高中数学基本计数原理知识点+练习
高考数学热点《计数原理》练习
从新高考考查情况来看，排列组合与二项式定理是新高考命题的热点，主要考查分类、分步计数原理的应用，排列与组合的综合应用，分组分配问题等，二项展开式的通项、二项式系数、特定项的系数、系数和问题、最值问题、参数问题等，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等．主要考查学生的转化与化归、分类讨论思想，数学运算和逻辑推理等核心素养．1、求二项式系数和或各项的系数和的解题技巧：（1）形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．（2）对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． （3）若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝(1)(1)2f f +-，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝(1)(1)2f f --. 2、解决排列问题的常见方法：（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.热点11 计数原理（5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.3、解决组合问题的常见方法：组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏。
新高考数学备考专题计数原理考点真题训练(解析版)
新高考 计数原理 考点专题训练一、单选题1．（2022·山东济南·二模）由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ．24个【答案】C 【分析】先排个位，然后排万位，再排其它位置，由此计算出正确答案. 【详解】先排个位，然后排万位，再排其它位置，所以由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有332336A ⨯⨯=个.故选：C2．（2022·四川巴中·一模（理））()()5211x x ++的展开式中4x 的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C 【分析】先求出项式()51x +的展开式的通项为5r r C x ，进而可以求出()()5211x x ++的展开式中含4x 的项，由此即可求出结果. 【详解】因为二项式()51x +的展开式的通项为5r r C x ，所以()()5211x x ++的展开式中含4x 的项为44222455115C x x C x x ⨯+⨯=，所以4x 的系数为15.故选：C ．3．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种 B ．120种C ．240种D ．480种【答案】C先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.4．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．13B．25C．23D．45【答案】C【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C=种排法，若2个0不相邻，则有2510C=种排法，所以2个0不相邻的概率为102 5103=+.故选：C.5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））25()()x xyxy++的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10 C．15D．20【答案】C求得5()x y +展开式的通项公式为515r rrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r rr C xy -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解. 【详解】5()x y +展开式的通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+= 故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.6．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ） A ．120种 B ．90种 C ．60种 D ．30种【答案】C 【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有126561060C C⋅=⨯=种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.7．（2022·浙江台州·高三期末）若从编号为110的十个小球中取3个不同的小球，且3个小球的编号两两不连续，则不同的取法共有（）A．8种B．36种C．56种D．64种【答案】C【分析】先求出总的情况为310120C=种，减去三个数依次连续，再减去三个数只有两个数连续的情况，注意此时和三个数依次连续的重叠部分.【详解】依题意得，取出小球的总的可能有310120C=种，排除123,234,,8910这8种依次连续的情况;再排除三个数恰好两个连续的情况：12,23,910共9组情况，其中12,910两组可以和7个数组成不完全连续的情况，共14种；23,34,89共7组，每组都能和6个数组合成为不完全连续的情况，共42种；于是符合题意的情况有1208144256种.故选：C.8．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.为了缓解了教育的“内卷”现象，2021年7月24日，中共中央办公厅､国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》.某初中学校为了响应上级的号召，每天减少了一节学科类课程，增加了一节活动课，为此学校特开设了乓乓球，羽毛球，书法，小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）A．60种B．78种C．54种D．84种【答案】C【分析】根据题意，每位同学每年所修课程数按1，1，2或0，2，2，分成三组，再进行排列/【详解】解：由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门，则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2，先将4每学科按1，1，2分成三组，有21142122C C CA⋅⋅种方式，再分到三个学年，有33A种不同分式，由分步计数原理得，不同选修分式共有211342132236C C CAA⋅⋅⋅=种，同理将4门课程按0，2，2分成三组，再排列，有2234232218C CAA⋅⋅=种，所以共有36+18=54种，故选：C二、多选题9．（2021·辽宁实验中学模拟预测）一个布袋内装除颜色外完全相同的4个红球和3个蓝球.现从袋中摸出4个球，则（）A．摸出4个红球的概率是1 35B．摸出3个红球和1个蓝球的概率是12 35C．摸出2个红球和2个蓝球的概率是18 35D．摸出1个红球和3个蓝球的概率是1 35【答案】ABC【分析】结合组合数以及古典概型概率公式逐项分析即可.摸出4个红球的概率是4744135C C =；摸出3个红球和1个蓝球的概率是3143471235C C C ⋅=；摸出2个红球和2个蓝球的概率是2243471835C C C ⋅=；摸出1个红球和3个蓝球的概率是134347345C C C ⋅=， 故选：ABC.10．（2021·江苏南通·模拟预测）若8280128(3)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，x ∈R ，则下列结论中正确的有（ ）A ．802a =B ．33108C a =C ．81283a a a +++=D ．228024681357()()3a a a a a a a a a ++++-+++=【答案】AD 【分析】直接根据88(3)[2(1)]x x +=++利用二项式定理将其展开，再结合二项式系数的性质对四个选项依次分析即可求解． 【详解】888716225338888(3)[2(1)]22C (1)2C (1)2C (1)(1)x x x x x x +=++=+++++++++，对于A ，令1x =-，则880(13)2a -+==，故A 正确.对于B ，于是53382C 1792a ==，而3108C 960=，故B 错误.对于C ，令0x =，则801283a a a a =++++，于是8881280332a a a a +++=-=-，故C错误.对于D ，令2x =-，则01281a a a a =-+-+.因为801283a a a a ++++=，所以()()()()228024681357012801283a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++-+++=++++-+-+=，故选：AD.11．（2021·全国全国·模拟预测）为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去A 地重点高中进行教学调研.现知A 地有三所重点高中，则下列说法正确的是（ ） A ．不同的调研安排有243种B ．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种C ．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种D ．若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种 【答案】ABD 【分析】利用分步计数原理可判断A ；利用部分平均分组可判断B 、C ；先利用部分平均分组以及排列可判断D. 【详解】对于A 选项，每位教研员有三所学校可以选择， 故不同的调研安排有53243=种，故A 正确；对于B ，C 选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组， 再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1，分别有3115212210C C C A =，2215312215C C C A =种分组方法， 则不同的调研安排有()331015A 150+=种，故B 正确，C 错误；对于D 选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有211342132236C C C A A ⨯=种， 则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有15036114-=种，D 正确. 故选：ABD.12．（2022·全国·模拟预测）下列关于多项式5122x x ⎛-⎫⎪⎝⎭-的展开式的结论中，正确的是（ ）A ．各项系数之和为1-B ．各项系数的绝对值之和为1C ．不存在4x 项D ．常数项为48【答案】AD 【分析】赋值法判断A 、B ；根据已知多项式，结合二项式定理判断C 、D 的正误. 【详解】令1,x =得52121()--=-，故A 正确﹔ 取多项式522)1(x x++，将代1x =入多项式可得5()2123125++=，故B 错误﹔ 由题设，5()()()1111112222222222)()(22()x x x x x x x x x x x x ------------=，若要得到含4x 项，只需5个因式中4个取2x ，剩下1个取2-，故C 错误; 5个因式中1个取2x ，1个取1x -，剩下3个取2-，得()()31154122320,C x C x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭5个因式中2个取2,2x 个取1x -，剩下1个取2-，得()()222253122240C x C x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 5个因式中均取2-，得5(2)32-=-. 故常数项为3202403248--=，D 正确. 故选：AD. 三、填空题13．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】36 【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解. 【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种 故答案为：36. 【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.14．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 【答案】240 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】622xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项：()62612rrr r C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240. 【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.15．（2018·浙江·高考真题）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 【答案】1260. 【详解】分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数. 详解：若不取零，则排列数为224534C C A ,若取零，则排列数为21135333C C A A ,因此一共有22421135345333C C A C C A A 1260+=个没有重复数字的四位数.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.16．（2021·上海杨浦·一模）某市高考新政规定每位学生在物理､化学､生物､历史､政治､地理中选择三门作为等级考试科目，则甲､乙两位学生等级考试科目恰有一门相同的不同选择共有___________种.（用数字作答） 【答案】180 【分析】用分步乘法原理完成这件事：先选一门科目为两相同科目，然后让其中一人从剩下的5科中选2门，另一人再在剩下的3门中选2门即可得． 【详解】由分步乘法原理知不同选择方法为122653180C C C =．故答案为：180．。
高中数学人教A版选修2-3 基本计数原理例题和练习
基本计数原理(1)分类加法计数原理:做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事情共有N=m1+m2 +……+m n种不同的方法。
(2)分步乘法计数原理:做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有N= m1 ×m2 ×……× m n种不同的方法。
计数问题是数学中的重要研究对象，解决计数问题，其基本方法是列举法、列表法、树形图法等：其中级方法是分类加法原理和分步乘法原理：其高级方法是排列组合，基本计数原理是连接初级方法和高级方法的“桥梁”，是核心的方法，是解决计数问题的最重要的方法，而排列组合问题的方法：①特殊元素、特殊位置优先法。
②间接法。
③相邻问题捆绑法。
④不相邻(相间)问题插空法。
⑤有序问题组合法。
⑥选取问题先选后排法。
⑦至多至少问题间接法。
⑧相同元素分组可采用隔板法。
⑨分组问题等。
[例1]用0, 1, ..9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）。
A.243B.252C.261D.279[解析]0，1, 2，…，9共能组成9×10×10=900 (个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8=648 (个)，∴有重复数字的三位数有900-648=252 (个)。
故选B。
[注意]三位数一定要保证最高位不为0.[例2] 6名同学排成一排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有（）种不同站法。
[解析]法一: (位置分析法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步:第1步，从除甲外的5人中选2人站在最左边和最右边，有25A 种站法：第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4个位置上，有44A 种站法。
高中数学计数原理知识点总结及练习教案-学生_图文.
