方案：A，B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答，根据答题情况确定参赛学生．已知这6个问题中，学生A能正确回答其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问题的概率均为23，A，B两名学生对每个问题回答的正确与否都是相互独立的．设学生A答对题数为X，学生B答对题数为Y，若让你投票选择参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由．19．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.方案1：不分类卖出，单价为20元/kg.方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望()E X.20．记A，B两个投资项目的利润率分别为1x和2x，根据市场分析，可知1x和2x的分布列分别为(1)在A ，B 两个项目上各投资100万元，1 y 和2y 分别表示投资项目A 和B 所获得的利润（单位：万元），求()1D y ，()2 D y ． (2)将(0100)x x ≤≤万元投资A 项目，(100)x -万元投资B 项目()f x 表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求()f x 的最小值，并指出x 为何值时()f x 取得最小值．三、多选题21．已知随机变量X 的分布列为则下列结论正确的是（ ）A ．()13E X =-B ．()143E X +=-C ．()2327D X =D ．()315D X +=22．一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X ，则（ ） A ．随机变量X 服从二项分布 B ．随机变量X 服从超几何分布 C ．()327P X ==D ．()85E X =23．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，则（ ）A ．()E ξ有最小值12B ．()E ξ没有最值C ．()D ξ有最小值0 D ．()D ξ有最大值12四、双空题24． 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．X 表示在未来3天内日销售量不低于100个的天数，则E (X )＝________，方差D (X )＝________.五、填空题25．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为23，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．设X 为该毕业生得到面试机会的公司个数．若()1012P X ==，则()D X =______．参考答案1．A 【分析】由题意知随机变量为2，3，4，5，计算出相应的概率，运用公式计算结果即可. 【详解】解：由题意知随机变量为2，3，4，5， ()2511210P X C ===， ()1225213105C P X C ====，()13253410C P X C ===，()1425425105C P X C ====，故113223454105105EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望的计算，属于基础题. 2．D 【分析】根据随机分布列的性质以及数学期望可得出关于实数a ，b 的方程组，解出a ，b 的值, 再利用方差公式可求出()D X 的值. 【详解】由分布列的性质以及期望公式可得 1()242212E X a b a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 解得 14a b ==所以2221113()(12)(22)(42)2442D X =-+-+-=故选：D3．B 【分析】根据题意可得ξ的取值可能为3,3,1,1--，分别求出对应的概率，进而可得ξ的取值可能为1,3，分别求出对应的概率列出分布列，计算数学期望进而可得方差. 【详解】由题意得：ξ的可能取值是3,3,1,1--， 3(3)(3)0.50.125P P ξξ===-==，2333(1)(1)C 0.5300.375.5P P ξξ-⨯======，所以ξ的取值范围是1,3，()()()1110.37520.75P P P ξξξ===+=-=⨯=，()()()3330.12520.25P P P ξξξ===+=-=⨯=，ξ分布列为：故()10.7530.25 1.5E ξ=⨯+⨯=，()22(1 1.5)0.75(3 1.5)0.250.75D ξ=-⨯+-⨯=．故选：B. 4．B 【分析】由排列组合的知识结合古典概型概率公式可得X 取0，1，2，4时的概率，再由期望公式即可得解. 【详解】记抽到自己准备的书的学生人数为X ，则X 可能值为0，1，2，4，则1344C 33(0)A 8P X ⨯===，1444C 21(1)A 3P X ⨯===， 244411(2)4C P X A ⨯===，4411(4)24P X A ===，则3111()0124183424E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．故选：B ． 5．B 【分析】结合二项分布的期望和方差的公式得到方程组，解方程组即可求出结果. 【详解】由题意，得 2.4np =，(1) 1.44np p -=，∴10.6p -=，∴0.4p =，6n =． 故选：B. 6．A 【详解】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ． 【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确． 7．C 【分析】根据表中的数据，求解各自的均值1234,,,A A A A ，比较大小，即可得到结论. 【详解】由题意A 1的均值为50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7. A 2的均值为70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5. A 3的均值为-20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7. A 4的均值为98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6. ∵A 3的均值最大,∴选方案A 3. 【点睛】本题主要考查了数学期望（均值）的应用，其中明确数据的数学期望（均值）的计算公式和熟记的均值的含义是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力. 8．C 【分析】计算出()E X 、()D X 、()E Y 、()D Y 的值，比较()E X 与()E Y 、()D X 与()D Y 的大小，即可得出结论. 【详解】()800.2900.61000.290E X =⨯+⨯+⨯=，()()()()22280900.290900.6100900.240D X =-⨯+-⨯+-⨯=，()800.4900.21000.490E Y =⨯+⨯+⨯=，()()()()22280900.490900.2100900.480D Y =-⨯+-⨯+-⨯=，()()E X E Y ∴=，()()D X D Y <，∴甲与乙成绩的均值一样，甲成绩的方差较小，因此甲．乙两名学生的成绩相当，但甲的较稳定． 