哈工大2013年概率统计试题及答案

哈工大2013年秋季学期概率论与数理统计期末考试题

一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）

1．设随机事件, , A B C 相互独立，且()0.5, ()0.25, ()0.2P A P B P C ===，则随机事件, , A B C 至少有一个不发生的概率为________________ ．

2．设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，则随机变量Y X =的概率密度

()Y f y =

______________ _ _ ．

3．设, X Y 是随机变量，2, 25, 1, 16, 0.4

XY EX DX EY DY ρ=====则

2(234)E X Y -+= ．

4．设某种溶液中杂质的浓度服从2

(,)N μσ，今取样4次，测得平均值0.834x =，样本标准差

0.0003s =，则μ的置信度为0.95的置信区间为________________ __．

5．设随机变量, X Y 相互独立，且均服从参数为8的指数分布，则

{min(,)1}P X Y ≤=______ ．

注：可选用的部分数值：0.050.0250.025(4) 2.1318, (3) 3.1824, (4) 2.7764,t t t ===

(1.96)0.975, (1.645)0.95ΦΦ==．

二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）

1．设随机变量X 与Y 相互独立，且(1)(1), (0)(0)1P X P Y p P X P Y p ========-，

(01)p <<，令1, 0, X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩为偶数

为奇数

，要使X 与Z 独立，则p 的值应等于

（A ）12． （B ）14． （C ）13． （D ）23． 【 】 2．下列函数可作为概率密度函数的是

（A ）2(1||), ||1() 0, ||1x x f x x -≤⎧=⎨>⎩． （B

）2

2

()2, 0() (0) 0, 0

x x f x x μσσ--⎧≥=><⎩

． （C ） , 10

()34, 020, x x f x x x -<<⎧⎪

=≤<⎨⎪⎩

其他． （D ）e ,0() (0)0,

0x x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩． 【 】

3．设12, , , n X X X 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本， 其中X 为样本均值，2S 为样本方

差，2

*

S 为样本的二阶中心矩，则

（A ）

)1(~)1(22

2

*--n S n χσ． （B ）

)1(~1*

---n t n S X μ

． （C ）22

2 ~(1) nS n χσ-． （D

~(1)t n -． 【 】 4．设随机变量~[1, 7]X U ，~(8, 0.5)Y B

，且XY ρ=

(33)P X Y X -<<+≥__________．

（A ）4/1． （B ）6/1． （C ）3/2． （D ）6/5． 【 】

5．设12, , , n X X X 是来自总体(0, 1)N 的简单随机样本，则下列统计量的分布中不正确的是 （A ）

2

2

1

~()n

i i X

n χ=∑． （B

~(1)t n -．

（C ）11~(0, 1)n i i X N n =∑． （D ）2

2

21

3

(1)~(2, 2)2n i

i

i i n X X

F n ==--∑∑． 【 】

三、（9分）今从装有一等品2件，二等品4件的甲箱子中任取2件产品，然后将2件产品放入含有

3件一等品2件二等品的乙箱中，再从乙箱中任取1件产品，求： （1）从乙箱中取到1件一等品的概率；

（2）已知从乙箱中取出1件一等品的条件下，从甲箱中取出1件一等品和1件二等品的概率。 四、（9分）设随机变量X 和Y 的联合分布在以点(0, 1)，(1, 0)，(1, 1)为顶点的三角形区域内服

从均匀分布。求：（1）随机变量Y X Z +=2的概率密度()Z f z ；（2）方差DZ ． 五、（9分）在区间[0, 1]上任取n 个点12, , , n X X X ，记{}(1)12min , , , n X X X X = ，

{}()12max , , , n n X X X X = ，()(1)n X X X =-．求EX ．

六、（9分）设总体X 的概率密度为

23e , 0

(;)0, 0

x x x f x x θθθ--⎧>=⎨≤⎩

其中0θ>为未知参数，12, , , n X X X 为来自总体X 的简单随机样本。求： （1）θ的矩估计量；（2）θ的最大似然估计量。

七、（4分）在x 轴上有一个质点可以在整个数轴的整数点上游动，记n X 表示时刻n 时质点的位

置。该质点移动的规则是：每隔单位时间，分别以概率p 及概率1q p =-(01)p <<向正 的及负的方向移动一个单位。假设质点在时刻0t =时，位于a ，即0 (0)X a a =>，而在0和

(0)a b b +>处各有一个吸收壁（即质点移动到0和a b +时，将不能再移动）。求质点的初始位置

为a 而最终在b a +被吸收的概率a u .

（提示： 11, 1,2,,1n n n u pu qu n a b +-=+=+- . 00, 1a b u u +==）