如何用梅逊公式求传递函数-文档资料
梅逊公式
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21
解: 有三条前向通路， 前向通路的增益分别为
n3
p1 G1G2 G3G4 G5 p2 G1G6 G4 G5 p3 G1G2 G7
有四个独立的回路，分别为
L1 G2 G3G4 G5 H 2 L2 G6 G4 G5 H 2
在四个回路中，L3与L4不接触。
L3 G2 G7 H 2 L4 G4 H1
特征式为
1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4
回章首 回节首 22
前向通路p1与四个回路均接触，
1 1
前向通路p2与四个回路均接触，
2 1
前向通路p3与回路L4不接触，
L3a L4 ,
a
3 1 L4
闭环传递函数为
Y (s) P 1 ( p11 p2 2 p3 3 ) R( s) p1 p2 p3 (1 L4 ) 1 ( L1 L2 L3 L4 ) L3 L4 G1G2G3G4G5 G1G6G4G5 G1G2G7 (1 G4 H1 ) 1 G2G3G4G5 H 2 G6G4G5 H 2 G2G7 H 2 G4 H1 G2G7 H 2G4 H1
(2-123)
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18
特征式
的计算公式为
1 La Lb Lc
a b,c
d ,e, f
L
d
Le L f ....
(2-124)
L —所有独立回路增益之和； —所有每两个互不接触回路增益乘积之和； L L —所有每三个互不接触回路增益乘积之和。 L L L
a a
梅森公式求传递函数
梅森公式求传递函数梅森公式求传递函数在探讨开环传递函数和闭环传递函数之前，我们需要先了解一些基础知识。
传递函数通常是指线性系统的输出与输入之间的关系，其中输入通常是一个函数，输出也是一个函数。
当我们了解传递函数的性质时，我们可以更好地设计控制系统，调整输入，使输出达到我们所需的目标。
在这里，我们将重点介绍梅森公式是如何求解传递函数的，梅森公式是一种常见的、快速且可靠的方法，用于解决反馈控制系统的稳定性问题。
梅森公式是一种特殊的公式，它同时适用于电气和机械系统，尤其适用于系统的加减法运算芯片，用于测量和放大信号。
首先，我们需要了解梅森公式的组成部分——单位环，单位环是指输入信号沿着反馈路径回到输入的路径。
这通常是因为系统的输出通过反馈路径的增强或减弱，来调节系统的调制。
如果我们能够计算出反馈路径的增强和输入信号的比例，我们就可以确定系统的传递函数了。
那么，如何确定反馈路径的增强和输入信号的比例呢？这就需要用到梅森公式了。
梅森公式表明，任何一个带有反馈路径的系统都可以由输入的单位环来描述。
在这种情况下，反馈系数是最小的。
因此，我们可以通过计算单位环的增益和相位移，来确定系统的传递函数。
梅森公式的常见形式为：$H(s) = \frac{N(s)}{D(s)} =\frac{1}{\Delta}\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\Delta_i(s)\frac{D_i(s)}{N_i(s)}$其中，$\Delta$为通分多项式，$D(s)$为系统的分母多项式，$N(s)$为系统的分子多项式，$D_i(s)$和$N_i(s)$为单位环考虑时的分母多项式和分子多项式，$\Delta_i(s)$为通分多项式的第$i$个因式。
这个梅森公式看起来很复杂，但它告诉我们的是，我们可以把系统的分子多项式和分母多项式分解成多个分式（即$\frac{D_i(s)}{N_i(s)}$），然后通过单位环考虑时，根据各个分式的反馈系数（即$(-1)^{i+1}$）和分式的分母和分子多项式得到系统的传递函数。
用梅逊公式求传递函数
C(s) R(s)
1
G1(s)G2 (s) G1(s)G2 (s)H (s)
Φr(s)为输入信号r(t)作用下系统的闭环传递函数。此时系统输出的 拉氏变换式为
C
(s)
r
(s)R(s)
1
G1(s)G2 (s) G1(s)G2 (s)H
(s)
R(s)
7
2). 扰动 n(t)作用下系统的闭环传递函数
在下图(a)所示的反馈系统中，为求取r(t)作用下系统的闭环传递 函数，可令n(t)=0。
