初等数学部分不等式证明的方法归类
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关 键 词 ： 等 式 证 明 方 法 初 等 数 学 方法 归类 不
一
、
引 言
『１ 元法 ５换
初 等 数 学 的不 等 式 所 涉 及 的 知 识 点 较 多 ． 合 性 较 强 ． 教 综 但 学 方 法 有 限 。 绍 较 浅 显 ． 显 教 学 方 法 无 法 满 足 平 时 学 有 余 力 介 浅 的 同 学深 层 次 学 习 的 需 求 。
基本 思 想 与 基 本 方 法 总结 ：
Biblioteka Baidu
换 元 法 主要 是 三 角 代 换 法 ．它 是 利 用 三 角 函 数 的 性 质 证 明
不 等 式 的 方 法 。但 必 须 保 持 原 变 量 变 换 的 值 与 新 变 量 的许 可 范 本 文 全 面 系统 地 介 绍 初 等 数 学 中不 等 式 证 明方 法并 对 其 总 围一 致 ， 则 随 着新 变 量 取 值 范 围 变 化 ． 题 会 失 误 。 因此 要 十 否 解 结 归 类 。本 文 强 调 理论 方 法 的严 谨 性 ， 阅了 部 分 高 考不 等 式 证 分 注 意 换 元 的取 值 范 围 参 明 的 试题 和有 关 文 献 ． 选 了典 型 的例 题 ， 而开 阔读 者 的 眼界 ． 抽 从 换元 法 可 分 为 两 大 类 ： 数 换 元 、 角 换 元 。 代 三 培 养 其综 合运 用 知 识 能 力 。 ２特殊 方 法 ： ．
作 差 比较 法依 据 ａ ｂ 则 ａ ＞ （ ａ ｂ 则 ａｂ ０， 过 计 算 ＞ ， ０或 ＜ ， － ＜ ） 通
不 等 式 两 边 的 差 ． 行 比较， 出所 要 证 明的 结 论 。 进 得 二、 作商 法
典 型 例 题 ：设 ａｂ ，求证 ：＋ １ ｌ ｂ） ｌ＋ｂ （＋ａ ｌ 、 ∈Ｒ ｌ ｂ （ ＋ａ １≤ ａ ｌｌ １ ｌ＋ ａ Ｌ ／ ＋ ｌ ／ ｌ
初 等 数 学 部 分 不 等 式 证 明 的 方 法 归 类
毛 学 辉
（ 州职 教 中心 河北 涿 州 ０ ２ ５ ） 涿 ７ ７ ０
中图分类号： Ｇ４
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：０ ８ ９ ５ （０ ２０６ ０ ３ — ２ １ ０ — ２ Ｘ２ １ ） — ２ ２ ０
摘 要 ： 文 以初 等数 学作 为工 具 ， 找 多种 途 径， 各 个方 面对 不 等 式进 行 证 明 ． 对证 明 方法 进 行 归 类 总 结 。 本 寻 从 并
ｂ） １。证 明过 程 （ ） 略
ｆ１ 反 证 法 ３
作 商 比较 法 依 据若 ｂ ０则 ａ ｂ ａ ＞ （ ａｂ ａ ＜ ） ＞ ， ＞ ，／ ｌ或 ＜ ，／ １。由于 差 ｂ ｂ 假 设 求 证 的 反 面 成 立 ， 过 合 理 的逻 辑 推 理 ， 出 矛 盾 ， 而 通 导 从 肯定 比法 无须 考虑 两个 被 比 对 象 的 符 号 ， 因此 ，它 具 有 广 泛 的适 用 证 明原 结 论 的 反 面 不对 ， 原 结 论 。 性 ． 别 是 次 数 较 高 的 多项 式 或 分 式 比较 大 小 ； 特 典 型 例 题 ： 已知 对 于 任 意 的正 数 ８恒 有 ａ ＋ ， 证 ａ 。 ≤ｂ ｅ求 ≤ｂ 『］ 析 法 ： ２分 证 明：假 设 ａ ｂ则 ａｂ ０ ＞， —＞ 。 基本 思想 与基 本 方 法 总 结 ： 取 ｓ （ ｂ ２ ０有 ｂ ８ ｂ （—） ＝ａ ｂ／＜ ， 已 知 矛 盾 。 ＝ａ ） ＞ ， ＋ ＝ ＋ａ ｂ／ （ ） ａ —／ ２ ＋ ２ 与 分 析 法 证 明 不 等 式 ．就 是 从 求 证 的不 等式 出发 逐 步 分 析 能 这说 明假 设 ａ ｂ是 不对 的， ＞ 于是 ａ ≤ｂ成 立 。 使不等式成立的充要条件 ， 到找到已成立的不等式为止 ， 直 即所 『］ 数形 结 合 法 ： ４ 谓 的 “ 果 索 因 ” ， 析 法 往 往 实 用 于 条 件 简 单 而 结 论 复 杂 的 执 法 分 结 合 不 等 式 的几 何 意 义 ．从 几 何 的 角 度 证 明不 等 式 的 正 确
