北师大版必修5：《数列在日常经济生活中的应用》课件
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高中数学第1章数列14数列在日常经济生活中的应用课件北师大版必修5
1 个月后 2 个月后 3 个月后
… 23 个月后 24 个月后
10 000 元贷款的本金与它的利息之和 10 000×1.004 575 元 10 000×1.004 5752 元 10 000×1.004 5753 元 … 10 000×1.004 57523 元 10 000×1.004 57524 元
第22页
(2)第 1 期付款 x 元后，过 10 个月款全部付清，所付款连同 利息之和为 x×1.00810 元．同理得第 2，3，4，5，6 期所付款额 全部付清时连同利息的和为 1.0088x(元)，1.0086x(元)，1.0084x(元)， 1.0082x(元)，x(元)．
(3)x＋1.0082x＋1.0084x＋…＋1.00810x＝5 000×1.00812.
第12页
最后根据到期偿还贷款的含义，即各所付款额连同到贷款付 清时所生利息之和，等于贷款本金及贷款付清时的利息之和，计 算每月应付款额．也就是说，
x ＋ 1.004 575x ＋ … ＋ 1.004 57522x ＋ 1.004 57523x ＝ 10 000×1.004 57524，
即 (1 ＋ 1.004 575 ＋ … ＋ 1.004 57522 ＋ 1.004 57523)·x ＝ 10 000×1.004 57524.
第18页
错误解答三中，主要是期数没有弄清，由于是在贷款后的第一个 月才分期付款，到贷款全部付清时，历时整整 24 个月(24 期)， 10 000 元增值到了 10 000×1.004 57524 元，而不是 10 000×1.004 57523 元．
第19页
例 3 顾客购买一件售价为 5 000 元的商品时如果采取分期 付款，一年内分 6 次付清，每 2 个月付 1 次款，月利率为 0.8%， 每月利息按复利计算，每期应付款多少，总共应付款多少，按下 列步骤逐步探究(假定每期付款 x 元)．
高中数学课件-1-4数列在日常经济生活中的应用 课件(北师大版必修5)
第一章 数列
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重点难点 重点：“零存整取”、“定期自动转存”、“分期付
款”等几种模型，利用它们解决实际问题. 难点：利用几种模型解决一些实际问题.
第一章 数列
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预习篇01
新知导学
第一章 数列
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零存整取模型
(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利
息，对本金所产生的利息 航
【尝试解答】 依题意每一年的本息和构成数列 {an}，则
2005年2月1日存入的a元钱到2006年1月31日所得本息 和为a1＝a(1＋r)．
同理，到2007年1月31日所得本息和为 a2＝[a(1＋r)＋a](1＋r)＝a(1＋r)2＋a(1＋r)， 到2008年1月31日所得本息和为 [a(1＋r)2＋a(1＋r)＋a](1＋r)＝a(1＋r)3＋a(1＋r)2＋a(1 ＋r)，
第一章 数列
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【解析】 解法一：设每期付款x元， 第1期付款及其所生利息的和为x(1＋0.008)11(元)， 第2期付款及其所生利息的和为x(1＋0.008)10(元)， …… 第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为 x(1＋1.008＋…＋1.00811)＝11.0.000881－2－11x.
第一章 数列
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第12期还款后欠款应为0，所以有2 000×1.00812－ (1.00811＋1.00810＋…＋1)x＝0.
x＝2 010.000×8112.－001812≈176(元)． 1.008－1
即每期应还款176元．
第一章 数列
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增长率问题
【例4】 已知某地今年年初拥有居民住房的总面 积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地 有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住 房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．
数列在日常经济生活中的应用 课件(北师大必修五)
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【解析】（1）对于方案一，设每次付款额为x1万元，那么 一年后，第1次付款的本利和为1.0088x1万元，第2次付款的 本利和为1.0084x1万元，第3次付款的本利和为x1万元，则
1.0088x1+1.0084x1+x1=10×1.00812,
∴x1×
(1.00843)-1 1.0084 -1
【分析】分期付款问题按书本中规定计算.一定要想清楚 复利的计算方 法，利用等比数列知识.
【解析】假定次年为第一年，则第15年时2万元连同 复利息应为20 000（1+0.10）15元.①
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设分期付款每次付x元，第一次付款到最后日期（第15年） 连同复利息应是(1+0.10)14x元（即第一次付款到付款清时， 第一次付款已不再是x元，而是1.114x元）；第二次付款 到最后日期连同复利息是1.113x元，…,最后一次付款是x 元，所以15次付款连同复利息共有 （1.114+1.113+1.112+…+1.1+1）x元.② 而①与②式应相等，故有 （1.114+1.113+1.112+…+1.1+1）x =20 000×1.115. 由此可得x≈2 629.48(元)，即每年分期付款应还2 629.48元.
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（2）若汽车销售公司将收回的售车款进行再投资，可获 月增长2%的收益，为此决定对一次性付款给予降价p% 的优惠.为保证一次性付款经一年后的本金低于方案一、 二中较少一种的付款总额，且售车款再投资一年后的本金 要高于车价款一年后的本金，试确定p的取值范围. 注：计算结果保留三位有效数据.参考数据： 1.0083≈1.024，1.0084≈1.033，1.00811≈1.092，1.00812≈1.1， 1.0211≈1.243，1.0212≈1.268.
【解析】（1）对于方案一，设每次付款额为x1万元，那么 一年后，第1次付款的本利和为1.0088x1万元，第2次付款的 本利和为1.0084x1万元，第3次付款的本利和为x1万元，则
1.0088x1+1.0084x1+x1=10×1.00812,
∴x1×
(1.00843)-1 1.0084 -1
【分析】分期付款问题按书本中规定计算.一定要想清楚 复利的计算方 法，利用等比数列知识.