R(s)
E(s)
- B(s)
G1(s)
N(s)
+
C(s)
G2(s)
H(s)
(a)
R(s)
- B(s)
G1(s)
C(s) G2(s)
H(s)
(b)
6
由图(b)求得输出C(t)和输入r(t)之间的传递函数为
r
(s)
用梅逊(S.J.Mason)公式求传递函数
梅逊公式一般形式为
n
Pk k
(s) k1
式中 (s)为待求的总传递函数。
称为特征式，且
其中
1 Li Li L j Li L j Lk Li ——所有不同回路传递函数之和。 Li L j ——所有两两互不接触回路的回路传递函数乘积之和。 Li L j Lk ——所有三个互不接触回路的回路传递函数乘积之和。
n
(s)
N
(s)
1
G1
G2 (s) (s)G2 (s)H
(s)
N
(s)
梅逊公式的应用
系统信号流图及梅逊公式
②
-
1/G2(s) G2(s) H1(s)
①
H2(s) Y0 G4(s)
+
Xi(s)
+
G1(s)
+
X0(s)
-
-
-
G3(s)
③ ④
第二步、消去反馈回路①，另相加点（比较点）③前移
1/G2 H2
Xi(s)
+
G1
②
+
③
G3(1+G2H1)/G2G4
X0(s)
G2G4 /(1+G2 H1 )
P1=G1G2G3 G4G5； ； P2=G1G4G5G6； P3=G1G2G7
有4个反馈回路，其传递函数分别为：L1=−G4H1； L2=−G2G7H2； L3=−G4G5G6H2； L4=−G2G3G4G5H2； 有1个互不接触的反馈回路，即： L b L c G 4 H 1G 2 G 7 H 2
k
由梅逊公式求得系统的传递函数为：
G (s) G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 G 1 G 4 G 5 G 6 G 1 G 2 G 7 (1 G 4 H 1 ) 1 G 4 H 1 G 2 G 7 H 2 G 4 G 5 G 6 H 2 G 2 G 3 G 4 G 5 H 2 G 4 H 1G 2 G 7 H 2
-
④
2.6
第三步、消去并联回路③和反馈回路②
系统信号流图及梅逊公式
Xi(s)
+
G1
G2G4-(1+G2H1)/G2G4
G2G4 /(1+G2 H1 + G2G4)
X0(s)
24-56控制系统的传递函数及信号流图和梅逊公式
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
例2-9 利用梅逊公式，求：C（s）/R（s）
G7
G6R(s)Fra bibliotekG1+ -
G2
G3
+
+
G4
-
G5
+
+ C ( s)
H1
H2
解：画出该系统的信号流程图
G6
R ( s ) G1
G2 G3
G7
G4 G5
1 C (s)
H1
H2
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
R(s) +
1 R1 -
A
_
+
B
1 C1s
C +
D _
1 R2
E
1 C2s
C ( s)
解：信号流图
1 R1 1 C1s
1
C
1
R( s )
1
A
D
1 R2
1 C2 s
1
C ( s)
B 1
E
1
R( s )
1
A
《自动控制理论》 E B
C
1
1 R1
1 C1s
1 D
1 R2
1 C2 s
1
C ( s)
1
Xj ( s ) Gkj( s ) Xk ( s ),
k 1
n
j 1,2, , n
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
信号流图的基本组成单元有两个：节点和支路。 节点表示系统中的变量； 两变量之间的因果关系用一被称为支路的有向线段 来表示，支路的方向用箭头标明，信号只能沿箭头 指向单向传递。 两变量间的因果关系又称增益，标明在相应的支 路旁。
控制系统的传递函数及信号流图和梅逊公式
1 Ln LrLsLt
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
例2-7 试用梅逊公式求系统的闭环传递函数 C(S)
R(S)
图2-45 例2-7图
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
解： P1 G1G2G3.