明轩教育您身边的个性化辅导专家电话：二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解. 例 21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 . 排列组合易错题正误解析 1 没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提. 例 1 从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有种. 例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（（A） A4 3 ）种. （B）4 3 （C） 3 4 3 （D） C 4 2 判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合. 例 3 有大小形状相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？ 3 重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
例4 5 本不同的书全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（（B）240 种（C）120 种（D）96 种））（A）480 种例5 种. （A）5040 4 遗漏计算出错某交通岗共有 3 人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值 2 天，其不同的排法共有（（B）1260 （C）210 （D）630 0 ） 1， 3 在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。
例6 用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有（（B）48 个（C）66 个（D）72 个（A）36 个 2 3 1 4 5 5 忽视题设条件出错在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解. 例7 如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种.（以数字作答）种颜色可供选择，则不同的着色方法共有例 8 已知是关于 x 的一元二次方程，其中 a 、，求解集不同的一元二次方程的个数. 6 未考虑特殊情况出错在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错. 例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（）(A1024种 (B1023种 (C1536种 (D1535种 6明轩教育 7 题意的理解偏差出错例 10 （A）您身边的个性化辅导专家电话：现有 8 个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种. 3 5 8 6 3 3 3 8 4 （B）（C）（D）解题策略的选择不当出错例 11 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自）. （C）37 种（D）48 种由选择，则不同的分配方案有（（A）16 种（B）18 种排列与组合习题 1．6 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4 人，则不同的乘车方法数为( A．40 B．50 C．60 D．70 2．有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( A．36 种 B．48 种 C．72 种 D．96 种 3．只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( A．6 个 B．9 个 C．18 个 D．36 个 4．男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有( A．2 人或 3 人 B．3 人或 4 人 C．3 人 D．4 人 5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则方法有( A．45 种 B．36 种 C．28 种 D．25 种 6．某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( A．24 种 B．36 种 C．38 种 D．108 种 7．已知集合 A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( A．33 B．34 C．35 D．36 8．由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是( A．72 B．96 C．108 D．144 9．如果在一周内(周一至周日安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( A．50 种B．60 种 C．120 种 D．210 种 10．安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答 11．今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答12．将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答． 13．要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答． 14. 将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中．若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入 7明轩教育同一信封，则不同的方法共有（（A）12 种（B）18 种您身边的个性化辅导专家）（C）36 种（D）54 种电话： 15. 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有 A. 504 种 B. （B）96 960 种 C. 1008 种（D）144 ） D. 1108 种 16. 由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（A）72 （C） 108 17. 在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（ A.10 B.11 C.12 D.15 18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
高中数学计数原理178题(含答案)
A B P Q • • • •高中数学计数原理--178题（含答案）1.A , B 两队比篮球赛，每局不得成和局，规定A 队胜三局为赢；A 队胜三场前B 胜二局算B 队赢，试问此比赛之所有可能情形有 种？又其中A , B 输赢如何？2.有A , B , C , D , …等身高不等的8人排成一横列，欲使任一较矮者不夹排在二较高者之间之排法共有 种？3.五种不同的颜色涂右图，相邻着异色，共有 种不同的涂法。
4.))()((v u z y x g f e d c b a +++++++++的展开式中共有 项。
5.540之正因子共有 个，其一切正因子和为 ，乘积为 。
6.x | 36000，(x , 63)=3，25| x 之自然数x 共有 个。
7.不同的渡船3艘，每艘可载5人，今有7人同时过渡，有 种安全的渡法。
8.如右图，从A 到B 之走法中，不许走←方向的走法共有 种。
9.下列各街巷，从A 走到B 之快捷方式走法各有几？10. 如右图自A 到B ，但限定只能走↑→↓三种方向，而且道路不重复走。
试问以下情形各有几种走法？ (1)由A 到B 有 种走法。
(2)由A 不经过P 到B 有 种走法。
(3)由A 不经过Q 到B 有 种走法。
(4)由A 不经过P 且不经过Q 到B 有 种走法。
(5)由A 经过P 但不经过Q 到B 有 种走法。
11. 考虑正五边形及其所有对角线所成的图形，此图形中各线段围成之各种三角形相似者列为一类，共有m 类，全等者列为一类，共有n 类，求m= 及n= 。
总共有 个三角形。
12. 在平面上任意画不完全重合之n 个相异圆至多有 个交点。
13. 排容原理：1到100之自然数中，是2或3或5的倍数共有 个。
14. 千元钞2张，五百元钞3张，百元钞4张，每次至少取一张，(1)共有 种取法。
(2)可以配出 种不同的款项。
15. 今有五个不同的门，甲、乙两人由不同的门进入，不同的门出来，(1)自己可由相同的门进出有 种方法。
高中数学《第六章 计数原理》复习小结与专题训练
(2)4名男生互不相邻；
(3)老师不站中间，女生甲不站左端．
解
(1)∵两个女生必须相邻而站，
∴把两个女生看作一个元素，
则共有 6 个元素进行全排列，还有女生内部的一个排列共有 A66A22＝1 440(种)站法．
(2)∵4名男生互不相邻，
∴应用插空法，
对老师和女生先排列，形成四个空再排男生共有 A33A44＝144(种)站法．
片有 C24·
C112种取法，故所求的取法共有 C316－4C34－C24·
C112＝472(种)．
答案
B
【训练4】
若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有
__________种．
解析
把 g、o、o、d 4 个字母排一列，可分两步进行，第一步：排 g 和 d，共有 A24种
是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这
是选用计数原理的关键．
2．排列与组合
排列数与组合数的计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其中求值问题应用连乘
的形式，证明恒等式应用阶乘的形式．在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两
边的形式，基本遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢．
的编排方案共有(
A．36种
)
B．42种
C．48种
D．54种
解析 分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间 4 个节目无限制条件，
有 A44种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的 3 个节目中选 1 个节目
排在第一位有 C13种排法，其他 3 个节目有 A33种排法，故有 C13A33种排法．依分类加法计
苏教版高中数学选择性必修第二册课后习题 第七章 计数原理 第1课时 分类计数原理与分步计数原理
第七章计数原理7.1 两个基本计数原理第1课时分类计数原理与分步计数原理A级必备知识基础练1.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,则不同的行车路线有( )A.24种B.16种C.12种D.10种2.将3个不同的小球放入4个盒子中,不同的放法种数为( )A.81B.64C.14D.123.若x,y∈N,且1≤x≤3,x+y<7,则满足条件的不同的有序自然数对(x,y)的个数是( )A.15B.12C.5D.44.有不同的语文书9本、不同的数学书7本、不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有( )A.21种B.315种C.153种D.143种5.数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版,由3行3列9个单元格构成.玩该游戏时,需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格,每个单元格填一个数字,要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字,则不同的填法有( )A.12种B.24种C.72种D.216种6.为了进一步做好社区疫情防控工作,从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长,则有种不同的选法.7.如图所示的电路图,从A到B共有条不同的线路可通电.8.用0,1,2,3,4,5这6个数字组成无重复数字的四位数,若把每位数字比其左邻的数字小的数叫作“渐降数”,求上述四位数中“渐降数”的个数.9.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的宣传广告和1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,宣传广告与公益广告不能连续播放,2个宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?B级关键能力提升练10.