【解析】假定次年为第一年，则第15年时2万元连同 复利息应为20 000（1+0.10）15元.①
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设分期付款每次付x元，第一次付款到最后日期（第15年） 连同复利息应是(1+0.10)14x元（即第一次付款到付款清时， 第一次付款已不再是x元，而是1.114x元）；第二次付款 到最后日期连同复利息是1.113x元，…,最后一次付款是x 元，所以15次付款连同复利息共有 （1.114+1.113+1.112+…+1.1+1）x元.② 而①与②式应相等，故有 （1.114+1.113+1.112+…+1.1+1）x =20 000×1.115. 由此可得x≈2 629.48(元)，即每年分期付款应还2 629.48元.
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（2）若汽车销售公司将收回的售车款进行再投资，可获 月增长2%的收益，为此决定对一次性付款给予降价p% 的优惠.为保证一次性付款经一年后的本金低于方案一、 二中较少一种的付款总额，且售车款再投资一年后的本金 要高于车价款一年后的本金，试确定p的取值范围. 注：计算结果保留三位有效数据.参考数据： 1.0083≈1.024，1.0084≈1.033，1.00811≈1.092，1.00812≈1.1， 1.0211≈1.243，1.0212≈1.268.
数列在日常经济生活中的应用 课件(北师大版必修五)
政共需支付多少亿元？(精确到亿元)
解 (1)设从 2011 年底起以后每年的已退耕还林的土地依次为(单
位：万亩)a1，a2，a3，…，an，….
则 a1＝515×(1＋12%)，a2＝515×(1＋12%)2，
…，an＝515×(1＋12%)n， h
19
研一研·问题探究、课堂更高效
§4
… Sn＝a1＋a2＋…＋an＝515×1＋1－0.112.121－1.12n＝6 370－515， ∴515×1.12×(1.12n－1)＝5 855×0.12，即 1.12n≈2.218.
初住房面积的 10%建设新住房，同时也拆除面积为 b(单位：
本
m2)的旧住房．
课 (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．
时
栏 (2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积
目
开 增加了 30%，则每年拆除的旧住房面积 b 是多少？(计算时取
关
1.15＝1.6)
解 (1)第一年末的住房面积为
－1)，…，xr.组成一个等差数列，又每月本金都是 x 元，共
本
课 n 个月，所有本金为 nx 元，所以 n 个月后本利和为
时 栏 目
nx＋xr(1＋2＋3＋…＋n)＝nx＋nn＋2 1rx(元)．
开
关
h
8
研一研·问题探究、课堂更高效
§4
探究点二 定期自动转存模型
问题 银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，
本
期数
1
2
3
… m－1 m
课 时 栏 目
本息 和
x(1＋r)m－1
x(1＋r)m－2
x(1＋r)m－3 … x(1＋r) x
高中数学北师大版必修五《数列的应用》课件
(2)如果存入1万元定期存款,存期为1年,年利率 为1.98%, 那么5年后共得本利和多少万元?
思考交流:银行整存整取定期储蓄年利率如表所示:
存期
1年
2年
3年
5年
年利率/% 1.98
2.25
2.52 2.79
某公司欲将10万元存入银行5年,可按以下方案办理 (不考虑利息税): (1)直接存入5年定期; (2)先存2年定期,取出本利和后再存3年定期.
(1)如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r, 连存n年后,再取出本利和.试求出储户年后所得的本利 和的公式;
例2.定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期 存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1 年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务, 第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存 的储蓄业务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题:
例1.零存整取模型 银行有一种叫做零存整取的 储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金, 这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这 是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑 利息税).
(2)若每月初存入500元,月利率为0.5%,到第24个月 末整取时的本利和是多少?
例1.零存整取模型 银行有一种叫做零存整取的 储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金, 这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这 是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑 利息税).
问题1:计算出不同存法到期后的本利和,哪种存款方式 更合算? 问题2:你能设计出更好的存款方案吗?
北师大版 高中数学
谢谢大家
S=P(1+r)n
例1.零存整取模型 银行有一种叫做零存整取的 储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金, 这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这 是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑 利息税). (1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期 为n个月,试推导出到期整取时本利和的公式.
思考交流:银行整存整取定期储蓄年利率如表所示:
存期
1年
2年
3年
5年
年利率/% 1.98
2.25
2.52 2.79
某公司欲将10万元存入银行5年,可按以下方案办理 (不考虑利息税): (1)直接存入5年定期; (2)先存2年定期,取出本利和后再存3年定期.
(1)如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r, 连存n年后,再取出本利和.试求出储户年后所得的本利 和的公式;
例2.定期自动转存模型 银行有另一种储蓄业务为定期 存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1 年后,如果储户不取出本利和.则银行自动办理转存业务, 第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存 的储蓄业务(暂不考虑利息税),我们来讨论以下问题:
例1.零存整取模型 银行有一种叫做零存整取的 储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金, 这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这 是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑 利息税).
(2)若每月初存入500元,月利率为0.5%,到第24个月 末整取时的本利和是多少?
例1.零存整取模型 银行有一种叫做零存整取的 储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金, 这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这 是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑 利息税).
问题1:计算出不同存法到期后的本利和,哪种存款方式 更合算? 问题2:你能设计出更好的存款方案吗?