路 开通路—通路与任一节点相交不多于一次
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
闭通路—通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节 点相交不多于一次
6）前向通路—从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节 点不多于一次，此通路自然保护区为前向通路
7）回路—就是闭环通路 8）不接触回路—如果一些回路间没有任何公共节点 9）前向通路增益—在前向通路中多支路增益的乘积。 10）回路增益—回路中多支路增益的乘积。
《自动控制理论》
§2.6 信号流图和梅逊公式的应用
信号流图的性质 (1)信号流图只适用于线性系统。 (2)支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信 号只能沿着支路上的箭头指向传递 (3)在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把 相加后的信号传送到所有的输出支路。
(4)具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具 有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理。 (5)对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的， 这是由于描述的方程可以表示为不同的形式。
参考输入误差的传递函数为
CR(s) ER(s)G1(s)G2(s)
CR(s)
G1( s )G 2( s )
R(s) 1 G1(s)G2(s)H (s)
ER(s)G1(s)G2(s)
7梅逊公式闭环传递函数
§2.7 信号流图和梅逊公式
§2.7.1 信号流图与结构图的对应关系
信号流图
相加 相乘 节点的吸收 反馈回环
结构图
并联 串联 中间变量的消除 反馈
（1）信号流图 结构图 · 将节点转换为代表变量的有向信号线； · 将支路转换为表示传递函数的方框;
X(s) G(s) Y(s)
X(s) G(s)
G1G2G3G4 G1G2G4 G2G3G4G5 G2G4G5 G3G4G6 G2G4G6 H 2 ( s ) 1 G2 H 2 G1G2G3G4 H 1 G1G2G4 H 1
Mason 公式（6）
例 6 求传递函数 C(s)/R(s), C(s)/N(s)
控制系统结构图
结构图：
X(s)
G(s)
信号流图：
1
E(s) G(s)
Y(s)
-1
信号流图的作用：利用梅逊公式直接求出系 统的传递函数。
§2.7 信号流图和梅逊公式
§2.7.1 信号流图与结构图的对应关系
信号流图
源节点 汇节点 混合节点 支路 支路增益 前向通路 回路 互不接触回路
结构图
输入信号 输出信号 比较点，引出点 环节 环节传递函数
Y(s)
（1）信号流图 结构图 · 具有两个以上输入支路的节点,附加一个相加点； · 具有两个以上输出支路的节点,附加一个分支点。
1 E(s) － H(s) G1(s) E(s) G3(s) E(s) G1(s)
E(s)
1 H(s)
G3(s) G2(s)
G2(s)
（1）信号流图 结构图
控制系统信号流图
例 2 求C(s)/R(s)
1 [ G1G2 H1 G2G3 H 2 G1G2G3 G4 H 2 G1G4 ]
【优质】结构图的等效变换求系统的传递函数PPT文档
1 11
3 (2)x3、x4、x3，L2=bf
由系统结构图绘制
△ = 1 信号流2图
去掉第k条前向通路后所求的△
L5 = – G1G2G3
HHH1(11s(()ss))
P △ =? 由系2统结构图2 绘制
HHH2(22s(()ss)) H3(s)
2、在结构图比较点之前没有引出点，只需要在比较点后设置一个节点便可
由信系号统 流结图前构图向绘制通路：从输入到输出，每个节点只通过一次，
由信系号统 流结图前构图向绘制通路增益：通路上各支路增益之乘积， p k
∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和
数学模型：微分方程、传递函数、结构图、信号流图及其相互间的关系
(1)x1、x2、x3、x4、x5、x6，前向通路增益p1=abc 回路：起点和终点是同一节点，信号通过每一节点不多于一次的闭合通路，回路增益 表示
R(s) E(S) P =H–PG(s)=H1 △△=1=+G1 HH (s)P △ = ? 1 2当动、综，在合 不结点能构和用图引方比出框较点图点出化之现简前相的没交方有叉法引的来出情求点况传，时递只函,如需数上要，图在1所比示较系点统后1,设综置合2一点个A因3节为点取便出可点C1、D的1 存在，取2出点因2 为2 综合点A1、B的1存在不能前后移
CCC(s(()ss))
信号流图
HHH(s(()ss)) C(s) 当动综，合 不点能和用引方出框点图出化现简相的交方叉法的来情求况传时递函,如数上，图所示系统,综合点A因为取3出3点3 C、D的存在，取出点因为综合点A、B的存在不能前后移 G (s) ∑1、Ld支Le路Lf增—益所为有1三的个相互邻不节接点触，回可路以增合益并乘为积一之个和节点，但1源节点和阱节点不能合并