故选：C. 9．C 【分析】根据离散型随机变量的期望和方差公式列出方程组，求解方程组即可得答案. 【详解】 解：12214()333E X x x =+=，∴2142x x =-， 又221242412()33339D X x x ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12x x <，∴11x =，22x =，∴123x x +=．故选：C. 10．A 【详解】100.4100.44100.40.6 2.4B E D ξξξ∴=⨯==⨯⨯=～（，），，， 8848 2.4E E D D ηξηξηξ=-∴=-==-=，（），（）故选A ． 11．B 【分析】分别求出2i =、3i =、4i =时()i E ξ，再一一判断即可； 【详解】解：当2i =时，2ξ的可能情况为0,3,5选择的情况共有：1234444415C C C C +++=种；()21515P ξ==，()22315P ξ==，()2121201151515P ξ==--= 所以()221121135015151515E ξ=⨯+⨯+⨯= 当3i =时，3ξ的可能情况为0,3,5选择的情况共有：1234444415C C C C +++=种；()31515P ξ==，()233363151515C P ξ==+=，()316801151515P ξ==--=所以()36182335015151515E ξ=⨯+⨯+⨯=当4i =时，4ξ的可能情况为3,5选择的情况共有：1234444415C C C C +++=种；()41515P ξ==，()4114311515P ξ==-=， 所以()41144753151515E ξ=⨯+⨯= 对于AB ：()()24114710522151515E E ξξ+=+⨯=，()32369331515E ξ=⨯=，所以()()()24323E E E ξξξ+>，故A 错误，B 正确；对于CD ： ()()2411476922151515E E ξξ+=⨯+=，()32369331515E ξ=⨯=，所以()()()24323E E E ξξξ+=，故CD 错误；故选：B12．（1）45 ；（2） 分布列见解析； 4()3E ξ=，14()9D ξ=．【分析】（1）设A 表示“甲、乙两人的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲，乙两人的演出序号均为偶数”，再由()1()P A P A =-求解即可；（2）由题意ξ的取值范围为{}0,1,2,3,4，求出各个取值的概率，得到分布列，进而即可求出数学期望与方差 【详解】（1）设A 表示“甲、乙两人的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲，乙两人的演出序号均为偶数”，故232614()1()1155A P A P A A =-=-=-=．（2）ξ的取值范围为{}0,1,2,3,4，则22265A 1(0)A 3P ξ===，22264A 4(1)A 15P ξ===，22263A 1(2)A 5P ξ===，22262A 2(3)A 15P ξ===，22261(4)15A P A ξ===所以ξ的分布列为所以141214()01234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222144414241414()0123433153531531539D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．13．（1）分布列见解析； 3()2E ξ=，11()4D ξ= ；（2） 22a b =⎧⎨=-⎩或24a b =-⎧⎨=⎩． 【分析】（1）求出ξ的可能取值，进而根据古典概型的概率公式求出对应的概率，即可得到相应的分布列，进而根据期望和方差的概念即可求出结果；（2）根据期望和方差的性质得到2()()D a D ηξ=和()()E aE b ηξ=+，进而解方程组即可求出结果. 【详解】（1）ξ的可能取值为0，1，2，3，4， 故101(0)202P ξ===,1(1)20P ξ==,21(2)2010P ξ===, 3(3)20P ξ==,41(4)205P ξ===, 故ξ的分布列为所以111313()01234220102052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222313131333111()0123422220210220254D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由2()()D a D ηξ=，得211114a ⨯=，即2a =±． 又()()E aE b ηξ=+，所以当2a =时，3122b =⨯+，得2b =-； 当2a =-时，由3122b =-⨯+，得4b =．所以22a b =⎧⎨=-⎩或24a b =-⎧⎨=⎩．14．（1） 4556；（2） 分布列见解析；期望为158；方差225()448D X =．【分析】（1）结合古典概型的概率公式以及概率的加法公式即可求出结果；（2）求出X 的可能取值，分别求出相应的概率，进而求出求X 的分布列及数学期望和方差. 【详解】（1）去执行任务的同学中有男有女的慨率为122153533388C C C C 151545(1)(2)C C 562856P X P X =+==+=+=．（2）X 的取值范围为{}0,1,2,3，035338C C 1(0)C 56P X ===，125338C C 15(1)C 56P X ===，21533815(2)28C C P X C ===，3053385(3)28C C P X C ===； 故X 的分布列为故X 的数学期望11515515()0123565628288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或3515()88E X ⨯==）， 方差222215115151515155225()0123856856828828448D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．15．（1）答案见解析 ；（2） 2300100ηξ=-， ()2100E η=，()10000D η=． 【分析】（1）由题意，ξ服从二项分布，从而可得ξ的分布列；（2）由二项分布的期望和方差公式可得()E ξ和()D ξ，又2300100ηξ=-，根据公式即可求解()E η和()D η． 【详解】解：（1）每张奖券是否中奖是相互独立的，∴14,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴441()C 2i P i ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭(0,1,2,3,4)i = ∴ξ的分布列为（2）14,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，∴1()422E ξ=⨯=，11()4122D ξ=⨯⨯=．又由题意可知2300100ηξ=-，∴()(2300100)2300100()230010022100E E E ηξξ=-=-=-⨯=，2()100()10000D D ηξ==．16．（1）答案见解析 ；（2） ()9.2E ξ=，()8.7E η=，()0.96D ξ=，() 1.21D η=；甲比乙的射击技术好． 