北师大版 高中数学
谢谢大家
S=P(1+r)n
例1.零存整取模型 银行有一种叫做零存整取的 储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金, 这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这 是整取.规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑 利息税). (1)若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期 为n个月,试推导出到期整取时本利和的公式.
高中数学北师大版必修5第1章4《数列在日常经济生活中的应用》ppt同步课件
欠款的利息，月利率为1%，则买这件电器实际花
()
• A．1105元
B．1255元
• C．1305元
D．1405元
• [答案] B
[解析] 购买时付 150 元，欠 1000 元，每月付 50 元，分 20 次付清．设每月付款数构成数列{an}，则
a1＝50＋1000×1%＝60， a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1， a3＝50＋(10000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2， … ∴an＝60－0.5(n－1)＝－0.5n＋60.5(1≤n≤20)， ∴{an}是以 60 为首项，－0.5 为公差的等差数列， ∴S20＋150＝20×60＋20×2 19×(－0.5)＋150＝1255， ∴买这件电器实际花 1255 元．
• [答案] 200
[解析]
由题意，得36aa11＋ ＋36× ×2236－ －11dd＝ ＝2600
，
解得a1＝490 d＝290
.
所以 S12＝12×490＋12×212－1×290＝200.
课堂典例讲练
等差数列模型应用问题
•
甲、乙两人连续6年对某县养鸡业的规
模进行调查，提供了两个不同信息，如图所示．
• 甲调查表明：从第1年起每个养鸡场出产1万只鸡上 升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．
• 乙调查表明：由第1年30个养鸡场减少到第6年10个 养鸡场．请您根据提供的信息回答：
• (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
• (2)到第6年这个县养鸡业的规模比第1年扩大了还是 缩小了？请说明理由．
物，分期付款已深入我们生活．但是面对商家和银 行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方 式好呢？
()
• A．1105元
B．1255元
• C．1305元
D．1405元
• [答案] B
[解析] 购买时付 150 元，欠 1000 元，每月付 50 元，分 20 次付清．设每月付款数构成数列{an}，则
a1＝50＋1000×1%＝60， a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1， a3＝50＋(10000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2， … ∴an＝60－0.5(n－1)＝－0.5n＋60.5(1≤n≤20)， ∴{an}是以 60 为首项，－0.5 为公差的等差数列， ∴S20＋150＝20×60＋20×2 19×(－0.5)＋150＝1255， ∴买这件电器实际花 1255 元．
• [答案] 200
[解析]
由题意，得36aa11＋ ＋36× ×2236－ －11dd＝ ＝2600
，
解得a1＝490 d＝290
.
所以 S12＝12×490＋12×212－1×290＝200.
课堂典例讲练
等差数列模型应用问题
•
甲、乙两人连续6年对某县养鸡业的规
模进行调查，提供了两个不同信息，如图所示．
• 甲调查表明：从第1年起每个养鸡场出产1万只鸡上 升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．
• 乙调查表明：由第1年30个养鸡场减少到第6年10个 养鸡场．请您根据提供的信息回答：
• (1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
• (2)到第6年这个县养鸡业的规模比第1年扩大了还是 缩小了？请说明理由．
物，分期付款已深入我们生活．但是面对商家和银 行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方 式好呢？
高中数学 第一部分 第一章 §4 数列在日常经济生活中的应用课件 北师大版必修5
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2011年为累
计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的
比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36，
1.085≈1.47,1.086≈1.59)
解：(1)设中低价房面积成数列{an}，由题意可知{an}是等 差数列． 其中 a1＝250，d＝50， nn－1 则 Sn＝250n＋ ×50＝25n2＋225n. 2 令 25n2＋225n＝4 750，即 n2＋9n－190＝0，而 n∈N＋， 则 n＝10. 故到 2020 年底， 该市历年所建中低价房的累计面积将首 次不少于 4 750 万平方米．
甲方案净获利 42.62－25.94≈16.7(万元)．
(6 分)
1 乙方案获利构成等差数列，首项为 1，公差为 ，前 10 2 1 1 1 项和为 T10＝1＋(1＋ )＋(1＋2× )＋…＋(1＋9× ) 2 2 2 11 10 ＋1 2 ＝ ＝32.50(万元)， 2 而贷款本息总数为
[精解详析]
法一：设每年还款x万元，需10年还
清，那么各年还款利息情况如下： 第10年付款x万元，这次还款后欠款全部还清； 第9年付款x万元，过一年欠款全部还清时，所付 款连同利息之和为x(1＋10%)万元； 第8年付款x万元，过2年欠款全部还清时，所付款 连同利息之和为x(1＋10%)2万元；
…
建模的重要方式．
[例1]
某单位用分期付款的方式为职工购买40套住
房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月 这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%， 若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个 月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清 后，买这40套住房实际花了多少钱？ [思路点拨] 明确储蓄类型，构建等差数列求解．
北师大版必修五课件：数列在日常经济生活中的应用
【解析】10 年后的本息和 10 为:a10=5(1+0.0225) ≈6.246(万元).
4
一件家用电器,现价2000元,实行分期付款,每期付款数相 同,购买后一个月付款一次,共付12次,一年后还清,月利率 为0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少元(精确到0.01 元)?
.. 导. 学 固思
.. 导. 学 固思
第二位朋友第2,4,6,8,…天在,是首项为2,公差为2的等 差数列,通项公式为an=2n;第三位朋友第3,6,9,…天在,
是首项为3,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n;第四
、五、六、七位朋友在的时间的通项公式分别为
an=4n,an=5n,an=6n,an=7n;要使他们在同一晚上出现,这
.. 导. 学 固思
(3) 混合模型 :在一个问题中,同时涉及等差数列
和等比数列的模型. (4) 递推模型 :如果容易找到该数列任意一项 an+1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式,那 么我们可以用递推数列的知识求解问题.