自动控制原理-梅逊公式例题
= 1 + H 1 + G1 + G2 + G1G2 − G3 H 1
P1 = G1G2 P2 = −G3
∆ 2 = 1 + H1
∆1 = 1
G1G2 − G3 (1 + H 1 ) Φ( s ) = 1 + H 1 + G1 + G2 + G1G2 − G3 H 1
Mason 公式（5） ）
例 5 求传递函数 C(s)/R(s)
P1 = G1G2G3G4G5G6
∆1 = 1
G1G2G3G4G5Байду номын сангаас6 Φ( s ) = 1 + G2G3 H 2 + G4G5 H 3 + G3G4 H 4 + G1G2G3G4G5G6 H 1 + G2G3G4G5 H 2 H 3
Mason 公式（2） ）
例 2 求传递函数 C(s)/R(s)
§2.6 控制系统的传递函数
1. 开环传递函数
2. 输入 r(t) 作用下的闭环传递函数
控制系统的传递函数
3. 干扰 n(t) 作用下的闭环传递函数
4. 系统的总输出 C(s) 及总误差 E(s)
控制系统的传递函数 (例) 例
系统结构图如右图所示， 例7 系统结构图如右图所示， 求当输入 干扰 r(t) = 1(t) n(t) =δ(t) δ c’(0) = 0 和总误差e(t)。 时系统的总输出 c(t) 和总误差 。 求解
控制系统结构图
例6 求 C(s)/R(s), C(s)/N(s)
∆ = 1 − [ − G2 H − G1G2 − G1G3 ] + G1G2G3 H
= 1 + G2 H + G1G2 + G1G3 + G1G2G3 H
2.7 梅逊公式
△1= 1
∑Pk△k= P1△1= G1 G2 G3 G4G5 G6 将中△与第K条前向通道相接触 条前向通道相接触（ △k：将中△与第 条前向通道相接触（有 重合部分）回路所在项去掉之后的余子式。 重合部分）回路所在项去掉之后的余子式。
例：试用梅逊公式求传函C(S)/R(S)。 试用梅逊公式求传函 。
一、梅逊公式
∑Pk△k C(s) : G(S)= R(s) = i G = G1 G3 2 △ 1、G(S)：从输入通道到输出通道总的传递 、 ： H1 H2 H3 函数（总增益）。 函数（总增益）。 2、△：称为系统主特征式 、 △=1- ∑La+ ∑LbLc-∑LdLeLf+…
所有单独回路增益 回路增益之和 ∑La — 所有单独回路增益之和 ∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和 所有两两互不接触回路增益乘积之和 ∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和 所有三个互不接触回路增益乘积之和
R G1 G2 1 H2 G3 H4 H1 4 G4 C
2 H3
G5
G6 3
解： 3、G(S) 、
△＝1＋G2G3H2 ＋G4G5H3 ＋G3G4H4 ＋G1G2G3G4G5G6H1＋G2G3G4G5H2 H3
∑Pk△k= P1△1= G1 G2 G3 G4G5 G6 ∑Pk△k C(s) : G(S)= R(s) = i = △
= G1 G2 G3 G4G5 G6
n
△
应用梅逊公式， 应用梅逊公式，将大大简化结构 变换的计算。 变换的计算。但当系统结构较复 杂时，容易将前向通道、 杂时，容易将前向通道、回路数 及余子式判断错，需格外注意。 及余子式判断错，需格外注意。
例：试用梅逊公式求传函C(S)/R(S)。 试用梅逊公式求传函 。 G4 4 G3 2 H2
第二章 传递函数-梅逊公式
点
上图所示的是
G(s)
(s
(s 1)(s 2) 3)(s 2 2s
2)
的零、极点分布图。
2.2 传递函数
比
比例环节（无惯性环节）： c(t)=kr(t)
例
传递函数：G(S)=C(S)/R(S)=k
c(t)
环
阶跃响应：R(S)=1/S
r(t)
节
C(S)=kR(S)=k/S C(t)=k
0
R(s) 1 G(s)H(s)
R(s)
C(s)
Φ(s)
同理 E(s) R(s) B(s)(正反馈时） (s)= C(s) G(s)
R(s) 1 G(s)H(s)
闭环传递函数的通式为
前向通道的传递函数
(s) 1闭环的开环传递函数
负反馈时，分母项取“+”；正反馈时，取 “-”
（1）前向通道：G(s)
传递函数为： G(S)= Uc(S)/ Uc(S) =1/(TS)＝k/S
2.2 传递函数
惯 性
惯性环节：Tdc(t)/dt + c(t)=kr(t) 传递函数： G(S)=C(S)/R(S)=k/(TS+1)
当T=∞时，惯性 环节近似为积分 环节；当T=0时，
环 节
阶跃响应： R(S)=1/S C(t)=k(1-e-1/T) C(S)=kR(S)
a
n
sn1
1
……
a1s
a
0
R(s)
传递函数，记作G（s）
传递函数的定义：对线性定常系统（环节），在零初 始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比， 记作G(s)
G(s)
C(s) R(s)
|零初始条件