二 、 等 式 证 明 的 方法 不 … 放 缩 法
要 培 养 和 提 高 自 己的 证 题 能 力 。 是 要 熟 悉 证 明 不 等 式 的 常 一 在 证 明 不 等 式 的 过 程 中． 当地 添 加 或 舍 去 某 些 项 ． 当放 适 适 用 方 法 和 特 殊 方 法 ； 是 要 通 过 做 题 、 考 来 感 悟 和 领 会 这 些 方 大（ 缩 小 ） 子 ｆ 二 思 或 分 或分 母 ） 利 用某 些 函数 的有 界 性 扩 大 或 缩 小 不 ， 或 法 、 巧 ， 己所 用 。 将 初 等数 学证 明不 等 式 的 常用 方 法 和 特 殊 等 式 的某 一 部 分 到求 证 的 目的 。 技 为 现 达 方 法 归 纳 如下 ： 典 型 例题 ： 求证 ：／１ １ ＋ ／ ＋ １１ ＋ ，１ １ １ …＋ ，！ ２ｆ 正 整 数） ２ ３ ｌ ＜， ｎ ｎ为 。 （ ） 等 数 学 部 分 不 等式 证 明方 法 一 初 证 明 ： 为 ｌ ！ １（ ｘ ｘ ｘ ｋ ＜ ／ １ ２ ２ … ｘ ） １ ｆ＞ 因 ／ ： ／ １ ２ ３ …ｘ ） １（ ｘ ｘ ｘ ２ ＝ ／ ’ ｋ ２ ｋ
：
基 本 思 想 与基 本 方 法 总 结 ： 比较 法 是 证 明 不 等 式 的最 基 本 常 用 方 法 ．在 两 数 或 两 式 比
较 大 小 时 最 常 用 。它 有 两 种 不 同 形 式 ： 作 差 法
一
、
根 据 待 证 的不 等 式 结 构 等方 面 的 特 点 ．引 入 一 个 适 当 的 函 数’ 运用 函数 的性 质 （ 单 调 性 、 界 性 等） 达 到 证 明 的 目的 。 如 有 来
１常用 方 法 ： ．
『］ １比较 法 ： ２， ）
所 以 １１ ＋ １ １ ＋ ／ １ １ １＋ ／ １ …＋ ／ ！ １ １ ＋ ／ ２ ２ ＋ １ ｒ ２ ３ １ ＜ ＋ ／ １（ ｘ ） …＋ ／ 卜 ｎ ２ ２ （ － ／ ） １ １ ） ２ （１ ） ２ １１ ２ ／ －／ ＝－ １ （ ２ ２ ＜。 『１ 构 造 函数 法 ： ２
一
、
引 言
『１ 元法 ５换
初 等 数 学 的不 等 式 所 涉 及 的 知 识 点 较 多 ． 合 性 较 强 ． 教 综 但 学 方 法 有 限 。 绍 较 浅 显 ． 显 教 学 方 法 无 法 满 足 平 时 学 有 余 力 介 浅 的 同 学深 层 次 学 习 的 需 求 。
基本 思 想 与 基 本 方 法 总结 ：
Biblioteka Baidu
换 元 法 主要 是 三 角 代 换 法 ．它 是 利 用 三 角 函 数 的 性 质 证 明
不 等 式 的 方 法 。但 必 须 保 持 原 变 量 变 换 的 值 与 新 变 量 的许 可 范 本 文 全 面 系统 地 介 绍 初 等 数 学 中不 等 式 证 明方 法并 对 其 总 围一 致 ， 则 随 着新 变 量 取 值 范 围 变 化 ． 题 会 失 误 。 因此 要 十 否 解 结 归 类 。本 文 强 调 理论 方 法 的严 谨 性 ， 阅了 部 分 高 考不 等 式 证 分 注 意 换 元 的取 值 范 围 参 明 的 试题 和有 关 文 献 ． 选 了典 型 的例 题 ， 而开 阔读 者 的 眼界 ． 抽 从 换元 法 可 分 为 两 大 类 ： 数 换 元 、 角 换 元 。 代 三 培 养 其综 合运 用 知 识 能 力 。 ２特殊 方 法 ： ．
作 差 比较 法依 据 ａ ｂ 则 ａ ＞ （ ａ ｂ 则 ａｂ ０， 过 计 算 ＞ ， ０或 ＜ ， － ＜ ） 通
不 等 式 两 边 的 差 ． 行 比较， 出所 要 证 明的 结 论 。 进 得 二、 作商 法
典 型 例 题 ：设 ａｂ ，求证 ：＋ １ ｌ ｂ） ｌ＋ｂ （＋ａ ｌ 、 ∈Ｒ ｌ ｂ （ ＋ａ １≤ ａ ｌｌ １ ｌ＋ ａ Ｌ ／ ＋ ｌ ／ ｌ
初 等 数 学 部 分 不 等 式 证 明 的 方 法 归 类
毛 学 辉
（ 州职 教 中心 河北 涿 州 ０ ２ ５ ） 涿 ７ ７ ０
