拉氏变换与反变换

2.5 拉氏变换与反变换

机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。

2.5.1 拉普拉斯变换的定义

如果有一个以时间 t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，那么 ()t f 的拉普拉斯

变换定义为

()()()0e d st

F s L f t f t t ∞

-=∆⎡⎤⎣⎦⎰(2.10)

式中， s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数），

⎰

∞

-0

e st

称为拉普拉斯积分； )(s F 是

函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。

式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。

2.5.2 几种典型函数的拉氏变换

1.单位阶跃函数

)(1t 的拉氏变换

单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性

能的标准输入，这一函数定义为

⎩⎨

⎧≥<∆)0(1

)0(0)(1t t t

单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。

单位阶跃函数的拉氏变换式为

0e 1

d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰st

st s

t t t L s F 当 0)Re(>s ，则

e lim →-∞

→st t 。

所以

[]s s s t L st 1

)1(00e 1)(1=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=-（2.11）

图2.7 单位阶跃函数

2.指数函数的拉氏变换

指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中

是常数。

令

则与求单位阶跃函数同理，就可求得

（2.12）

3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换

设

，

，则

由欧拉公式，有

所以

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-=

-∞--∞⎰⎰t t s F st

t st t d e e d e e j 21)(0j 0j 1ωω

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡-=

-∞+-∞--⎰⎰t t st

t s t s d e e d e j 210)j (0)j (ω

ω ⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡

∞+-∞--=+---0e j 10e j 1j 21)j ()j (t s t s s s ωωωω

22j 1j 1j 21ωω

ωω+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=

s s s

(2.13）

同理

(2.14）

4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换

单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。其幅值和作

用时间的乘积等于1，即。如图2.8所示。

图2.8 单位脉冲函数

单位脉冲函数的数学表达式为

其拉氏变换式为

此处因为

时，

，故积分限变为

。

(2.15) 5.单位速度函数的拉氏变换

单位速度函数，又称单位斜坡函数，其数学表达式为

见图2.9所示。

图2.9 单位速度函数

单位速度函数的拉氏变换式为

利用分部积分法

令

则

所以

当时，,则

（2.16）6.单位加速度函数的拉氏变换

单位加速度函数的数学表达式为

如图2.10所示

图2.10 单位加速度函数

其拉氏变换式为

（2.17）

2.5.3 拉氏变换的主要定理

根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可以使运算简化。

1.叠加定理

拉氏变换也服从线性函数的齐次性和叠加性。

（1）齐次性设，则

（2.18）

式中——常数。

（2）叠加性设,，则

（2.19）两者结合起来，就有

这说明拉氏变换是线性变换。

2.微分定理

设

则

式中——函数在时刻的值，即初始值。

同样，可得的各阶导数的拉氏变换是（2.20）

式中,，…——原函数各阶导数在时刻的值。

如果函数及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始条件），则各阶导数的拉氏变换为

（2.21）

3.复微分定理

若 可以进行拉氏变换，则除了在 的极点以外，

()[]()s F s t tf L d d

-

=（2.22）

式中， 。同样有

()[

]

()

s F s t f t L 22

2

d d =

一般地，有

()()()

d 11,2,3,d n

n

n

n L t f t F s n s ⎡⎤=-=⎣⎦L

（2.23）

4.积分定理

设 ，则

（2.24）

式中

——积分

在

时刻的值。

当初始条件为零时，

（2.25）

对多重积分是

（2.26）