自动控制原理 梅森公式求系统传递函数
P1 G1G2G3 P2 G1G4
4 H2 1 4
L4 G4H2 L5 G1G4
8
R(s)
-
G4
A
G1
G2
-B
H1
G3 H2
C C(s)
P1 G1G2G3 1 1
P2 G1G4 2 1
C(S) P(S) P11 P22
P11 P22
E(s) R(s)
1 1 G1(s)G2(s)H (s)
扰动作用下，系统误差传递函数:
eN (s)
E(s) N (s)
1
G2 (s)H (s) G1(s)G2(s)H (s)
根据线性叠加原理，系统总误差为：
E(s) e (s)R(s) eN (s)N(s)
13
例：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)
23
练习
已知系统的结构如图,求传递函数 Y , Y , Y
R1 R2 R3
G2
R3
R1
－
G1
－
G
－
3
H2
R2
H1
解 Y
G1G3 G2G3
R1 1 G3 H G 2 3 H1G1G3 H1G2G3
Y
G1G3 G2G3
R2 1 G3 H G 2 3 H1G1G3 H1G2G3
(s)
N
(s)
根据线性叠加原理，系统总输出 ：
C(s)
C(s)
CN
(s)
G2 (s)[G1(s)R(s) N (s)] 1 G1(s)G2(s)H (s)
02 数学模型 - 10梅逊公式
第二章控制系统的数学模型第10讲梅逊公式王燕舞梅逊(Mason)公式◆梅逊(Mason)公式是美国麻省理工学院S.J. Mason于20世纪50年代提出的。
借助于梅逊公式，不经任何结构变换，便可以得到系统的传递函数。
•∑L i ：所有回路(n 条)的回路增益之和。
•∑L i L j ：所有两两互不接触回路(n 2条)的回路增益乘积之和。
•∑L i L j L k ：所有三三互不接触回路(n 3条)的回路增益乘积之和。
•P k ：从输入节点到输出节点第k 条前向通路的增益。
•Δk ：在Δ中，将与第k 条前向通路相接触的回路除去后所余下的部分的Δ ，称为余子式。
•m ：从输入节点到输出节点所有前向通路的条数。
∆∆=∑=m k kk P s G 1)(+-+-=∆∑∑∑321111n kj i n j i n i L L L L L L ◆梅逊公式的表达式为：•G(s)：待求的总传递函数。
•Δ称为特征式，◆梅逊公式的证明：参见：1.Samuel J. Mason, “Feedback theory-Some properties ofsignal flow graphs,” Proc. IRE, vol. 41, no. 9, pp. 1144-1 156, Sept. 1953.2.Samuel J. Mason, “Feedback theory-Further properties ofsignal flow graphs,” Proc. IRE, vol. 44, no. 7, pp. 920-926, July 1956.3.W.K. Chen, “Applied Graph Theory, Graphs and ElectricalNetworks,” North-Holland, Amsterdam, 1976.4.陈景明, “S.J. Mason讯号流图增益公式的另一个证明,” 吉林大学自然科学学报, no. 4, pp. 137-146, 1979.G 3H 2G 2G 1G 4H 1CR G 5G 6H 4H 3-H 2G 2G 3-H 4G41G 6G 5-H 3CB E F G x 3H IR A 1G 1-H 11结构图信号流图求图示控制系统的传递函数。
§25闭环传递函数§26 梅逊公式
P G GG 1 1 2 3
P G G 2 1 4
1 1
2 1
G G G G G 1 2 3 1 4 ( s ) G G H G G H G G G G H G G 1 2 1 2 3 2 1 2 3 4 2 1 4
Mason 公式（3）
例 3 求传递函数 C(s)/R(s)
例1
求C(s)/R(s)
( G G H )( G G H ) 1 [ G G H G3G4 H4 G G G G G G H G5 H ] 2 3 2 4 5 3 2 3 2 G 1 2 3 4 5 6 1 4 3
1 G G H G G H G G H G G G G G G H G G G G H H 2 3 2 4 5 3 3 4 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 2 3
§2.5 控制系统的传递函数
<2、扰动输入作用下的误差传递函数 令R(s) =0，可求出误差对扰动作用的闭环传递函数，简称扰动误差传递函数，即
N(s)
<3、控制输入和扰动同时作用下系统的总误差 利用叠加原理可求出系统在控制输入和扰动输入同时作用下系统的总误差为
不难发现，四种闭环传递函数 Φ(s)、Φn(s)、 Φe(s)、Φen(s) 具有相同的分母即 =1+ G(s)H(s)。这正是闭环控制系统的本质特征。通常把这 个分母多项式称为闭环系统的特征多项式。1+ G(s)H(s) 称为闭环系统的特征方 程。特征方程的根称为闭环系统的根或极点。