【分析】（1）由题意先求出a ，再由随机变量ξ，η的意义得到相应的分布列；（2）由（1）中的分布列，利用期望与方差的公式求出期望与方差，结合期望与方差的含义即可求解 【详解】（1）依题意，有0.530.11a a +++=，解得0.1a =． 乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，∴乙击中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2-++=， ∴ξ，η的分布列分别为（2）由（1）可得()100.590.380.170.19.2E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，()100.390.380.270.28.7E η=⨯+⨯+⨯+⨯=，2222()(109.2)0.5(99.2)0.3(89.2)0.1(79.2)0.10.96D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=， 2222()(108.7)0.3(98.7)0.3(88.7)0.2(78.7)0.2 1.21D η=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=．由于()()E E ξη>，说明甲平均击中的环数比乙高， 又()()D D ξη<，说明甲击中的环数比乙集中，比较稳定，∴甲比乙的射击技术好．17．（1）16；（2）乙方案，理由见解析.【分析】设甲方案检测的次数{1,2,3,4,5}X ∈，记乙方案检测的次数{2,3}Y ∈，（1）记两种方案检测的次数相同为事件A ，根据独立事件的概率的乘法公式，即可求解；（2）分别求得随机变量X 和Y 的期望，结合期望的大小，即可求解. 【详解】由题意可设甲方案检测的次数是X ，则{1,2,3,4,5}X ∈，记乙方案检测的次数是Y ，则{2,3}Y ∈， （1）记两种方案检测的次数相同为事件A ，则()()()111212,23,363636P A P X Y P X Y ===+===⨯+⨯=，所以两种方案检测的次数相同的概率为16.（2）由11(1)(2)(3)(4),(5)63P X P X P X P X P X ==========，所以1111110()12345666633E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，122(2),(3)1333P Y P Y ====⨯=，则128()23333E Y =⨯+⨯=，因为()()E X E Y >，所以采用乙方案. 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 1、理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 2、求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；4、若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解. 18．选择投票给学生A ；理由见解析． 【分析】根据古典概型运算公式求出随机变量X 的数学期望和方差，结合二项分布的定义求出随机Y 的数学期望和方差，最后利用数学期望和方差的性质进行判断即可. 【详解】选择A 学生理由如下： X 的取值范围为{}1,2,3，124236C C 1(1)C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，3436C 1(3)C 5P X ===，所以131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=由题意知23,3YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2()323E Y =⨯=，212()3333D Y =⨯⨯=所以()()E X E Y =，()()D X D Y <，由此可见，学生A 与学生B 的平均水平相当，但学生A 比学生B 的成绩更稳定，所以选择投票给学生A ． 19．（1）96625；（2）第一种方案；（3）详见解析 【分析】（1）计算出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案2单价的数学期望，与方案1的单价比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的10个水果中，精品果4个，非精品果6个；则X 服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个X 取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果. 【详解】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A ，则()2011005P A == 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X ，则1~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴恰好抽到2个礼品果的概率为：()22244196255625P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为：()1342165488481618222420.61010101010E ξ+++=⨯+⨯+⨯+⨯== ()20E ξ>∴从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个 现从中抽取3个，则精品果的数量X 服从超几何分布，所有可能的取值为：0,1,2,3则()36310106C P X C ===；()2164310112C C P X C ===；()12643103210C C P X C ===；()343101330C P X C ===X ∴的分布列如下：()1131601236210305E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率.20．(1)()14D y =；()212D y = ；(2)()f x 的最小值3，此时=75x ． 【分析】(1)首先求出1y 和2y 的分布列，再求出每个分布列的数学期望，然后通过离散型随机变量的方差公式计算即可；(2)通过已知条件表示利用新的方差表示函数()f x ，然后结合(1)中答案和方差的性质，再利用二次函数性质，求解即可. 【详解】(1)由题意，可知1y 和2y 的分布列分别为∴()150.8100.26E y =⨯+⨯=，()220.280.5120.38E y =⨯+⨯+⨯=，∴()221(56)0.8(106)0.24D y =-⨯+-⨯=，()2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312D y =-⨯+-⨯+-⨯=．故答案为：()14D y =，()212D y =. (2)由题意可知，12100()100100x x f x D y D y -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由(1)中所求方差以及方差的性质可知()()2212100()100100x x f x D y D y -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22(1675)3100x =-+， 故当75x =时，()f x 取得最小值3． 故答案为：()f x 取得最小值3，此时75x =. 21．