某班小张等4名同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每名同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有( )A.27种B.36种C.54种D.81种11.5名同学报名参加两个课外活动小组,每名同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有( )A.10种B.20种C.25种D.32种12.有4位教师在同一年级的4个班中分别担任数学老师,在数学测验时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有( ) A.8种 B.9种 C.10种 D.11种13.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有( )A.24种B.36种C.42种D.60种14.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线Ax+By=0的系数,则形成不同的直线最多有条.15.如图,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有个.16.现有5幅不同的国画、2幅不同的油画、7幅不同的水彩画.(1)从中任选1幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选1幅画布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中任选出2幅不同画种的画布置房间,有几种不同的选法?C级学科素养创新练17.(新疆模拟)如图,一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一格,并且总是向右或右上或右下移动,而一条移动路线由若干次移动构成,如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线,则从数字“1”移到“7”,漏掉两个数字的移动路线条数为( )A.5B.6C.7D.818.用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数,并把这些三位数由小到大排成一个数列{a n}.(1)写出这个数列的前11项.(2)这个数列共有多少项?(3)若a n=341,求n.参考答案第七章计数原理7.1 两个基本计数原理第1课时分类计数原理与分步计数原理1.C 完成该任务可分为4类,从每一个方向的入口进入都可作为一类,如图,从第1个入口进入时,有3种行车路线;同理,从第2个、第3个、第4个入口进入时,都分别有3种行车路线,由分类计数原理可得共有3+3+3+3=12(种)不同的行车路线.故选C.2.B 将3个不同的小球放入4个盒子中,每个小球都有4种不同的放法,根据分步计数原理,不同放法的种数为4×4×4=64.3.A 利用分类计数原理.当x=1时,y=0,1,2,3,4,5,有6个不同的有序自然数对;当x=2时,y=0,1,2,3,4,有5个不同的有序自然数对;当x=3时,y=0,1,2,3,有4个不同的有序自然数对.根据分类计数原理,共有6+5+4=15(个)不同的有序自然数对.4.D 由题意,选一本语文书和一本数学书有9×7=63(种)不同的选法,选一本数学书和一本英语书有7×5=35(种)不同的选法,选一本语文书和一本英语书有9×5=45(种)不同的选法,根据分类计数原理,共有63+35+45=143(种)不同的选法.故选D.5.A 先填第一行,有3×2×1=6(种)不同填法,再填第二行第一列,有2种不同填法,当这些单元格填好后,其他单元格唯一确定.根据分步计数原理,共有6×2=12(种)不同的填法.故选A.6.30 首先从6人中选1人担任组长,共有6种不同的选法;然后从剩余5人中选1人担任副组长,共有5种不同的选法.根据分步计数原理,从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长共有6×5=30(种)不同的选法.7.8 分3类:第1类,经过支路①有3种方法;第2类,经过支路②有1种方法;第3类,经过支路③有2×2=4(种)方法,所以总的线路条数N=3+1+4=8.8.解分3类:第1类,千位数字为3时,要使四位数为“渐降数”,则四位数只能为3210,共1个;第2类,千位数字为4时,“渐降数”有4321,4320,4310,4210,共4个; 第3类,千位数字为5时,“渐降数”有5432,5431,5430,5421,5420,5410,5321,5320,5310,5210,共10个.由分类计数原理,共有1+4+10=15(个)“渐降数”.9.解用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序,则完成这件事有3类方法.第1类,宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式.第2类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6.分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式.第3类,宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6.同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36(种)不同的播放方式.由分类计数原理,6个广告不同的播放方式共有36+36+36=108(种).10.C 小张的报名方法有2种,其他3名同学的报名方法各有3种,由分步计数原理知,共有2×3×3×3=54(种)不同的报名方法.故选C.11.D 每名同学都有2种选择,根据分步计数原理,不同的报名方法共有25=32(种).12.B 设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班级分别为a,b,c,d.假设A 监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有3种不同的方法.同理A监考c,d时,也分别有3种不同的方法.由分类计数原理得,监考方法共有3+3+3=9(种).13.D 把3个项目分配到4个体育馆,所有方案共有4×4×4=64(种),其中,3个项目被分配到同一体育馆进行有4种方法,故满足条件的分配方案有64-4=60(种).14.18 第1步取A的值,有5种取法.第2步取B的值,有4种取法,其中A=1,B=2时的直线方程与A=2,B=4时的直线方程是相同的;A=2,B=1时的直线方程与A=4,B=2时的直线方程是相同的,故最多有5×4-2=18(条)不同的直线.15.40 满足条件的三角形有两类.第1类,与正八边形有两条公共边的三角形有8个;第2类,与正八边形有一条公共边的三角形有8×4=32(个).所以满足条件的三角形共有8+32=40(个).16.解(1)利用分类计数原理,知共有5+2+7=14(种)不同的选法.(2)国画有5种不同的选法,油画有2种不同的选法,水彩画有7种不同的选法.由分步计数原理,知共有5×2×7=70(种)不同的选法.(3)三类分别为选国画与油画、油画与水彩画、国画与水彩画.由分类计数原理和分步计数原理,知共有5×2+2×7+5×7=59(种)不同的选法.17.B 从数字“1”移到“7”,漏掉两个数字的移动路线条数为以下6条:1,2,4,5,7;1,2,4,6,7;1,3,4,5,7;1,3,4,6,7;1,3,5,6,7;1,2,3,5,7.18.解(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.(2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个数,每个数位上都有4种排法,则共有4×4×4=64(项).(3)比a n=341小的数有两类:①1 ××2 ××②共有2×4×4+1×3×4=44(项).所以n=44+1=45.第11页共11页。
高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习(含解析)新人教A版选修2
高中数学第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习（含解析）新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习（含解析）新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习（含解析）新人教A版选修2-3的全部内容。
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，甲到丙地再无其他路可走，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（）A．5 种B．6种C．7种D．8种【答案】B【解析】由分步计数原理可知，可选方式有2×3＝6种．故选B．2．将三封信投入三个信箱,可能的投放方法共有种( ）A。
3B．6 C．9 D．27【答案】D【解析】将三封信投入三个信箱，由于信投入的信箱不指定，则每封信都有3种选择，所以总的投放方法有2733 种.故选D.3．将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大。
当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法为(）A.6种B。
12种C。
18种D.24种【答案】A【解析】∵每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，1、2、9只有一种填法，5只能填在右上角或左下角，5填后与之相邻的空格可填6、7、8任一个;余下两个数字按从小到大只有一种方法．共有2×3=6种结果，故选A。
4．下表为第29届奥运会奖牌榜前10名：设(,)F C 表示从“金牌、银牌、铜牌、总数”4项中任取不同两项构成的一个排列，按下面的方式对10个国家进行排名:首先按F 由大至小排序（表格中从上至下)，若F 值相同，则按C 值由大至小排序，若C 值也相同，则顺序任意，那么在所有的排序中，中国的排名之和是(）A ．15B ．20C ．24D ．27【答案】D【解析】分类讨论：若F 为金牌，3种排序中，中国均第1；若F 为银牌，在银牌—金牌，银牌-总数两种排序中，中国均第2，在银牌-铜牌的排序中,中国排第2或第3；若F 为铜牌，在铜牌-金牌，铜牌-总数的排序中，中国均第2,在铜牌-银牌的排序中，中国排第2或第3；若F 为总数，则3种排列中国均第2.故在所有的排序中，中国的排名之和为3×1+（2×2+2+3）+(2×2+2+3）+3×2=27，故选D5．方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A 。
高考数学《计数原理》综合复习练习题(含答案)
高考数学《计数原理》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．62．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则不同的排列顺序有（ ）种 A ．6B ．4C ．3D ．23．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有 A ．18种B ．24种C ．36种D ．54种4．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种5．若2228n n n A C --=，则n =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．96．演讲社团里现有水平相当的4名男生和5名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加“最美逆行者”的演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（ ） A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种7．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是（ ） A ．－5B ．5C ．－10D ．108．我国拥有包括民俗、医药、文学、音乐等国家级非物质文化遗产3000多项，下图为民俗非遗数进前10名省份排名，现从这10个省份中任取2个，则这2个省份民俗非遗数量相差不超过1个的概率为（ ）A ．215B ．15C ．415 D ．259．()()5131x x +-的展开式中3x 的系数为（ ） A ．0B ．20C ．10D ．3010．某旅行社有A 、B 、C 、D 、E 共五条旅游线路可供旅客选择，其中A 线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（ ） A ．