如何用梅逊公式求传递函数-文档资料

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R1
1 C 1s a 1 bR 2
C 2s
ui ue
I1
I
u
I2
uo
上图中，u i和ue，I1和I，a和b可以合并。
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梅逊公式||例2-14
例2-14：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数 C(s) , E(s) R(s) R(s)
G4
R
E
-
G1
G2
+
H1
+ -
G3
C
H2
回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回 路增益。
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信号流图的等效变换
串联支路合并：
ab x1 x2 x3
并联支路的合并：
a
x1 b x2
ab
x1
x3
ab
x1
x2
回路的消除：
ab
x1
x2
x c
3
b
a 1 bc
x1 x2 x3
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信号流图的等效变换
混合支路的清除：
通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路的路线，起始点和 终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点 和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点的 开通路叫前向通路。
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信号流图的术语
X1 G1 X2 G2 X 3 G 3
H3 G4
X9
G5
X
6
G
X
6
7
G7
X8
H1
例1：速度控制系统的结构图为：
Mc (s) G m
ug (s) ue(s)
u1 ( s )
u2 (s)
ua (s)
(s)
G1
G2
G3
Gu
u f (s)
Gf
如下图先所在示结。构1图上G标1出节点G2，如上G3图所示GMu。c 然Gm后1 画出信号流图
ug ue
u1
u2
ua
G f
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例2: 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。 然后画出信号流图如下图所示。
支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而 变换为另一信号。
信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因 果关系。
对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图 不是唯一的。
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信号流图的绘制
[信号流图的绘制]： 根据结构图
列出系统各环节的拉氏方程，按变量间的数学关系绘制
下：
1
1
1
R1
1
b 1
C1s
a
1
1
R2
1
C2s
ui ue I1 I u
I2 uo
1
1
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梅逊公式||例2-13
1
ui ue
1
1
R1
1
b 1
C1s
a
1
1
R2
I1 I u
1
C2s
I2 uo
n
Pk k
P k 1
图中，有有一三个个前回向路通；道；L 1a P1 R R1 C 1C111sR1 2CR 22 sC 212s 1R2 C 11s
V3dV 1kV 2
按方程可绘制信号流图。
f
m
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
h
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
g
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梅逊公式
二、梅逊增益公式
用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到
输出节点之间的总传输。（即总传递函数）
其表达式为：P
1
n k1
Pk
k
式中： P 总传输（即总传递函数）；
是输出支路，对节点y来说是输入支路。
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信号流图的术语
X1 G1 X2 G2 X 3 G 3
H3 G4
X9
G5
X
6
G
X
6
7
G7
X8
[几个术语]：
H1
X 4 X 5 H2
输入节点(源点)：只有输出支路的节点。如：X1，X9。 输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如： X8。
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如： X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分 支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。
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梅逊公式||例2-13
1
ui ue
1
1
R1
1
b 1
C1s
a
1
1
R2
I1 I u
1
C2s
I2 uo
1
1
讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两
点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，
总传输将不一样。
不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。
1
1
1
1
R
EG1 G2
H1H1H2
G3 H2
P1G 3H2G 3G 4H 1H2
n
Pk k
P k 1
不变。
C P11,11G3H（2 兰线表示）
P 2 G 3 G 4H 1H 2, 2 1 （红线表示）
注意：上面讲 不变，为什么？是流图特征式，也就是传递函
数的特征表达式。对于一个给定的系统，特征表达式总是不变
X 4 X 5 H2
回路(闭通路)：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终 点为同一节点的通路称为回路。
互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互 不接触回路。
通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通 路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前 向通路增益。
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
Pk 第k个前向通道的总传输；
流图特征式；其计算公式为：
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梅逊公式
P
1
n k1
Pkk
1 L a L b L c L d L e L f .（.正. 负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
1
G1
G2
G3
u
g
(
s )M Gu
c
Gm1
ug ue
u1
u2
ua
G f
[解]：前向通道有一条；ug ,P 1G 1G 2G 3G u
有一个回路； L a G 1 G 2 G 3 G u G f
1 L a 1 G 1 G 2 G 3 G u G f, 1 1
P u g ((s s)) 1k1 1P k kP 1 1 1 G G 1 1 G G 2 2 G G 3 3 G G u u G f
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梅逊公式||例2-13