.. 导. 学 固思
解题时怎样判断是用等差数列还是等比数列来求解?
问题4
r (1+r ) ·a (1+r ) -1
n n
.(尝试去
数列综合应用题的解题步骤
(1) 审题 ——弄清题意,分析涉及哪些数学
内容,在每个数学内容中,各是什么问题.
.. 导. 学 固思
(2) 分解 ——把整个大题分解成几个小题或几个“
步骤”,每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函
数问题、解析几何问题、不等式问题等. (3) 求解 ——分别求解这些小题或这些小“步骤”, 从而得到整个问题的解答. (4) 还原 ——将所求结果还原到实际问题中.
4
一件家用电器,现价2000元,实行分期付款,每期付款数相 同,购买后一个月付款一次,共付12次,一年后还清,月利率 为0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少元(精确到0.01 元)?
.. 导. 学 固思
.. 导. 学 固思
第二位朋友第2,4,6,8,…天在,是首项为2,公差为2的等 差数列,通项公式为an=2n;第三位朋友第3,6,9,…天在,
是首项为3,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n;第四
、五、六、七位朋友在的时间的通项公式分别为
an=4n,an=5n,an=6n,an=7n;要使他们在同一晚上出现,这
.. 导. 学 固思
(3) 混合模型 :在一个问题中,同时涉及等差数列
和等比数列的模型. (4) 递推模型 :如果容易找到该数列任意一项 an+1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式,那 么我们可以用递推数列的知识求解问题.
.. 导. 学 固思
解题时怎样判断是用等差数列还是等比数列来求解?
问题4
r (1+r ) ·a (1+r ) -1
n n
.(尝试去
数列综合应用题的解题步骤
(1) 审题 ——弄清题意,分析涉及哪些数学
内容,在每个数学内容中,各是什么问题.
.. 导. 学 固思
(2) 分解 ——把整个大题分解成几个小题或几个“
步骤”,每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函
数问题、解析几何问题、不等式问题等. (3) 求解 ——分别求解这些小题或这些小“步骤”, 从而得到整个问题的解答. (4) 还原 ——将所求结果还原到实际问题中.
北师大版高中数学必修5课件1.4数列在日常经济生活中的应用课件(数学北师大版必修5)
A4 A2 1 0.008 x
2
[[[[ 5000 1 0.008 1.008 x x
4 2
......
由题意年底还清,所以 解得：
A12 0
5000 1.008
12
x
1 1.008 1.008
2 4
1.008
x
1 [(1 p) ] 1 (1 p)
m n
m n
n
a (1 p ) m
x
a 1 p 1 p 1
m n
m
1 p 1
m
练习：
分组讨论计算某个组员利用自己零花钱分期付款
购买自己最想要的某种商品，并由小组代表到讲台 上用投影仪来谈谈组里给他的方案意见。
每期所付款 额
付款总 额
与一次性 付款差额
2
6次
3 注
12 次
规定月利率为 0.8%，每月利息按复利计算。
分析方案2：（选择次数中间的方案进行举例分析，进一步巩 固数列知识） 本题可通过逐月计算欠款来处理,根据题意,到期还清即第12个 月的欠款数为0元. 设每次应付x元,则：
设每期还款x元,第k个月末还款后 的本利欠款数为Ak元,则
每期所 付款额
付款 总额与一次性 付款差额2 Nhomakorabea6次
3 注
12 次
第 2 次付款，……购买后 12 个月第 12 次付款。 规定月利率为 0.8%，每月利息按复利计算。
可见：方案3使得付款总额较少， 结论具有不确定性——选择什么方案还要参照家庭的经济状况。
请同学们总结： 分期付款购买售价为a元的商品,分n次经过m个月 还清贷款,每月还款x元,月利率为p,则求x的数学模型 ：
高中数学北师大版必修五 4 数列在日常经济生活中的应用 课件(30张)
， 则有 A(1＋2.325‟)＋A(1＋2×2.325‟) ＋„＋A(1＋36×2.325‟)＝20 000. 36×37 利用等差数列的前 n 项和公式，得 A36＋ × 2 2．325‟＝20 000，解得 A≈533.所以欲在 3 年后一次支取本利和 2 万元，每月大约存入 533 元．
解析：(1)设每期存入金额为 A，每期利率为 P，存的期数为 n， 1 则各期利息和为 AP＋2AP＋3AP＋„＋nAP＝ n(n＋1)AP， 连同本金就 2 1 1 n＋ nn＋1P. 得到本利和＝nA＋ n(n＋1)· AP＝A· 2 2 (2)当 A＝100，P＝5.1‟，n＝12 时 本利和 1 ＝100× 12＋2×12×13×5.1‟＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形，得 本利和 2 000 A＝ ＝ ≈161.32(元)． 1 12×13×5.1‟ n＋ nn＋1P 12＋ 2 2 即每月应存入 161.32 元.