720种B ．360种C ．320种D ．288种11．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为3的“六合数”共有（ ） A ．18个 B ．15个 C ．10个D ．9个12．设100210001210032)x a a x a x a x -=++++（， 若02410012a a a a m k +++++=()k ∈Z ，则实数m 可能是（ ） A ．3B ．9C ．10D ．11二、填空题13．若2110n P =，则n =______．14．6432⎭的展开式中系数为有理数的各项系数之和为________. 15．412x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是___________．16．学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲、乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有__________种.三、解答题17．（1）求9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项；（2）9a x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为94．求常数a 的值．18．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．问题：已知二项式1nx ⎫⎪⎭，若______，求：(1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项．19．已知()2nn N x *⎫∈⎪⎭的展开式中前三项的二项式系数之和为46，(1)求n ；(2)求展开式中系数最大的项．20．已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中系数最大的项；(3)展开式中所有有理项.21．在二项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中，恰好第五项的二项式系数最大．(1)求展开式中各项的系数和； (2)求展开式中的有理项．22．求()2123x -的展开式中： (1)各项系数之和； (2)各项系数的绝对值之和； (3)系数最小的项.23．已知二项式()23nx x +．（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项； （2）若3,2020x n ==，求二项式的值被7除的余数．24．已知函数()()20121nn n n f x x a a x a x a x λ=+=++++，其中R λ∈．（1）若2,2020n λ=-=，求0242020a a a a ++++的值；（2）若78,1024n a ==，求()0,1,2,3,,8i a i =的最大值；（3）若1λ=-，求证：()0nkknn k k k Cx f x x n -==∑参考答案1．B2．A3．D4．D5．C6．C7．D8．A9．B10．D11．C12．D 13．11 14．117 15．70 16．3617．（1）由题意，二项式9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()9218319911C C 22r rrrr r r T x xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1830r -=，可得6r =， 6679121C 216T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以展开式的常数项为2116． （2）由二项式9a x ⎛ ⎝展开式为93992199C C rrrr r r r r a T a x x ---+⎛⎛⎛⎫==⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎝， 令3932r -=，解得8r =，因为9a x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为94，可得88994(C a ⋅=⋅，解得4a =. 18．(1)解：选①，由012C C C 22n n n ++=，得6n =（负值舍去）．选②，令1x =，可得展开式中所有项的系数之和为0．由010264n n n n n C C C +++-==，得6n =．选③，设第1r +项为常数项，()321C 1n r r r r nT x-+=-，由2302r n r =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得6n =．由6n =得展开式的二项式系数最大为36C ，则展开式中二项式系数最大的项为()33332246C 120T xx --=-=-．(2)解：设第1r +项为有理项，()63216C 1r rr r T x-+=-，因为06r ≤≤，r ∈N ，632rZ -∈，所以0,2,4,6r =，则有理项为03316C T x x ==，2036C 15T x ==，43356C 15T x x --==，66676C T x x --==．19．(1)由题意得：()01211462n n n n n C C C n -++=++=，解得：9n =或10-，因为n N *∈，所以10n =-（舍去），从而9n = (2)二项式的展开式通项为：()9192rrr r T C x x -+⎛⎫==⎪⎝⎭，则系数为92r rC ⋅，要求其最大值，则只要满足119911992222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，即，解得：172033r ≤≤，因为r N ∈，所以6r =，所以系数最大项为693627925376T C x x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭ 20．（1）32nx x 展开式的通项公式为13C 2kn kkk n T x x -+=⋅3561C 2n kk n k x -=， 依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅，即2C 4(1)n n =-，得8n =，所以832x x 的展开式有9项，二项式系数最大的项为5项，所以22433584135C 28T x x ==. （2）由（1）知，2456181C 2kk k k T x -+=，设展开式中系数最大的项为第1k +项，则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩，即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，解得23k ≤≤，所以2k =或3k =， 所以展开式中系数最大的项为737x 和327x .（3）由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知，2456k -为整数，得0k =，6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21．(1)恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，∴ 8n =，∴ 二项式812x ⎫⎪⎭中，令1x = ，展开式中各项的系数和为81112256⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(2)通项为 848318811()()22r r rr r r r T C C x x --+=-=- ，r=0，1，2，…，8. 当843r-为整数，即2,5,8r =时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，即22038172T C x ⎛⎫=-⋅⋅= ⎪⎝⎭；5544681724T C x x --⎛⎫=-⋅⋅=- ⎪⎝⎭；888898112256T C x x --⎛⎫=-⋅⋅= ⎪⎝⎭.22．（1）解：设()21201901212122...3a x a x a x a x =++++-， 令1x =，得()2122110.213..1a a a a ++++⨯-==-； 所以()2123x -的展开式各项系数之和为-1； （2）令=1x -，得()210122211...5213a a a a --+-++==-⨯-， 两式相减得：()0220211 (152)a a a +++=-+， 两式相加得：()1321211 (152)a a a +++=--， 所以()2123x -的展开式各项系数的绝对值之和为()()012102201321.........a a a a a a a a a +++=+++-+++，()()221112111515522=-+---=； （3）()2123x -的展开式的通项公式为：()()()212121212112233rrrr rr r r x T x C C ---+=-=-，系数的绝对值为212123rr r C -，设第r +1项的系数绝对值最大，则2112012121211221212123232323r r r r r r r r r r r r C C C C -+-+----⎧≥⎨≥⎩，解得616655r ≤≤， 则13r =，即系数的绝对值的最大值为131321823C ， 因为13为奇数，所以()131313132181822323C C -=-，即第14项的系数最小， 所以系数最小的项为1313821823x C -23．（1）二项式2(3)n x x +的二项式系数之和为512，2512n ∴=，9n ∴=．由1999119133,1,2,,933r r r r r r r r C C r C C --++⎧⋅⋅=⎨⋅⋅⎩，解得：7r =，展开式中系数最大的项为第8项，为6777789922161(3)787323T C x x C x x ⋅===．（2）若3x =，2020n =， 220202020(3)30(282)n x x +==+202012019201920192020202020202020282822822282C C K =+⋅++⋅+⋅+⋅=问题转化为20202被7除的余数，202067367306731672267167267367367367367236732282(71)2[77771]C C C C C ⋅⋅⋅=⋅=+=⋅++⋯++⋅⋅+272k =⨯+，即余数为2．24．（1）2λ=-，2020n =时，()()2020220202020012202012f x x a a x a x a x =-=+++⋅⋅⋅+， 令1x =，得()2020012320192020121a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++=，令=1x -，得()20202020012320192020123a a a a a a +=-+-+⋅⋅⋅-+=，两式相加可得202002420182020312a a a a a ++++⋅⋅⋅++=． （2）()()828801281f x x a a x a x a x λ=+=+++⋅⋅⋅+，777810242a C λλ==⇒=，不妨设t a 为i a (0,1,2,3,,8)i =⋅⋅⋅中的最大值，则11t t t t a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，118811882222t t t t t t t t C C C C --++⎧≥∴⎨≥⎩，解得：65t t ≤⎧⎨≥⎩，5t ∴=或6， i a 中最大值为55665688221792a a C C ====．（3）若1λ=-，()()1nn f x x =-，()()()()()12000112200121111nn n n kk n n nn k n n n n k k n Cx f x C x x C x x C x x C x x n n n n n---==-+-+-+⋅⋅⋅+-∑， 因为()()()()()()()()111!1!!!!1!!1!11!kk nn n n k n k C C n k n k n k n k k n k ----=⋅===--⋅-----⎡⎤⎣⎦所以()()()()1200122111100111nn n kk n nnn k n n n k k C x f x C x x C x x C x x n-------==+-+-+⋅⋅⋅+-∑． ()()()120001111111111n n n n n n n x C x x C x x C x x -------⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦()11n x x x x -=+-=⎡⎤⎣⎦．。
高中数学苏教版 7.1 两个基本计数原理 课后练习、课时练习