[例2-13]：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算 总传递函数。
ui (s) ue (s) 1 I1(s) -
1 u(s)
-
R1
I(s) C 1s
-
1
1 uo(s)
R 2 I2(s) C 2 s
[解]：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如
第四节 控制系统的信号流图
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信号流图的概念
信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关
系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函 数时较为方便。
一、信号流图及其等效变换 组成：信号流图由节点和支路组成。见下图：
R1
N
1
E G1 P
G2
Q
1
R(s)
C
E(s)
-
G1(s)
回路有三，分别为： G 1 H 1 , G 3 H 2 , G 1 G 2 G 3 H 1 H 2
有两个不接触回路，所以：
1 L a L b L c 1 G 1 H 1 G 3 H 2 G 1 G 2 G 3 H 1 H 2 G 1 G 3 H 1 H 2
11, 21G 1H 1
x4 ad b x1 c x2
x3
x1 a c x2 bx3 x4
x4
ad bd
x 1ac
x
bc
2
x3
x 1 ac x 4
x 2 bc
自回路的消除：
a b x3 x1 x2 b
ab 1
x1 x3 b x4
1
ab 1 b
x1 x3 x4
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信号流图的性质
信号流图的性质
节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每 个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而 从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。
R(S) b
k
m
d
V1
l
g V3 e
V2
h
C(S)
f f
m
h
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
g
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信号流图的绘制
例2: 按微分方程拉氏变换后
的代数方程所表示的变量间
数学关系绘制。如前例所对
应的代数方程为:
R1
V1m1V lV 3bR C V 2 g1 V h2 V e3V fR
P 1 k 2 1 P k k 1 G 1 H 1 G 1 G G 3 2 H G 3 2 G G 1 3 G G 2 4 G 3 G H 1 1 G H 3 G 2 4 H G 1 1 G 3 H 1 H 2
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梅逊公式||例2-14
求 E ( s )：
R (s) G4
二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递 函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的 传递函数。
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梅逊公式||例2-15
例2-15：数数有几个回路和前向通道。
G6
R
G5
1
G2 1
G7
G3
G4
1
G1
1
H2
G8
H1
有四个回路，分别是：
1
C
G 2 H 2 , G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 7 G 4 H 1 , G 1 G 2 G 8 G 4 H 1
它们都是互相接触的。
1 G 2 H 2 G 1 G 2 G 3 G 4 H 1 G 1 G 2 G 7 G 4 H 1 G 1 G 2 G 8 G 4 H 1
有九条前向通道，分别是：
P1G1G2G3G4 P2G1G2G7G4 P3G1G2G8G4
P4G5G2G3G4 P5G5G2G7G4 P6G5G2G8G4
有两个互不接触回路； L bL cR 1 C 1 1 sR 2 C 1 2sR 1R 2 C 1 1 C 2s2
1 R 1 1 C 1 s R 2 1 C 2 s R 2 1 C 1 s R 1 R 2 C 1 1 C 2 s2
1 1 （因为三个回路都与前向通道接触。）
总传输为：P 1 k 1 1 P k k R 1 R 2 C 1 C 2 s 2 (R 1 C 1 1 R 2 C 2 R 1 C 2 )s 1
N (s)
+ G2(s) C (s)
H
H (s)
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信号流图的概念
节点：节点表示信号，输入节点表示输入信号，输出节点 表示输出信号。
支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向表示 信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路传输。
x
y
G
xG y
上图中， 两者都具有关系: y(s)G(s)x(s)。支路对节点x来说
路传输乘积之和；
LdLeLf 所有互不接触回路中，每次取其中三个
回路传输乘积之和；
k 第k个前向通道的特征余子式；其值为中除去与第k个
前向通道接触的回路后的剩余部分。
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梅逊公式||例2-13a
n
Pk k
P k 1
例2-13a：求速度控制系统的总传输 ( s ) 。（不计扰动）
C 应关系；②仔细
确定前向通道和
回路的个数。
作业：2-12，2-13
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小结
小结
信号流图的组成；术语； 信号流图的绘制和等效变换； 梅逊公式极其应用； 信号流图和结构图之间的关系。
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解：在结构图上标出节点，如上图。然后画出信号流图，如下：
G4
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R
EG1 G2
H1H1H2
G3 H2
C
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梅逊公式||例2-14
G4
C (s) R
求
：
R (s)
EG1
G2
H1
G3 H2
C
H1H2
前向通道有二，分别为: P1G1G2G3, P2 G3G4
n
Pk k
P k 1
P7 G6G3G4 P8 G6G8G4
P 9G 6H 2G 2G 7G 4
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梅逊公式||例2-15
对应的结构图为：
G6 G5
R - G1
R 1
G6
G5
1
G1
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G7
+
-
G2
H2
H1
G7
G2 1
G3
1
H2
G8
H1
G3
+
++
+
G4
C
G8
为节点
注意：①信号流
G4
1
图与结构图的对
的，可以试着求一下。
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梅逊公式注意事项
注意：梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。 而输出对混合节点（中间变量）的增益不能直接应用梅森公式。 也就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支 路，而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其 传递函数：
一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。