AD 【分析】求出()E X 、()D X 的值，可判断AC 选项的正误，利用均值和方差的性质可判断BD 选项的正误. 【详解】()()11111012363E X =-⨯+⨯+⨯=-，()()11443E X E X +=+=，故A 正确，B 错误；()22211111151013233369D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()3195D X D X +==，故C 错误，D正确. 故选：AD. 22．BCD 【分析】由题意知随机变量X 服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可 【详解】由题意，知随机变量X 服从参数为10，4，4的超几何分布，即(10,4,4)X H ~，故A 错误，B 正确；随机变量X 的取值范围为{}0,1,2,3,4，464101(0)14C P X C ===，13464108(1)21C C P X C ===，2246410C C 3(2)C 7P X ===，3146410C C 4(3)C 35P X ===，444101(4)20C P X C ===，故18341812341421()7352105E X ，故C ，D 正确． 故选：BCD ． 23．AD 【分析】根据分布列的性质求得12b =，102a ≤≤，求出()E ξ关于a 的表达式，可判断AB 选项的正误；求出()D ξ关于a 的表达式，利用二次函数的基本性质可判断CD 选项的正误. 【详解】由题意知，21b a b a b -++==，即12b =，又0102a a ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩，则102a ≤≤，所以()()113022,222E b a b a a ξ⎡⎤=⋅-++=+∈⎢⎥⎣⎦，A 对；()222211112024112221224222D a a a a a a a ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++-++-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎛⎫⨯⨯⎭⎝ ⎝⎭⎪⎭211442a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，又102a ≤≤，所以当14a =时，()D ξ有最大值12，当0a =或12时，()D ξ有最小值14. 故选：AD.24．1.8 0.72 【详解】由题意知，日销售量不低于100个的频率为(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，且X ～B (3,0.6)，所以期望E (X )＝3×0.6＝1.8， 方差D (x )＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 25．1318【分析】根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，求出乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X 的可能取值，结合变量对应的事件写出概率得出分布列及期望，从而求得方差． 【详解】答案第15页，共15页 由()1012P X ==，知211(1)312p ⨯-=，得12p =， 由题意知X 为该毕业生得到面试的公司个数，则X 的可能取值是0，1，2，3，221111(1)1132322P X ⎛⎫⎛⎫==⨯-+⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111113223⎛⎫+⨯-⨯= ⎪⎝⎭， 2112111115(2)1132232232212P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2(3)3P X ==⨯21126⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以11515()01231231263E X =⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以221515()0112333D X ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22551513231236318⎛⎫⎛⎫+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：1318。
概率论与数理统计+第四章+随机变量的数字特征+练习题
滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第四章 随机变量的数字特征一、填空题1．已知随机变量X 的分布函数为：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--=． 若 ，若，若，＜若 1 , 1 10 , 0.7501 , 25.01 , 0 x x x x x F 则⎪⎭⎫ ⎝⎛+21X X D = ． 2．设随机变量X 分布函数为()x F ，则随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=01,,0 ,0,0,1 X X X Y 若若若的数学期望=EY ．3．设随机变量X 服从参数为0.5的泊松分布，则随机变量)1(1X Y +=的数学期望EY = ．4．假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布．已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20米，则随机测量误差的标准差σ= ．5．设随机变量X 和Y 独立同正态分布()21,0N ，则||Y X D -= ．6．100次独立重复试验成功次数的标准差的最大值等于 ．7．有若干瓶超过保质期的饮料，假设其中变质的期望瓶数为18瓶，标准差为4瓶．则变质饮料的瓶数X 的概率分布是 ．8．假设随机变量X 和Y 的方差都等于1，X 和Y 的相关系数为0．25，则随机变量Y X U +=和Y X V 2-=的协方差为 ．9．三名队员投篮的命中率分别为0.45、0.5和0.4，且相互独立，现在让每人各投一次，则三人总进球次数的期望是 ．10．设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >= ．11．设随机变量X 在区间[-1，2]上服从均匀分布；随机变量 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.01,00,01X X X Y 若若若 则方差=DY ．12． 随机变量X ，Y 的联合概率分布为则2X 和2Y 的协方差),(22Y X Cov = ．13．设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02>σ 令∑==ni i X n Y 11，则Cov(),1Y X = ．二、选择题1．对于任意随机变量X 和Y ，如果)()(Y X D Y X D -=+，则（ ）．(A) X 和Y 独立； (B) X 和Y 不独立；(C) )()()(Y D X D XY D =； (D) )()()(Y E X E XY E =．2．设X 在区间[－1,1]上均匀分布，则X U arcsin 和X V arccos =的相关系数等于（ ）．(A) 1-； (B) 0； (C) 0.5； (D) 1．