一、单选题1. 据史书的记载，最晚在春秋末年，人们已经掌握了完备的十进位制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具．算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推，遇零则置空．如下图所示：如：10记为，26记为，71记为．现有4根算筹，可表示出两位数的个数为（）A．8 B．9 C．10 D．122. 某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（）A．720种B．1440种C．1560种D．2520种3. 教学大楼共有4层，每层都有东西两个楼梯，从一层到4层共有（）种走法. A．6 B．C．D．4. 现有3位游客来黄山旅游，分别从4个景点中任选一处游览，不同选法的种数是（）A．B．C．24 D．125. 如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A，B，C，D，E五个水闸，若上游有充足水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（）A．7种B．15种C．23种D．26种6. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A．30种B．90种C．180种D．270种二、多选题7. 某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如表：乘坐站数票价元现有甲、乙两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是（）A．若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种B．若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种C．若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种D．若甲和乙两人共花费元，则甲和乙下地铁的方案共有种8. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（）A．四位回文数有90个B．四位回文数有45个C．（）位回文数有个D．（）位回文数有个三、填空题9. 用种不同的颜色给图中个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，涂色方法有______种.10. 用0，1，2，3，4能组成____________个可以有重复数字的三位数（用数字作答）.11. 某社区计划在该小区内如图所示的一块空地布置花卉，要求相邻区域布置的花卉种类不同，且每个区域只布置一种花卉，若有5种不同的花卉可供选择，则不同的布置方案有______.12. 随着外地返乡人员的增加，当前防疫形势愈加严峻，射洪已经发现了多起新冠阳性病人.射洪中学计划下周星期一、二、三，连续三天对我校在校师生进行核酸检测.高三数学组有金老师、赵老师、谭老师、黄老师四人主动申请参与信息采集.每人自行选择其中的某一天参与，但金老师和谭老师不能在同一天参加，则不同的安排方式有__________ .（用数字作答）四、解答题13. 四位选手争夺三个运动项目的金牌，则有多少不同的金牌结果种数？14. 用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.若允许同一种颜色多次使用，则该板报有多少种书写方案?15. 设有幅不同的国画，幅不同的油画，幅不同的水彩画．(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？16. 已知、、是互不相同的素数，、、是正整数，．问：有多少个不同的正约数？。
北师大版高中数学选择性必修第一册课后习题 第五章 1.1 计数原理
第五章计数原理§1基本计数原理1.1 计数原理课后篇巩固提升合格考达标练1.某班有男生26人,女生24人,从中选一位同学为数学课代表,则不同选法的种数有( )A.50种B.26种C.24种D.616种,因数学课代表可为男生,也可为女生,因此共有26+24=50种选法.2.已知x∈{2,3,7},y∈{-3,-4,8},则xy可表示不同的值的个数为( )A.8B.12C.10D.9:第一步,在集合{2,3,7}中任取一个值,有3种不同的取法;第二步,在集合{-3,-4,8}中任取一个值,有3种不同取法.故xy可表示3×3=9个不同的值.3.某班小张等4位同学报名参加A,B,C三个课外活动小组,每位同学限报其中一个小组,且小张不能报A小组,则不同的报名方法有( )A.27种B.36种C.54种D.81种2种,其他3位同学各有3种,所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3=54种不同的报名方法.4.张华去书店,发现3本好书,决定至少买其中1本,则购买方法共有种.3类:买1本书、买2本书、买3本书,各类的购买方法依次有3种、3种和1种,故购买方法共有3+3+1=7(种).5.如图,一条电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为( )A.8B.6C.5D.3A处到B处的电路接通可分两步,第一步:前一个并联电路接通有2条线路,第二步:后一个并联电路接通有3条线路;由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时,可构成线路的条数为3×2=6,故选B.6.五名护士上班前将外衣放在护士站,下班后回护士站取外衣,由于灯光暗淡,只有两人拿到了自己的外衣,另外三人拿到别人外衣的情况有( )A.60种B.40种C.20种D.10种A,B,C,D,E.其中两人拿到自己的外衣,可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10种情况,假设A,B两人拿到自己的外衣,则C,D,E三人不能拿到自己的外衣,则只有C取D,D取E,E取C,或C 取E,D取C,E取D两种情况.故根据分步乘法计数原理,应有10×2=20种情况.7.小张正在玩“开心农场”游戏,他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上(一块空地只能种植一种作物),若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒,则不同的种植方案共有种.,有4×3×2=24种不同的种法;当第一块地种辣椒时,有4×3×2=24种不同的种法,故共有48种不同的种植方案.8.已知集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},在A中任取一元素m,在B 中任取一元素n,组成数对(m,n),问:(1)有多少个不同的数对?(2)其中m>n的数对有多少个?从集合A中先选出m有5种方法,从集合B中再选出n有5种方法,根据分步乘法计数原理知共有5×5=25个不同的数对.(2)在(1)中的25个数对中,m>n的数对可以分类来解,当m=2时,n=1,有1种结果;当m=4时,n=1,3,有2种结果;当m=6时,n=1,3,5,有3种结果;当m=8时,n=1,3,5,7,有4种结果;当m=10时,n=1,3,5,7,9,有5种结果. 综上所述,共有1+2+3+4+5=15个满足条件的数对.等级考提升练9.计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛,每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行,则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方法种数是( )A.24B.36C.42D.604种方法,于是总的方法共有4×4×4=64(种),在同一个体育馆比赛的项目超过两项即三项的安排方法有4种,于是在同一个体育馆比赛的项目不超过两项的安排方法共有64-4=60(种).10.将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图所示的9个空格中,要求每一行从左到右,每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法种数是( )3 4A.6B.12C.18D.24,每一列从上到下分别依次增大,1,2,9只有一种填法,5只能填在右上角或左下角,5填后与之相邻的空格可填6,7,8中任一个,余下两个数字按从小到大只有一种方法,共有2×3=6种方法,故选A.11.植树节那天,4位同学植树,现有3棵不同的树,若一棵树限1人完成,则不同的植树方法种数有( )A.1×2×3种B.1×3种C.34种D.43种:第一步,植第一棵树,有4种不同的方法;第二步,植第二棵树,有4种不同的方法;第三步,植第三棵树,有4种不同的方法.由分步乘法计数原理知有4×4×4=43种植树方法,故选D.12.(山西大同模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有( )A.30种B.50种C.60种D.90种,乙有2种选择方法,丙有10种选择方法,三位同学都满意的选择方法有1×2×10=20种;②甲同学选择马,乙有3种选择方法,丙有10种选择方法,三位同学都满意的选择方法有1×3×10=30种,所以总共有20+30=50种选择方法. 故选B.13.(多选题)已知a ∈{2,3,4},b ∈{4,6,7},则方程x 2a 2+y 2b 2=1可表示不同的椭圆的个数用式子表示为( )A.3+3+3B.3+3+2C.3×3-1D.3×3:a 有3种不同的选取方法;第二步:b 有3种不同的选取方法,但a 取4时,b 不能取4,故有3×3-1=8种方法.14.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3 443,94 249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,…,99,3位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999.则(1)5位回文数有 个;(2)2n(n∈N+)位回文数有个.(2)9×10n-1位回文数相当于填5个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法,第2位和第4位一样,有10种填法,中间一位有10种填法,共有9×10×10=900种填法,即5位回文数有900个.(2)根据回文数的定义,结合分步乘法计数原理,知有9×10n-1个回文数.15.如图所示的电路,若合上两只开关以接通从A到B的电路,则有种不同的接通电路的方法.A到B的通电线路接通方法可分为三类:第一类,上路接通,有2×1=2种方法;第二类,中路接通,有1×7=7种方法;第三类,下路接通,有2×2=4种方法.根据分类加法计数原理,共有2+7+4=13种不同的方法.16.设椭圆的方程为x 2a2+y2b2=1(a>b>0),a∈{1,2,3,4,5,6,7},b∈{1,2,3,4,5},则这样的椭圆共有多少个?a,b的取值分为6类,第一类:a=2,b=1;第二类:a=3,b=1,2;第三类:a=4,b=1,2,3;第四类:a=5,b=1,2,3,4;第五类:a=6,b=1,2,3,4,5;第六类:a=7,b=1,2,3,4,5.由分类加法计数原理知,这样的椭圆共有1+2+3+4+5+5=20(个).新情境创新练17.某电视台连续播放6个广告,其中有3个不同的商业广告、2个不同的世博会宣传广告、1个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放,两个世博会宣传广告也不能连续播放,则有多少种不同的播放方式?(用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序).第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6,分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式;第二类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6,分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式;第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6,同样分6步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式.由分类加法计数原理知,6个广告不同的播放方式有36+36+36=108(种).。
高中数学 第1章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)练习 新人教A版高二选修