（1）结构图 信号流图
（2）结构图 信号流图
§2.6.2 梅逊（Mason）增益公式
G(s) PΔ Δ
k k 1
梅逊公式
2-7 结构图等效变换及梅逊公式求传递函数时，需要对微分方程组（或变换方程组）进行消元，最后仅剩下输入、输出两个变量，因此中间变量的传递过程得不到反映。
若采用结构图，它就能形象地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。
另外，下面将会看到，利用结构图，也便于求取传递函数。
所以，结构图在控制理论中应用十分广泛。
一、结构图在第2-6节中，我们曾采用消元法求得图2-24所示RC 网络的传递函数。
这里，我们采用结构图的方法求其传递函数。
RC 网络的微分方程组如下：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰idt C u u Ri u c cr 1对上两式进行拉氏变换，得)()()(s U s RI s U c r +=或[])()()(1s I s U s U Rc r =- （2-54） )(1)(s I Css U r =（2-55）方程（2-54）可用图2-29)(a 表示，方程（2-55）可用图2-29)(b 表示。
将图2-29)(a )(b 按信号传递方向结合起来，网络的输入量置于图示的左端，输出量置于最右端，并将同一变量的信号连在一起，如图2-30)(a 所示，即得RC 网络结构图。
对图2-30)(a 进行所谓“等效变换”就可得出网络传递函数，因此网络结构就更为简单,如图2-30)(b 所示。
关于结构图等效变换的方法将另作介绍。
（1）建立控制系统各元、部件的微分方程。
（2）对各元、部件的微分方程进行拉氏变换，并做出各元、部件的结构图。
（3）按系统中各信号的传递顺序，依次将各元件结构图连接起来，便得到系统的结构图。
下面以图1-7所示随动系统为例。
把组成该系统各元部件的微分方程（2-18）进行拉氏变换，可得方程组（2-56e a ~），其中比较元件 )()()(s s s c r θθθε-=（2-56a ） 电位器 )()(1s K s U εεθ= （2-56b ） 放大器 )()(2s U k s U ε=（2-56c ） 电动机 )()()1(s U K s s T s m m =+εθ（2-56d ） 减速器)(1)(s is c θθ=（2-56e ）各元、部件的结构图如图2-31所示。
已知系统信号流图如下图所示，用梅逊公式求其传递函数
已知系统信号流图如下图所示，用梅逊公式求其传递函数。
解：该信号流图的前向通道有两条，分别为：451435231221a a p a a a P ∙=∙∙= 特征式为：332233221a a a a ∙+--=∆针对P1,P2前向通道的特征式余子式为： 332233221121a a a a ∙+--=∆=∆， 所以根据梅逊公式，原信号流图的传递函数为：332233221)332233221(451435231211a a a a a a a a a a a a a P T n k k k ∙+--∙+--∙∙+∙∙=∆∆=∑=某厂组装三种产品，有关数据如下表所示。
（1）工厂希望装配线尽量不超负荷生产；（2）每日剩余产品尽可能少； （3）日产值尽可能达到6000元。
试建立该问题的目标规划数学模型。
解：设x 1,x 2，x 3为产品A 、B 、C 的产量，则有 12 3 5 4 a12 a45a14a33 a35 a23 a22112234351231112223334412355123min (234)1.1 1.3 1.53007060..8040606000,,,,0(1,2,,5)i i z Pd P d d d P d x x x d d x d d x d d s t x d d x x x d d x x x i A d d ++++--+-+-+-+-+-+=++++⎧+++-=⎪+-=⎪⎪+-=⎪⎨+-=⎪⎪+++-=⎪⎪≥=⎩ 设备负荷产品的销量产品B 的销量产品C 的销量日产值求下图v 1到v 8的最短路及最短路长v 1到v 8的最短路有两条：P 18={v 1,v 3,v 6,v 8}及P 18={v 1,v 3,v 7,v 6,v 8},最短路长为21。
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1
R1
1 C 1s a 1 bR 2
C 2s
ui ue
I1
I
u
I2
uo
上图中，u i和ue，I1和I，a和b可以合并。
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梅逊公式||例2-14
例2-14：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数 C(s) , E(s) R(s) R(s)
G4
R
E
-
G1
G2
+
H1
+ -
G3
C
H2
R(S) b
k
m
d
V1
l
g V3 e
V2
h
C(S)
f f
m
h
R1
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
g