3．假设试验E 以概率p 成功，以概率p q -=1失败，分别以X 和Y 表示在n 次独立地重复试验中成功和失败的次数，则X 和Y 的相关系数ρ等于（ ）．(A)1-； (B) 0； (C) 1/2； (D) 1．4．设随机变量X 的方差存在，且记μ=EX ，则对任意常数C ，必有（ ）．（A ）222)(C EX C X E -=-； （B ）22)()(μ-=-X E C X E ；（C ）22)()(μ-<-X E C X E ； （D ）22)()(μ-≥-X E C X E5．设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其他010)(x bx a x f ，又X 的期望53=EX ，则X 的标准差为（ ）．（A ）15011 ； （B ）150121； （C ）1511 ； （D ）3013． 6．设随机变量X 和Y 的方差存在且为正，则DY DX Y X D +=+)(是X 和Y （ ）．（A ）不相关的充分条件，但不是必要条件 ；（B ）独立的必要条件，但不是充分条件；（C ）不相关的充要条件 ；（D ）独立的充要条件 ．7．设二维随机变量（X ，Y ）服从二维正态分布，则随机变量Y X Y X -=+=ηξ与不相关的充要条件为（ ）．（A ）EY EX =； （B ）2222)()(EY EY EX EX-=-； （C ）22EY EX =； （D ）2222)()(EY EY EX EX +=+．8．将一枚硬币重复掷n 次，以X ，Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X ，Y 的相关系数等于（ ）．（A ）1-； （B ）0； （C ）1/2； （D ）1．三、解答题1．自动生产线加工的零件的内径X (mm)服从正态分布)1,(μN ，内径小于10或大于12mm的为不合格品，其余为合格品．每件产品的成本为10元,内径小于10mm 的可再加工成合格品，尚需费用5元．全部合格品在市场上销售，每件合格品售价20元．问零件的平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均销售利润最大？2．假设某季节性商品，适时地售出1kg 可以获利s 元，季后销售每千克净亏损t 元．假设一家商店在季节内该商品的销售量X （kg ）是一随机变量，并且在区间),(b a 内均匀分布．问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大？3．独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p ．假设前5次试验每次的试验费用为10元，从第6次起每次的试验费用为5元．试求这项试验的总费用的期望值a ．4．假设n 个信封内分别装有发给n 个人的通知，但信封上各收信人的地址是随机填写的．以X 表示收到自己通知的人数，求X 的数学期望和方差．5．求}1|,min{|X E ，假设随机变量X 服从柯西分布，其概率密度为()()∞<<∞-+=x x x f 11)(2π． 6．假设一种电器设备的使用寿命X （单位：小时）是一随机变量，服从参数为λ=0．01的指数分布．使用这种电器每小时的费用为C 1=3元，当电器工作正常时每小时可获利润C 2=10元．此设备由一名工人操作，每小时报酬为C 3=4元，并且按约定操作时间为h 小时支付报酬．问约定操作时间h 为多少时，能使期望利润最大？7．一微波线路有两个中间站，其中任何一个出现故障都要引起线路故障．假设两个中间站无故障的时间都服从指数分布，平均无故障工作的时间相应为１和0．5(千小时)，试求线路无故障工作时间X 的数学期望．8．设随机变量X ，Y 相互独立，并且都服从正态分布),(2σμN ，求随机变量},min{Y X Z =的数学期望．9．假设随机向量),(Y X 在以点)1,1(),0,1(),1,0(为顶点的三角形区域上服从均匀分布．试求随机变量Y X Z +=的方差．10．假设随机变量X ，Y 的数学期望都等于１，方差都等于2, 其相关系数为0．25，求随机变量Y X U 2+=和Y X V 2-=的相关系数ρ．11．假设随机变量1021,,,X X X 独立同分布，且方差存在．求随机变量 651X X X U +++= 和 1065X X X V +++=的相关系数ρ．12．对于任意二随机事件A 和B ，设随机变量⎩⎨⎧-=，不出现若出现若 ,1, ,1A A X ⎩⎨⎧-=；不出现若出现若 , 1 , ,1B B Y 试证明“随机变量X ，Y 不相关” 当且仅当“事件A 和B 独立”．13．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机无放回地抽取3张，则此人得奖的金额的数学期望为多少．14．某产品的次品率为0．1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备． 假设各产品是否为次品是相互独立的，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E 和)(X D ．15．有3只球, 4只盒子, 盒子的编号为1,2,3,4． 将球逐个独立地, 随机地放入4只盒子中去,以X 表示其中至少有一只球的最小号码(例如X =3表示第1号,第2号盒子是空的,第3号盒子至少有一个球), 试求)(X E 和)(X D ．16．某射手每次射击的命中率为)10(<<p p , 他有6发子弹, 准备对一目标进行射击, 一旦打中或子弹打完, 他就立即转移, 求他在转移前平均射击的次数．17．设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他0102)(x x x f 试求)2|(|DX EX X P ≥-18．设随机变量X 的分布律为 ,3,2,1,32)(===n n X P n ，试求X Y )1(1-+=的数学期望与方差． 19．设随机变量X ，Y 相互独立，且X 服从[0,2]上的均匀分布，)1,1(~N Y ，求)(XY D20．设随机变量X 的分布列为若随机变量32,X Z X Y ==，（1）试求),(Z Y Cov ，并问Y ，Z 是否相关；（2）求二维随机变量（Y ，Z ）的联合分布列；（3）试问Y ，Z 是否独立？为什么？21．已知二维随机变量（Y X ,）的概率密度为 ⎩⎨⎧<<++=其它01,0)1(),(y x xy y C y x f （1）试确定常数C ；（2）试问Y X ,是否相互独立？为什么？（3）试问Y X ,是否不相关？为什么？如果相关的话，其相关系数是多少．22．已知二维随机变量（Y X ,）的概率密度为⎩⎨⎧<≤<=其它01012),(2x y y y x f 试求：（1）2)(Y X E -（2）Y X ,的协方差．23．设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本，且2,σμ==DX EX 存在，X 为样本均值，试证明X X i -与X X j -的相关系数为n j i j i n ,,2,1,,,11 =≠--=ρ 24．设随机变量X 服从参数为0>λ（λ待定）的指数分布，)(x F 为其分布函数，若已知21)31(=F ，试确定最小值2)(min C X E C -是多少？ 25．随机的向半圆)0(202>-<<a x ax y 抛掷一个点, 点落在任何一个区域的概率与该区域的面积成正比, 设原点与该点的连线与x 轴正向的夹角为θ, 试求θ的数学期望与方差．26．假设一电路由3个同种电子元件，其工作状况相互独立，无故障工作时都服从参数为0>λ的指数分布，当3个元件都无故障工作时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作时间T 的概率分布、数学期望与方差．