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)(建议用时：40分钟)对应题号考点基础训练能力提升1.分类加法计数原理1,2,7 62.分步乘法计数原理3,4,5,8,93.两个原理的区分与运用10,1112,131．某学生去书店发现有适合他学习的3本不同的数学书和4本不同的英语书，他决定买其中一本，共有不同的买法种数为( )A．7 B．9C．12 D．16A解析该同学购买的方案有两类：第一类是买一本数学书有3种不同的买法；第二类是买一本英语书，有4种不同的买法．由分类加法计数原理知，共有3＋4＝7种不同的买法．2．现有A，B两种类型的机床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种机床，丙只会操作A种机床，现在要从这三名工人中选两名分别去操作以上机床，不同的选派方法有( )A．6 B．5C．4 D．3C解析若选派甲、乙二人，有甲—A，乙—B和甲—B，乙—A两种方法；若选派甲、丙二人，只有甲—B，丙—A一种方法；若选派乙、丙二人，只有乙—B，丙—A一种方法．由分类加法计数原理知，共有2＋1＋1＝4种不同的选派方法．3．5名应届毕业生报考三所高校，每人仅报考一所院校，则不同的报考方法种数是( )A．35B．53C．15 D．8A解析完成这件事共分五步：第一步，第一名同学报考有3种不同的报考方法；第二步，第二名同学报考有3种不同的报考方法；依次第三名、第四名、第五名报考各有3种不同报考方法．由分步乘法计数原理知，共有3×3×3×3×3＝35种不同的报考方法．4．计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有( ) A．24种B．36种C ．42种D ．60种D 解析 每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行，共有43＝64种安排方案；三个项目都在同一个体育馆进行，共有4种安排方案．所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有60种．5．一个旅游景区的游览线路图如图所示，某人从点P 处进，从点Q 处出，沿图中线路游览A ，B ，C 三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O 外)的不同游览线路有( )A ．6种B ．18种C ．24种D ．48种D 解析 从P 进入结点O 以后，因为每个景区有2条线路，所以游览第一个景点有6种选法；游览第二个景点有4种选法；游览第三个景点有2种选法．故由分步乘法计数原理得，共有6×4×2＝48种游览方式．6．设直线x a ＋y b＝1在y 轴上的截距大于在x 轴上的截距，其中a ∈{1,2,3,4,5}，b ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则满足上述条件的直线条数为( )A ．20B ．24C ．12D ．11 A 解析 由题意知a ＜b ，按a 的取值可分五类．第一类，a ＝1，b ＝2,3,4,5,6,7，共6种，得6条不同直线．第二类，a ＝2，b ＝3,4,5,6,7，共5种，得5条不同直线．第三类，a ＝3，b ＝4,5,6,7，共4种，得4条不同直线．第四类，a ＝4，b ＝5,6,7，共3种，得3条不同直线．第五类，a ＝5，b ＝6,7，共2种，得2条不同直线．由分类加法计数原理可得共6＋5＋4＋3＋2＝20条不同直线．二、填空题7．一个科技小组有3名男同学和5名女同学，从中任选一名同学参加科技竞赛，共有________种不同的选派方法．解析 任选一名同学参加科技竞赛有两类方案．第一类，从男同学中选一名，有3种不同的选法；第二类，从女同学中选一名，有5种不同的选法．由分类加法计数原理知，共有3＋5＝8种不同的选派方法．答案 88．如图所示，在A ，B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．解析四个焊接点导致线路通与不通的情况共有24种，其中使线路通的情况为1,4都通且2和3至少有一个通，共3种可能．故不通的情况有24－3＝13种．答案139．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________；五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．解析五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．答案4554三、解答题10．某同学有12本课外参考书，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆去阅读．(1)若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？解析(1)完成的事情是带一本书，无论是带外语书，还是带数学书、物理书，事情都已经完成，从而应用加法原理，结果为5＋4＋3＝12种．(2)完成的事情是带三本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理中各选一本后，才能完成这件事，因此应用乘法原理，结果为5×4×3＝60种．(3)要完成的这件事是带2本不同的书，先乘法原理，再用加法原理，结果为5×4＋5×3＋3×4＝47种．11．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共有多少个？其中不同的偶函数共有多少个？解析一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，其中a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，能组成不同的二次函数有3×3×2＝18个．若组成的二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6个．12．三边长均为整数，且最大边长是11的三角形有多少个？解析另两边分别用x，y来表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须有x ＋y≥12，可分成以下六种情况：(1)y＝11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；(2)y＝10时，x＝2,3，…，10，可有9个三角形；(3)y＝9时，x＝3，…，9，可有7个三角形；(4)y＝8时，x＝4，…，8，可有5个三角形；(5)y＝7时，x＝5，…，7，可有3个三角形；(6)y＝6时，x＝6，可有1个三角形．由分类加法计数原理知，共有三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.四、选做题13．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有________种．解析当乙选择支付宝时，丙、丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选择支付宝或现金，故有1＋2×2＝5种，而乙选择支付宝时，丙、丁也可以都选择微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选择支付宝或现金，故有1＋2×2＝5种，此时共有5＋5＝10种；当乙选择微信时，丙、丁可以都选择银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选择微信或现金，故有1＋2×2＝5种，而乙选择微信时，丙、丁也可以都选择支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选择微信或现金，故有1＋2×2＝5种，此时共有5＋5＝10种．综上共有10＋10＝20种．答案20。
计数原理题目及详细答案
第一章 计数原理[基础训练A 组]一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ） A ．81 B ．64 C ．12 D ．142．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机 各1台，则不同的取法共有（ ）A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）A ．33AB ．334AC ．523533A A A -D ．2311323233A A A A A +4．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长， 不同的选法总数是（ ）A.20 B ．16 C ．10 D ．65．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、 物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A ．男生2人，女生6人 B ．男生3人，女生5人 C ．男生5人，女生3人 D ．男生6人，女生2人.6．在82x ⎛- ⎝的展开式中的常数项是（ ） A.7 B ．7- C ．28 D ．28-7．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（ ）A.120 B ．120- C ．100 D ．100-8．22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．90C ．45D ．360二、填空题1．从甲、乙，……，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有 种选法．（2）甲一定不入选，共有 种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有 种选法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法. 3．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在10(x 的展开式中，6x 的系数是 .5．在220(1)x -展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r = ，4r T = .6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个？7．用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x . 8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？ 三、解答题1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？2．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲排头，（2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起，（4）甲、乙之间有且只有两人，（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，（6）甲在乙的左边（不一定相邻），（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，（8）甲不排头，乙不排当中。
高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练
第一章：计数原理一、两个计数原理3、两个计数原理的区别二、排列与组合1、排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、排列数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
用符号 表示.3、排列数公式： 其中4、组合：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
5、组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。
用符号 表示。