2 说方法· 分类探究 类型一 零存整取型 例 1 教育储蓄是一种零存整取的定期储蓄存款方式，它享受整 存整取利率， 利息免税． 教育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年级) 以上的学生．假设零存整取 3 年期教育储蓄的月利率为 2.325‟.按规 定，3 年期教育储蓄的存款总额不得超过 2 万元． (1)欲在 3 年后一次支取本利和 2 万元，每月大约存入多少元？ (2)零存整取 3 年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时 3 年后本 利和约为多少？(精确到 1 元)
目标导航 (1)体会“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常 生活中的实际问题．(2)在具体的问题情境中，发现并建立等差数列、 等比数列这两种数学模型，感受它们的广泛应用，并利用它们解决一 些实际问题．重点是：把实际问题转化为数列问题．难点是：构建相 应的数列，合理利用数列运算性质．
解析：(1)设每期存入金额为 A，每期利率为 P，存的期数为 n， 1 则各期利息和为 AP＋2AP＋3AP＋„＋nAP＝ n(n＋1)AP， 连同本金就 2 1 1 n＋ nn＋1P. 得到本利和＝nA＋ n(n＋1)· AP＝A· 2 2 (2)当 A＝100，P＝5.1‟，n＝12 时 本利和 1 ＝100× 12＋2×12×13×5.1‟＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形，得 本利和 2 000 A＝ ＝ ≈161.32(元)． 1 12×13×5.1‟ n＋ nn＋1P 12＋ 2 2 即每月应存入 161.32 元.
2 说方法· 分类探究 类型一 零存整取型 例 1 教育储蓄是一种零存整取的定期储蓄存款方式，它享受整 存整取利率， 利息免税． 教育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年级) 以上的学生．假设零存整取 3 年期教育储蓄的月利率为 2.325‟.按规 定，3 年期教育储蓄的存款总额不得超过 2 万元． (1)欲在 3 年后一次支取本利和 2 万元，每月大约存入多少元？ (2)零存整取 3 年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时 3 年后本 利和约为多少？(精确到 1 元)
目标导航 (1)体会“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常 生活中的实际问题．(2)在具体的问题情境中，发现并建立等差数列、 等比数列这两种数学模型，感受它们的广泛应用，并利用它们解决一 些实际问题．重点是：把实际问题转化为数列问题．难点是：构建相 应的数列，合理利用数列运算性质．
高中数学必修五北师大版 数列在日常经济生活中的应用课件(36张)
解决数列应用题的基本思路：
某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元， 购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利
息，月利率为1%，若交付 150 万元后的第一个月开始算分期付款的第
一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这 40套住房实际花了多少钱？
(2)由于教育储蓄的存款总额不超过 2 万元， 20 000 所以 3 年期教育储蓄每月至多可存入 36 ≈555(元)．这样，3 年后 的本息和为 555(1＋2.1‰)＋555(1＋2× 2.1‰)＋…＋555(1＋36× 2.1‰) ＝555[36＋(2.1‰＋2× 2.1‰＋3× 2.1‰＋…＋36× 2.1‰)] 36× 35 ＝555(36＋36× 2.1‰＋ × 2.1‰) 2 ≈20 756(元)． 答：欲在 3 年后一次支取本息合计 2 万元，每月大约存入 535 元.3 年期教育储蓄每月至多存入约 555 元， 这样， 3 年后本息合计约为 20 756 元．
等比数列的模型
[例2] 从盛满a L(a>1)纯酒精的容器里倒出1 L，然后灌满水，再 倒出1 L混合液后又用水灌满，如此继续下去，问(1)第n次操作后溶液 的质量分数是多少？(2)若a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的质量 分数低于10%?
[分析] 开始质量分数为 1，操作 1 次后溶液的质量分数是 a1＝1
解析：因购房时付 150 万元，则欠款 1 000 万元，依题意分 20 次付 款，则每次付款的数额顺次构成数列{an}． 则 a1＝50＋1 000×1%＝60， a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59， a4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5， „
第一章数列1.4数列在日常经济生活中的应用课件北师大版必修5
本利和 ������+1 2������(������+1)������ 1 12 + × 2 1 2 1 2 1 2
12 × 13 × 0.51% =1 239.78(元 ).
(3)将 (1)中的公式变形 ,得 =
12×13×0.51%≈161.32(元 ). 12+ 2
2 000
即每月应该存入 161.32 元 .
题型一
题型二
题型三
反思由于应用题的题目较长,相关学科知识与数学知识互相渗透, 知识面较广,极易造成阅读和理解上的困难,这就要求有较强的阅 读理解能力,阅读理解及“审题”应分为“初读”和“熟读”两个层 次,“初读”时要求一字一句地读,理解其含义,搞清题目的大概意 思,“熟读”则应着重研究题目涉及哪几个量,这几个量有什么关系, 是等差数列模型还是等比数列模型等.
(4)分期付款模型: a为贷款总额,r为年利率,n为贷款年限,b为等额还款数,
则 b=
������(1+������)������ ������ . (1+������)������ -1
【做一做2-1】 有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能 在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌 和100个这样的病毒,则细菌将病毒全部杀死至少需要( ). A.6秒 B.7秒 C.8秒 D.9秒 1-2������ 1 2 n1 解析:依题意,得1+2 +2 +…+2 ≥100, 即 ≥100, 1-2 整理得2n≥101.故n≥7, 则所求为7秒钟. 答案:B
题型一
题型二
题型三
题型二
等比数列的应用
【例 2】 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境 建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每 年投入将比上年减少 ,本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由 于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比 上年增加 .
12 × 13 × 0.51% =1 239.78(元 ).
(3)将 (1)中的公式变形 ,得 =
12×13×0.51%≈161.32(元 ). 12+ 2
2 000
即每月应该存入 161.32 元 .
题型一
题型二
题型三
反思由于应用题的题目较长,相关学科知识与数学知识互相渗透, 知识面较广,极易造成阅读和理解上的困难,这就要求有较强的阅 读理解能力,阅读理解及“审题”应分为“初读”和“熟读”两个层 次,“初读”时要求一字一句地读,理解其含义,搞清题目的大概意 思,“熟读”则应着重研究题目涉及哪几个量,这几个量有什么关系, 是等差数列模型还是等比数列模型等.