27．编号为n ,,2,1 的n 张卡片中随机地抽取1张，如果抽出的卡片的号码为k ，则第2张卡片从编号为k ,,2,1 的k 张卡片中抽取．记X 为抽出的第2张卡片的号码，试证：43+=n EX ． 28．设随机变量Z Y X ,,相互独立，且X 服从[0,6]上的均匀分布，Y 服从正态分布2(0,2)N , Z 服从参数为31的指数分布，试求2)(Z XY E -和)32(Z Y X D -+． 29．设Y X ,是相互独立，分别服从参数为0>λ和0>μ的指数分布，令⎩⎨⎧>≤=YX Y X Z 2,02,1． 求Z 的分布函数和方差． 30．设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他002cos 21)(πx x x f ，对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望． 31．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层候梯处，且X 在[0，60]上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望．32．设n X X X ,,,21 i ．i ．d ),(~2σμN ,求)||(1∑=-n k k X XE ，其中∑==n k k n X X 1133．供电公司每月可以供应某工厂的电力服从[10，30]（单位：万度）上均匀分布，而该工厂每月实际生产所需要的电力服从[10，20]上的均匀分布．如果工厂能从供电公司得到足够的电力，则每一万度电可创造30万元的利润，若工厂从供电公司得不到足够的电力，则不足部分由工厂通过其它途径自行解决，此时，每一万度电只能产生10万元的利润．问该工厂每月的平均利润为多大？34．对于任意二事件A B 与，0101<<<<P A P B (),(),))(1)(())(1)(()()()(B P B P A P A P B P A P AB P ---=ρ称为事件A B 与的相关系数．(1)证明事件A B 与独立的充分必要条件是其相关系数等于0；(2)利用随机变量相关系数的基本性质，证明1||≤ρ．35．设随机变量X 的具有连续的密度函数为)(x f ，令||)(a X E a h -=，试证明：当a 满足21)(=≤a X P 时（此时称a 为X 的中位数），)(a h 达到最小．。
概率论与数理统计第四章测试题
第4章随机变量得数字特征一、选择题1.设两个相互独立得随机变量X与Y得方差分别为4与2,则随机变量3X-2Y得方差就是(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442.若随机变量与得协方差,则以下结论正确得就是( )(A) 与相互独立(B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY3.设随机变量与相互独立,且,则( )(A) (B)(C) (D)4.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关得充要条件为(A) EX=EY (B) E(X2)- (EX)2= E(Y2)- (EY)2(C) E(X2)= E(Y2) (D) E(X2)+(EX)2= E(Y2)+ (EY)25.设、就是两个相互独立得随机变量且都服从于,则得数学期望( ) (A) (B) 0 (C) (D)6.设、就是相互独立且在上服从于均匀分布得随机变量,则( )(A) (B) (C) (D)7.设随机变量与得方差存在且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY就是X与Y( )(A) 不相关得充分条件,但不就是必要条件(B) 独立得充分条件,但不就是必要条件(C) 不相关得充分必要条件(D) 独立得充分必要条件8.若离散型随机变量得分布列为,则( )(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9.将一枚硬币重复掷n次,以X与Y分别表示正面向上与反面向上得次数,则X与Y得相关系数等于(A)－1 (B)0 (C) (D)110.设随机变量X与Y独立同分布,具有方差>0,则随机变量U=X+Y与V=X-Y(A)独立(B) 不独立(C) 相关(D) 不相关11.随机变量X得方差存在,且E(X)=μ,则对于任意常数C,必有。
(A)E(X-C)2=E(X2)-C2(B)E(X-C)2=E(X-μ)2(C)E(X-C)2< E(X-μ)2(D)E(X-C)2≥ E(X-μ)212.设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=, 则P(1<X<3) =( )(A)0 (B) (C) (D)二、填空题1.设表示10次独立重复射击命中目标得次数,每次命中目标得概率为0、4,则2.设一次试验成功得概率为,进行了100次独立重复试验,当时,成功得次数得标准差得值最大,其最大值为3.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量,则得方差DY=4.,,,则,5.设随机变量服从于参数为得泊松分布,且已知,则6.设(X,Y)得概率分布为:则＝。
高中数学滚动测试6随机变量的数字特征(原卷版)
滚动测试6随机变量的数字特征（原卷版）一、选择题。
1．若随机变量)4.0,(~n B ξ，若20)(=ξE ,则n 的值为)(A 25 )(B 50 )(C 20 )(D 40 2．关于标准正态分布)1,0(N 的概率密度函数221)(2x e x f -=π，下列说法不正确的是)(A )(x f 为偶函数 )(B )(x f 的最大值是π21)(C )(x f 在0>x 时是单调减函数，在0≤x 时是单调增函数)(D )(x f 关于1=x 对称3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分ξ的均值是( ) )(A 0.2 )(B 0.8 )(C 1 )(D 04．设随机变量ξ的分布列如右表：且6.1)(=ξE ，则b a -等于( ))(A 0.2 )(B 0.1 )(C －0.2 )(D －0.4 5．若随机变量m X P N X =≤)0(),4,1(~，则)20(<<X P 等于( ))(A m 21- )(B 21m - )(C 221m- )(D m -1 6. 已知X 的分布列为右表，则)(X D )等于( ))(A 0.7 )(B 0.61 )(C ．－0.3 )(D 07．已知)8,0(~2N ξ且4.0)02(=≤≤-ξP ，则)2(>ξP 等于( ))(A 0.1 )(B 0.2 )(C 0.3 )(D 0.4 8．设掷1颗骰子的点数为X ，则( ))(A 25.3)(,5.3)(==X D X E )(B 1235)(,5.3)(==X D X E )(C 5.3)(,5.3)(==X D X E )(D 1635)(,5.3)(==X D X E 9．袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以η表示取出的红球数，则)(ηE 为( ) )(A3561 )(B 712 )(C 3522 )(D 3518 10．随机变量)1,0(~N X ，则X 的数值落在),3()3,(+∞⋃--∞内的概率为( ))(A %6.4 )(B %2.0 )(C %26.0 )(D %311．工人制造机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布),(2σμN ．在一次正常的试验中，取10000个零件时，不属于)3,3(σμσμ+-这个尺寸范围的零件个数可能为( ))(A 70个 )(B 100个 )(C 26个 )(D 60个12．某厂生产的零件直径)2.0,10(~2N ξ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为cm 9.9和cm 3.9，则可认为( ))(A 上午生产情况未见异常现象，下午生产情况出现了异常现象 )(B 上午生产情况出现了异常，而下午生产情况正常 )(C 上、下午生产情况均是正常)(D 上、下午生产情况均出现了异常现象 二、填空题13．在一次商业活动中，某人获利300元的概率为6.0，亏损100元的概率为4.0，此人在这样的一次商业活动中获利的均值是 。