6、组合数公式：其中注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.7、性质： mn A m n A ()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---= .,,*n m N m n ≤∈并且m n C ()()()()!!!!121m n m n m m n n n n C mn -=+---=.,,*n m N m n ≤∈并且mn nm n C C -=mn m n m n C C C 11+-=+三、二项式定理如果在二项式定理中，设a=1,b=x ，则可以得到公式：2、性质：02413512n n n nn n nC C C C C C -=+++=+++=奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和：注意事项：相邻问题，常用“捆绑法”不相邻问题，常用“插空法”巩固训练：1、有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；（4）三个女生两两都不相邻；2、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）3、(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?5、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？6、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？7、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?8、如图,要给地图A 、B 、C 、D 四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？9、求值与化简：1055845635425215222221)1(⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+C C C C C 求值：。
新教材高中数学第3章基本计数原理第2课时基本计数原理的应用对点练新人教B版选择性必修第二册(含答案)
新教材高中数学新人教B版选择性必修第二册：第2课时基本计数原理的应用知识点一组数问题1. 由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是( )A．25 B．20C．16 D．12答案 C解析分两步：先选十位，再选个位，可组成无重复数字的两位数的个数为4×4＝16.2．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成三位数，其中奇数的个数为( ) A．24 B．18C．12 D．6答案 B解析①当从0,2中选取2时，先排2，再排从1,3,5中选出的两个数字，共有2×3×2＝12个奇数．②当从0,2中选取0时，0必须排在十位，从1,3,5中选出两个数字排在个位、百位即可，共有3×2＝6个奇数．由分类加法计数原理，知共有12＋6＝18个奇数．知识点二几何问题3. 已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为( )A．18 B．16C．14 D．10答案 C解析由题意知本题是一个分类和分步的综合问题．M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有1×2个；N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有2×2个．所以所求不同的点的个数为2×2＋1×2＋2×2＋2×2＝14.4．从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个不同元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．答案30解析因为直线过原点，所以C＝0，从集合中的6个非零元素中任取一个作为系数A，有6种方法，再从其余的5个元素中任取一个作为系数B，有5种方法，由分步乘法计数原理得，适合条件的直线共有1×6×5＝30条.知识点三涂色问题5. 给一个凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但相邻边的颜色不同，则不同的染色方法有________种．答案30解析如图，染边1时有3种染法，染边2时有2种染法．(1)当边3与边1同色时，边3有1种染法，则边4有2种染法，边5有1种染法，此时染法有3×2×1×2×1＝12种．(2)当边3与边1不同色时，边3有1种染法，①当边4与边1同色时，边4有1种染法，边5有2种染法；②当边4与边1不同色时，边4有1种染法，边5有1种染法，则此时共有染法3×2×1×(1×2＋1×1)＝18种．由分类加法计数原理，可得不同的染法种数为12＋18＝30.6．如图，用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，相邻区域涂不同的颜色，那么不同的涂色方法种数为________．答案180解析先分两类，第一类，A，D颜色不相同；第二类，A，D颜色相同．在第一类中分四步：先涂A，有5种方法，再涂B，有4种方法，然后涂C，有3种方法，最后涂D，有2种方法．于是第一类不同的涂色方法种数为5×4×3×2＝120.类似地，可得第二类不同的涂色方法种数为5×4×3＝60，所以不同的涂色方法种数为120＋60＝180.一、选择题1．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有( )A．4种B．5种C．6种D．7种答案 A解析分三类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆至少1个，只有2种分法，即1和4,2和3两种分法；三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆至少1个，只有2种分法，即2和4,3和3两种分法；三堆中“最多”的一堆为3个，是不可能的，所以不同的分法共有2＋2＝4种．2．甲、乙两人从4门不同的课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A．6种B．12种C．24种D．30种答案 C解析分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24种．3．五名护士上班前将外衣放在护士站，下班后回护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有两人拿到了自己的外衣，另外三人拿到别人外衣的情况有( )A．60种B．40种C．20种D．10种答案 C解析设五名护士分别为A，B，C，D，E.其中两人拿到自己的外衣，可能是AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10种情况，假设A，B两人拿到自己的外衣，则C，D，E 三人不能拿到自己的外衣，所以只有C取D，D取E，E取C或C取E，D取C，E取D两种情况．所以根据分步乘法计数原理，应有10×2＝20种情况．4．用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有( )A．12种B．24种C．48种D．72种答案 D解析首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，由于C与A，B均相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，由分步乘法计数原理，知共有4×3×2×3＝72种涂法．5．(多选)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则下列说法正确的是( )A．“六合数”中千位为1的“六合数”共有21个B．“六合数”中千位为2的“六合数”共有15个C．“六合数”中千位为3的“六合数”共有10个D．“六合数”中千位为4的“六合数”共有7个答案ABC解析对于A，依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为5.由5,0,0组成的3个数分别为500,050,005；由4,1,0组成的6个数分别为410,401,140,104,014,041；由3,2,0组成的6个数分别为320,302,230,203,023,032；由3,1,1组成的3个数分别为311,131,113；由2,2,1组成的3个数分别为122,212,221.共计3＋6＋6＋3＋3＝21个，故A 正确；对于B，依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成的3个数分别为400,040,004；由3,1,0组成的6个数分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成的3个数分别为220,202,022；由2,1,1组成的3个数分别为211,121,112.共计3＋6＋3＋3＝15个，故B正确；对于C，依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为3.由3,0,0组成的3个数分别为300,030,003；由2,1,0组成的6个数分别为210,201,120,102,012,021；由1,1,1组成的1个数为111.共计3＋6＋1＝10个，故C正确；对于D，依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为2.由2,0,0组成的3个数分别为200,020,002；由1,1,0组成的3个数分别为011,101,110.共计3＋3＝6个，故D错误．故选ABC.二、填空题6．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成________个不同的对数值．答案52解析从8个数中选两个数字，且这两个数字不相同的选法有8×7＝56种，又log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94重复了4次，要减去4，∴共有不同的对数值56－4＝52个．7．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有________种．答案12解析分两步：第一步，先选不相邻的两个面，共有3种选法(都是相对的面)．第二步，再从余下的四个面中任选一个面，有4种选法，这样前后选出的三个面符合题目要求．所以共有3×4＝12种选法．8．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共有________个，其中不同的偶函数共有________个．(用数字作答) 答案18 6解析一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理，知共有二次函数的个数为3×3×2＝18.不同偶函数的个数为3×2＝6.三、解答题9．已知A＝{x|1＜log2x＜3，x∈N*}，B＝{x||x－6|＜3，x∈N*}，试问：从集合A和B 中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？解A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}．从A中取一个数作为横坐标，从B中取一个数作为纵坐标，有5×5＝25个，而8作为横坐标的情况有5种，3作为纵坐标且8不是横坐标的情况有4种，故共有25＋5＋4＝34个不同的点．10．如图有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？解分为两类：第一类：若1,3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法(与1相同)，4有4种涂法．故N1＝5×4×1×4＝80种．第二类：若1,3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法．故N2＝5×4×3×3＝180种．综上可知不同的涂法共有N＝N1＋N2＝80＋180＝260种．。
高中数学选修2-3(人教A版)第一章计数原理1.2知识点总结含同步练习及答案
1 6 7 12 C0 12 < C12 < ⋯ < C12 > C12 > ⋯ > C12 ，所以 2x − 3 ⩾ 5 且 2x ⩽ 12 解得 4 ⩽ x ⩽ 6．
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− A5 9
= =
8 × 7 × 6 × 5 × (8 + 7) 8 × 7 × 6 × 5 × (24 − 9) = 1.
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2×1−9×8×7×6×5
（3）根据原方程，可得
3x(x − 1)(x − 2) = 2(x + 1)x + 6x(x − 1).
0 10 （1）计算：C5 10 ⋅ C10 − C10 ； m−1 （2）证明：mCm n = nCn−1 ．
解：（1）原式= （2）证明：因为
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 1 − 1 = 252 − 1 = 251 ； 5×4×3×2×1
Cm n =
n! , m!(n − m)! (n − 1)! n(n − 1)! n m−1 n n! ⋅ = = . Cn−1 = m m (m − 1)!(n − m)! m ⋅ (m − 1)!(n − m)! m!(n − m)!
正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n! 表示．另外，我们规定 0! = 1 ．所以排列数公 式还可以写成
Am n =
(n − m)！
n！
.