(4)分期付款模型: a为贷款总额,r为年利率,n为贷款年限,b为等额还款数,
则 b=
������(1+������)������ ������ . (1+������)������ -1
【做一做2-1】 有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能 在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌 和100个这样的病毒,则细菌将病毒全部杀死至少需要( ). A.6秒 B.7秒 C.8秒 D.9秒 1-2������ 1 2 n1 解析:依题意,得1+2 +2 +…+2 ≥100, 即 ≥100, 1-2 整理得2n≥101.故n≥7, 则所求为7秒钟. 答案:B
题型一
题型二
题型三
题型二
等比数列的应用
【例 2】 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境 建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每 年投入将比上年减少 ,本年度当地旅游业收入估计为 400 万元,由 于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比 上年增加 .
1.4数列在日常经济生活中的应用课件(北师大版)
第 − 1期还款元在还款结清时产生的本利和为: 1 + 1 ⋅
⋯
第2期还款元在还款结清时产生的本利和为: 1 + − 2 ⋅
第1期还款元在还款结清时产生的本利和为: 1 + − 1 ⋅
✓ 由此可得: + = + + + ⋯ + ( + − )
(1)若每月存入金额为元，月利率保持不变,存期为个月,试推导出到期整
取时本利和的公式; 模型简析
(2)若每月初存人500元,到第3年整取时的本利和是多少?(精确到0.01元)
(3)若每月初存人一定金额,希望到1年后整取时取得本利和2000元,则每月初
应存入的金额是多少?(精确到0.01元)
定期自动转存模型
贷款的本利和
所有还款的本利和
数列在日常经济生活中的应用
认识单利、复利
认识单利、复利
现假定你有 元,准备存入银行,现在有2种计算利率的方式.若假定“月”
利率,存款时间个“月”,有:
1.单利计算:
存款时间
1个“月” 2个“月”
⋯
( − )个月
个月
利息和本利和
本金
利息
本利和
+
+ 2
⋯
+ − 1
+
归纳:单利计算下,元存个“月”所得的利息为: ,本利和为 + .
认识单利、复利
2.复利计算:
存款时间
利息和本利和
本金
利息
本利和
1个“月” 2个“月”
高中数学北师大版必修五 4 数列在日常经济生活中的应用 课件(25张)
解 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还 清，每次付款数组成数列{an}， 则a1＝2＋(25－5)· 10%＝4(万元)； a2＝2＋(25－5－2)· 10%＝3.8(万元)； a3＝2＋(25－5－2×2)· 10%＝3.6(万元)； …；
n－ 1 an＝ 2＋[25－ 5－(n－ 1)· 2]· 10%＝4－ (万元)(n＝ 1,2， …， 5
自学导引
1． 有关增长率、利率等的计算
增长量 增长前的量 ； (1)增长率＝____________
购买商品获得的优惠额 商品标价 (2)优惠率＝_______________________ ；
利息 存款额 (3)存款利率＝_________.
试一试：什么情况下建立数列模型？ 提示 根据解题经验，当应用问题中的变量的取值范围是正 整数时，该问题通常是数列问题，这时常常建立数列模型来 解决．例如存款、贷款、购物(房、车)分期付款、保险、资 产折旧等问题都属于数列问题模型． 2．有关储蓄的计算 储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本 公式是：利息＝本金×存期×利率． 根据国家规定，个人取得储蓄存款利息，应依法纳税，计算 公式为：应纳税额＝利息全额×税率． (1)整存整取定期储蓄 一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，税率为q， nApq ，实际取出 nAp ，应纳税为______ 则到期时，所得利息为：_____ nAp(1－q)＋A 金额为：_____________.
1 每个水龙头 1 min 放水 (这里不妨设水池的容积为 1)， 24n 1 ∴ · (x ＋ x2＋…＋ xn)＝ 1， 24n 1 n x1＋ xn ∴ ＝ 24n，∴ x1＋ xn＝ 48. 2 又∵ xn＝ 5x1，∴ 6x1＝ 48，∴ xn＝ 40(min)， 故最后关闭的水龙头放水 40 min.
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n
定期方式 1年定期 2年定期 3年定期
15年期 数 15期 7.5期 5期 1年 3期 2.25 2.25
实
际
取
出
计息按7期算,最后一年按活期计息.
存 期 5年定期 年利率(%) 期利率(%)
2年 2.79 5.58
3年 3.33 9.99
5年 3.6 18
整存整取 年利率
常见的几种储蓄方法
一、活期储蓄 二、整存整取定期储蓄
例2：某人欲存入银行1000元，准备5年后取出。办 理定期1年自动转存业务，他可取得多少钱?
yn = a(1 + p)n 解：a=1000 p=0.0225 n=5
实际取出 ： 1117.68 元
答：他可取出1117.68元。
探索题：
某人欲存入银行1500元，准备15年后取出。 为使15年后取出的钱最多，他应采用何种定期存 款方式? y = a(1 + p)n
(设1年定期年利率是2.25%)
思考2：某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行 等额钱数，使连存15年后能取出10万元现金。问：他 每年至少应存进银行多少钱?(年利率2.25%)
思考3：某人在某银行每年年初去存入6000元钱，计划 若干年后从银行能取出现金12万元钱。问：他至少要 连存多少年?