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10
信号流图的绘制
例2: 按微分方程拉氏变换后
的代数方程所表示的变量间
数学关系绘制。如前例所对
应的代数方程为:
R1
V1m1V lV 3bR C V 2 g1 V h2 V e3V fR
C 应关系；②仔细
确定前向通道和
回路的个数。
作业：2-12，2-13
23
小结
小结
信号流图的组成；术语； 信号流图的绘制和等效变换； 梅逊公式极其应用； 信号流图和结构图之间的关系。
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24
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16
梅逊公式||例2-13
1
ui ue
1
1
R1
1
b 1
C1s
a
1
1
R2
I1 I u
1
C2s
I2 uo
1
1
讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两
点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？如果可以的话，
总传输将不一样。
不能合并。因为a、b两点的信号值不一样。
1
1
1
1
第四节 控制系统的信号流图
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1
信号流图的概念
信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关
系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函 数时较为方便。
一、信号流图及其等效变换 组成：信号流图由节点和支路组成。见下图：
R1
N
1
E G1 P
G2
Q
1
R(s)
C
E(s)
-
G1(s)
的，可以试着求一下。
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梅逊公式注意事项
注意：梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。 而输出对混合节点（中间变量）的增益不能直接应用梅森公式。 也就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支 路，而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其 传递函数：
一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。
X 4 X 5 H2
回路(闭通路)：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终 点为同一节点的通路称为回路。
互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互 不接触回路。
通路传输(增益)：通路中各支路传输的乘积称为通路传输或通 路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前 向通路增益。
P 1 k 2 1 P k k 1 G 1 H 1 G 1 G G 3 2 H G 3 2 G G 1 3 G G 2 4 G 3 G H 1 1 G H 3 G 2 4 H G 1 1 G 3 H 1 H 2
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梅逊公式||例2-14
求 E ( s )：
R (s) G4
x4 ad b x1 c x2
x3
x1 a c x2 bx3 x4
x4
ad bd
x 1ac
x
bc
2
x3
x 1 ac x 4
x 2 bc
自回路的消除：
a b x3 x1 x2 b
ab 1
x1 x3 b x4
1
ab 1 b
x1 x3 x4
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7
信号流图的性质
信号流图的性质
节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每 个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而 从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。
有两个互不接触回路； L bL cR 1 C 1 1 sR 2 C 1 2sR 1R 2 C 1 1 C 2s2
1 R 1 1 C 1 s R 2 1 C 2 s R 2 1 C 1 s R 1 R 2 C 1 1 C 2 s2
1 1 （因为三个回路都与前向通道接触。）
总传输为：P 1 k 1 1 P k k R 1 R 2 C 1 C 2 s 2 (R 1 C 1 1 R 2 C 2 R 1 C 2 )s 1
n 从输入节点到输出节点的前向通道总数；
Pk 第k个前向通道的总传输；