组合的定义 一般地，从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination）． 组合数及组合数的公式 从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的组合数，用符号 Cm n 表示．
高中数学计数原理知识点总结及练习教案课程学生
教师： 学生： 时间：_ 2016 _年_ _月 日 段 第__ 次课n m +种不同的方法分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成种不同的方法，……，做第n m ⨯ 种．排列的概念：从n 个不同元素中，任取）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．排成一列，叫做从n ）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中2)(n m -+的连乘积，叫做n !)!n n m - .个不同元素中取出2)(!n m m -+(r n r r n nn n C a b C b n N -+++∈r rn n C x x +++.．二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对．二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是r r n n C x x +++，12r nn n n n C C C C ++++++在运用二项式定理时一定要牢记通项公式1r n r n T C a -+=体到它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。
另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只是指n m ⨯种不同的方法．分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？排列与组合习题1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为()A．40B．50C．60D．702．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种B．48种C．72种D．96种3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有() A．6个B．9个C．18个D．36个4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有() A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A．45种B．36种C．28种D．25种6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34 C．35 D．368．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72 B．96 C．108 D．1449．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A）72（B）96（C）108（D）14417. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A.10B.11C.12D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
(完整版)高中数学《计数原理》练习题
a1 0, a2 0, a3 0, a4 0, a5 0, a6 0, a7 0 ，
所以 a1 a2 L a7 = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
令x
1， 1
7
2x
7
12
37
a0
a1
a2
a3 a4
a5
a6 a7
而 a0 1 , 所以 a1 a2 L a7 = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 = 37 1 2186
路可通；从甲地到丁地有 4 条路可通，从丁地到丙地有 2 条路可通。则从甲地到丙
地不同的走法共有
种。
10. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生
又有女生，则不同的选法共有
种。
14. 1
x2
1
x
5
的展开式中
x3 的系数为
三、解答题： 15（12 分） 假设在 100 件产品中有 3 件次品，从中任意抽取 法各有多少种？ （I ）没有次品； （II ）恰有两件是次品； （III ）至少有两件是次品； （IV ）至多有两件是次品；
）
A
C
4 21
B
C
3 21
C
C230 D
C240
8. 一个口袋内装有 4 个不同的红球， 6 个不同的白球，若取出一个红球得 2 分，取 出一个白球得 1 分，问从口袋中取出 5 个球，使总分不少于 7 分的取法种数有（ ） A 15 B 16 C 144 D 186
二、填空题
9. 开车从甲地出发到丙地有两种选择，一种是从甲地出发经乙地到丙地，另一种是 从甲地出发经丁地到丙地。其中从甲地到乙地有 2 条路可通，从乙地到丙地有 3 条
高中数学选修2-3(人教B版)第一章计数原理1.4知识点总结含同步练习题及答案
描述：例题：高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 计数原理 1.3计数模型（补充）一、学习任务掌握计数的几种模型，并能处理一些简单的实际问题．二、知识清单数字组成模型 条件排列模型 分组分配模型染色模型计数杂题三、知识讲解1.数字组成模型与顺序相关的数字问题，通常是计算满足某些特征的数字的个数．常见特征比如各个数位的数字不同、四位数、奇数、比某数大的数、某个数位满足某种条件的数等等，其中各个数位数字可以相同的问题通常借助乘法原理分步解决，各个数位数字不相同通常是与排列相关的问题．由 、、、、 这五个数字可组成多少个无重复数字的五位数？解：首位不能是 ，有 种，后四位数有 种排列，所以这五个数可以组成 个无重复的五位数．012340C 14A 44=96C 14A 44用数字 、 组成四位数，且数字 、 至少都出现一次，这样的四位数共有______个（用数字作答）．解：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是 或 的情况不合题意，所以符合题意的四位数有 个．23231423−2=1424从 ， 中选一个数字，从 、、 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A． B． C． D．解：B当选 时，先从 、、 中选 个数字有 种方法，然后从选中的 个数字中选 个排在末位有 种方法，剩余 个数字排在首位，共有 种方法；当选 时，先从 、、 中选 个数字有 种方法，然后从选中的 个数字中选 个排在末位有 种方法，其余 个数字全排列，共有 种方法．依分类加法计数原理知共有 个奇数．02135241812601352C 2321C 121=6C 23C 1221352C 2321C 122=12C 23C 12A 226+12=18用 ， ，， ， ， 这 个数字，可以组成______个大于 且小于 的012345630005421描述：例题：2.条件排列模型计算满足某些限制条件的排列的个数，常见的如相邻问题、不相邻问题、某位置不能排某人、某人只能或不能排在某些位置的问题等等．不重复的四位数．解：分四类：①千位数字为 ， 之一时，百十个位数只要不重复即可，有 （个）；②千位数字为 ，百位数字为 ，，， 之一时，共有 （个）；③千位数字是 ，百位数字是 ，十位数字是 ， 之一时，共有 （个）；④最后还有 也满足条件．所以，所求四位数共有 （个）．175342=120A 3550123=48A 14A 245401=6A 12A 135420120+48+6+1=175 名男生， 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，男生必须排在一起；（3）全体站成一排，甲、乙不能相邻．解：（1）先考虑甲的位置，有 种方法，再考虑其余 人的位置，有 种方法．故有种方法；（2）（捆绑法）男生必须站在一起，即把 名男生进行全排列，有 种排法，与 名女生组成 个元素全排列，故有 种不同的排法；（3）（插空法）甲、乙不能相邻，先把剩余的 名同学全排列，有 种排法，然后将甲、乙分别插到 个空中，有 种排法，故有 种不同的排法．34A 136A 66=2160A 13A 663A 3345=720A 33A 555A 556A 26=3600A 55A 26有甲、乙、丙在内的 个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有______种．解：甲和乙必须相邻，可将甲、乙捆绑，看成一个元素，与丙除外的另三个元素构成四个元素，自由排列，有 种方法；丙不排在两头，可对丙插空，插四个元素生成的中间的三个空中的任何一个，有 种方法；最后甲、乙两人的排法有 种方法．综上，总共有 种排法．6144A 44A 13A 22=144A 44A 13A 22 把椅子摆成一排， 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）A． B． C． D．解：D“不相邻”应该用“插空法”，三个空椅子，形成 个空，三个坐人的椅子插入空中，因为人不同，所以需排序，所以有 种不同坐法．6314412072244=24A 34某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同课程的排法？解：法一： 门课程总的排法是 种，其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有 种排法，数学排在最后一节有 种排法，但这两种方法，都包括体育在第一节，数学排在最后一节，这种情况有 种排法，因此符合条件的排法应是： 种．法二：① 体育、数学即不排在第一节也不排在最后一节，这种情况有 种排法；② 数学6A 66A 55A 55A 44−2+=504A 66A 55A 44⋅A 24A 44⋅144种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种．（以数字作答）72种花，且相邻的96高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
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要求层次
重难点
加法原理、乘
法原理
分类加法计数原理、分步乘法计数原理
B
分类加法计数原理、分步乘法计数原理 %
① 理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；
② 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
用分类加法计数原理或分
步乘法计数原理解决一些简单的实际问题
C
[
（一）知识内容
分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有
12n N m m m =++
+种不同的方法．又称加法原理．
（二）典例分析
【例1】 高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，
问选取代表的方法有几种．
【例2】 若a 、b 是正整数，且6≤a b +，则以()，a b 为坐标的点共有多少个
；
【例3】 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A ．324
B ．328
C ．360
D ．648
【例4】 用数字12345，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A ．8
B ．24
C ．48
D ．120
【例5】 用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．
）
例题精讲
高考要求
基本计数原理
板块一：加法原理
（一）知识内容
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯
⨯种不同的方法．又称乘法原理．
（二）典例分析
【例6】 公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．
【例7】 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______．
]
【例8】 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，
要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有
种．
【例9】 高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组
织的调查团，问选取代表的方法有几种．
?
【例10】 六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果
【例11】 六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种
:
【例12】 用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，
且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．
【例13】 从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n
+=中的m 和n ，则能组成落在
矩形区域{()|||11B x y x =<，，且||9}y <内的椭圆个数为 。
【例14】 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，
那么函数解析式为2y x =-，值域为{19}--，的“同族函数”共有（ ） A ．7个 B ．8个
C ．9个
D ．10个
【例15】 ?
板块二：乘法原理
【例16】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（）
A．90个B．99个C．100个D．112个
【例17】从集合{4321012345}
，，，，，，，，，中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两----
个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（）
A．10B．32C．110D．220
【例18】若x、y是整数，且6
y，则以()
≤
≤
x，7
x y为坐标的不同的点共有多少个
，
@
【例19】用0，1，2，3，4，5这6个数字：
⑴可以组成______________个数字不重复的三位数．
⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．
【例20】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果
【例21】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（）种．
—
A．5B．6C．7D．8
板块三：简单计数问题
（一）知识内容
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组
合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．
.
（二）典例分析
【例22】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）
【例23】若自然数n使得作竖式加法(1)(2)
n n n
++++均不产生进位现象．则称n为“可连数”．例如：
++产生进位现32是“可连数”，因323334
++不产生进位现象；23不是“可连数”，因232425象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（）
A．27B．36C．39D．48
【例24】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面
》
【例25】如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种．（以数字作答）
【例26】如图，一环形花坛分成A B C D
，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）
A．96 B．84 C．60 D．48
【例27】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种．（以数字作答）
/
【例28】分母是385的最简真分数一共有多少个并求它们的和．
【例29】（08重庆）某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A、B、
C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至
少用一个的安装方法共有种（用数字作答）
【例30】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成_______个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．
[
【例31】 某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到
“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ） A ．2000 B ．4096 C ．5904 D ．8320
【例32】 同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺
年卡不同的分配方式有（ ）
A ．6种
B ．9种
C ．11种
D ．23种
【例33】 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个
节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ） ：
A ．504
B ．210
C ．336
D ．120
【例34】 （2008年崇文一模）某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中
取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（ ） A ．15种 B ．12种 C ．9种 D ．6种 D
【例35】 如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都
要涂色，且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为 （用数字作答）.
【例36】 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A ．324
B ．328
C ．360
D ．648
【例37】 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为129，，，⋅⋅⋅的9个小正方形（如图）
，使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合
条件的所有涂法共有（ ）种．
9
8
7
654321
A ．72
B ．108
C ．144
D ．192
【例38】 足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14
场共得19分的情况有（ ）
A ．3种
B ．4种
C ．5种
D ．6种。