概率论与数理统计第四章测试题
第4章 随机变量的数字特征一、选择题1．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y 的方差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442．若随机变量X 和Y 的协方差(),0Cov X Y =，则以下结论正确的是（ ）(A) X 与Y 相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3．设随机变量X 和Y 相互独立，且()()221122,,,XN Y N μσμσ，则2Z X Y =+（ ） (A) ()221212,2N μμσσ++ (B) ()221212,N μμσσ++(C) ()2212122,4N μμσσ++ (D) ()2212122,4N μμσσ--4．设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为(A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2(C) E(X 2)= E(Y 2)(D) E(X 2)+(EX)2= E(Y 2)+ (EY)25．设X 、Y 是两个相互独立的随机变量且都服从于()0,1N ，则()max ,Z X Y =的数学 期望()E Z =（ ） (A)(B) 0 (C) (D) 6．设X 、Y 是相互独立且在()0,θ上服从于均匀分布的随机变量，则()min ,E X Y =⎡⎤⎣⎦（ ）(A)2θ (B) θ (C) 3θ (D) 4θ7．设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY 是X 和Y （ ）(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件 (B) 独立的充分条件，但不是必要条件 (C) 不相关的充分必要条件 (D) 独立的充分必要条件 8．若离散型随机变量X 的分布列为(){}()1121,2,2nnn P X n =-⋅==，则()E X =（ ） (A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9．将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 和Y 的相关系数等于（A ）－1 （B ）0 （C ）21 （D ）110．设随机变量X 和Y 独立同分布，具有方差2σ>0，则随机变量U=X+Y 和V=X-Y （A ）独立 (B) 不独立 （C ） 相关 (D) 不相关11．随机变量X 的方差存在，且E(X)=μ，则对于任意常数C ，必有 。
第4章随机变量的数字特征
⎧ax + b, 0 ≤ x ≤ 1 2. 设随机变量 X 的密度函数 f ( x ) = ⎨ ，且 E ( X ) = 7 / 12 ，则（ 其它 ⎩ 0,
9. 二维随机向量 ( X , Y ) 满足 E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) ，则（ (A) D ( XY ) = D ( X ) D (Y ) (C) X 与 Y 独立
） ．
(B) D ( X + Y ) = D ( X − Y ) (D) X 与 Y 不独立
） ．
10. 设 X ~ N(3,2),Y ~ U(2,8) ，且 X 与 Y 相 5 (C) 11 (D) 1
） ．
(A) -1 (B) 4 (C) 2 (D) 7 ． 4. 如果随机变量 X 存在二阶原点矩，则下列表达式正确的是（ ） (A) E ( X 2 ) < [ E ( X )] 2 (C) E ( X 2 ) ≥ E ( X ) (B) E ( X 2 ) ≥ [ E ( X )] 2 (D) E ( X 2 ) < E ( X )
Y=
1 n ∑ X i ，则（ n i =1
(A) Cov( X 1 , Y ) =
） ．
σ2
n
(B) Cov( X 1 , Y ) = σ 2
(C) D( X 1 + Y ) =
n+2 2 σ n
(D) D( X 1 − Y ) =
第四章随机变量的数字特征(有答案)
第四章随机变量的数字特征1. (2016)设随机变量X 的概率密度函数2,01(),0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他 则2()E X =0.5 .2. (2016)设随机变量X 与Y 满足()1,()2,()4,()9,0.5XY E X E Y D X D Y ρ=====, 则()E XY = 5 .3. (2016)设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为(1) 求,X Y 的边缘分布律; (2) 求,X Y 的相关系数XY ρ; (3) 判断,X Y 是否相关、是否独立？ 解答: （1）X 与Y分分（2）2()()3E X E Y ==, 4()()9D X D Y ==, 2()9E XY =, 因此 故 1.2XY ρ===- …...................................4分（3）X 与Y 相关, 不独立. ...............................................................................2分4.(2016)设A 与B 是两个随机事件, 随机变量1,,0,A X A ⎧=⎨⎩出现不出现 1,,0,B Y B ⎧=⎨⎩出现不出现证明: 随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立.证明: X故 ()()E X P A =, 同理, ()()E Y P B =.XY故 ()()E XY P AB =. ...........................................................................................3分XY ρ==因此 X 与Y 不相关0XY ρ⇔=()()()E XY E X E Y ⇔=()()()P AB P A P B ⇔= 即 X 与Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立. ..................................2分 5. (2015)设随机变量X 服从参数为2的泊松分布, 则期望2[(1)]E X +=11 . 6. (2015)设随机变量X 服从正态分布2(1,3)N , Y 服从正态分布2(0,4)N , X 与Y的相关系数12XY ρ=-, 设32X YZ =+, 求:(1) Z 数学期望()E Z 及方差()D Z ;(2) X 与Z 的协方差cov(,)X Z 及相关系数XZ ρ. 