思考1答案
数 列 在日常经济生活中的应用
储 蓄 问 题
近期内中国人民币储蓄的年利率如下：单位： % 项 目 年利率% 项 目 年利率%
活期存款
整存整取 三个月 半年 一年 两年 三年 五年
0.36 1.71 1.95 2.25 2.79 3.33 3.6
零存整取 整存零取 存本取息
一年 三年 五年
1.71 1.98 2.25
例1、某人从一月起，每月第一天存入银行 100元，到12月最后一天取出全部本金及其利 息。已知月利率是0.165%，他可取得多少钱? 解：实际取出 ：
100×12 + 0.5×12×13×0.165%×100
= 1212.87（元 ） 答：他可取出1212.87元。
一般地,设每月月初存入银行金额A,连存 n 次,每月的利率 都是 p , 那么到第 n 个月月末
复利储蓄
复利是计算利息的一种方法，即把前一期的利息和本 金加在一起算做本金，再计算下一期的利息。 我国现行的定期储蓄中的自动转存业务类似复利计 息的储蓄。 各期期利率如下表：( 期利率=期数×年利率 )
存
期
1年
2年 2.79 5.58
3年 3.33 9.99
5年 3.6 18
年利率(%) 2.25 期利率(%) 2.25
第1次存入到期后本利和是： 第2次存入到期后本利和是： 第3次存入到期后本利和是： …… 第15次存入到期后本利和是：
100×(1+2.25%)15 列成 等 100×(1+2.25%)14 100×(1+2.25%)13 比 …… 数 1 100×(1+2.25%)
15年后本利和总共是： 100×1.0225×(1.022515－1) ÷0.0225 = 1800.54（元） 实际取出： 思考2答案 思考3答案 1800.54 元
an= A n +0.5n(n + 1) Ap
探索题：
某人欲存入银行1500元，准备15年后取出。 为使15年后取出的钱最多，他应采用何种定期存 款方式?
解：设本金为a元,相应的期利率为p,到期本利和为y, 存期为n, n期后本利和是：
yn = a(1 + p)n
存
期Hale Waihona Puke 1年 2.252年 2.79
3年 3.33
5年 3.6
年利率(%)
计息公式：利息=本金×存期×年利率
整存整取 年利率
分期储蓄
这是指一种分期存入相同金额一次取出的 储蓄方式（即零存整取的储蓄）。现在的 分期储蓄通常指按月存入相同金额。
-----------------------------------------------------------------
nA 本金共有： _____________
各月的利息是
期 次
1 2 …
期数
利
息
成 等 差 数 列
n n－1
…
2 1
Apn Ap(n－1)
…
Ap×2 Ap×1
n－1 n
全部利息是 ：
Sn = Ap + Ap×2 + …+ Ap(n－1) + Apn
=
=
Ap(1 + 2 + … + n )
1 n(n+1)Ap 2 1 本利和是 ： nA + n(n+1)Ap 2
每年至少要存进 5746元 至少要连存17年
退出
储蓄利率常识
利率常有定和活
定期又有年和月 年息随着年期变 月息随着年息变 活期就算日利率
储蓄利率常变化，储户需要常了解。
例1、某人从一月起，每月第一天存入银行 100元，到12月最后一天取出全部本金及其利 息。已知月利率是0.165%，他可取得多少钱?
分析：设本金为a元，相应的年利率为p，到期本 利和为y，存期为n
1年后本利和是：
2年后本利和是：
例2：某人欲存入银行1000元，准备5年后 取 出。办理定期1年自动转存业务，他可 取得多少钱?
y1= a + a×p = a(1 + p)
y2= a(1 + p) + a(1 + p) p = a(1 + p)2 3 y 3年后本利和是： …… 3= a(1 + p) yn = a(1 + p)n n年后本利和是：
定活两便
按一年以 内整存整 取同档次 利率打6折 执行
常见的几种储蓄方法
一、活期储蓄 二、整存整取定期储蓄
三、分期储蓄
四、复利计息储蓄
储蓄术语： 本金 年
月
日
期
利息 存期 期数 本利和 利率
计息公式：利息=本金×存期×利率
月利率=年利率/12 日利率=年利率/360
本 利 和= 本 金 + 利 息
活期储蓄
这是指存期不定,可以随时存取的一种储蓄。计息时, 按日利率算存期为天数（一年按360天，一个月按30天 计算）。 若活期年利率：0.36 %
0.36% 则日利率： 0.001% 360
计息公式：利息=本金×存期×日利率
整存整取定期储蓄
这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金 及其利息的一种储蓄。中国邮政银行在近期内规定的这 种储蓄的年利率如下.
三、分期储蓄
四、复利计息储蓄
有一位同学的妈妈很会精打细算，在女儿考上高中的第一天， 妈妈就准备将一万元钱存入银行，为女儿3年后上大学用。可 是，她到了银行却不知办哪一种储蓄才能使收益最大。同学们： 你们知道用哪一种储蓄方式吗？
思考1：某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行 100元，连存15年后取出。问：他能取出多少钱?
定期方式 1年定期 2年定期 3年定期
15年期 数 15期 7.5期 5期 1年 3期 2.25 2.25
实
际
取
出
计息按7期算,最后一年按活期计息.