中图分类号： Ｇ４
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：０ ８ ９ ５ （０ ２０６ ０ ３ — ２ １ ０ — ２ Ｘ２ １ ） — ２ ２ ０
摘 要 ： 文 以初 等数 学作 为工 具 ， 找 多种 途 径， 各 个方 面对 不 等 式进 行 证 明 ． 对证 明 方法 进 行 归 类 总 结 。 本 寻 从 并
ｂ） １。证 明过 程 （ ） 略
ｆ１ 反 证 法 ３
作 商 比较 法 依 据若 ｂ ０则 ａ ｂ ａ ＞ （ ａｂ ａ ＜ ） ＞ ， ＞ ，／ ｌ或 ＜ ，／ １。由于 差 ｂ ｂ 假 设 求 证 的 反 面 成 立 ， 过 合 理 的逻 辑 推 理 ， 出 矛 盾 ， 而 通 导 从 肯定 比法 无须 考虑 两个 被 比 对 象 的 符 号 ， 因此 ，它 具 有 广 泛 的适 用 证 明原 结 论 的 反 面 不对 ， 原 结 论 。 性 ． 别 是 次 数 较 高 的 多项 式 或 分 式 比较 大 小 ； 特 典 型 例 题 ： 已知 对 于 任 意 的正 数 ８恒 有 ａ ＋ ， 证 ａ 。 ≤ｂ ｅ求 ≤ｂ 『］ 析 法 ： ２分 证 明：假 设 ａ ｂ则 ａｂ ０ ＞， —＞ 。 基本 思想 与基 本 方 法 总 结 ： 取 ｓ （ ｂ ２ ０有 ｂ ８ ｂ （—） ＝ａ ｂ／＜ ， 已 知 矛 盾 。 ＝ａ ） ＞ ， ＋ ＝ ＋ａ ｂ／ （ ） ａ —／ ２ ＋ ２ 与 分 析 法 证 明 不 等 式 ．就 是 从 求 证 的不 等式 出发 逐 步 分 析 能 这说 明假 设 ａ ｂ是 不对 的， ＞ 于是 ａ ≤ｂ成 立 。 使不等式成立的充要条件 ， 到找到已成立的不等式为止 ， 直 即所 『］ 数形 结 合 法 ： ４ 谓 的 “ 果 索 因 ” ， 析 法 往 往 实 用 于 条 件 简 单 而 结 论 复 杂 的 执 法 分 结 合 不 等 式 的几 何 意 义 ．从 几 何 的 角 度 证 明不 等 式 的 正 确
二 、 等 式 证 明 的 方法 不 … 放 缩 法
要 培 养 和 提 高 自 己的 证 题 能 力 。 是 要 熟 悉 证 明 不 等 式 的 常 一 在 证 明 不 等 式 的 过 程 中． 当地 添 加 或 舍 去 某 些 项 ． 当放 适 适 用 方 法 和 特 殊 方 法 ； 是 要 通 过 做 题 、 考 来 感 悟 和 领 会 这 些 方 大（ 缩 小 ） 子 ｆ 二 思 或 分 或分 母 ） 利 用某 些 函数 的有 界 性 扩 大 或 缩 小 不 ， 或 法 、 巧 ， 己所 用 。 将 初 等数 学证 明不 等 式 的 常用 方 法 和 特 殊 等 式 的某 一 部 分 到求 证 的 目的 。 技 为 现 达 方 法 归 纳 如下 ： 典 型 例题 ： 求证 ：／１ １ ＋ ／ ＋ １１ ＋ ，１ １ １ …＋ ，！ ２ｆ 正 整 数） ２ ３ ｌ ＜， ｎ ｎ为 。 （ ） 等 数 学 部 分 不 等式 证 明方 法 一 初 证 明 ： 为 ｌ ！ １（ ｘ ｘ ｘ ｋ ＜ ／ １ ２ ２ … ｘ ） １ ｆ＞ 因 ／ ： ／ １ ２ ３ …ｘ ） １（ ｘ ｘ ｘ ２ ＝ ／ ’ ｋ ２ ｋ
：
基 本 思 想 与基 本 方 法 总 结 ： 比较 法 是 证 明 不 等 式 的最 基 本 常 用 方 法 ．在 两 数 或 两 式 比
较 大 小 时 最 常 用 。它 有 两 种 不 同 形 式 ： 作 差 法
一
、
根 据 待 证 的不 等 式 结 构 等方 面 的 特 点 ．引 入 一 个 适 当 的 函 数’ 运用 函数 的性 质 （ 单 调 性 、 界 性 等） 达 到 证 明 的 目的 。 如 有 来
１常用 方 法 ： ．
『］ １比较 法 ： ２， ）
所 以 １１ ＋ １ １ ＋ ／ １ １ １＋ ／ １ …＋ ／ ！ １ １ ＋ ／ ２ ２ ＋ １ ｒ ２ ３ １ ＜ ＋ ／ １（ ｘ ） …＋ ／ 卜 ｎ ２ ２ （ － ／ ） １ １ ） ２ （１ ） ２ １１ ２ ／ －／ ＝－ １ （ ２ ２ ＜。 『１ 构 造 函数 法 ： ２