解答：（1）111()()()323E Z E X E Y =+=;()()32X YD Z D =+1111()()29432XY D X D Y ρ=++⋅⋅2211111342()34394322=⋅+⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅=. …...................................…6分（2）cov(,)cov(,)32X YX Z X =+ 11cov(,)cov(,)32X X X Y =+11()32XY D X ρ=+21113(0322=⋅+-=. 故 0XZ ρ=. ............................................................................................……...4分 7. (2014)对球的半径做近似测量, 设测量值均匀分布在区间(2,3)上, 则球的体积的数学期望为653π . 8. (2014)设随机变量X 与Y 的方差均为4, 相关系数12XY ρ=, 2Z X Y =+, 则协方差cov(,)X Z = 8 .9. (2014)设X ,Y 为随机变量, 下列选项中, 不是()()()E XY E X E Y =的充要条件的是 D . (A) cov(,)0X Y = (B) ()D X Y DX DY -=+ (C) X 与Y 不相关(D) X 与Y 独立10. (2014)设连续型随机变量X 的概率密度函数为,01()0,Ax x f x <<⎧=⎨⎩，其他. （1）求常数A ;（2）设随机变量2Y X =, 求Y 的概率密度函数()Y f y ;（3）设随机变量11,,210,.2X Z X ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩, 求()E Z .解答：（1）+-()d 1f x x ∞∞=⎰，即+d 1Ax x ∞-∞=⎰，得2A =. ……………………3分（2）法1：2y x =的反函数为x =(01,()0,X XYf f yf y⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它.0,01,0,y⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它.1,01,0,y<<⎧=⎨⎩其它.…………………4分法2：2(){}{}YF y P Y y P X y=≤=≤当0y≤时：()0YF y=，当01y<<时：(){dYF y P X x x y=≤≤==⎰，当1y≥时：()1YF y=.因此1,01,()()0,Y Yyf y F y<<⎧'==⎨⎩其它.……………………………………4分（3）11213{1}{}2d24P Z P X x x==≥==⎰，故3()4E Z=. ………………………3分11.(2014)设某厂生产的某种设备的寿命（单位: 年）X服从指数分布, 其概率密度函数为141e, 0,()40,0.xxf xx-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩工厂规定: 若出售的设备在一年内损坏, 则可予以调换. 工厂售出一台设备后, 若在一年内未损坏, 厂方可获利100元, 若在一年内损坏, 厂方则亏损200元.试求厂方售出一台设备的平均利润.解答：设Y为厂方售出一台设备的利润，有114411{1}e d1e4xP X x--<==-⎰，……………………3分则Y平均利润111444()100e200(1e)300e200E Y---=--=-. (3)分。
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1.设随机变量X的概率分布为
X 1234
p1/81/41/21/8求E(X),E(X2),E(X+2)2. 解.由离散型随机变量的数学期望公式可知
E(X)=1×1/8+2×1/4+3×1/2+4×1/8=21/8;
E(X2)= 12×1/8+22×1/4+32×1/2+42×
1/8=61/8;
E(X+2)2=E(X2+4X+4) =E(X2)+4E(X)+4=61/8+4×21/8+4=177/8.
2.某种产品共有10件,其中有次品3件.现从中任取3件,求取出的3件产品中次品数X 的数学期望和方差. 解.由题意可知,随机变量X的取值范围是0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为
;
;
;
.
因此E(X)=0×7/24+1×
21/40+2×7/40+3×1/120=9/10;
E(X2)=02×7/24+12×21/40+22×7/40+32×1/120=13/10;
∴
D (X )=
E (X 2)-(E (X ))2=13/10-(9/10)2=49/100.
3.一批零件中有9个合格品与3个废品
,
在安装机器时,从这批零件中任取1个,如果取出的是废品就不再放回.求在取得合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差.
解. 随机变量X 表示在取得合格品之前,已经取出的废品数.
所以 X 的所有可能取值为0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为
P (X =0)=9/12=3/4 ;
;
;
.
所以由数学期望公式得到
E (X )=0×3/4+1×9/44+2×9/220+3×1/220=0.3 ;
E (X 2)= 02×3/4+12×9/44+22×9/220+32×1/220=9/22 ;
∴
D (X )=
E (X 2)-(E (X ))2=9/22-0.32=0.319.
4.射击比赛,每人射
四次(每次一发),约定全部不中得0分,
只中一弹的得20分,中两弹得40分,中三弹得70分,中
解. 随机变量X 表示此人的得分. 根据题意,可得
四弹得100分.某人每次射击的命中率均为3/5,求他得分的数学期望.
,
,
,
,
.所以
=54.05.
5.设随机变量X的概率分布密度函数为
,
求X的数学期望和方
差. 解.根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知
; 又因为
;
∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=π2/12-1/2 .
6.设随机变量X的概率分布密度函数为
.
求X的数学期望和方差. 解.根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知
, 又根据密度函数的性质得到
∴A=15/16 即E(X)=1.
又∵
;
∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=8/7-1=1/7.
7.设随机变量X的概率分布密度函数为
,
且已知方差D(X)=1, 求常数a和b. 解.显然常数a＞0.
由密度函数的性质可知
①
根据数学期望公式得到
;
;
∴由已知D(X)=E(X2)-(E(X))2=a3b/6=1②
解方程①②得到 .
解.根据连续型随机变量的数学
期望和方差公式可知
8.设随机变量X的概率分布密度函数为
,
求X的方差.
∴
D(X)=E(X2)-(E(X))2=1/6-0=1/6.
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