存 期 5年定期 年利率(%) 期利率(%)
2年 2.79 5.58
3年 3.33 9.99
5年 3.6 18
整存整取 年利率
常见的几种储蓄方法
一、活期储蓄 二、整存整取定期储蓄
例2：某人欲存入银行1000元，准备5年后取出。办 理定期1年自动转存业务，他可取得多少钱?
yn = a(1 + p)n 解：a=1000 p=0.0225 n=5
实际取出 ： 1117.68 元
答：他可取出1117.68元。
探索题：
某人欲存入银行1500元，准备15年后取出。 为使15年后取出的钱最多，他应采用何种定期存 款方式? y = a(1 + p)n
(设1年定期年利率是2.25%)
思考2：某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行 等额钱数，使连存15年后能取出10万元现金。问：他 每年至少应存进银行多少钱?(年利率2.25%)
思考3：某人在某银行每年年初去存入6000元钱，计划 若干年后从银行能取出现金12万元钱。问：他至少要 连存多少年?
思考1答案
数 列 在日常经济生活中的应用
储 蓄 问 题
近期内中国人民币储蓄的年利率如下：单位： % 项 目 年利率% 项 目 年利率%
活期存款
整存整取 三个月 半年 一年 两年 三年 五年
0.36 1.71 1.95 2.25 2.79 3.33 3.6
零存整取 整存零取 存本取息
一年 三年 五年
1.71 1.98 2.25
例1、某人从一月起，每月第一天存入银行 100元，到12月最后一天取出全部本金及其利 息。已知月利率是0.165%，他可取得多少钱? 解：实际取出 ：
100×12 + 0.5×12×13×0.165%×100
= 1212.87（元 ） 答：他可取出1212.87元。
一般地,设每月月初存入银行金额A,连存 n 次,每月的利率 都是 p , 那么到第 n 个月月末
复利储蓄
复利是计算利息的一种方法，即把前一期的利息和本 金加在一起算做本金，再计算下一期的利息。 我国现行的定期储蓄中的自动转存业务类似复利计 息的储蓄。 各期期利率如下表：( 期利率=期数×年利率 )
存
期
1年
2年 2.79 5.58
3年 3.33 9.99
5年 3.6 18
年利率(%) 2.25 期利率(%) 2.25
第1次存入到期后本利和是： 第2次存入到期后本利和是： 第3次存入到期后本利和是： …… 第15次存入到期后本利和是：
100×(1+2.25%)15 列成 等 100×(1+2.25%)14 100×(1+2.25%)13 比 …… 数 1 100×(1+2.25%)
15年后本利和总共是： 100×1.0225×(1.022515－1) ÷0.0225 = 1800.54（元） 实际取出： 思考2答案 思考3答案 1800.54 元
an= A n +0.5n(n + 1) Ap
探索题：
某人欲存入银行1500元，准备15年后取出。 为使15年后取出的钱最多，他应采用何种定期存 款方式?
解：设本金为a元,相应的期利率为p,到期本利和为y, 存期为n, n期后本利和是：
yn = a(1 + p)n
存
期Hale Waihona Puke 1年 2.252年 2.79
3年 3.33
5年 3.6
年利率(%)
计息公式：利息=本金×存期×年利率
整存整取 年利率
分期储蓄
这是指一种分期存入相同金额一次取出的 储蓄方式（即零存整取的储蓄）。现在的 分期储蓄通常指按月存入相同金额。
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nA 本金共有： _____________
各月的利息是
期 次
1 2 …
期数
利
息
成 等 差 数 列
n n－1
…
2 1
Apn Ap(n－1)
…
Ap×2 Ap×1
n－1 n
全部利息是 ：
Sn = Ap + Ap×2 + …+ Ap(n－1) + Apn
=
=
Ap(1 + 2 + … + n )
1 n(n+1)Ap 2 1 本利和是 ： nA + n(n+1)Ap 2
每年至少要存进 5746元 至少要连存17年
退出
储蓄利率常识
利率常有定和活
定期又有年和月 年息随着年期变 月息随着年息变 活期就算日利率
储蓄利率常变化，储户需要常了解。
例1、某人从一月起，每月第一天存入银行 100元，到12月最后一天取出全部本金及其利 息。已知月利率是0.165%，他可取得多少钱?
分析：设本金为a元，相应的年利率为p，到期本 利和为y，存期为n
1年后本利和是：
2年后本利和是：
例2：某人欲存入银行1000元，准备5年后 取 出。办理定期1年自动转存业务，他可 取得多少钱?
y1= a + a×p = a(1 + p)
y2= a(1 + p) + a(1 + p) p = a(1 + p)2 3 y 3年后本利和是： …… 3= a(1 + p) yn = a(1 + p)n n年后本利和是：
定活两便
按一年以 内整存整 取同档次 利率打6折 执行
常见的几种储蓄方法
一、活期储蓄 二、整存整取定期储蓄
三、分期储蓄
四、复利计息储蓄
储蓄术语： 本金 年
月
日
期
利息 存期 期数 本利和 利率
计息公式：利息=本金×存期×利率
月利率=年利率/12 日利率=年利率/360
本 利 和= 本 金 + 利 息
活期储蓄
这是指存期不定,可以随时存取的一种储蓄。计息时, 按日利率算存期为天数（一年按360天，一个月按30天 计算）。 若活期年利率：0.36 %
0.36% 则日利率： 0.001% 360
计息公式：利息=本金×存期×日利率
整存整取定期储蓄
这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金 及其利息的一种储蓄。中国邮政银行在近期内规定的这 种储蓄的年利率如下.
三、分期储蓄
四、复利计息储蓄
有一位同学的妈妈很会精打细算，在女儿考上高中的第一天， 妈妈就准备将一万元钱存入银行，为女儿3年后上大学用。可 是，她到了银行却不知办哪一种储蓄才能使收益最大。同学们： 你们知道用哪一种储蓄方式吗？
思考1：某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行 100元，连存15年后取出。问：他能取出多少钱?