解三角形复习资料

解三角形

➢ 考考试试要要点点

定理

正弦定理

余弦定理

文字 叙述

三角形的各边长与其_____________ ______________________________．

三角形的任意一边的_______等于其他两边的_______，再减去这两边与 ______________________________．

数学 公式

sin a

A

＝_______＝_______＝____ （其中R 是ΔABC 外接圆的半径） a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ；

b 2＝_________________；

c 2＝_________________．

变形

1 a ＝2R sin A ；b ＝_____；c ＝______；

2sin A ＝2a

R

；sin B ＝____；sin C ＝____；

3 a ︰b ︰c ＝___________________；

4 a sin B ＝b sin A ，b

____＝c _____，

c ____＝a _____．

cos A ＝ ；

cos B ＝_________；

cos C ＝_________．

特例

勾股定理是_____定理的特殊情况．

例如，当A ＝90° 时，______定理即变为______________．

拓展应用

在ΔABC 中，有如下结论： 1 a 2

＜b 2

＋c 2

，则A 为_____角； 2 a 2

＝b 2

＋c 2

，则A 为_____角； 3 a 2

＞b 2

＋c 2

，则A 为_____角；

应用

1__ __； 2 __ __．

1__ __； 2__ __．

三角 形 面积 公式

S ΔABC ＝21

a ·h a ；（h a 表示a 边上的高） S ΔABC ＝21

bc sin A

＝________ ＝________

➢➢ 1、一个三角形的两个内角分别为300和450，如果450角所对的边长为8，那么300角所对的边长是（ ）

A.4

B.

C.

D. 2、已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于（ ） A ．30°

B ．30°或150°

C ．60°

D ．60°或120

3、在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ） A ．

23 B ．－23 C ．14 D ．－1

4

4、在△ABC 中，∠A=60︒，AB ＝2，且S ∆ABC =

2

3

，则BC 边的长为（ ）

A B ．3 C D ．7 5、已知△ABC 满足sinA=2cosBsinC ，则这个三角形的形状是 .

➢➢ 例1.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2

A ＝2a .

(1)求b a

； (2)若c 2＝b 2＋3a 2

，求B .

例2.

在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且 2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .

(1)求A 的大小； (2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状

例3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知

cos A －2cos C cos B ＝2c －a

b

.

(1)求sin C sin A 的值； (2)若cos B ＝1

4

，b ＝2，求△ABC 的面积S .

例4.一缉私艇发现在北偏东45︒方向,距离12 nmile 的海面上有一走私船正以10 nmile/h 的速度沿东偏南15︒方向逃窜.缉私艇的速度为14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东45︒+α的方向去追,.求追及所需的时间和α角的正弦值.

课后练习：一、选择题 1．在△ABC 中，若C =90°，a =6，B =30°，则c -b 等于 （ ）

A ．1

B ．-1

C ．32

D ．32-

2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是

（ ）

A ．sin A

B ．cos A

C ．tan A

D ．

A

tan 1

3．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cos A >sin B ，则△ABC 的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形

4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为60°，则底边长为 （ ） A ．2

B ．

2

3

C ．3

D ．32

5．在△ABC中，若b=2a sin B，则A等于（）

A．30°或60° B．45°或60°C．120°或60° D．30°或150°

6边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）

A．90°B．120°C．135°D．150°

二、填空题

1．在Rt△ABC中，C=90°，则sin A sin B的最大值是_______________．

2．在△ABC中，若a2=b2+bc+c2，则A=_________．

3．在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=_________．

4．在△ABC中，AB=6-2，C=30°，则AC+BC的最大值是________．

三、解答题

1. 已知a＝33，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．

2.在∆ABC中，已知BC=a，AC=b，a,b是方程x2-23x+2=0的两个根，且2cos(A+B)=1,

求：（Ⅰ）∠C的度数；（Ⅱ）AB的长度.

3．在△ABC中，若a cos A+b cos B=c cos C，则△ABC的形状是什么？