流图特征式；其计算公式为：
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梅逊公式
P
1
n k1
Pkk
1 L a L b L c L d L e L f .（.正. 负号间隔）
式中： La 流图中所有不同回路的回路传输之和；
LbLc 所有互不接触回路中，每次取其中两个回
N (s)
+ G2(s) C (s)
H
H (s)
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2
信号流图的概念
节点：节点表示信号，输入节点表示输入信号，输出节点 表示输出信号。
支路：连接节点之间的线段为支路。支路上箭头方向表示 信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路传输。
x
y
G
xG y
上图中， 两者都具有关系: y(s)G(s)x(s)。支路对节点x来说
例1：速度控制系统的结构图为：
Mc (s) G m
ug (s) ue(s)
u1 ( s )
u2 (s)
ua (s)
(s)
G1
G2
G3
Gu
u f (s)
Gf
如下图先所在示结。构1图上G标1出节点G2，如上G3图所示GMu。c 然Gm后1 画出信号流图
ug ue
u1
u2
ua
G f
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9
例2: 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。 然后画出信号流图如下图所示。
解：在结构图上标出节点，如上图。然后画出信号流图，如下：
G4
பைடு நூலகம்
R
EG1 G2
H1H1H2
G3 H2
C
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梅逊公式||例2-14
G4
C (s) R
求
：
R (s)
EG1
G2
H1
G3 H2
C
H1H2
前向通道有二，分别为: P1G1G2G3, P2 G3G4
n
Pk k
P k 1
是输出支路，对节点y来说是输入支路。
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3
信号流图的术语
X1 G1 X2 G2 X 3 G 3
H3 G4
X9
G5
X
6
G
X
6
7
G7
X8
[几个术语]：
H1
X 4 X 5 H2
输入节点(源点)：只有输出支路的节点。如：X1，X9。 输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如： X8。
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如： X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分 支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。
支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而 变换为另一信号。
信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因 果关系。
对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图 不是唯一的。
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信号流图的绘制
[信号流图的绘制]： 根据结构图
列出系统各环节的拉氏方程，按变量间的数学关系绘制
回路有三，分别为： G 1 H 1 , G 3 H 2 , G 1 G 2 G 3 H 1 H 2
有两个不接触回路，所以：
1 L a L b L c 1 G 1 H 1 G 3 H 2 G 1 G 2 G 3 H 1 H 2 G 1 G 3 H 1 H 2
11, 21G 1H 1
P7 G6G3G4 P8 G6G8G4
P 9G 6H 2G 2G 7G 4
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梅逊公式||例2-15
对应的结构图为：
G6 G5
R - G1
R 1
G6
G5
1
G1
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G7
+
-
G2
H2
H1
G7
G2 1
G3
1
H2
G8
H1
G3
+
++
+
G4
C
G8
为节点
注意：①信号流
G4
1
图与结构图的对
V3dV 1kV 2
按方程可绘制信号流图。
f
m
Ⅰ
b
l
Ⅱ
V3
k
Ⅲ
h
Ⅳ
C
V1 d Ⅴ e V2 1
g
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梅逊公式
二、梅逊增益公式
用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到